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    湖北省恩施州2018年中考数学试题含答案解析

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    湖北省恩施州2018年中考数学试题含答案解析

    1、2018 年湖北省恩施州中考数学试卷一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上)1 (3 分)8 的倒数是( )A 8 B8 C D2 (3 分)下列计算正确的是( )Aa 4+a5=a9 B (2a 2b3) 2=4a4b6C 2a(a +3)=2a 2+6a D (2a b) 2=4a2b23 (3 分)在下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A B C D4 (3 分)已知某新型感冒病毒的直径约为 0.000000823 米,将 0.000000823

    2、 用科学记数法表示为( )A8.23 106 B8.2310 7 C8.23 106 D8.2310 75 (3 分)已知一组数据 1、2、3、x 、5,它们的平均数是 3,则这一组数据的方差为( )A1 B2 C3 D46 (3 分)如图所示,直线 ab,1=35,2=90 ,则3 的度数为( )A125 B135 C145 D1557 (3 分)64 的立方根为( )A8 B8 C4 D 48 (3 分)关于 x 的不等式 的解集为 x3,那么 a 的取值范围为( )Aa 3 Ba3 Ca3 Da39 (3 分)由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形,它的左视图和俯视图如图所示,则小正

    3、方体的个数不可能是( )A5 B6 C7 D810 (3 分)一商店在某一时间以每件 120 元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利 20%,另一件亏损 20%,在这次买卖中,这家商店( )A不盈不亏 B盈利 20 元 C亏损 10 元 D亏损 30 元11 (3 分)如图所示,在正方形 ABCD 中,G 为 CD 边中点,连接 AG 并延长交BC 边的延长线于 E 点,对角线 BD 交 AG 于 F 点已知 FG=2,则线段 AE 的长度为( )A6 B8 C10 D1212 (3 分)抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1,部分图象如图所示,下列判断中:abc0;b 24ac0;

    4、9a3b+c=0;若点(0.5,y 1) , (2, y2)均在抛物线上,则 y1y 2;5a2b+c0其中正确的个数有( )A2 B3 C4 D5二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.不要求写出解答过程,请把答案直接填写在答题卷相应位置上)13 (3 分)因式分解:8a 32ab2= 14 (3 分)函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 15 (3 分)在 RtABC 中,AB=1 ,A=60,ABC=90,如图所示将 RtABC沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF,则点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积为 (结果不取近似值)16 (3 分)我

    5、国古代易经一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“ 结绳记数” 如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,用来记录采集到的野果数量,由图可知,她一共采集到的野果数量为 个三、解答题(本大题共有 8 个小题,共 72 分.请在答题卷指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 (8 分)先化简,再求值: (1+ ) ,其中 x=2 118 (8 分)如图,点 B、 F、C、E 在一条直线上,FB=CE,AB ED,ACFD,AD 交 BE 于 O求证:AD 与 BE 互相平分19 (8 分)为了解某校九年级男生 1000 米跑的水平,从中随机抽取

    6、部分男生进行测试,并把测试成绩分为 D、C 、B、A 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图,请你依图解答下列问题:(1)a= ,b= ,c= ;(2)扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 度;(3)学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中,随机选取两名男生参加全市中学生 1000 米跑比赛,请用列表法或画树状图法,求甲、乙两名男生同时被选中的概率20 (8 分)如图所示,为测量旗台 A 与图书馆 C 之间的直线距离,小明在 A 处测得 C 在北偏东 30方向上,然后向正东方向前进 100 米至 B 处,测得此时 C在北偏西 15方向上,求旗台与图书馆之间的距离 (结果精

    7、确到 1 米,参考数据 1.41, 1.73)21 (8 分)如图,直线 y=2x+4 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,与反比例函数 y=的图象有唯一的公共点 C(1)求 k 的值及 C 点坐标;(2)直线 l 与直线 y=2x+4 关于 x 轴对称,且与 y 轴交于点 B,与双曲线 y=交于 D、E 两点,求CDE 的面积22 (10 分)某学校为改善办学条件,计划采购 A、B 两种型号的空调,已知采购 3 台 A 型空调和 2 台 B 型空调,需费用 39000 元;4 台 A 型空调比 5 台 B 型空调的费用多 6000 元(1)求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少元;(2

    8、)若学校计划采购 A、B 两种型号空调共 30 台,且 A 型空调的台数不少于B 型空调的一半,两种型号空调的采购总费用不超过 217000 元,该校共有哪几种采购方案?(3)在(2)的条件下,采用哪一种采购方案可使总费用最低,最低费用是多少元?23 (10 分)如图,AB 为 O 直径,P 点为半径 OA 上异于 O 点和 A 点的一个点,过 P 点作与直径 AB 垂直的弦 CD,连接 AD,作 BEAB,OEAD 交 BE 于E 点,连接 AE、DE、AE 交 CD 于 F 点(1)求证:DE 为O 切线;(2)若O 的半径为 3, sinADP= ,求 AD;(3)请猜想 PF 与 FD

    9、 的数量关系,并加以证明24 (12 分)如图,已知抛物线交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于 C 点,A 点坐标为(1,0) ,OC=2,OB=3 ,点 D 为抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式;(2)P 为坐标平面内一点,以 B、C、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形,求P 点坐标;(3)若抛物线上有且仅有三个点 M1、M 2、M 3 使得 M 1BC、M 2BC、M 3BC的面积均为定值 S,求出定值 S 及 M1、M 2、M 3 这三个点的坐标2018 年湖北省恩施州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个

    10、选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上)1 (3 分)8 的倒数是( )A 8 B8 C D【分析】根据倒数的定义,互为倒数的两数乘积为 1,8( )=1 ,即可解答【解答】解:根据倒数的定义得:8( )=1,因此8 的倒数是 故选:C【点评】此题主要考查倒数的概念及性质,属于基础题,注意掌握倒数的定义:若两个数的乘积是 1,我们就称这两个数互为倒数2 (3 分)下列计算正确的是( )Aa 4+a5=a9 B (2a 2b3) 2=4a4b6C 2a(a +3)=2a 2+6a D (2a b) 2=4a2b2【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘

    11、方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式进行计算【解答】解:A、a 4 与 a5 不是同类项,不能合并,故本选项错误;B、 (2a 2b3) 2=4a4b6,故本选项正确;C、 2a(a +3)=2a 26a,故本选项错误;D、 (2a b) 2=4a24ab+b2,故本选项错误;故选:B【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方、单项式乘多项式法则以及完全平方公式,熟练掌握运算法则是解题的关键3 (3 分)在下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A B C D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误

    12、;B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;C、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项错误;D、是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确故选:D【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后与原图重合4 (3 分)已知某新型感冒病毒的直径约为 0.000000823 米,将 0.000000823 用科学记数法表示为( )A8.23 106 B8.2310 7 C8.23 106 D8.2310 7【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为

    13、a10n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解:0.000000823=8.23 107故选:B【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为 a10n,其中1|a |10 ,n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定5 (3 分)已知一组数据 1、2、3、x 、5,它们的平均数是 3,则这一组数据的方差为( )A1 B2 C3 D4【分析】先由平均数是 3 可得 x 的值,再结合方差公式计算【解答】解:数据 1、2、3、x 、5 的平均数是 3, =3,解得:x=4,则数据为 1、2、3

    14、、4、5,方差为 (13) 2+(23) 2+(33) 2+(43) 2+(5 3) 2=2,故选:B【点评】本题主要考查算术平均数和方差,解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义6 (3 分)如图所示,直线 ab,1=35,2=90 ,则3 的度数为( )A125 B135 C145 D155【分析】如图求出5 即可解决问题【解答】解:a b ,1=4=35,2=90,4+5=90,5=55,3=180 5=125,故选:A【点评】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理,邻补角的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题7 (3 分)64 的立方根为( )A8 B8 C4 D 4【分析】

    15、利用立方根定义计算即可得到结果【解答】解:64 的立方根是 4故选:C【点评】此题考查了立方根,熟练掌握立方根的定义是解本题的关键8 (3 分)关于 x 的不等式 的解集为 x3,那么 a 的取值范围为( )Aa 3 Ba3 Ca3 Da3【分析】先解第一个不等式得到 x3,由于不等式组的解集为 x3,则利用同大取大可得到 a 的范围【解答】解:解不等式 2(x1)4,得:x3 ,解不等式 ax0,得:xa ,不等式组的解集为 x 3,a 3 ,故选:D【点评】本题考查了解一元一次不等式组:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等

    16、式组的解集解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到9 (3 分)由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形,它的左视图和俯视图如图所示,则小正方体的个数不可能是( )A5 B6 C7 D8【分析】直接利用左视图以及俯视图进而分析得出答案【解答】解:由左视图可得,第 2 层上至少一个小立方体,第 1 层一共有 5 个小立方体,故小正方体的个数最少为:6 个,故小正方体的个数不可能是 5 个故选:A【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体,正确想象出最少时几何体的形状是解题关键10 (3 分)一商店在某一时间以每件 120 元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利 20%,另一件亏

    17、损 20%,在这次买卖中,这家商店( )A不盈不亏 B盈利 20 元 C亏损 10 元 D亏损 30 元【分析】设两件衣服的进价分别为 x、y 元,根据利润=销售收入进价,即可分别得出关于 x、y 的一元一次方程,解之即可得出 x、y 的值,再用 240两件衣服的进价后即可找出结论【解答】解:设两件衣服的进价分别为 x、y 元,根据题意得:120x=20%x,y 120=20%y,解得:x=100,y=150,120+ 120100150=10(元) 故选:C【点评】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键11 (3 分)如图所示,在正方形 ABCD 中,G

    18、 为 CD 边中点,连接 AG 并延长交BC 边的延长线于 E 点,对角线 BD 交 AG 于 F 点已知 FG=2,则线段 AE 的长度为( )A6 B8 C10 D12【分析】根据正方形的性质可得出 ABCD,进而可得出ABF GDF,根据相似三角形的性质可得出 = =2,结合 FG=2 可求出 AF、AG 的长度,由CGAB、AB=2CG 可得出 CG 为EAB 的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出 AE 的长度,此题得解【解答】解:四边形 ABCD 为正方形,AB=CD,ABCD ,ABF=GDF ,BAF=DGF,ABFGDF , = =2,AF=2GF=4,AG=6CGAB ,

    19、AB=2CG,CG 为EAB 的中位线,AE=2AG=12故选:D【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线,利用相似三角形的性质求出 AF 的长度是解题的关键12 (3 分)抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1,部分图象如图所示,下列判断中:abc0;b 24ac0;9a3b+c=0;若点(0.5,y 1) , (2, y2)均在抛物线上,则 y1y 2;5a2b+c0其中正确的个数有( )A2 B3 C4 D5【分析】根据二次函数的性质一一判断即可【解答】解:抛物线对称轴 x=1,经过(1,0) , =1,a+b+c=0,b=2a,c=3a,a

    20、 0 ,b0,c 0,abc0,故错误,抛物线与 x 轴有交点,b 24ac0,故正确,抛物线与 x 轴交于(3,0) ,9a3b+c=0,故正确,点(0.5,y 1) , (2,y 2)均在抛物线上,1.52,则 y1y 2;故错误,5a2b+c=5a4a3a=2a 0,故正确,故选:B【点评】本题考查二次函数与系数的关系,二次函数图象上上的点的特征,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型二、填空题(本大题共有 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.不要求写出解答过程,请把答案直接填写在答题卷相应位置上)13 (3 分)因式分解:8a 32ab2= 2a(2a+b) (2a

    21、b) 【分析】首先提取公因式 2a,再利用平方差公式分解因式得出答案【解答】解:8a 32ab2=2a(4a 2b2)=2a(2a+b) (2ab ) 故答案为:2a(2a+b ) (2a b) 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式,正确应用公式是解题关键14 (3 分)函数 y= 的自变量 x 的取值范围是 x 且 x3 【分析】根据被开方数大于等于 0,分母不等于 0 列式求解即可【解答】解:根据题意得 2x+10,x 30,解得 x 且 x3故答案为:x 且 x3【点评】本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定,根据分母不等于 0,被开方数大于等于 0 列式计算即

    22、可,是基础题,比较简单15 (3 分)在 RtABC 中,AB=1 ,A=60,ABC=90,如图所示将 RtABC沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF,则点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积为 (结果不取近似值)【分析】先得到ACB=30,BC= ,利用旋转的性质可得到点 B 路径分部分:第一部分为以直角三角形 30的直角顶点为圆心, 为半径,圆心角为 150的弧长;第二部分为以直角三角形 60的直角顶点为圆心, 1 为半径,圆心角为120的弧长,然后根据扇形的面积公式计算点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积【解答】解:RtABC 中,A=60,ABC=

    23、90,ACB=30 ,BC= ,将 RtABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 RtDEF ,点 B 路径分部分:第一部分为以直角三角形 30的直角顶点为圆心, 为半径,圆心角为 150的弧长;第二部分为以直角三角形 60的直角顶点为圆心, 1 为半径,圆心角为 120的弧长;点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积= += 故答案为 【点评】本题考查了轨迹:利用特殊几何图形描述点运动的轨迹,然后利用几何性质计算相应的几何量16 (3 分)我国古代易经一书中记载,远古时期,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“ 结绳记数” 如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,用来记

    24、录采集到的野果数量,由图可知,她一共采集到的野果数量为 1946 个【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,所以从右到左的数分别为 2、06、366、2666、1 6666,然后把它们相加即可【解答】解:2+06+366+2666+1 6666=1946,故答案为:1946【点评】本题是以古代“ 结绳计数” 为背景,按满六进一计数,运用了类比的方法,根据图中的数学列式计算;本题题型新颖,一方面让学生了解了古代的数学知识,另一方面也考查了学生的思维能力三、解答题(本大题共有 8 个小题,共 72 分.请在答题卷指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 (8 分)

    25、先化简,再求值: (1+ ) ,其中 x=2 1【分析】直接分解因式,再利用分式的混合运算法则计算得出答案【解答】解: (1+ )= = ,把 x=2 1 代入得,原式= = = 【点评】此题主要考查了分式的化简求值,正确进行分式的混合运算是解题关键18 (8 分)如图,点 B、 F、C、E 在一条直线上,FB=CE,AB ED,ACFD,AD 交 BE 于 O求证:AD 与 BE 互相平分【分析】连接 BD,AE ,判定ABCDEF(ASA ) ,可得 AB=DE,依据ABDE,即可得出四边形 ABDE 是平行四边形,进而得到 AD 与 BE 互相平分【解答】证明:如图,连接 BD,AE,F

    26、B=CE,BC=EF,又ABED,ACFD ,ABC=DEF ,ACB=DFE,在ABC 和DEF 中,ABCDEF(ASA) ,AB=DE,又ABDE,四边形 ABDE 是平行四边形,AD 与 BE 互相平分【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质,解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论19 (8 分)为了解某校九年级男生 1000 米跑的水平,从中随机抽取部分男生进行测试,并把测试成绩分为 D、C 、B、A 四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图,请你依图解答下列问题:(1)a= 2 ,b= 45 ,c= 20 ;(2)扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为

    27、72 度;(3)学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中,随机选取两名男生参加全市中学生 1000 米跑比赛,请用列表法或画树状图法,求甲、乙两名男生同时被选中的概率【分析】 (1)根据 A 等次人数及其百分比求得总人数,总人数乘以 D 等次百分比可得 a 的值,再用 B、C 等次人数除以总人数可得 b、c 的值;(2)用 360乘以 C 等次百分比可得;(3)画出树状图,由概率公式即可得出答案【解答】解:(1)本次调查的总人数为 1230%=40 人,a=405%=2,b= 100=45,c= 100=20,故答案为:2、45、20;(2)扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的

    28、度数为 36020%=72,故答案为:72;(3)画树状图,如图所示:共有 12 个可能的结果,选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有 2 个,故 P(选中的两名同学恰好是甲、乙)= = 【点评】此题主要考查了列表法与树状图法,以及扇形统计图、条形统计图的应用,要熟练掌握20 (8 分)如图所示,为测量旗台 A 与图书馆 C 之间的直线距离,小明在 A 处测得 C 在北偏东 30方向上,然后向正东方向前进 100 米至 B 处,测得此时 C在北偏西 15方向上,求旗台与图书馆之间的距离 (结果精确到 1 米,参考数据 1.41, 1.73)【分析】先根据题目给出的方向角求出三角形各个内角的度数,过

    29、点 B 作BE AC 构造直角三角形利用三角函数求出 AE、 BE,再求和即可【解答】解:由题意知:WAC=30,NBC=15,BAC=60 ,ABC=75,C=45过点 B 作 BEAC ,垂足为 E在 RtAEB 中,BAC=60 ,AB=100 米AE=cosBACAB= 100=50(米)BE=sinBACAB= 100=50 (米)在 RtCEB 中,C=45, BE=50 (米)CE=BE=50 =86.5(米)AC=AE+CE=50+86.5=136.5(米)137 米答:旗台与图书馆之间的距离约为 137 米【点评】本题考查了方向角和解直角三角形题目难度不大,过点 B 作 AC

    30、 的垂线构造直角三角形是解决本题的关键21 (8 分)如图,直线 y=2x+4 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,与反比例函数 y=的图象有唯一的公共点 C(1)求 k 的值及 C 点坐标;(2)直线 l 与直线 y=2x+4 关于 x 轴对称,且与 y 轴交于点 B,与双曲线 y=交于 D、E 两点,求CDE 的面积【分析】 (1)令2x+4= ,则 2x24x+k=0,依据直线 y=2x+4 与反比例函数 y=的图象有唯一的公共点 C,即可得到 k 的值,进而得出点 C 的坐标;(2)依据 D(3,2) ,可得 CD=2,依据直线 l 与直线 y=2x+4 关于 x 轴对称,即可得到

    31、直线 l 为 y=2x4,再根据 =2x4,即可得到 E(1,6) ,进而得出CDE的面积= 2(6+2)=8【解答】解:(1)令2x+4= ,则 2x24x+k=0,直线 y=2x+4 与反比例函数 y= 的图象有唯一的公共点 C,=168k=0,解得 k=2,2x 24x+2=0,解得 x=1,y=2,即 C( 1,2) ;(2)当 y=2 时,2= ,即 x=3,D(3,2) ,CD=31=2 ,直线 l 与直线 y=2x+4 关于 x 轴对称,A(2,0 ) , B(0,4) ,直线 l 为 y=2x4,令 =2x4,则 x22x3=0,解得 x1=3,x 2=1,E ( 1,6) ,

    32、CDE 的面积= 2(6+2)=8【点评】此题属于反比例函数与一次函数的交点问题,主要考查了解一元二次方程,坐标与图形性质以及三角形面积公式的运用,求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点22 (10 分)某学校为改善办学条件,计划采购 A、B 两种型号的空调,已知采购 3 台 A 型空调和 2 台 B 型空调,需费用 39000 元;4 台 A 型空调比 5 台 B 型空调的费用多 6000 元(1)求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少元;(2)若学校计划采购 A、B 两种型号空调共 30 台,且 A 型空调的

    33、台数不少于B 型空调的一半,两种型号空调的采购总费用不超过 217000 元,该校共有哪几种采购方案?(3)在(2)的条件下,采用哪一种采购方案可使总费用最低,最低费用是多少元?【分析】 (1)根据题意可以列出相应的方程组,从而可以解答本题;(2)根据题意可以列出相应的不等式组,从而可以求得有几种采购方案;(3)根据题意和(2)中的结果,可以解答本题【解答】解:(1)设 A 型空调和 B 型空调每台各需 x 元、y 元,解得, ,答:A 型空调和 B 型空调每台各需 9000 元、6000 元;(2)设购买 A 型空调 a 台,则购买 B 型空调(30a )台,解得,10a12 ,a=10、1

    34、1、12,共有三种采购方案,方案一:采购 A 型空调 10 台,B 型空调 20 台,方案二:采购 A 型空调 11 台,B 型空调 19 台,方案三:采购 A 型空调 12 台,B 型空调 18 台;(3)设总费用为 w 元,w=9000a+6000(30a)=3000a+180000 ,当 a=10 时,w 取得最小值,此时 w=210000,即采购 A 型空调 10 台,B 型空调 20 台可使总费用最低,最低费用是 210000元【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用函数和不等式的思想解答23

    35、 (10 分)如图,AB 为 O 直径,P 点为半径 OA 上异于 O 点和 A 点的一个点,过 P 点作与直径 AB 垂直的弦 CD,连接 AD,作 BEAB,OEAD 交 BE 于E 点,连接 AE、DE、AE 交 CD 于 F 点(1)求证:DE 为O 切线;(2)若O 的半径为 3, sinADP= ,求 AD;(3)请猜想 PF 与 FD 的数量关系,并加以证明【分析】 (1)如图 1,连接 OD、BD ,根据圆周角定理得: ADB=90,则ADBD,OEBD ,由垂径定理得: BM=DM,证明BOEDOE ,则ODE=OBE=90,可得结论;(2)设 AP=a,根据三角函数得:AD

    36、=3a,由勾股定理得:PD=2 a,在直角OPD 中,根据勾股定理列方程可得: 32=(3a) 2+(2 a) 2,解出 a 的值可得AD 的值;(3)先证明APFABE,得 ,由ADPOEB,得 ,可得PD=2PF,可得结论【解答】证明:(1)如图 1,连接 OD、BD ,BD 交 OE 于 M,AB 是O 的直径,ADB=90 ,AD BD,OEAD,OEBD,BM=DM,OB=OD,BOM=DOM,OE=OE,BOEDOE (SAS) ,ODE=OBE=90,DE 为O 切线;(2)设 AP=a,sin ADP= = ,AD=3a,PD= = =2 a,OP=3a,OD 2=OP2+PD

    37、2,3 2=(3a) 2+(2 a) 2,9=96a+a2+8a2,a1= ,a 2=0(舍) ,当 a= 时,AD=3a=2,AD=2 ;(3)PF=FD,理由是:APD=ABE=90,PAD=BAE,APFABE, ,PF= ,OEAD,BOE=PAD,OBE=APD=90,ADPOEB, ,PD= ,AB=2OB,PD=2PF,PF=FD【点评】本题考查了圆的综合问题,熟练掌握切线的判定,锐角三角函数,圆周角定理,垂径定理等知识点的应用,难度适中,连接 BD 构造直角三角形是解题的关键24 (12 分)如图,已知抛物线交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于 C 点,A 点坐标为(1,0

    38、) ,OC=2,OB=3 ,点 D 为抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式;(2)P 为坐标平面内一点,以 B、C、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形,求P 点坐标;(3)若抛物线上有且仅有三个点 M1、M 2、M 3 使得 M 1BC、M 2BC、M 3BC的面积均为定值 S,求出定值 S 及 M1、M 2、M 3 这三个点的坐标【分析】 (1)由 OC 与 OB 的长,确定出 B 与 C 的坐标,再由 A 坐标,利用待定系数法确定出抛物线解析式即可;(2)分三种情况讨论:当四边形 CBPD 是平行四边形;当四边形 BCPD 是平行四边形;四边形 BDCP 是平行四边形时,利用平移规律确定出

    39、 P 坐标即可;(3)由 B 与 C 坐标确定出直线 BC 解析式,求出与直线 BC 平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标,确定出交点与直线 BC 解析式,进而确定出另一条与直线 BC 平行且与 BC 距离相等的直线解析式,确定出所求 M 坐标,且求出定值 S的值即可【解答】解:(1)由 OC=2,OB=3,得到 B(3 ,0) ,C(0,2) ,设抛物线解析式为 y=a(x +1) (x3) ,把 C( 0,2)代入得:2=3a,即 a= ,则抛物线解析式为 y= (x+1) (x 3)= x2+ x+2;(2)抛物线 y= (x+1) ( x3)= x2+ x+2= (x 1) 2+ ,D

    40、(1, ) ,当四边形 CBPD 是平行四边形时,由 B(3,0) ,C (0,2) ,得到 P(4, ) ;当四边形 CDBP 是平行四边形时,由 B(3,0) ,C (0,2) ,得到 P(2, ) ;当四边形 BCPD 是平行四边形时,由 B(3,0) ,C (0,2) ,得到 P(2, ) ;(3)设直线 BC 解析式为 y=kx+b,把 B(3,0) ,C (0,2)代入得: ,解得: ,y= x+2,设与直线 BC 平行的解析式为 y= x+b,联立得: ,消去 y 得:2x 26x+3b6=0,当直线与抛物线只有一个公共点时,=368(3b6)=0,解得:b= ,即 y= x+ ,此时交点 M1 坐标为( , ) ;可得出两平行线间的距离为 ,同理可得另一条与 BC 平行且平行线间的距离为 的直线方程为 y= x+ ,联立解得:M 2( , ) ,M 3( , ) ,此时 S=1【点评】此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法求函数解析式,一次函数的性质,利用了分类讨论的思想,熟练掌握待定系数法是解本题的关键


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