1、2018 年湖北省恩施州中考数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1 （3 分）8 的倒数是（ ）A 8 B8 C D2 （3 分）下列计算正确的是（ ）Aa 4+a5=a9 B （2a 2b3） 2=4a4b6C 2a（a +3）=2a 2+6a D （2a b） 2=4a2b23 （3 分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D4 （3 分）已知某新型感冒病毒的直径约为 0.000000823 米，将 0.000000823
2、 用科学记数法表示为（ ）A8.23 106 B8.2310 7 C8.23 106 D8.2310 75 （3 分）已知一组数据 1、2、3、x 、5，它们的平均数是 3，则这一组数据的方差为（ ）A1 B2 C3 D46 （3 分）如图所示，直线 ab，1=35，2=90 ，则3 的度数为（ ）A125 B135 C145 D1557 （3 分）64 的立方根为（ ）A8 B8 C4 D 48 （3 分）关于 x 的不等式 的解集为 x3，那么 a 的取值范围为（ ）Aa 3 Ba3 Ca3 Da39 （3 分）由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视图如图所示，则小正
3、方体的个数不可能是（ ）A5 B6 C7 D810 （3 分）一商店在某一时间以每件 120 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 20%，另一件亏损 20%，在这次买卖中，这家商店（ ）A不盈不亏 B盈利 20 元 C亏损 10 元 D亏损 30 元11 （3 分）如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点已知 FG=2，则线段 AE 的长度为（ ）A6 B8 C10 D1212 （3 分）抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，部分图象如图所示，下列判断中：abc0；b 24ac0；
4、9a3b+c=0；若点（0.5，y 1） ， （2， y2）均在抛物线上，则 y1y 2；5a2b+c0其中正确的个数有（ ）A2 B3 C4 D5二、填空题（本大题共有 4 小题，每小题 3 分，共 12 分.不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）13 （3 分）因式分解：8a 32ab2= 14 （3 分）函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 15 （3 分）在 RtABC 中，AB=1 ，A=60，ABC=90，如图所示将 RtABC沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF，则点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积为 （结果不取近似值）16 （3 分）我
5、国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“ 结绳记数” 如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个三、解答题（本大题共有 8 个小题，共 72 分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （8 分）先化简，再求值： （1+ ） ，其中 x=2 118 （8 分）如图，点 B、 F、C、E 在一条直线上，FB=CE，AB ED，ACFD，AD 交 BE 于 O求证：AD 与 BE 互相平分19 （8 分）为了解某校九年级男生 1000 米跑的水平，从中随机抽取
6、部分男生进行测试，并把测试成绩分为 D、C 、B、A 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a= ，b= ，c= ；（2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 度；（3）学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 1000 米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率20 （8 分）如图所示，为测量旗台 A 与图书馆 C 之间的直线距离，小明在 A 处测得 C 在北偏东 30方向上，然后向正东方向前进 100 米至 B 处，测得此时 C在北偏西 15方向上，求旗台与图书馆之间的距离 （结果精
7、确到 1 米，参考数据 1.41， 1.73）21 （8 分）如图，直线 y=2x+4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，与反比例函数 y=的图象有唯一的公共点 C（1）求 k 的值及 C 点坐标；（2）直线 l 与直线 y=2x+4 关于 x 轴对称，且与 y 轴交于点 B，与双曲线 y=交于 D、E 两点，求CDE 的面积22 （10 分）某学校为改善办学条件，计划采购 A、B 两种型号的空调，已知采购 3 台 A 型空调和 2 台 B 型空调，需费用 39000 元；4 台 A 型空调比 5 台 B 型空调的费用多 6000 元（1）求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少元；（2
8、）若学校计划采购 A、B 两种型号空调共 30 台，且 A 型空调的台数不少于B 型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过 217000 元，该校共有哪几种采购方案？（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？23 （10 分）如图，AB 为 O 直径，P 点为半径 OA 上异于 O 点和 A 点的一个点，过 P 点作与直径 AB 垂直的弦 CD，连接 AD，作 BEAB，OEAD 交 BE 于E 点，连接 AE、DE、AE 交 CD 于 F 点（1）求证：DE 为O 切线；（2）若O 的半径为 3， sinADP= ，求 AD；（3）请猜想 PF 与 FD
9、 的数量关系，并加以证明24 （12 分）如图，已知抛物线交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C 点，A 点坐标为（1，0） ，OC=2，OB=3 ，点 D 为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以 B、C、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点 M1、M 2、M 3 使得 M 1BC、M 2BC、M 3BC的面积均为定值 S，求出定值 S 及 M1、M 2、M 3 这三个点的坐标2018 年湖北省恩施州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个
10、选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1 （3 分）8 的倒数是（ ）A 8 B8 C D【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为 1，8（ ）=1 ，即可解答【解答】解：根据倒数的定义得：8（ ）=1，因此8 的倒数是 故选：C【点评】此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数2 （3 分）下列计算正确的是（ ）Aa 4+a5=a9 B （2a 2b3） 2=4a4b6C 2a（a +3）=2a 2+6a D （2a b） 2=4a2b2【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘
11、方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算【解答】解：A、a 4 与 a5 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、 （2a 2b3） 2=4a4b6，故本选项正确；C、 2a（a +3）=2a 26a，故本选项错误；D、 （2a b） 2=4a24ab+b2，故本选项错误；故选：B【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键3 （3 分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误
12、；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确故选：D【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合4 （3 分）已知某新型感冒病毒的直径约为 0.000000823 米，将 0.000000823 用科学记数法表示为（ ）A8.23 106 B8.2310 7 C8.23 106 D8.2310 7【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为
13、a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.000000823=8.23 107故选：B【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中1|a |10 ，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定5 （3 分）已知一组数据 1、2、3、x 、5，它们的平均数是 3，则这一组数据的方差为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】先由平均数是 3 可得 x 的值，再结合方差公式计算【解答】解：数据 1、2、3、x 、5 的平均数是 3， =3，解得：x=4，则数据为 1、2、3
14、、4、5，方差为 （13） 2+（23） 2+（33） 2+（43） 2+（5 3） 2=2，故选：B【点评】本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义6 （3 分）如图所示，直线 ab，1=35，2=90 ，则3 的度数为（ ）A125 B135 C145 D155【分析】如图求出5 即可解决问题【解答】解：a b ，1=4=35，2=90，4+5=90，5=55，3=180 5=125，故选：A【点评】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题7 （3 分）64 的立方根为（ ）A8 B8 C4 D 4【分析】
15、利用立方根定义计算即可得到结果【解答】解：64 的立方根是 4故选：C【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键8 （3 分）关于 x 的不等式 的解集为 x3，那么 a 的取值范围为（ ）Aa 3 Ba3 Ca3 Da3【分析】先解第一个不等式得到 x3，由于不等式组的解集为 x3，则利用同大取大可得到 a 的范围【解答】解：解不等式 2（x1）4，得：x3 ，解不等式 ax0，得：xa ，不等式组的解集为 x 3，a 3 ，故选：D【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等
16、式组的解集解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到9 （3 分）由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视图如图所示，则小正方体的个数不可能是（ ）A5 B6 C7 D8【分析】直接利用左视图以及俯视图进而分析得出答案【解答】解：由左视图可得，第 2 层上至少一个小立方体，第 1 层一共有 5 个小立方体，故小正方体的个数最少为：6 个，故小正方体的个数不可能是 5 个故选：A【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确想象出最少时几何体的形状是解题关键10 （3 分）一商店在某一时间以每件 120 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 20%，另一件亏
17、损 20%，在这次买卖中，这家商店（ ）A不盈不亏 B盈利 20 元 C亏损 10 元 D亏损 30 元【分析】设两件衣服的进价分别为 x、y 元，根据利润=销售收入进价，即可分别得出关于 x、y 的一元一次方程，解之即可得出 x、y 的值，再用 240两件衣服的进价后即可找出结论【解答】解：设两件衣服的进价分别为 x、y 元，根据题意得：120x=20%x，y 120=20%y，解得：x=100，y=150，120+ 120100150=10（元） 故选：C【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键11 （3 分）如图所示，在正方形 ABCD 中，G
18、 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点已知 FG=2，则线段 AE 的长度为（ ）A6 B8 C10 D12【分析】根据正方形的性质可得出 ABCD，进而可得出ABF GDF，根据相似三角形的性质可得出 = =2，结合 FG=2 可求出 AF、AG 的长度，由CGAB、AB=2CG 可得出 CG 为EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出 AE 的长度，此题得解【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，AB=CD，ABCD ，ABF=GDF ，BAF=DGF，ABFGDF ， = =2，AF=2GF=4，AG=6CGAB ，
19、AB=2CG，CG 为EAB 的中位线，AE=2AG=12故选：D【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出 AF 的长度是解题的关键12 （3 分）抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，部分图象如图所示，下列判断中：abc0；b 24ac0；9a3b+c=0；若点（0.5，y 1） ， （2， y2）均在抛物线上，则 y1y 2；5a2b+c0其中正确的个数有（ ）A2 B3 C4 D5【分析】根据二次函数的性质一一判断即可【解答】解：抛物线对称轴 x=1，经过（1，0） ， =1，a+b+c=0，b=2a，c=3a，a
20、 0 ，b0，c 0，abc0，故错误，抛物线与 x 轴有交点，b 24ac0，故正确，抛物线与 x 轴交于（3，0） ，9a3b+c=0，故正确，点（0.5，y 1） ， （2，y 2）均在抛物线上，1.52，则 y1y 2；故错误，5a2b+c=5a4a3a=2a 0，故正确，故选：B【点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型二、填空题（本大题共有 4 小题，每小题 3 分，共 12 分.不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）13 （3 分）因式分解：8a 32ab2= 2a（2a+b） （2a
21、b） 【分析】首先提取公因式 2a，再利用平方差公式分解因式得出答案【解答】解：8a 32ab2=2a（4a 2b2）=2a（2a+b） （2ab ） 故答案为：2a（2a+b ） （2a b） 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键14 （3 分）函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 x 且 x3 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式求解即可【解答】解：根据题意得 2x+10，x 30，解得 x 且 x3故答案为：x 且 x3【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定，根据分母不等于 0，被开方数大于等于 0 列式计算即
22、可，是基础题，比较简单15 （3 分）在 RtABC 中，AB=1 ，A=60，ABC=90，如图所示将 RtABC沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF，则点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积为 （结果不取近似值）【分析】先得到ACB=30，BC= ，利用旋转的性质可得到点 B 路径分部分：第一部分为以直角三角形 30的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150的弧长；第二部分为以直角三角形 60的直角顶点为圆心， 1 为半径，圆心角为120的弧长，然后根据扇形的面积公式计算点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积【解答】解：RtABC 中，A=60，ABC=
23、90，ACB=30 ，BC= ，将 RtABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF ，点 B 路径分部分：第一部分为以直角三角形 30的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150的弧长；第二部分为以直角三角形 60的直角顶点为圆心， 1 为半径，圆心角为 120的弧长；点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积= += 故答案为 【点评】本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应的几何量16 （3 分）我国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“ 结绳记数” 如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记
24、录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 1946 个【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为 2、06、366、2666、1 6666，然后把它们相加即可【解答】解：2+06+366+2666+1 6666=1946，故答案为：1946【点评】本题是以古代“ 结绳计数” 为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力三、解答题（本大题共有 8 个小题，共 72 分.请在答题卷指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （8 分）
25、先化简，再求值： （1+ ） ，其中 x=2 1【分析】直接分解因式，再利用分式的混合运算法则计算得出答案【解答】解： （1+ ）= = ，把 x=2 1 代入得，原式= = = 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键18 （8 分）如图，点 B、 F、C、E 在一条直线上，FB=CE，AB ED，ACFD，AD 交 BE 于 O求证：AD 与 BE 互相平分【分析】连接 BD，AE ，判定ABCDEF（ASA ） ，可得 AB=DE，依据ABDE，即可得出四边形 ABDE 是平行四边形，进而得到 AD 与 BE 互相平分【解答】证明：如图，连接 BD，AE，F
26、B=CE，BC=EF，又ABED，ACFD ，ABC=DEF ，ACB=DFE，在ABC 和DEF 中，ABCDEF（ASA） ，AB=DE，又ABDE，四边形 ABDE 是平行四边形，AD 与 BE 互相平分【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论19 （8 分）为了解某校九年级男生 1000 米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为 D、C 、B、A 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a= 2 ，b= 45 ，c= 20 ；（2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为
27、72 度；（3）学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 1000 米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率【分析】 （1）根据 A 等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以 D 等次百分比可得 a 的值，再用 B、C 等次人数除以总人数可得 b、c 的值；（2）用 360乘以 C 等次百分比可得；（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案【解答】解：（1）本次调查的总人数为 1230%=40 人，a=405%=2，b= 100=45，c= 100=20，故答案为：2、45、20；（2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的
28、度数为 36020%=72，故答案为：72；（3）画树状图，如图所示：共有 12 个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有 2 个，故 P（选中的两名同学恰好是甲、乙）= = 【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握20 （8 分）如图所示，为测量旗台 A 与图书馆 C 之间的直线距离，小明在 A 处测得 C 在北偏东 30方向上，然后向正东方向前进 100 米至 B 处，测得此时 C在北偏西 15方向上，求旗台与图书馆之间的距离 （结果精确到 1 米，参考数据 1.41， 1.73）【分析】先根据题目给出的方向角求出三角形各个内角的度数，过
29、点 B 作BE AC 构造直角三角形利用三角函数求出 AE、 BE，再求和即可【解答】解：由题意知：WAC=30，NBC=15，BAC=60 ，ABC=75，C=45过点 B 作 BEAC ，垂足为 E在 RtAEB 中，BAC=60 ，AB=100 米AE=cosBACAB= 100=50（米）BE=sinBACAB= 100=50 （米）在 RtCEB 中，C=45， BE=50 （米）CE=BE=50 =86.5（米）AC=AE+CE=50+86.5=136.5（米）137 米答：旗台与图书馆之间的距离约为 137 米【点评】本题考查了方向角和解直角三角形题目难度不大，过点 B 作 AC
30、 的垂线构造直角三角形是解决本题的关键21 （8 分）如图，直线 y=2x+4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，与反比例函数 y=的图象有唯一的公共点 C（1）求 k 的值及 C 点坐标；（2）直线 l 与直线 y=2x+4 关于 x 轴对称，且与 y 轴交于点 B，与双曲线 y=交于 D、E 两点，求CDE 的面积【分析】 （1）令2x+4= ，则 2x24x+k=0，依据直线 y=2x+4 与反比例函数 y=的图象有唯一的公共点 C，即可得到 k 的值，进而得出点 C 的坐标；（2）依据 D（3，2） ，可得 CD=2，依据直线 l 与直线 y=2x+4 关于 x 轴对称，即可得到
31、直线 l 为 y=2x4，再根据 =2x4，即可得到 E（1，6） ，进而得出CDE的面积= 2（6+2）=8【解答】解：（1）令2x+4= ，则 2x24x+k=0，直线 y=2x+4 与反比例函数 y= 的图象有唯一的公共点 C，=168k=0，解得 k=2，2x 24x+2=0，解得 x=1，y=2，即 C（ 1，2） ；（2）当 y=2 时，2= ，即 x=3，D（3，2） ，CD=31=2 ，直线 l 与直线 y=2x+4 关于 x 轴对称，A（2，0 ） ， B（0，4） ，直线 l 为 y=2x4，令 =2x4，则 x22x3=0，解得 x1=3，x 2=1，E （ 1，6） ，
32、CDE 的面积= 2（6+2）=8【点评】此题属于反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了解一元二次方程，坐标与图形性质以及三角形面积公式的运用，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点22 （10 分）某学校为改善办学条件，计划采购 A、B 两种型号的空调，已知采购 3 台 A 型空调和 2 台 B 型空调，需费用 39000 元；4 台 A 型空调比 5 台 B 型空调的费用多 6000 元（1）求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少元；（2）若学校计划采购 A、B 两种型号空调共 30 台，且 A 型空调的
33、台数不少于B 型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过 217000 元，该校共有哪几种采购方案？（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？【分析】 （1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；（3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题【解答】解：（1）设 A 型空调和 B 型空调每台各需 x 元、y 元，解得， ，答：A 型空调和 B 型空调每台各需 9000 元、6000 元；（2）设购买 A 型空调 a 台，则购买 B 型空调（30a ）台，解得，10a12 ，a=10、1
34、1、12，共有三种采购方案，方案一：采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台，方案二：采购 A 型空调 11 台，B 型空调 19 台，方案三：采购 A 型空调 12 台，B 型空调 18 台；（3）设总费用为 w 元，w=9000a+6000（30a）=3000a+180000 ，当 a=10 时，w 取得最小值，此时 w=210000，即采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台可使总费用最低，最低费用是 210000元【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答23
35、 （10 分）如图，AB 为 O 直径，P 点为半径 OA 上异于 O 点和 A 点的一个点，过 P 点作与直径 AB 垂直的弦 CD，连接 AD，作 BEAB，OEAD 交 BE 于E 点，连接 AE、DE、AE 交 CD 于 F 点（1）求证：DE 为O 切线；（2）若O 的半径为 3， sinADP= ，求 AD；（3）请猜想 PF 与 FD 的数量关系，并加以证明【分析】 （1）如图 1，连接 OD、BD ，根据圆周角定理得： ADB=90，则ADBD，OEBD ，由垂径定理得： BM=DM，证明BOEDOE ，则ODE=OBE=90，可得结论；（2）设 AP=a，根据三角函数得：AD
36、=3a，由勾股定理得：PD=2 a，在直角OPD 中，根据勾股定理列方程可得： 32=（3a） 2+（2 a） 2，解出 a 的值可得AD 的值；（3）先证明APFABE，得 ，由ADPOEB，得 ，可得PD=2PF，可得结论【解答】证明：（1）如图 1，连接 OD、BD ，BD 交 OE 于 M，AB 是O 的直径，ADB=90 ，AD BD，OEAD，OEBD，BM=DM，OB=OD，BOM=DOM，OE=OE，BOEDOE （SAS） ，ODE=OBE=90，DE 为O 切线；（2）设 AP=a，sin ADP= = ，AD=3a，PD= = =2 a，OP=3a，OD 2=OP2+PD
37、2，3 2=（3a） 2+（2 a） 2，9=96a+a2+8a2，a1= ，a 2=0（舍） ，当 a= 时，AD=3a=2，AD=2 ；（3）PF=FD，理由是：APD=ABE=90，PAD=BAE，APFABE， ，PF= ，OEAD，BOE=PAD，OBE=APD=90，ADPOEB， ，PD= ，AB=2OB，PD=2PF，PF=FD【点评】本题考查了圆的综合问题，熟练掌握切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理，垂径定理等知识点的应用，难度适中，连接 BD 构造直角三角形是解题的关键24 （12 分）如图，已知抛物线交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C 点，A 点坐标为（1，0
38、） ，OC=2，OB=3 ，点 D 为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以 B、C、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标；（3）若抛物线上有且仅有三个点 M1、M 2、M 3 使得 M 1BC、M 2BC、M 3BC的面积均为定值 S，求出定值 S 及 M1、M 2、M 3 这三个点的坐标【分析】 （1）由 OC 与 OB 的长，确定出 B 与 C 的坐标，再由 A 坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式即可；（2）分三种情况讨论：当四边形 CBPD 是平行四边形；当四边形 BCPD 是平行四边形；四边形 BDCP 是平行四边形时，利用平移规律确定出
39、 P 坐标即可；（3）由 B 与 C 坐标确定出直线 BC 解析式，求出与直线 BC 平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确定出交点与直线 BC 解析式，进而确定出另一条与直线 BC 平行且与 BC 距离相等的直线解析式，确定出所求 M 坐标，且求出定值 S的值即可【解答】解：（1）由 OC=2，OB=3，得到 B（3 ，0） ，C（0，2） ，设抛物线解析式为 y=a（x +1） （x3） ，把 C（ 0，2）代入得：2=3a，即 a= ，则抛物线解析式为 y= （x+1） （x 3）= x2+ x+2；（2）抛物线 y= （x+1） （ x3）= x2+ x+2= （x 1） 2+ ，D
40、（1， ） ，当四边形 CBPD 是平行四边形时，由 B（3，0） ，C （0，2） ，得到 P（4， ） ；当四边形 CDBP 是平行四边形时，由 B（3，0） ，C （0，2） ，得到 P（2， ） ；当四边形 BCPD 是平行四边形时，由 B（3，0） ，C （0，2） ，得到 P（2， ） ；（3）设直线 BC 解析式为 y=kx+b，把 B（3，0） ，C （0，2）代入得： ，解得： ，y= x+2，设与直线 BC 平行的解析式为 y= x+b，联立得： ，消去 y 得：2x 26x+3b6=0，当直线与抛物线只有一个公共点时，=368（3b6）=0，解得：b= ，即 y= x+ ，此时交点 M1 坐标为（ ， ） ；可得出两平行线间的距离为 ，同理可得另一条与 BC 平行且平行线间的距离为 的直线方程为 y= x+ ，联立解得：M 2（ ， ） ，M 3（ ， ） ，此时 S=1【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键
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