1、专题 17 圆锥曲线的综合应用【自主热身，归纳总结】1、已知双曲线 y 21 的左焦点与抛物线 y212x 的焦点重合，则双曲线的右准线方程为_x2a2【答案】：x83【解析】： 因为抛物线的焦点为(3，0)，即为双曲线的左焦点，所 以 a2918，所以双曲线的右准线方程为 x .832、若双曲线 x2my 21 过点( ，2)，则该双曲线的虚轴长为_2【答案】 4 【解析】：将点( ，2)代入可得 24 m1，即 m ，故双曲线的标准方程为 1，即虚轴长214 x21 y24为 4.本题易错在两个地方：一是忘记了虚轴的概念；二是没有把双曲线方程化成标准式双曲线的易 错 警 示实轴长为 2a，
2、虚轴长为 2b，需要记住双曲线的几何性质的研究都需要借助于标准方程才能进行，所以拿到双曲线方程要先化为标准式3、在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为 2，则该双曲线的离心率为 【答案】23【解析】焦点在 x轴，不妨取焦点坐标为 (,0)c，渐近线方程为 byxa，即0y，所以焦点到渐近线距离为,则所以离线率为423.【解题反思】双曲线的焦点到渐近线的距离为短半轴长 b，这一点要熟记.4、 在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F，双曲线 1( a0， b0)的两条渐近x2a2 y2b2线分别与抛物线交于 A， B两点( A， B异于坐标原点
3、 O)若直线 AB恰好过点 F，则双曲线的渐近线方程是_【答案】： y2 x OMNF2F1yx【解析】：由题意得 A ， B ，双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x，不妨设(p2， p) (p2， p) x2a2 y2b2 ba点 A 在渐近线 y x上，则 p ，所以 2，于是该双曲线的渐近线方程是 y2 x.(p2， p) ba ba p2 ba5、若双曲线 的两条渐近线与抛物线 24yx交于 ,OPQ三点，且直线 P经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为 解法 2 由题意可得 A(2，0)，设 P(a，a2)，则 AP的中点 M ，AP ，故以 AP(a 22， a 22
4、 ) 2（ a 2） 2为直径的圆 M的方程为 .由题意得圆 C与圆 M相切(内切和外切)，故(xa 22 )2 (y a 22 )2 (|a 2|2 )2 ，解得 a 或 a5.故点 P的横坐标的取值集合为 .(a 22 2)2 (a 22 )2 | 2|a 2|2 | 13 13， 5在解决与圆相关的综 合问题时，需要充分利用圆的几何性质及一些简单的轨迹方程的知识将问解 后 反 思题转化为直线与圆或圆与圆的问题去处理，另外本题的难点还在于方程的处理【问题探究，变式训练】例 1、如图，椭圆2143xy的左，右焦点分别为 1F， 2， M， N是椭圆右准线上的两个动点，且（1）求 MN的最小值
5、；（2）以 为直径的圆 C是否过定点？请证明你的结论解 （1）设 1(4)y， ， 2()y， 则 5,F， 23,N， ，12y，又 ，当且仅当 15y=时，等号成立， 所以 MN的最小值为 2（2）圆心 C的坐标为12(4)y， ，半径21yr圆 C的方程为 ，整理得： 125y， 令 0，得 ， 所以圆 C过定点 (4150)，【变式 1】 、 如图，已知圆 24xy，直线 :4lx，圆 O与 x轴交 A， B两点， M是圆 O上异于 A， B的任意一点，直线 AM交直线 l于点 P，直线 BM交直线 l于点 Q求证：以 PQ为直径的圆 C过定点，并求出定点坐标解 设 ()Mst， ，则
6、直线 A方程为 ，则6(4)2tPs， 同理： 24Q， 所以以 P为直径的圆的方程是：又 24st，所以 令 0y， 23x所以以 PQ为直径的圆 C过定点为 (4230)，【变式 2】 、在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C： 1(ab0)的离心率为 ，椭圆上动点 P到一个焦x2a2 y2b2 22点的距离的最小值为 3( 1)2(1) 求椭圆 C的标准方程；(2) 已知过点 M(0，1)的动直线 l与椭圆 C交于 A，B 两点，试判断以线段 AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由(2) 当直线 l的斜率不存在时，以 AB为直径的圆的方程为 x2y 29；(7 分)当直线 l的斜率为零时，
7、以 AB为直径的圆的方程为 x2(y1) 216.(8 分)这两圆仅有唯一公共点，也是椭圆的上顶点 D(0，3)猜想以 AB为直径的圆恒过定点 D(0，3)(9 分)证明如下：证法 1(向量法) 设直线 l的方程为 ykx1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)只要证 x 1x2(y 13)DA DB (y23)x 1x2(kx 14)(kx 24)0 即可即要证 (1k 2)x1x24k(x 1x 2)160.(11 分)DA DB 由 消去 y，得(12k 2)x24kx160，16k 264(12k 2)0，此方程总有两个不等实y kx 1，x2 2y2 18， )根 x1，x 2
8、.x1，2 ，所以 x1x 2 ，x 1x2 .(14分)2k29k2 41 2k2 4k1 2k2 161 2k2所以 (1k 2)x1x24k(x 1x 2)16 160.DA DB 16（ 1 k2）1 2k2 16k21 2k2所以 DADB，所以以 AB为直径的圆恒过定点 D(0，3)(16 分)证法 2(斜率法) 若设 DA，DB 的斜率分别为 k1，k 2，只要证 k1k21 即可设直线 l的斜率为 ，则 .yA 1xA由点 A在椭圆 x22y 218 上，得 x 2y 18，变形得 ，即 k1 .2A 2AyA 3xA yA 3xA 12 yA 3xA 12设 yA3m(y A
9、3)n(y A1)，可得 m ，n ，得 k1.12 32 yA 3xA 32 12从而 k1(3k 1)1，即 k 3k 110.21同理 k 3k 210，所以 k1，k 2是关于 k的方程 k23k10 的两实根2由根与系数关系，得 k1k21.所以 DADB，所以以 AB为直径的圆恒过定点 D(0，3)【关联 1】 、如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 E： 1(ab0)的离心率为 ，左焦点x2a2 y2b2 22F(2，0)，直线 l：yt 与椭圆交于 A，B 两点，M 为椭圆 E上异于 A，B 的点(1) 求椭圆 E的方程；(2) 若 M( ，1)，以 AB为直径的圆 P过
10、点 M，求圆 P的标准方程；6(3) 设直线 MA，MB 与 y轴分别相交于点 C，D，证明：OCOD 为定值第(2)问要求圆 P的方程，就是要求得 t的值，为此，由圆 P过点 M，可得 MAMB，可用向量思 路 分 析或斜率关系转化为坐标表示，通过解方程，可得 t的值；第(3)问的本质就是求点 C，D 的纵坐标，由于点C，D 随着点 M的变化而变化，因此以点 M的坐标为参数，通过设出点 M的坐标，进而表示出点 C，D 的纵坐标，通过计算得 OCOD为定值【解析】： (1) 因为 e ，且 c2，所以 a2 ，b2.(2 分)ca 22 2所以椭圆方程为 1.(4 分)x28 y24(2)设
11、A(s，t)，则 B(s，t)，且 s22t 28 .因为以 AB为直径的圆 P过点 M，所以 MAMB，所以 0，(5 分)MA MB 又 (s ，t1)， (s ，t1)，所以 6s 2(t1) 20 .(6 分)MA 6 MB 6由解得 t ，或 t1(舍，因为 M( ，1)，所以 t0)，所以 s2 .(7分)13 6 709又圆 P的圆心为 AB的中点(0，t)，半径为 |s|，(8 分)AB2所以圆 P的标准方程为 x2 .(9分)(y13)2 709(3)设 M(x0，y 0)，则 lMA的方程为 yy 0 (xx 0)，若 k不存在，显然不符合条件t y0s x0令 x0 得
12、yC ；同理 yD ，(11 分) tx0 sy0s x0 tx0 sy0 s x0所以 OCOD|y CyD| | .(13分) tx0 sy0s x0 tx0 sy0 s x0因为 s22t 28，x 2y 8，所以 4 为定值(16 分)20 20【关联 2】 、如图，椭圆 的离心率为 2，焦点到相应准线的距离为 1，点 A，B， C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点 C的直线 l交椭圆于点 D，交 x轴于点 (0)Mx， ，直线 A与直线 D交于点 2()Nxy， （1）求椭圆的标准方程；（2）若 ，求直线 l的方程；（3）求证： 12x为定值 （3）设 D坐标为( x3， y3
13、）,由 (0,1)C， M(x1，0)可得直线 C的方程 1yx， 联立椭圆方程得： 解得 1324x,213y. 12 分由 (2,0)B，得直线 BD的方程： ， 直线 AC方程为 21yx， 联立得 21， 15 分从而 1x=2为定值. 16 分解法 2：设 D坐标为( x3， y3） ，由 C,M,D三点共线得 ，所以 31xy， 10 分由 B,D,N三点共线得 ，将 代入可得， 12 分和相乘得， . 16 分【关联 3】 、已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率为 ，且过点 P(2，1)x2a2 y2b2 32(1) 求椭圆 C的方程； (1) 在 yx3 中，令 x0，得 y3
14、，从而 b3.(2 分) 由 得 1.x2a2 y29 1，y x 3 ) x2a2 （ x 3） 29所以 x0 .(4分) 6a29 a2因为 PB1 |x0|，所以 4 ，解得 a218.2 2 26a29 a2所以椭圆的标准方程为 1.(6 分) x218 y29(2) 证法 1(设点法) 直线 PB1的斜率为 kPB1 ，y0 3x0由 QB1PB 1，所以直线 QB1的斜率为 kQB1 .x0y0 3于是直线 QB1的方程为 y x3.x0y0 3同理，QB 2的方程为 y x3.(8 分) x0y0 3联立两直线方程，消去 y，得 x1 .(10分) 因为 P(x0，y 0)在椭
15、圆 1 上，所以 1，从而 y 9 .所以 x1 .(12分) x218 y29 20 x02所以 2.(14 分) S PB1B2S QB1B2 |x0x1|证法 2(设线法) 设直线 PB1，PB 2的斜率分别为 k，k，则直线 PB1的方程为 ykx3.由 QB1PB 1，直线 QB1的方程为 y x3.1k将 ykx3 代入 1，得(2k 21)x 212kx0.x218 y29因为 P是椭圆上异于点 B1，B 2的点，所以 x00，从而 x0 .(8分) 12k2k2 1因为 P(x0，y 0)在椭圆 1 上，所以 1，从而 y 9 .x218 y29 20所以 kk ，y0 3x0
16、 y0 3x0 12得 k .(10分) 12k由 QB2PB 2，所以直线 QB2的方程为 y2kx3.联立 则 x ，即 x1 .(12分) y 1kx 3，y 2kx 3， ) 6k2k2 1 6k2k2 1所以 2.(14 分) S PB1B2S QB1B2 |x0x1| | 12k2k2 16k2k2 1|本题的第(2)问是圆锥曲线中常见的定值问题，属于难题探索圆锥曲线的定值问题常见方法有解 后 反 思两种：从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值此处采用的是方法.【关联 2】 、如 图，在平面直角坐
17、标系 xOy中，已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，且右焦点x2a2 y2b2 22F到左准线的距离为 6 .2(1) 求椭圆 C的标准方程；(2) 设 A为椭圆 C的左顶点， P为椭圆 C上位于 x轴上方的点，直线 PA交 y轴于点 M，过点 F作 MF的垂线，交 y轴于点 N.当直线 PA的斜率为 时，求 FMN的外接圆的方程；12设直线 AN交椭圆 C于另一点 Q，求 APQ的面积的最大值解答 (1) 由题意，得Error!解得Error!则 b2 ，2所以椭圆 C的标准方程为 1.(4 分)x216 y28(2) 由题可设直线 PA的方程为 yk(x4)，k0，则 M(0,4
18、k)，所以直线 FN的方程为 y (x2 )，224k 2则 N . (0， 2k)当直线 PA的斜率为 ，即 k 时，M(0,2)，N(0，4)，F(2 ，0)12 12 2因为 MFFN，所以圆心为(0，1)，半径为 3，所以FMN 的外接圆的方程为 x2(y1) 29.(8 分)联立Error! 消去 y并整理得，(12k 2)x216k 2x32k 2160，解得 x14 或 x2 ，4 8k21 2k2所以 P ，(10 分)(4 8k21 2k2， 8k1 2k2)直线 AN的方程为 y (x4)，同理可得，Q ，12k (8k2 41 2k2， 8k1 2k2)所以 P，Q 关于
19、原点对称，即 PQ过原点所以 APQ 的面积 S OA(yPy Q)2 8 ，(14 分)12 16k1 2k2 322k 1k 2当且仅当 2k ，即 k 时，取“” 1k 22所以APQ 的面积的最大值为 8 .(16分)2【关联 3】 、如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，点(2,1)x2a2 y2b2 22在椭圆 C上(1) 求椭圆 C的方程；(2) 设直线 l与圆 O： x2 y22 相切，与椭圆 C相交于 P， Q两点. 若直线 l过椭圆 C的右焦点 F，求 OPQ的面积；求证： OP OQ.(2) 解法 1 椭圆 C的右焦点 F( ，0
20、)3设切线方程为 y k(x )，即 kx y k0，3 3所以 ，解得 k ，所以切线方程为 y (x )当 k 时，(4 分)| 3k|k2 1 2 2 2 3 2由方程组Error!解得Error! 或Error!所以点 P， Q的坐标分别为 ， ， ， ，43 325 6 65 43 325 6 65所以 PQ .(6分)665因为 O到直线 PQ的距离为 ，所以 OPQ的面积为 . 2635因为椭圆的对称性，当切线方程为 y (x )时， OPQ的面积也为 .2 3635综上所述， OPQ的面积为 .(8分)635解法 2 椭圆 C的右焦点 F( ，0)3设切线方程为 y k(x )
21、，即 kx y k0，3 3所以 ，解得 k ，所以切线方程为 y (x )当 k 时，(4 分)| 3k|k2 1 2 2 2 3 2把切线方程 y (x )代入椭圆 C的方程，消去 y得 5x28 x60.2 3 3设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则有 x1 x2 .835由椭圆定义可得， PQ PF FQ2 a e(x1 x2)2 .(6分)622 835 665因为 O到直线 PQ的距离为 ，所以 OPQ的面积为 . 2635因为椭圆的对称性，当切线方程为 y (x )时， OPQ的面积为 .2 3635综上所述， OPQ的面积为 .(8分)635解法 1 (i)若直线
22、PQ的斜率不存在，则直线 PQ的方程为 x 或 x .2 2当 x 时， P ( ， )， Q( ， )2 2 2 2 2因为 0，所以 OP OQ.OP OQ 当 x 时，同理可得 OP OQ.(10分)2(ii)若直线 PQ的斜率存在，设直线 PQ的方程为 y kx m，即 kx y m0.因为直线与圆相切，所以 ，即 m22 k22.|m|1 k2 2将直线 PQ方程代入椭圆方程，得(12 k2) x24 kmx2 m260.设 P(x1， y1) ， Q(x2， y2)，则有 x1 x2 ， x1x2 .(12分)4km1 2k2 2m2 61 2k2因为 x1x2 y1y2 x1x2
23、( kx1 m)(kx2 m)(1 k2)x1x2 km(x1 x2) m2(1 k2)OP OQ km m2.2m2 61 2k2 ( 4km1 2k2)将 m22 k22 代入上式可得 0，所以 OP OQ.OP OQ 综上所述， OP OQ.(14分)解法 2 设切点 T(x0， y0)，则其切线方程为 x0x y0y20，且 x y 2.20 20(i)当 y00 时，则直线 PQ的直线方程为 x 或 x .2 2当 x 时， P ( ， )， Q( ， )2 2 2 2 2因为 0，所以 OP OQ.OP OQ 当 x 时，同理可得 OP OQ.(10分)2(ii)当 y00 时，由方程组Error!消去 y得(2 x y )x28 x0x86 y 0.20 20 20设 P(x1， y1) ， Q(x2， y2)，则有 x1 x2 ， x1x2 .(12分)8x02x20 y20 8 6y202x20 y20所以 x1x2 y1y2 x1x2 .OP OQ 2 x0x1 2 x0x2y20 6 x20 y20 122x20 y20因为 x y 2，代入上式可得 0，所以 OP OQ.20 20 OP OQ 综上所述， OP OQ.(14分)用斜截式设直线方程时，不要遗漏斜率不存在的情况！解 后 反 思
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