1、专题 06 平面向量【训练目标】1、 理解向量的概念及相关的特殊向量的概念；2、 掌握向量的线性运算（加法，减法，数乘） ；3、 掌握向量的共线和垂直的充要条件（几何表示，坐标表示） ，并能熟练的使用向量的共线定理。4、 掌握向量的坐标运算，特别是坐标运算的解题思想；5、 掌握向量的数量积公式及数量积的运算律。【温馨小提示】一般情况下，高考会考一道向量题目，当然还有一些可能会在其它题目中以条件的形式给出，纯向量题目比较简单，本专题涉及题型面广，能帮助大家拿下这 5 分。【名校试题荟萃】1、 （吉林省汪清县第六中学 2019 届高三上学期第二次月考数学（理）试题）已知向量 a， b满足 1，7a
2、b， 3,1，则 a， b的夹角等于（ ）A 3B 6C 23D 56【答案】A2、 （山东省新泰二中 2019 届高三上学期 12 月月考数学（理）试卷）在 ABC中， 2MB，0ANC，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 2CMB可知点 M 是线段 BC 上靠近点 B 的三等分点， 0ANC可知点 N 是线段 AC 的中点，结合图像可知： 。3、 （山东省新泰二中 2019 届高三上学期 12 月月考数学（文）试卷）已知点 O是边长为 1 的等边ABC的中心，则等于（ ）A 19B 19 C 36D 1【答案】D【解析】由于点 O 是边长为 1 的正三角形的中心，则两两的
3、夹角都是 120，且模长均为 3，则；4、 （湖南省浏阳一中、株 洲二中等湘东六校 2019 届高三 12 月联考数学（理）试题）已知向量 )2,1(AB，则 ABC的面积为（ ）A.53B.4 C. 23D.2【答案】D5、 （黑龙江省哈尔滨市第六中学 2019 届高三 12 月月考数学（理）试题）设向量 ar， b满足 |2r，则|2|abr（ ）A 6 B 3 C 26 D 42【答案】D【解析】解法一：将 3ab两边平方，根据数量积的运算性质求出 ab，再代 入计算即可；解法二：可以 ,为边作出平行四边形，由于，则 2是以 ,为边的平行四边形的对角线，再根据勾股定理可求得结果。6、 （
4、辽宁省辽河油田第二高级中学 2019 届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知向量_ 【答案】6【解析】由 ab，则，再根据 25a，利用模长公式可确定 ，进而可确定 ,mn的值。7、（湖南师大附中 2019 届高三月考试卷理）若向量 a 与 b 满足 a，且 1， 2，则向量 a(a b) |a| |b|在 b 方向上的投影为( )A. B C1 D. 312 33【答案】B8、（湖南师大附中 2019 届高三月考试卷文）设 A、 B、 C 为圆 O 上三点，且 AB3， AC5，则( )A8 B1 C1 D8【答案】D【解析】取 BC 的中点 D，连接 AD， OD，因为 O 为三角形 A
5、BC 外接圆的圆心，则 ()，0.所12以() ()() (|2| 2)8，选 D.12 129、 （云南省昆明市黄冈实验学校 2019 届高三上学期第三次月考数学（文）试题）如图,在 ABC中,13ANC ,P是 BN上的一点,若,则实数 m的值为（ ）A.9 B.31 C.1 D.3【答案】A【解析】由于 B,P,N 三点共线，则，结合可知。10、 （宁夏大学附属中学 2019 届高三上学期第三次月考数学（理）试卷）如图在 ABC 中, BAC=120,AB=1,AC=2,D 为 BC 边上一点, CBD则 AC的取值范围为_.【答案】 2,511、 （ 天津市静海区 2019 届高三上学
6、期三校联考数学（文）试卷）如图，在 ABC中， H为 上异于B， C的任一 点， M为 AH的中点，若，则 【答案】 12【解析】由 M 为 AH 的中点可知即，而 B,H, C 三点共线，则。12、 （山东省桓台第二中学 2019 届高三 12 月月考数学（理）试题）在等腰直角三角形 ABC 中，C=90，2CA，点 P 为三角形 ABC 所在平面上一动点，且满足 BP=1，则的取值范围是（ ）A. ,0 B. ,2 C. -2,2 D.【答 案】13、 （四川省射洪县射洪中学 2019 届高三上学期第三次月考）在 ABC中， 为钝角，且 xR，yR， 1xy，函数的最小值为 32，则 CO
7、ur的最小值为（ ）A. 14 B. C. D.1【答案】B【解 析】设 mCBD，则，则当 32A时，AD 为边 BC 上的高，此时，故 O的最小值即是 AB 边上的高 1。14、 （河北省邯郸市永年区第二中学 2019 届高三 11 月月考数学（理）试题）在 ABC 中，(BC A)| C|2，则 ABC 的形状一定是（ ）A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形【答案】D15、 （江西省南昌市第二中学 2019 届高三上学期第四次月考数学（理）试题）在 ABC中， ，点 P是 ABC所在平面内一点，则当取得最小值时， PABC（ ）A. 24 B. 62 C.
8、92 D. 24【答案】A【解析】由可知 ACB，可以 C 为原点，CA,CB 分别为 x，y 轴建立直角坐标系，则，设点 ,Pxy，则根据两点间的距离公式整理可得， 当且仅当时取得最小值，此时 1,2P，再根据向量的坐标运算及数量积公式可求得 PABC24.16、 （辽宁省沈阳市东北育才学校 2019 届高三上学期第三次模拟数学（理）试题）已知 为等腰三角形，满足， 2BC，若 为底 BC上的动 点，则（ ）A.有最大值 8 B.是定值 C.有最小值 1 D.是定值 4【答案】D【解析】 由于，其中 D 为 BC 的中点，根据勾股定理得 1AD，则（定值） 。17、已知向量 满足，则 的最小
9、值为【答案】 18、已知在 中， 是 的中点，过点 的直线分别交直线 、 于 、 两点，若,，则 的最小值是 .【答案】【解析】由题意得，所以，又 、 、 在同一条直 线上，可得 .所以，当且仅当 时取等号.19、已知两向量 满足所成的角为 ，若向量 与向量 所成的角为钝角，则实数 的取值范围 .【答案】 【解析】设向量 与向量 的夹角为 ，由 为钝角，知 ，故，解得 .若向量与向量 反向，则，从而 ，且 ，解得 ，即当 时，两向量所成的角为 ，所以 的取值范围是.20、已知， ，则向量 在向量 方向上的投影为 【答案】【解析】向量 在向量 方向上的投影为21、已知向量 满足,则的最小值为 .【答案】【解析】设,在平面直角坐标系 中,作出的起点为坐标原点,终点在以原点为圆心的单位圆上,求解目标的几何意义是单位圆上的点到的距离之和,可知其最小值为 两点间的距离 .
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