1、第 3 讲 圆锥曲线的综合问题年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷 直线与椭圆的位置关系T 19卷 直线与抛物线的位置关系、弦长问题T 192018卷直线与椭圆的位置关系、向量的线性运算、证明问题T 20卷椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系T 20卷点的轨迹方程、椭圆与向量的数量积的综合问题T 202017卷直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程T 20卷定值问题、轨迹方程求法、直线与椭圆的位置关系及范围问题T 20卷直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围问题T 202016卷证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关系T 20解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高
2、考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大，多以压轴题出现解答题的热点题型有：(1)直线与圆锥曲线的位置关系(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解(3)轨迹方程及探索性问题的求解.定点问题(综合型)典型例题已知椭圆 1( ab0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次x2a2 y2b2成等差数列直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于 Q， P，与椭圆分别交于点 M， N，各点均不重合且满足 1 ， 2 .PM MQ PN NQ (1)求椭圆的标准方程；(2)若 1 23，试证明：直线 l 过定点并求此定点【解】 (1)设椭圆的焦距为 2
3、c，由题意知 b1，且(2 a)2(2 b)22(2 c)2，又 a2 b2 c2，所以 a23.所以椭圆的方程为 y21.x23(2)由题意设 P(0， m)， Q(x0，0)， M(x1， y1)， N(x2， y2)，直线 l 的方程为 x t(y m)，由 1 ，知( x1， y1 m) 1(x0 x1， y1)，PM MQ 所以 y1 m y1 1，由题意 y10，所以 1 1.my1同理由 2 知 2 1.PN NQ my2因为 1 23，所以 1 13，my1 my2所以 y1y2 m(y1 y2)0，联立 x2 3y2 3，x t（ y m） ， )得( t23) y22 mt
4、2y t2m230，所以由题意知 4 m2t44( t23)( t2m23)0，且有 y1 y2 ， y1y2 ，2mt2t2 3 t2m2 3t2 3代入得 t2m232 m2t20，所以( mt)21，由题意 mt0)的焦点 F(1，0)， O 为坐标原点， A， B 是抛物线 C 上异于O 的两点(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 OA， OB 的斜率之积为 ，求证：直线 AB 过 x 轴上一定点12解：(1)因为抛物线 y22 px(p0)的焦点坐标为(1，0)，所以 1，即 p2.所以抛物p2线 C 的方程为 y24 x.(2)证明：当直线 AB 的斜率不存在时，设 A ， B
5、 .(t24， t) (t24， t)因为直线 OA， OB 的斜率之积为 ，12所以 ，化简得 t232.tt24 tt24 12所以 A(8， t)， B(8， t)，此时直线 AB 的方程为 x8.当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y kx b， A(xA， yA)， B(xB， yB)，联立方程组 y2 4x，y kx b， )消去 x 得 ky24 y4 b0.由根与系数的关系得 yAyB ，4bk因为直线 OA， OB 的斜率之积为 ，12所以 ，即 xAxB2 yAyB0.yAxA yBxB 12即 2 yAyB0，解得 yAyB0(舍去)或 yAyB32.所以 yAyB
6、32，即 b8 k，4bk所以 y kx8 k，即 y k(x8)综合可知，直线 AB 过定点(8，0)定值问题(综合型)典型例题(2018沈阳教学质量监测(一)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 1 上，x29 y24过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 .NP 2NM (1)求点 P 的轨迹 E 的方程；(2)过 F(1，0)的直线 l1与点 P 的轨迹交于 A， B 两点，过 F(1，0)作与 l1垂直的直线l2与点 P 的轨迹交于 C， D 两点，求证： 为定值1|AB| 1|CD|【解】 (1)设 P(x， y)，易知 N(x，0)， (0， y)，NP 又 ，所以
7、M ，NM 12 NP (0， y2) (x， y2)又点 M 在椭圆上，所以 1，即 1.x29 (y2)2 4 x29 y28所以点 P 的轨迹 E 的方程为 1.x29 y28(2)证明：当直线 l1与 x 轴重合时，| AB|6，| CD| ，163所以 .1|AB| 1|CD| 1748当直线 l1与 x 轴垂直时，| AB| ，| CD|6，163所以 .1|AB| 1|CD| 1748当直线 l1与 x 轴不垂直也不重合时，可设直线 l1的方程为 y k(x1)( k0)，则直线 l2的方程为 y (x1)，1k设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)，
8、 D(x4， y4)，联立直线 l1与曲线 E 的方程 y k（ x 1） ，x29 y28 1， )得(89 k2)x218 k2x9 k2720，可得 （ 18k2） 2 4（ 8 9k2） （ 9k2 72） 2 304（ k2 1） 0，x1 x2 18k28 9k2，x1x2 9k2 728 9k2， )所以| AB| ，1 k2 （ x1 x2） 2 4x1x248（ 1 k2）8 9k2联立直线 l2与曲线 E 的方程 得 x2 x 720，y 1k（ x 1） ，x29 y28 1， ) (8 9k2) 18k2 9k2同理可得| CD| .1 1k2 （ x3 x4） 2 4
9、x3x4 48（ 1 k2）9 8k2所以 .1|AB| 1|CD| 8 9k248（ k2 1） 9 8k248（ k2 1） 1748综上可得 为定值1|AB| 1|CD|求定值问题常见的 2 种方法(1)从特殊入手，求出其值，再证明这个值与变量无关这符合一般与特殊的思维辩证关系简称为：特殊探路，一般论证(2)直接推理，计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值对点训练已知椭圆 C： 1， A 为椭圆 C 上的一点，其坐标为 ， E， F 是椭圆 C 上的x24 y23 (1， 32)两动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数求证：直线 EF 的斜率为定值，并求出该定值
10、解：设直线 AE 的方程为 y k(x1) (k0)，32联立 消去 y，x24 y23 1，y k（ x 1） 32)得(4 k23) x2(12 k8 k2)x4 120，(32 k)2 则 xE ，4(32 k)2 12（ 4k2 3） xA 4k2 12k 34k2 3又直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，故以上 k 用 k 代替得 xF ，4k2 12k 34k2 3所以 kEFyF yExF xE k（ xF 1） 32 k（ xE 1） 32xF xE . k（ xF xE） 2kxF xE把两式代入上式，得 kEF ，为定值12最值和范围问题(综合型)典型例题命题角度
11、一 构建目标不等式求最值或范围方法一：利用已知条件中明显的不等关系构建目标不等式已知圆 x2 y21 过椭圆 1( ab0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共x2a2 y2b2点，直线 l： y kx m 与圆 x2 y21 相切，与椭圆 1 相交于 A， B 两点记 x2a2 y2b2 ，且 .OA OB 23 34(1)求椭圆的方程；(2)求 k 的取值范围【解】 (1)由题意知 2c2，即 c1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，所以 b1，所以 a2 b2 c22，故所求椭圆方程为 y21.x22(2)由直线 l： y kx m 与圆 x2 y21 相切，得 m2 k21.由 得(12 k
12、2)y kx m，x22 y2 1)x24 kmx2 m220.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ， 4km1 2k2 2m2 21 2k2 x1x2 y1y2(1 k2)x1x2 km(x1 x2) m2 .OA OB k2 11 2k2由 ，得 k21，即 k 的取值范围是 .23 34 12 1， 22 22， 1先通过直线与圆相切得到 k， m 的关系，然后利用已知条件中的不等关系 ，结23 34合向量的数量积及根与系数的关系构造关于 k， m 的不等式，再由 k， m 的关系，消元，得到关于 k 的不等式，通过解不等式达到目的 方法二：利用题
13、目中隐藏的已知参数的范围构建不等式已知 A 是椭圆 E： 1( t3)的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A， Mx2t y23两点，点 N 在 E 上， MA NA.(1)当 t4，| AM| AN|时，求 AMN 的面积；(2)当 2|AM| AN|时，求 k 的取值范围【解】 (1)由| AM| AN|，可得 M， N 关于 x 轴对称，由 MA NA，可得直线 AM 的斜率 k 为 1.因为 t4，所以 A(2，0)，所以直线 AM 的方程为 y x2，代入椭圆方程 E： 1，可得 7x216 x40，解得 x2 或 x ，所以 M ， Nx24 y23 27 ( 27， 1
14、27)，(27， 127)则 AMN 的面积为 .12 247 ( 27 2) 14449(2)由题意知 t3， k0， A( ，0)，将直线 AM 的方程 y k(x )代入 1t tx2t y23得(3 tk2)x22 tk2x t2k23 t0.设 M(x1， y1)，则 x1( ) ，即 x1t tt2k2 3t3 tk2，故| AM| x1 | .由题设知，直线 AN 的方程为t（ 3 tk2）3 tk2 t 1 k2 6t（ 1 k2）3 tk2y (x )，故同理可得 |AN| .由 2|AM| AN|得 ，即1k t 6kt（ 1 k2）3k2 t 23 tk2 k3k2 t(
15、k32) t3 k(2k1)当 k 时上式不成立，因此 t .323k（ 2k 1）k3 2由 t3，得 3，所以 0，k3 20， ) 32 32(1)利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参数的范围问题转化为已知参数的范围问题(2)本题通过已知条件 2|AM| AN|得到新参数 k 与已知参数 t 之间的关系，然后利用题目中的已知条件 t3 建立关于 k 的不等式 方法三：利用判别式构建目标不等式已知点 F 为椭圆 E： 1( ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构x2a2 y2b2成一个等边三角形，直线 1 与椭圆 E 有且仅有一个
16、交点 M.x4 y2(1)求椭圆 E 的方程；(2)设直线 1 与 y 轴交于点 P，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A， B，x4 y2若 |PM|2| PA|PB|，求实数 的取值范围【解】 (1)由题意，得 a2 c， b c，3则椭圆 E 为 1.x24c2 y23c2由 消去 y，得 x22 x43 c20.x24 y23 c2，x4 y2 1 )因为直线 1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M，x4 y2所以 44(43 c2)0，解得 c21，所以椭圆 E 的方程为 1.x24 y23(2)由(1)得 M ，(1，32)因为直线 1 与 y 轴交于 P(0，2)，
17、x4 y2所以| PM|2 ，54当直线 l 与 x 轴垂直时，|PA|PB|(2 )(2 )1，3 3所以 |PM|2| PA|PB| ，45当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y kx2，A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 消去 y，y kx 2，3x2 4y2 12 0)整理得(34 k2)x216 kx40，则 x1x2 ，且 48(4 k21)0， k2 .43 4k2 14所以| PA|PB|(1 k2)x1x2(1 k2)43 4k21 ，13 4k2 54所以 ，45(1 13 4k2)因为 k2 ，所以 0 构建关于k 的不等式，从而求得 的取值范
18、围 方法四：利用点在曲线内(外)的充要条件构建不等式设抛物线过定点 A(1，0)，且以直线 x1 为准线(1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程；(2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M， N，且线段 MN 恰被直线 x 平分，设弦12MN 的垂直平分线的方程为 y kx m，试求 m 的取值范围【解】 (1)设抛物线的顶点为 G(x， y)，则其焦点为 F(2x1， y)，由题意可知点 A到直线 x1 的距离为 2，则| AF|2，所以 2，所以轨迹 C 的方程为4x2 y2x2 1( x1)y24(2)设弦 MN 的中点为 P ， M(xM， yM)， N(xN， yN)，则由点 M，
19、 N 为椭圆 C 上的(12， y0)点，可知 4x y 4，4 x y 4，两式相减，2M 2M 2N 2N得 4(xM xN)(xM xN)( yM yN)(yM yN)0，将 xM xN2 1， yM yN2 y0， ，(12) yM yNxM xN 1k代入式得 k .y02又点 P 在弦 MN 的垂直平分线上，所以 y0 k m，所(12， y0) 12以 m y0 k y0.12 34由点 P 在线段 BB上( B( x B， y B)， B(xB， yB)为直(12， y0)线 x 与椭圆的交点，如图所示)，所以 y Bb0)的离心率为 ， F1， F2分别为椭圆 C 的左、右焦
20、x2a2 y2b2 33点，过 F2的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点， F1AB 的周长为 4 .3(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 ， T(2，0)，若 3，1，求| |的取值范围F2A F2B TA TB 【解】 (1)由离心率 e ，可知 ，由 F1AB 的周长为 4 ，得 4a4 ，所以33 ca 33 3 3a ， c1， b2 a2 c22 ，故椭圆 C 的方程为 1.3x23 y22(2)当直线 l 的斜率不存在，即 1 时，设 A 在 x 轴上方，则 A ， B(1，233)，又 T(2，0)，(1， 233)所以| | 2.TA TB |( 1， 233) ( 1
21、， 233)|当直线 l 的斜率存在，即 3，1)时，设直线 l 的方程为 y k(x1)由 得(23 k2)x26 k2x3 k260，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，显然y kx k，x23 y22 1)y10， y20，则由根与系数的关系可得x1 x2 ， x1x2 ， y1 y2 k(x1 x2)2 k ， y1y2 k2x1x2( x1 x2)6k22 3k2 3k2 62 3k2 4k2 3k21 . 4k22 3k2因为 ， F2(1，0)，所以 ， b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，以 F1F2为直径的圆与直线 ax2 by ab0 相切3(
22、1)求椭圆 C 的离心率 e；(2)如图，过 F1作直线 l 与椭圆分别交于 P， Q 两点，若 PQF2的周长为 4 ，求 2 F2P 的最大值F2Q 【解】 (1)由题意知 c，| 3ab|a2 4b2则 3a2b2 c2(a24 b2)，即 3a2(a2 c2) c2a24( a2 c2)，所以 a22 c2，所以 e .22(2)因为 PQF2的周长为 4 ，2所以 4a4 ，即 a .2 2由(1)知 b2 c21，故椭圆方程为 y21，x22且焦点 F1(1，0)， F2(1，0)若直线 l 的斜率不存在，则可得 l x 轴，方程为 x1， P ， Q( 1，22)， ， ，故 .
23、( 1， 22) F2P ( 2， 22) F2Q ( 2， 22) F2P F2Q 72若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y k(x1)，由 消去y k（ x 1） ，x2 2y2 2 )y，得(2 k21) x24 k2x2 k220.设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .4k22k2 1 2k2 22k2 1所以 ( x11， y1)(x21， y2)( x11)( x21) y1y2( k21)F2P F2Q x1x2( k21)( x1 x2) k21( k21) ( k21) k21 2k2 22k2 1 ( 4k22k2 1)
24、7k2 12k2 1 72，92（ 2k2 1）令 t2(2 k21)，则 (t2)，所以 .F2P F2Q 72 9t F2P F2Q ( 1， 72)结合，得 ，所以 的最大值是 .F2P F2Q ( 1， 72 F2P F2Q 72本题的求解思路是先利用向量的坐标运算及根与系数的关系得到 的目标函数，F2P F2Q 然后分离参数，构建 y a (b0)型函数，再利用函数的单调性求得取值范围注意当bx目标函数是分式函数时，通常可以通过分离参数的方法，将目标函数转化成双曲线型函数处理 方法三：构建双曲线型函数 y ax (ab0)bx已知椭圆 C： 1( ab0)短轴的两个顶点与右焦点的连线
25、构成等边三角形，x2a2 y2b2直线 3x4 y60 与圆 x2( y b)2 a2相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知过椭圆 C 的左顶点 A 的两条直线 l1， l2分别交椭圆 C 于 M， N 两点，且l1 l2，求证：直线 MN 过定点，并求出定点坐标；(3)在(2)的条件下求 AMN 面积的最大值【解】 (1)由题意，得 解得 故椭圆 C 的方程为 y21.a 2b，|4b 6|5 a， ) a 2，b 1， ) x24(2)由题意得直线 l1， l2的斜率均存在且均不为 0，又 A(2，0)，故可设 l1： x my2， l2： x y2.1m由 得( m2 4)y24 my
26、0，所以 M .x my 2，x2 4y2 4 0， ) (2m2 8m2 4， 4mm2 4)同理 N .(2 8m24m2 1， 4m4m2 1)当 m1 时， kMN ， lMN： y ，此时直线 MN 过定点5m4（ m2 1） 5m4（ m2 1） (x 65).(65， 0)当 m1 时， lMN： x ，此时直线 MN 过点 .65 ( 65， 0)综上，直线 MN 恒过定点 .(65， 0)(3)设 M(xM， yM)， N(xN， yN)，则 S AMN |yM yN| 812 45 25| 4mm2 4 4m4m2 1| |m3 m4m4 17m2 4|8|m 1m|4(m
27、 1m)2 9令 t ，则 S AMN ，且 t2，当且仅当 m1 时取等号|m1m| 84t 9t又 y4 t 在2，)上单调递增，所以 S AMN ，当且仅当 m1 时取等9t 1625号故( S AMN)max .1625本题的难点是第(3)问中得到的目标函数很复杂，需要进行适当的变形处理，经分析，先将目标函数分子分母同时除以 m2，然后同时除以 ，再进行换元就可以看出其分母|m1m|为双曲线型函数结构 y4 t ，若利用基本不等式求最值，一定要注意是否满足“一正二9t定三相等” ，显然此时不满足“相等”这一条件，故需利用函数单调性求最值 对点训练1(2018豫南九校联考)设椭圆 1(
28、a )的右焦点为 F，右顶点为 A.已知x2a2 y23 3|OA| OF|1，其中 O 为原点， e 为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程及离心率 e 的值；(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点M，与 y 轴交于点 H.若 BF HF，且 MOA MAO，求直线 l 的斜率的取值范围解：(1)由题意可知| OF| c ，又| OA| OF|1，所以 a 1，解得a2 3 a2 3a2，所以椭圆的方程为 1，离心率 e .x24 y23 ca 12(2)设 M(xM， yM)，易知 A(2，0)，在 MAO 中， MOA MAOMA
29、 MO，即( xM2)2 y x y ，化简得 xM1.2M 2M 2M设直线 l 的斜率为 k(k0)，则直线 l 的方程为 y k(x2)设 B(xB， yB)，由消去 y，整理得 (4k23) x216 k2x16 k2 120，x24 y23 1，y k（ x 2） )解得 x2 或 x .8k2 64k2 3由题意得 xB ，从而 yB .8k2 64k2 3 12k4k2 3由(1)知 F(1，0)，设 H(0， yH)，则 (1， yH)， .FH BF (9 4k24k2 3， 12k4k2 3)由 BF HF，得 0，即 0，解得 yH ，BF FH 4k2 94k2 3 1
30、2kyH4k2 3 9 4k212k所以直线 MH 的方程为 y x .1k 9 4k212k由 消去 y，得 xM .y k（ x 2） ，y 1kx 9 4k212k ) 20k2 912（ k2 1）由 xM1，得 1，解得 k 或 k ，所以直线 l 的斜率的取值范围20k2 912（ k2 1） 64 64为 .( ， 64 64， )2如图，已知抛物线 x2 y，点 A ， B ，抛物线上的(12， 14) (32， 94)点 P(x， y) ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q.(120， f(x)单调递增，当 x 时 f( x)b0)的左x2a2 y2b2顶点与上顶点分
31、别为 A， B，右焦点为 F，点 P 在椭圆 C 上，且 PF x轴，若 AB OP，且| AB|2 .3(1)求椭圆 C 的方程；(2)Q 是椭圆 C 上不同于长轴端点的任意一点，在 x 轴上是否存在一点 D，使得直线 QA与 QD 的斜率乘积恒为定值？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由【解】 (1)由题意得 A( a，0)， B(0， b)，可设 P(c， t)(t0)，所以 1，解得 t ，即 P ，c2a2 t2b2 b2a (c， b2a)由 AB OP 得 ，即 b c，ba b2ac所以 a2 b2 c22 b2，又 AB2 ，所以 a2 b212，3由得 a28，
32、b24，所以椭圆 C 的方程为 1.x28 y24(2)假设存在 D(m，0)使得直线 QA 与 QD 的斜率乘积恒为定值，设 Q(x0， y0)(y00)，则 1，设 kQAkQD k(常数)，因为 A(2 ，0)，2所以 k，y0x0 22 y0x0 m由得 y 4 ，20将代入，得k .所以 所以 m2 ， k ，所以存在点 D(2 ，0)，使得 kQAkQD .22 m 0，22m 8， ) 2 12 2 12命题角度二 字母参数值的存在性问题已知动圆 C 与圆 x2 y22 x0 外切，与圆 x2 y22 x240 内切(1)试求动圆圆心 C 的轨迹方程(2)过定点 P(0，2)且斜
33、率为 k(k0)的直线 l 与(1)中轨迹交于不同的两点 M， N，试判断在 x 轴上是否存在点 A(m，0)，使得以 AM， AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数 m 的范围；若不存在，请说明理由【解】 (1)由 x2 y22 x0 得( x1) 2 y21，由 x2 y22 x240 得( x1)2 y225，设动圆 C 的半径为 R，两圆的圆心分别为 F1(1，0)， F2(1，0)，则|CF1| R1，| CF2|5 R，所以| CF1| CF2|6，根据椭圆的定义可知，点 C 的轨迹为以 F1， F2为焦点的椭圆，所以 c1， a3，所以 b2 a2 c2918，所以动圆
34、圆心 C的轨迹方程为 1.x29 y28(2)存在设直线 l 的方程为 y kx2，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)， MN 的中点为E(x0， y0)假设存在点 A(m，0)，使得以 AM， AN 为邻边的平行四边形为菱形，则AE MN，由 得(89 k2)x236 kx360，y kx 2，x29 y28 1， )x1 x2 ，所以 x0 ，36k9k2 8 18k9k2 8y0 kx02 ，169k2 8因为 AE MN，所以 kAE ，1k即 ，所以 m ，169k2 8 0 18k9k2 8 m 1k 2k9k2 8 29k 8k当 k0 时，9 k 2 12 ，所以 m
35、0，由根与系数的关系可知 y1 y2 4m，y1y2 24， )又因为 x1 x2( my16)( my26)，所以 x1 x24 m212，因为 x1x2 ，所以 x1x236，假设存在 N(x0， y0)，使得 0，NA NB 由题意可知 y0 ，所以 y02 m，y1 y22由 N 点在抛物线上可知 x0 ，即 x0 m2，又 ( x1 x0， y1 y0)， ( x2 x0， y2 y0)，NA NB 若 0，则 x1x2 x0(x1 x2) x y1y2 y0(y1 y2) y 0，NA NB 20 20由代入上式化简可得：3 m416 m2120，即( m26)(3 m22)0，所
36、以 m2 ，故 m ，23 63所以存在直线 3x y180 或 3x y180，使得 NA NB.6 61(2018高考全国卷)设椭圆 C： y21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交x22于 A， B 两点，点 M 的坐标为(2，0)(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明： OMA OMB.解：(1)由已知得 F(1，0)， l 的方程为 x1.由已知可得，点 A 的坐标为 或 .(1，22) (1， 22)所以 AM 的方程为 y x 或 y x .22 2 22 2(2)证明：当 l 与 x 轴重合时， OMA OMB0.当 l
37、 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以 OMA OMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y k(x1)( k0)， A(x1， y1)，B(x2， y2)，则 x1b0)上动点 P 到两焦点 F1， F2的距离x2a2 y2b2之和为 4，当点 P 运动到椭圆 C 的一个顶点时，直线 PF1恰与以原点 O 为圆心，以椭圆 C 的离心率 e 为半径的圆相切(1)求椭圆 C 的方程(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A， B，若 PA， PB 交直线 x6 于不同的两点 M， N.问以线段 MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说
38、明理由解：(1)由椭圆的定义可知 2a4， a2，若点 P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线 PF1与圆一定相交，故点 P 只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点 P 为上顶点(0， b)， F1为左焦点( c，0)，则直线 PF1： bx cy bc0，由题意得原点 O 到直线 PF1的距离等于椭圆 C 的离心率e，所以 ，bcb2 c2 ca解得 b1，故椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)由题意知直线 PA， PB 的斜率存在且都不为 0.设 kPA k，点 P(x0， y0)， x02，又 A(2，0)， B(2，0)，所以 kPAkPB ，得 kPB ，y0x0 2 y0x0 2 14
39、14k直线 PA 的方程为 y k(x2)，令 x6，得 y8 k，故 M(6，8 k)；直线 PB 的方程为 y (x2)，令 x6，得 y ，故 N .14k 1k (6， 1k)因为 yMyN8 k 80)(1)证明： k ；12(2)设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 0.证明：| |，| |，| |成FP FA FB FA FP FB 等差数列，并求该数列的公差解：(1)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 1， 1.两式相减，并由 k 得 k0.y1 y2x1 x2 x1 x24 y1 y23由题设知 1， m，于是 k .x1 x22 y1 y2
40、2 34m由题设得 0 m ，故 k .32 12(2)由题意得 F(1，0)设 P(x3， y3)，则( x31， y3)( x11， y1)( x21， y2)(0，0)由(1)及题设得 x33( x1 x2)1， y3( y1 y2)2 m0.又点 P 在 C 上，所以 m ，从而 P ，| | .34 (1， 32) FP 32于是| | 2 .FA x12同理| |2 .FB x22所以| | |4 (x1 x2)3.FA FB 12故 2| | | |，即| |，| |，| |成等差数列FP FA FB FA FP FB 设该数列的公差为 d，则2|d| | | |x1 x2|FB FA 12 .12（ x1 x2） 2 4x1x2将 m 代入得 k1.34所以 l 的方程为 y x ，代入 C 的方程，并整理得 7x214 x 0.74 14故 x1 x22， x1x2 ，代入解得| d| .128 32128所以该数列的公差为 或 .32128 32128
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