1、一轮单元训练金卷高三数学卷（B）第 十 六 单 元 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ：
2、 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 ,0A， ,10B， ,1C，则平面 ABC的一个法向量可以是（ ）A ， ， B ,C 1,D 1,2已知正三棱柱 1A， 12，则异面直线 1与 A所成角的余弦值为（ ）A0 B 4C 4D 23如图所示，在
3、平行六面体 1DAB 中， M为 1C与 1B的交点若 ABa，Db， 1c，则下列向量中与 M相等的向量是（ ）A 12abcB 12abcC D 4如图所示，四棱锥 PABC中，底面 A为菱形， 2A， 60BD，侧面 PA为等边三角形且垂直于底面 D， E， F分别为 P， C的中点，则异面直线 E与 F所成角的余弦值为（ ）A 13B 34C 14D 7105结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 2的小正方体堆积成的正方体） ，其中白点代表钠原子，黑点 代表氯原子建立空间直角坐标系 Oxyz后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是（ ）A 1,2B (
4、01)， ， C 1,2D 1,26如图，在四面体 OAC中， M、 N分别在棱 OA、 B上，且满足 OMA， BNC，点G是线段 MN的中点，用向量 ， B， 表示向量 G应为（ ）A 1134OGBOCB 1134OGABOCC D7如图，点 ， ， 分别在空间直角坐标系 xyz的三条坐标轴上， 02， ， ，平面的法向量为 21， ，n，设二面角 CABO的大小为 ，则 cos（ ）A 43B 53C 23D 238点 P是棱长为 1 的正方体 1ADB的底面 AB上一点，则 1PAC的取值范围是（ ）A 1,4B ,24C 1,0D ,029已知四边形 ACD， A， 2B，现将 A
5、B 沿 折起，使二面角B的大小在 56， 内，则直线 与 CD所成角的余弦值取值范围是（ ）A 5208， B 208， C 25018， ， D 258，10如图，平面 平面 ， A， B， A与平面 ， 所成的角分别为 4和 6，过 A，B两点分别作两平面交线的垂线，垂足为 ， ，若 12，则 BA的长为（ ）A4 B6 C8 D9 11正四棱锥 ACDS的侧棱长为 2，底面边长为 3， E为 SA的中点，则异面直线 BE与C所成的角是（ ）A 30B 45C 60D 9012如图，在三棱柱 1AC、 中，侧棱垂直于底面，底面边长为 2的正三角形，侧棱长为 3，则 1B与平面 1所成的角为
6、（ ）A 6B 4C 3D 2二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13已知 (2,3)a， (1,2)b， (1,)c，若向量， b， c共面，则实数 14 PA， B， C是从 P点出发的三条射线，每两条射线的夹角为 60，那么直线 PA与平面所成角的余弦值是_15已知正方形 ABCD的边长为 4， G平面 ABCD， 2G， E、 F分别是 AB， D的中点，则点 到平面 EF的距离为_16如图所示，在正三棱柱 1中， 是 的中点， 1A:： ，则异面直线1AB与 所成的角为_三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证
7、明过程或演算步骤）17 （10 分）如图，在四棱锥 PABCD中， PA 是等边三角形， ABC， DB ，2ADBC（1）求证： ；（2）若平面 P平面 AB， 60，求二面角 APD的余弦值18 （12 分）如图，已知斜三棱柱 1CBA的底面是正三角形，侧面 1AB是菱形，且 160AB， M是 1BA的中点， （1）求证： 平面 ；（2）求二面角 C1的余弦值19 （12 分）如图，四边形 ABD为菱形， 120ABC， E， F是平面 ABCD同一侧的两点，BE平面 C， F平面 ， ， （1）证明：平面 E平面 ；（2）求直线 与直线 所成角的余弦值20 （12 分）如图，在四棱锥
8、ABCDP中， 底面 ABCD， 是直角梯形，ADB， C ， 22 E是 P的中点（1）求证：平面 E平面 ；（2）若二面角 的余弦值为 36，求直线 与平面 所成角的正弦值21 （12 分）如图所示，在底面是菱形的四棱锥 ABCDP中， 60，aACP， aPDB2，点 E在 上，且 :2:1E（1）证明： 平面 AC；（2）求二面角 E的大小；（3）棱 上是否存在一点 F，使 B 平面 A？证明你的结论22 （12 分）如图 1，在 RtABC 中， 90， 3BC， 6A， D， E分别是 AC，AB上的点，且 DE ， 2将 DE 沿 折起到 1 的位置，使 1C ，如图 2（1）求
9、证： 1 平面 ；（2）若 M是 的中点，求 CM与平面BEA1所成角的大小；（3）线段 上是否存在点 P，使平面 DA1与平面 1垂直?说明理由一轮单元训练金卷高三数学卷答案（B）第 十 六 单 元 空 间 向 量 在 立 体 几 何 中 的 应 用一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【答案】D【解析】 1,0A， ,10B， ,1C， 1B,0A， 1C,0，设平面 ABC 的一个单位法向量为 yznx， ， ，则 n， xyz易知： 1,符合题意故选 D2 【答案】C【解析】以 A为原点，在平面 ABC内
10、过 作 的垂线为 x轴，以 AC为 y轴，以 1A为 z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱 1BC的各条棱长为 2，则 0A（ ， ， ） ， 32（ ， ， ） ， 0A（ ， ， ） ， 0C（ ， ， ） ， 132AB， ， 1 02AC， ， ，设异面直线 1和 所成的角的余弦值为 ，则 121cos48BCA异面直线 1AB和 所成的角的余弦值大小为 14故选 C3 【答案】A【解析】平行六面体的性质可得： 112AMCab，则 1BMAacbc，故选 A4 【答案】B【解析】如图，取 D的中点 O，连 P， B，由题意可得 PO平面 BCD在 AOB 中，1OA， 2， 60AB
11、，则由余弦定理得 3，所以 ，因此可建立如图所示的空间直角坐标系 xyz则 10A， ， ， 1302E， ， ， 0B， ， ， 302F， ， ， 3， ， ， 2F， ， ，934cosAEB，异面直线 与 F所成角的余弦值为 故选 B5 【答案】A【解析】设图中最上层中间的钠原子所在位置为 点，以 O、 为相对顶点，作出长方体BCDOEFG，如图所示：平面 BFGD经过点 与 x轴垂直，点 在 x轴上的射影为 点，结合 1,02G得 B的横坐标为 12；同理可得，点 B在 y轴上的射影为 E点，结合 ,得 的纵坐标为 ；点 在 z轴上的射影为 D点，结合 0,1得 B的竖坐标为 1，点
12、 B的坐标为 1,2G，故选 A6 【答案】A【解析】 112123OMNOBC，化简得到 34GABC，故选 A7 【答案】C【解析】由题意可知，平面 O的一个法向量为： 02OC， ， ，由空间向量的结论可得： 42cos3Cn本题选择 C 选项8 【答案】D【解析】以点 为原点，以 DA所在的直线为 x轴，以 D所在的直线为 y轴，以 1D所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，可得点 1,0A， 1,C，设点 P的坐标为 ,xyz，则 01x， y， 1z， ,Pxy， ,10xy， 2221 1110PACxyxyxy，由二次函数的性质可得，当 时， 1PAC取得最大值为 2，当 0x
13、或 1时，且当 0y或 1时， 取得最大值为 0，由此 1PAC的取值范围是 ,2，故选 D9 【答案】A【解析】 2BDA 2BC， COB， AD，且 1CO， 3A， OC是二面角 的平面角，以 为原点， 为 x轴， O为 y轴，过点 作平面 的垂线为 z轴，建立空间直角坐标系，0()1B， ， ()， ， ， ()01， ， ，设二面角 ADC的平面角为 ，则 56， ，连 O、 B，则 ， 3cos0inA， ， ， 3cos1inA， ， ， 1， ， ，设 B、 CD的夹角为 ，则13coscos2BCDA， 56， ， 3s2， ，故 13cos0， ， 5cos08， 本题选
14、择 A 选项10 【答案】B【解析】连接 A和 B，设 a， AB与平面 成的角 4BA，在 Rt 中， 2 ， 与平面 所成的角 6，在 Rt 中， aA21，因此在 tAB 中， 21()(aa，故选 B11 【答案】C【解析】取 的中点 F，连接 E、 BF，则 ESC ，异面直线 E与 SC所成的角为 BEF，因为 21SE， 6， 2A，又在 AB中，由余弦定理可得46cosAB，则在 BE 中，可得 ，在 EF 中，由余弦定理得 21cosBEF，所以 0EF，故选 C12 【答案】A【解析】记点 B到平面 1A的距离为 ， 1B与平面 1CA所成的角为 ，连接 1BC，d 11C
15、AV，即 ， ，322332d则 2，所以 6，故选 A1sindB二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13 【答案】1【解析】 a， b， c共面，存在实数 x， y，使 ya=xbc，即 2,31,42,xy，243xy，解得 114 【答案】 3【解析】过点 A向平面 PBC作垂线 AO，垂足为 ，连接 PO，易知 为 BPC的角平分线，过点 O向 作垂线，垂足为 ，连接 B，易知 B，设 2Aa，在 RtPB 中， 60， a，在 中， 3， 23P，在 tAO 中， cosOA15 【答案】 61【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 x
16、yzC，则 )2,0(OG，由题意得平面 GEF的一个法向量为 (1,3)n，所以点 到平面 EF的距离为 61dCn16 【答案】 60【解析】在平面 ABC内，过 作 DB的平行线 AE，过 B作 AEH于 ，连接 HB1，则在1RtH中， 1为 1与 所成的角，设 1，则 21， 3， 23， 11cos2， 60三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 【答案】 （1）见解析；（2） 5【解析】 （1）取 AD的中点 O，连接 P， C， PAD 为等边三角形， POAD， BC ， 2AD， BCAO 且 又 BC，四边形 BC为矩形，
17、 ， O， 平面又 P平面 ， AP，（2）由（1）知 D，平面 A平面 BC，平面 平面 ABCD， PO平面 AD， PO平面 ABCD，以 O为坐标原点，以 O， ， P所在方向分别为 x轴， y轴， z轴的正方向，建立空间直角坐标系 xyz，设 1OD，则 1ABC， 60AD， 3OC，又 2，得 3P， 3， ， ， 1， ， ， 0， ， ， 01， ， ， 0， ， ，设平面 CD法向量 1xyz， ，n，由 10P，得 30z，取 1，得 31， ，n，又知 OC是平面 A的一个法向量，设 20OC， ， ， 12123105cos， ， ， ，n,，二面角 APDC的余弦值
18、为 18 【答案】 （1）见解析；（2） 5【解析】 （1）证明侧面 1AB是菱形，且 160AB， AB 为正三角形，点 M为 的中点， 1M 1 ， ，由已知 C， 平面 AC（2）如图建立空间直角坐标系，设菱形 1边长为 2，得 )3,0(1， )0,2(， ),3(， )3,0(A则 BA， BA， 1B， )0,1(B设平面 1AB的法向量 11(,)xyzn，由 1BAn， 1得 1203yz，令 1x得 1(,0)n设面 C的法向量 22(,)xyz，由 21B， 2得 230，令 3y，得 2(1,)n所以 1125cos, 又二面角 CBA1的平面角为锐角，所以所求二面角的余
19、弦值为 519 【答案】 （1）见解析；（2） 3【解析】 （1）证明：连结 D，和 A交于 O点，连结 E， F， BE平面 AC， BE， C， ， Rtt ， ， ， 是等腰直角三角形，且 A21， 2cos1203ACBACAB， OE3， OD， E2 ABEDF421 BFD， RttBEF: ， O， 90， 又 ACE， 平面 AC，平面 E平面 AFC（2）分别以 OB， C所在射线为 x轴， y轴，以过点 O平行于 BE的直线为 z轴，建立建立空间直角坐标系，如图所示设 20Aa，则 )0,3(aA， )2,(aE， )0,3(C， )2,(aF， (,)E， 2(,)Fa
20、，233cos, 6ACE所以直线 与直线 F所成角的余弦值为 320 【答案】 （1）见解析；（2） 2【解析】 （1）证明： PC平面 ABD， C平面 ABD， AC， 2， 1， 2， 2B， 又 ， 平面 ， 平面 E，平面 AC平面 PB（2）如图，以 为原点， D、 、 分别为 x轴、 y轴、 z轴正向，建立空间直角坐标系，则 )0,(， ),1(， )0,(设 (0,)Pa，则 1,2aE， 1,0CA， ,0Pa， 1,2aCE设平面 AC的法向量为 11(,)xyzn，则由 11n得 120xyz，令 1x，则 y， 0，所以平面 的法向量为 1(,)n设平面 E的法向量为
21、 22(,)xyz，则由 220CAE，得 ,021,2zayx令 a，则 ， z所以平面 EAC的法向量为 (,2)n依题意， 1226cos, 34a，解得 a于是 2(,)n， (1,)PA，设直线 PA与平面 EC所成角为 则 22sinco, 3n即直线 PA与平面 E所成角的正弦值为 21 【答案】 （1）见解析；（2） 6；（3）当点 F为 PC中点时，有 BF 平面 AEC【解析】 （1）证明：四边形 ABCD是菱形， 60AB，且 a aADB，又 aP2， 22P， ， ，且 平面 （2）连接 ，底面 BC是菱形， BA，设 ODC以 O为原点， ， O分别为 x轴， y轴
22、建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为： 0,2aA， 3,0aB， ,02aC， 3,02aD， ,2aP点 E在 PD上，且 :2:1E 3DPE，即 3POED 3,6aO，即点 的坐标为 ,6a又平面 AC的一个法向量为 1(0,)n，设平面 E的一个法向量为 2,xyz， 0,2aOC， 3,6aE，由 20On，得 306yaxyz，可令 1x，得 2(,0)n， 1212cosn, ， 126n,，所以二面角 DACE的大小为 （3）证明：假设在 P上存在点 F满足题设条件，设 (01)F，得 12(0,)OCPa， 123312(0,)(,0)(,)2aaBFO，依题意
23、， 平面 AEC，则有 2BFn， ,1,03，即 032a，解得 1，当点 F为 P中点时，有 BF 平面 AEC22 【答案】 （1）见解析；（2） 4；（3）不存在，见解析【解析】 （1）证明：因为 ， DB ，所以 AC所以 DAE， ，所以 E平面 1所以 DE1又因为 1C ， 1所以 1AC 平面 （2）如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 xyz，则 )32,0(1A， )0,(D， )3,1(M， )0,(B， ),2(E设平面 BE的法向量为 ,xyzn，则 1An， 又 ),(1， )2(，所以 320xzy令 1，则 2x， 3z所以 ,13n设 CM与平面 BEA1所成的角为 ，因为 )3,1(CM，所以 42sinco, 8Cn所以 与平面 1所成角的大小为 4（3）线段 B上不存在点 P，使平面 DA1与平面 BE1垂直，理由如下：假设这样的点 P存在，设其坐标为 )0,(tP，其中 3,0t设平面 DA1的法向量为 ,xyzm，则 1AD， Pm又 )32,0(， )2(t，所以 20yztx令 2x，则 ty， 3tz所以 (,)tm平面 DPA1与平面 BE1垂直当且仅当 0nm，即 4t解得 2t，这与 3,0t矛盾所以线段 C上不存在点 ，使平面 DPA1与平面 BE1垂直
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