1、专题 16 算法、复数、推理与证明测试题命题报告：1. 高频考点：程序框图、复数、归纳推理、类比推理、演绎推理、不等式的证明等。2. 考情分析：本单元在高考中必考，内容简单，主要涉及客观题，推理和证明渗透得数学各方面，是培养数学素养的关键。3.重点推荐： 3 考察复数的几何性质，9，11 题涉及数学文化题。一选择题（共 12 小题，每一题 5 分）1. （2018青州市三模）设 i 是虚数单位，若复数是纯虚数，则 a=（ ）A1 B1 C2 D2【答案】D【解析】：=是纯虚数，a=2故选：D2. 如程序框图所示，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 的值若要使输入的 x 的值与输出的 y 的
2、值相等，则这样的 x 的值有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】C【解析】：这是一个用条件分支结构设计的 算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数 y=的函数值，当 x2 时，令 x2=x，得 x=0 或 1；当 2x5 时，令 2x3=x，得 x=3；当 x5 时，令 =x，得 x=1（舍去） ，故只有 3 个值符合题意故选：C3. 如图，在复平面内，复数 z1，z 2对应的向量分别是 ,OAB，则复数 12Z对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】.B【解析】：由题意可知 z1=2i，z 2=i，复数 12Z对应的点位于第二象限故选 B
3、4. （2018陕西一模）运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为 A，从集合 A 中任取一个元素 a，则函数 y=xa，x0，+）是增函数的概率为（ ）A B C D【答案】C【解析】：由框图可知 A=3，0，1，8，15，其中基本事件的总数为 5，设集合中满足“函数y=x ，x0，+）是增函数”为事件 E，当函数 y=x ，x0，+）是增函数时，0 事件 E 包含基本事件为 3，则 故选：C 故选：D11. 设函数，观察：,， 3()fx ,， ，由归纳推理可得当 nN*且 2时， ()nfx ( )A B C D 【答案】C【解析】观察可得，所给的函数式的分子不变都是 x，而分母是由两
4、部分的和组成，第一部分的系数分别是 1，3，7，15， 21n，第二部分的数分别是 2，4，8，16， 2n，.12. （2018平度市校级模拟）阅读程序框图（如图） ，输出的结果的值为（ ）A B12 C 3 D15【答案】A【解析】：如图所示的是当型循环结构，第一次循环：S=0+ = ，n=1+1=2；第二次循环：S= ，n=2+1=3；第三次循环：S= = ，n=3+1=4； 第 四次循环：S= +sin = ，n=4+1=5；第五次循环：S= +sin =0，n=5+1=6；第六次循环：S=0+sin2=0，n=6+1=7第七次循环：S=0+ = ，n=7+1=8；第八次循环：S= ，
5、n=8+1=9；所以，S 的取值的周期是 6，2011=3356+1，第 2011 次循环时，S=0+ = ，n=2011+1=2012，n=2012，n2012 不成立，输出的结果 S 为： 故答案为： 二填空题13.（2019 届曾都区期中）将 n 表示为 k=k+1（nN *） ，当 i=0 时，a i=1；当 1ik 时，a i为 0 或 1记f（n）为上述表示中 ai为 1 的个数，例如：1=12 0，4=12 2+021+020，故 f（1）=1，f（4）=1，则f（20）= 2 【答案】2【解析】：根据题意知，20=12 4+023+122+021+020，f（20）=2，故答案
6、为：214. （2018闵行区一模）已知是纯虚数（i 是虚数单位） ，则= 【答案】【解析】：是纯虚数，得 sin 且 cos ， 为第二象限角，则cos =sincos +cossin =故答案为： 15. 布兰克先生有一位夫人和一个女儿，女儿有一位丈夫和一个儿子，阅读以下信息：五人中有一人是医生，而在其余四人中有一人是这位医生的病人；医生的孩子和病人父母亲中年龄较大的那一位性别相同；医生的孩子既不是病人，也不是病人父母亲中年龄较大的那一位根据以上信息，谁是医生？ （填写代号：A 布兰克先生，B 夫人，C 女儿，D 女婿，E 外孙）【答案】D【解析】：根据题意得，布兰克 先生不是医生，由医生
7、的孩子和病人 父母亲中年龄较大的那一位性别相同知女婿是医生，女儿是病人16. 已知数列其中第一项是 ，接下来的两项是 ，再接下来的三项是，依此类推，则a97+a98+a99+a100= 【答案】【解析】：根据题意知，第一项是 ，接下来的两项是 ，再接下来的三项是，依此类推，1+2+3+i= ，i=13 时， =91，a 97+a98+a99+a100= + + + = 故答案为：三解答题17. 已知 i 是虚数单位，a，bR，z 1=a1+（3a）i，z 2=b+（2b1）i，z 1=z2（1）求 a，b 的值；（2）若 z=m2+（1m）i，mR，求证：|z+a+bi| 解析：（1）解：由
8、z1=a1+（3a）i，z 2=b+（2b1）i，由 z1=z2，得 ，解得 ，a=2，b=1；4 分（2）证明：z=m2+（1m）i，mR，|z+a+bi|=|m2+（1m）i+2+i|= 当且仅当 m=1 时上式取等号，|z+a+bi| 10 分18. （2018洛阳期中）将正整数作如下分组：（1） ， （2，3） ， （4，5，6） ， （7，8，9，10） ，（11，12，13，14，15 ） ， （16，17，18，19，20，21） ，设第 1 组，第 2 组，第 3 组，第 4 组，第 5 组，第 6 组，第 n 组包含的正整数的和分别为 S1，S 2，S 3，S 4，S 5，S
9、 6，S n（1）计算 S1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6，S 7，并求 Sn；（2）计算 S1+S3，S 1+S3+S5，S 1+S3+S5+S7的值，试猜测 S1+S3+S5+S2n1 的结果【分析】 （1）求得 S1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6，S 7，结合已知条件说明各组数值关系然后求 Sn；（2）计算 S1+S3，S 1+S3+S5，S 1+S3+S5+S7的值猜想（nN *）即可（2）S 1+S3=1+15=16=24， S1+S3+S5=1+15+65=81=34，S1+S3+S5+S7=81+175=256=44，猜测 S1+S3+S5+S2n1 =n4，
10、12 分19. 请阅读下列不等式的证法:已知，求证:证明：构造函数,则因为对一切 Rx，恒有 fx0，所以0，从而得请回答下面的问题：（）若，请写出上述结论的推广式；（）参考上述证法，请证明你的推广式【解析】：（）推广形式：若，则 5 分（）证明：构造函数 7 分则因为对一切 xR，恒有 fx0，所以0， 从而得 12 分20. 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，PA=AD，E，F 分别为 PD，BC 的中点（1）求证：AEPC；（2）G 为线段 PD 上一点，若 FG平面 AEC，求 的值【分析】 （1）证明：AE平面 PCD，即可证明 AEPC
11、；（2）取 AP 中点 M，连接 MF，MG，ME，利用平面 MFG平面 AEC，又平面 MFG平面 PAD=MG，平面 AEC平面 PAD=AE，MGAE，即可求 的值【解析】 （1）证明：AP平面 ABCD，APCD，在矩形 ABCD 中，CDAD，又 APAD=A，CD平面 PAD，AE平面 PAD，CDAE，在PAD 中，E 为 PD 中点，PA=AD，AEPD，又 CDPD=D，CD，PD平面 PCD，AE平面 PCD，PC平面 PCD，AEPC6 分（2）解：取 AP 中点 M，连接 MF，MG，ME在PAD 中，M，E 分别为 PA，PD 的中点则 ME 为PAD 的中位线，又，
12、MEFC，ME=FC，四边形 MECF 为平行四边形，MFEC，又 MF平面 AEC，EC平面 AEC，MF平面 AEC，又 FG平面 AEC，MFFG=F，MF，FG平面 MFG，平面 MFG平面 AEC，又平面 MFG平面 PAD=MG，平面 AEC平面 PAD=AE，MGAE，又M 为 AP 中点，G 为 PE 中点，又 E 为 PD 中点， ，即 12 分21. 某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，且将全班 25 人的成绩记为 AI（I=1，2，25）由右边的程序运行后，输出 n=10据此解答如下问题：（）求茎叶图中破损处分数
13、在50，60） ，70，80） ，80，90）各区间段的频数；（）利用频率分布直方图估计该班的数学测试成绩的众数，中位数分别是多少？【解析】 （）由直方图知：在50，60）之间的频率为 0.00810=0.08，在50，60）之间的 频数为 2；由程序框图知：在70，80）之间的频数为 10所以分数在80，90）之间的频数为 2527102=4；6 分（）分数在50，60）之间的频率为 2/25=0.08；分数在60，70）之间的频率为 7/25=0.28；分数在70，80）之间 的频率为 10/25=0.40；分数在80，90）之间的频率为 4/25=0.16；分数在90，100之间的频率为
14、 2/25=0.08；估计该班的测试成绩的众数 75设中位数为 x，则 0.08+0.28+0.04（x70）=0.5，解得 x=73.512 分22. （2018 福州期中）在学习数学 的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题（1）已知动点 P 为圆 O：x 2+y2=r2外一点，过 P 引圆 O 的两条切线 PA、PB，A、B 为切点，若 =0，求动点 P 的轨迹方程；（2）若动点 Q 为椭圆 M： =1 外一点，过 Q引椭圆 M 的两条切线 QC、QD，C、D 为切点，若=0，求出动点 Q 的轨迹方程；（3）在（2）问中若椭圆方程为 =1（ab0） ，其余条件都不变，那么动点 Q 的
15、轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程） 【分析】 （1）由切线的性质及 可知，四边形 OAPB 为正方形，所以点 P 在以 O 为圆心，|OP|长为半径的圆上，进而可得动点 P 的轨迹方程；（2）设两切线为 l1，l 2，分当 l1与 x 轴不垂直且不平行时，和当 l1与 x 轴垂直或平行时两种情况，结合=0，可得动点 Q 的轨迹方程；（3）类比（2）的求解过程，可得动点 Q 的轨迹方程【解析】 （1）由切线的性质及 可知，四边形 OAPB 为正方形，所以点 P 在以 O 为圆心，|OP|长为半径的圆上，且，进而动点 P 的轨迹方程为 x2+y2=2r2（3 分）（2）设两切线为 l1，l 2， 当 l1与 x 轴不垂直且不平行时，设点 Q 的坐标为 Q（x 0，y 0）则 x03，设 l1的斜率为 k，则 k0，l 2的斜率为 ，l1的方程为 yy 0=k（xx 0） ，联立 ，得，（5 分）因为直线与椭圆相切，所以=0，得，化简，进而 ，所以（7 分）所以 k 是方程的一个根，同理 是方程的另一个根，k（ ）= ，得 ，其中 x03，（9 分）
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