1、专题 13 立体几何中的计算问题【自主热身，归纳总结】1、若正三棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 1，则此三棱锥的体积为 【答案】： 6【解析】：设此正三棱锥的高为 h，则 ，所以 312h， ，故此三棱锥的体积 2、 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB AD3 cm， AA12 cm，则三棱锥 AB1D1D 的体积为_cm 3.【答案】 3 【解析】 VAB1D1D VB1AD1D S ADD1A1B1 ADD1DA1B1 3233.13 13 12 13 123、将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为 27 cm3，则该圆柱的侧面 积为_cm2.【答案】
2、：18 【解析】：设正方形的边长为 x cm，则圆柱的体积为 x2x27 ，解得 x3，所以该圆柱的侧面积为2 3318 (cm2)4、如图，正四棱锥 PABCD 的底面一边 AB 的长为 2 cm，侧面积为 8 cm2，则它的体积为_ cm3.3 3【答案】 4 【解析】：如图，过点 P 作 PO 垂直于底面 ABCD，且垂足为 O，在平面 ABCD 中，过点 O 作直线 AB 的垂线，垂足为 E，连结 PE.由正四棱锥的性质知，PEAB，所以 S 侧 ( 2 PE)48 ，解得 PE2，在 RtPOE 中，PO12 3 3 1，所以正四棱锥的体积为 (2 )214.PE2 EO2 22 3
3、13 35、已知正四棱柱的底面边长为 3 cm，侧面的 对角线长是 3 cm，则这个正四棱柱的体积是_ cm3.5【答案】54 【解析】：设该正四棱柱的侧棱长为 h cm，则(3 )23 2h 2，解得 h6(负值舍去)，从而这个正四棱柱5的体积是 V3 2654( cm3)6、若圆锥的侧面展开图是面积为 3 且圆心角为 的扇形，则此圆锥的体积为_23【答案】 2237、现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的 8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗） 设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为 1S, 2,则 1的值为 【答案】25【解析】设正四棱柱得高为 a，所以底面边长为
4、8a， 根据体积相等，且高相等，所以正四棱锥的高为 3a，则正棱锥侧面的高为 ,所以 .8、以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为_ 【答案】 22【解析】：如图，由题意可得圆柱的侧面积为 S12 rh2 r2.圆锥的母线 l r，故圆锥的h2 r2 2侧面积为 S2 2 rl r2，所以 S2 S1 2.12 2 29、如图，正三棱柱 ABCA1B1C1中， AB4， AA16.若 E， F 分别是棱 BB1， CC1上的点，则三棱锥 AA1EF 的体积是_ 【答案】： 23【解法 1】过 B 点作 E
5、AC，垂足为 E，平面 ABC平面 1AC，且平面 ABC 平面 1AC=AC,所以 平面 1，又因为梯形 1D的面积为 =6，所以.【解法 2】 ,而 =132,所以四棱锥1BACD的体积为 23.【关联 1】 、如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知正六棱柱的底面边长、高都为 4 cm，圆柱的底面积为 9 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为 6 cm 的正三棱柱零件，则该正三3棱柱的底面边长为_ cm(不计损耗)【答案】. 2 由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为 6 4249 460 ，设所1034 3 3求正三棱柱的底面边长为 x cm，则有 x266
6、0 ，解得 x2 ，所以所求边长为 2 cm.34 3 10 10【关联 2】 、在棱长为 2 的正四面体 PABC中， M， N分别为 PA， BC的中点，点 D是线段 PN上一点，且 PDN，则三棱锥 D的体积为 【答案】： 9 思路分析：解决空间几何体的体积计算问题常常有两个途径：一是直接利用体积公式求解，另一种是利用等体积转化的思想进行计算.解题过程：连结 MB， C， N，过点 D作 MNH于 ，因为 BPA， M 为 PA 的中点，所以PA，同理 PA，又因为 ，所以 ，又因为 ，所以 N，又因为 H，所以 PA/，从而 ，故 DH为点 到平面BC的高.在 中， CB， N 为 B
7、C 的中点，则 ， BC的面积，在 M中，因为 DH/， 2PN， 所以，从而三棱锥 DBC的体积 【关联 3】 、如图，在正三棱柱 中，已知 ，点 P在棱 1C上，则三棱锥1PAB的体积为 【答案】 439 【解析】： 因为正三棱柱 中， 1/CA，因为 ， ，所以 ，因为点 P在棱 1上，所以点 到平面 BA1的距离就是点 P到平面 BA1的距离作 ABCD，垂直为点 D，因为正三棱柱 中， 面 C， D面 ，所以 1，而 ， ， ，所以 因为正三棱柱 中， ，所以 23CD， 1AB的面积 ，所以三棱锥 1P的体积 例 2、已知矩形 ABCD 的边 AB4， BC3，若沿对角线 AC 折
8、叠，使平面 DAC平面 BAC，则三棱锥 DABC 的体积为_【答案】. 245【解析】：在平面 DAC 内作 DO AC，垂足为点 O，因为平面 DAC平面 BAC，且平面 DAC平面 BAC AC，所以 DO平面 BAC，因为 AB4， BC3，所以 DO ， S ABC 346，所以三棱锥 DABC 的体积为125 12V 6 .13 125 245【变式 1】 、 已知一个空间几何体的所有棱长均为 1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积 V= cm3【答案】 216【解析】空间几何体为一正方体和一正四棱锥的组合体，显然，正方体的体积为 1，正四棱锥的底面边长为 1，侧棱长
9、为 1，所以，棱锥的高为 2，所以，正四棱锥的体积为 26，即组合体的体积为 216【变式 2】 、已知 ABC 为等腰直角三角形，斜边 BC 上的中线 AD = 2，将 ABC 沿 AD 折成 60的二面角，连结 BC，则三棱锥 C ABD 的体积为 【答案】： 23易错警示 由于二面角平面角的概念在必做部分考查较少形成了复习中的知识盲点在边长为 4 的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形(如图 1 中阴影部分)，【关联 1】 、折叠成底面边长为 的正四棱锥 SEFGH(如图 2)，则正四棱锥 SEFGH 的体积为_2（图 1） （图 2） 【答案】：. 43【解析】：连结 EG，HF
10、，交点为 O，正方形 EFGH 的对角线 EG2，EO1，则点 E 到线段 AB 的距离为1，EB .SO 2，故正四棱锥 SEFGH 的体积为 ( )22 .12 22 5 SE2 OE2 5 113 2 43【关联 2】 、已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为 4，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为 【答案】 23【解析】设底面半径为 r，由题意可得：母线长为 2r.又侧面展开图面积为，所以 2.又截面三角形 ABD 为等边三角形，故 ，又，故 BODA为等角直角三角形.设圆锥底面中心到截面的距离为 d，又 ，所以 .又 , 2OBDSA, r，故 .【
11、关联 3】 、 如图，在圆锥 VO 中， O 为底面圆心，半径 OA OB，且 OA VO1，则 O 到平面 VAB 的距离为_【答案】： 33思路分析 在立体几何求点到平面的距离问题中，往往有两种途径：(1) 利用等体积法，这种方法一般不需要作出高线；(2) 利用面面垂直的性质作出高线，再进行计算解法 1 因为 VO平面 AOB， OA平面 AOB，所以 VO OA，同理 VO OB，又因为 OA OB， OA VO OB1，所以 VA VB AB ，所以 S VAB VAABsin60 .设 O 到平面 VAB 的距离为 h，由 VVAOB VOVAB，得212 32S AOBVO S V
12、ABh，得 OAOBVO h，解得 h .13 13 12 32 33解法 2 取 AB 中点 M，连结 VM，过点 O 作 OH VM 于 H.因为 OA OB， M 是 AB 中点，所以 OM AB，因为VO平面 AOB， AB平面 AOB，所以 VO AB，又因为 OM AB， VO OM O，所以 AB平面 VOM，又因为 AB平面 VAB，所以面 VAB平面 VOM，又因为 OH VM， OH平面 VOM，平面 VAB平面 VOM VH，所以 OH平面 VAB，所以 OH 为点 O 到平面 VAB 的距离，且 OH .VOOMVM 33例 3、如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中
13、， AB BC， E， F 分别是 A1B， AC1的中点(1) 求证： EF平面 ABC；(2) 求证：平面 AEF平面 AA1B1B；(3) 若 A1A2 AB2 BC2 a，求三棱锥 FABC 的体积)【解析】 (1) 连结 A1C.因为直三棱柱 A1B1C1ABC 中，四边形 AA1C1C 是矩形，所以点 F 在 A1C 上，且为 A1C的中点在 A1BC 中，因为 E， F 分别是 A1B， A1C 的中点，所以 EF BC.(2 分)又因为 BC平面 ABC， EF平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(4 分)(2) 因为在直三棱柱 A1B1C1ABC 中， B1B平面 ABC，
14、所以 B1B BC.因为 EF BC， AB BC，所以 AB EF， B1B EF.(6 分)因为 B1B AB B，所以 EF平面 ABB1A1.(8 分)因为 EF平面 AEF，所以平面 AEF平面 ABB1A1.(10 分)(3) VFABC VA1ABC S ABCAA1(12 分)12 12 13 a22a .(14 分)12 13 12 a36【变式 1】 、如图，在五面体 ABCDEF中，已知 平面 ABCD， /， o60BAD， 2，1DEF（1）求证： /BCEF；（2）求三棱锥 D的体积【解析】 （1）因为 /A， 平面 ADEF， BC平面 ADEF，所以 /BC平面
15、 EF， （3 分）又 平面 ，平面 BC平面 ，所以 / （6 分）（2）如图，在平面 AD内过点 B 作 HA于点 因为 DE平面 ABC， H平面 ABCD，所以 EBH又 AD， E平面 AF，所以 H平面 F，所以 是三棱锥 E的高 （9 分）在直角三角形 AB中， o60， 2AB，所以 3因为 DE平面 C， D平面 C，所以 DEA又由（1）知， /F，且 /，所以 /F，所以 EF， （12 分）所以三棱锥 B的体积 （14 分）易错警示 在证明线线、线面、面面的位置关系时，一定要注意条件的完备性，不能少写条件另外，在求几何体的体积时， 一定要证明某条线为高的原因，即证明它与
16、某个平面垂直，否则将导致丢分【变式 2】 、如图，在矩形 ABCD 中，AD2，AB4，E，F 分别为边 AB，AD 的中点现将ADE 沿 DE折起，得四棱锥 ABCDE.（1）求证：EF平面 ABC；（2）若平面 ADE平面 BCDE，求四面体 FDCE 的体积【解析】 (1) 证法 1 如图 1，取线段 AC 的中点 M，连结 MF，MB.因为 F，M 为 AD，AC 的中点，所以 MFCD，且 MF CD.12图 1在折叠前，四边形 ABCD 为矩形，E 为 AB 的中点，所以 BECD，且 BE CD.12所以 MFBE，且 MFBE.所以四边形 BEFM 为平行四边形，故 EFBM.
17、又 EF平面 ABC，BM平面 ABC，所以 EF平面 ABC.证法 2 如图 2，延长 DE 交 CB 的延长线于点 N，连结 AN.在折叠前，四边形 ABCD 为矩形，E 为 AB 的中点，所以 BECD，且 BE CD.12图 2所以NBENCD，NEBNDC.所以NEBNDC.所以 ，即 E 为 DN 的中点NEND BECD 12又 F 为 AD 的中点，所以 EFNA.又 EF平面 ABC，NA平面 ABC，所以 EF平面 ABC.证法 3 如图 3，取 CD 的中点 O，连结 OE，OF.图 3(2) 解法 1 在折叠前，四边形 ABCD 为矩形，AD2，AB4，E 为 AB 的
18、中点，所以A DE，CBE 都是等腰直角三角形，且 ADAEEBBC2.所以DEACEB45，且 DEEC2 .2又DEADECCEB180，所以DEC90，即 DECE.又平面 ADE平面 BCDE，平面 ADE平面 BCDEDE，CE平面 BCDE，所以 CE平面 ADE，即 CE 为三棱锥CEFD 的高因为 F 为 AD 的中点，所以SEFD ADAE 221.12 12 14所以四面体 FDCE 的体积V SEFD CE 12 .13 13 2 2 23解法 2 如图 4，过 F 作 FHDE，H 为垂足图 4因为平面 ADE平面 BCDE，平面 ADE平面 BCDEDE，FH平面 A
19、DE，所以 FH平面 BCDE，即 FH 为三棱锥 FECD 的高在折叠前，四边形 ABCD 为矩形，且 AD2，AB4，E 为 AB 的中点，所以ADE 是等腰直角三角形又 F 为 AD 的中点，所以 DF1.所以 FHDFsin4 5 .22又 SEDC CDBC 424，12 12所以四面体 FDCE 的体积V SEDC FH 4 .13 13 22 2 23解法 3 如图 5，过 A 作 AGDE，G 为垂足图 5因为平面 ADE平面 BCDE，平面 ADE平面 BCDEDE，AG平面 ADE，所以 AG平面 BCDE，即 AG 为三棱锥 AECD 的高 在折叠前，四边形 ABCD 为
20、矩形，且 AD2，AB4，E 为 AB 的中点，所以ADE 是等腰直角三角形所以 AGADsin45 .2又 SEDC DCBC 424，12 12所以三棱锥 AECD 的体积VAECD SEDC AG 4 .13 13 2 4 23因为 F 为 AD 的中点，所以 SEFD SEAD .12所以 VCEFD VCEAD VAECD .12 12 2 23即四面体 FDCE 的体积为 .2 23【关联】 、如图，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，ADC120，AA 1AB1，点 O1，O 分别是上、下底面菱形的对角线的交点（1）求证：A 1O平面 CB1D1；（2）
21、求点 O 到平面 CB1D1的距离【解析】 (1) 因为 AA1C C 1且 AA1C C 1，所以四边形 A1ACC1是平行四边形，所以 ACA 1C1且 ACA 1C1.因为 O1，O 分别是 A1C1，AC 的中点，故 O CA 1O1且 O CA 1O1.所以四边形 A1O1C O 为平行四边形，所以 A1OO 1C.又 A1O平面 CB1D1，O 1C平面 CB1D1，所以 A1O平面 CB1D1.（2）解法 1 等体积法设点 O 到平面 CB1D1的距离为 h.因为 D1D平面 ABCD，所以 D1DC O.因为 AC，BD 为菱形 ABCD 的对角线，所以 C OBD.因为 D1
22、DBDD，所以 C O平面 BB1D1D.在菱形 ABCD 中，BC1，BCD60，C O .32解法 2 作垂线因为 AA1平面 A1B1C1D1，所以 AA1B 1D1.因为 A1C1， B1D1为菱形 A1B1C1D1的对角线，所以 B1D1A 1C1.因为 AA1A 1C1A 1，所以 B1D1平面 AA1C1C.因为 B1D1平面 CB1D1，所以平面 CB1D1平面 AA1C1C.在平面 AA1C1C 内，作 OHC O 1，H 为垂足，而平面 CB1D1平面 AA1C1CCO 1，所以 OH平面 CB1D1，即线段 OH 的长为点 O 到平面 CB1D1的距离在矩形 AA1C1C 中，O CHC O1C1，sinCO 1C1 ，C C1C O1 172 27sinOCH ，所以 ，故 OH .OHO C OH32 2OH3 27 2OH3 217因此，点 O 到平面 CB1D1的距离为 .217
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