1、第 4 练 计数原理与二项式定理年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷 计数原理与组合问题T 152018 卷 二项式定理、二项展开式中特定项的系数T5卷 二项式定理、二项展开式中特定项的系数T 6卷 计数原理、排列组合的应用T 62017卷 二项式定理、二项展开式中特定项的系数T 4卷 二项式定理、二项展开式中特定项的系数T 142016 卷 计数原理、组合的应用T51.排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列、组合知识计算古典概型2二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般，多出现在第 910题或第 13
2、15 题的位置上.两个计数原理应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化考法全练1(2018石家庄模拟)用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字且大于 3 000 的四位数，这样的四位数有( )A250 个 B249 个C48 个 D24 个解析：选 C.当千位上的数字为 4 时，满足条件的四位数有 A 24(个)；34当千位上的数字为 3 时，满足条件的四位数有 A 24(个)34由分类加法计数原理得所有满足条件的四位
3、数共有 242448(个)，故选 C.2如果一个三位正整数“ a1a2a3”满足 a1 a2且 a3 a2，则称这样的三位数为凸数(如 120，343，275)，那么所有凸数的个数为( )A240 B204C729 D920解析：选 A.分 8 类，当中间数为 2 时，有 122(个)；当中间数为 3 时，有 236(个)；当中间数为 4 时，有 3412(个)；当中间数为 5 时，有 4520(个)；当中间数为 6 时，有 5630(个)；当中间数为 7 时，有 6742(个)；当中间数为 8 时，有 7856(个)；当中间数为 9 时，有 8972(个)故共有 26122030425672
4、240(个)3(2018合肥质量检测)某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成 5 块区域，如图社区准备从 4 种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数为( )A96 B114C168 D240解析：选 C.先在 a 中种植，有 4 种不同方法，再在 b 中种植，有 3 种不同方法，再在c 中种植，若 c 与 b 同色，则 d 有 3 种不同方法，若 c 与 b 不同色， c 有 2 种不同方法， d有 2 种不同方法，再在 e 中种植，有 2 种不同方法，所以共有43132432221
5、68(种)，故选 C.4将 3 张不同的奥运会门票分给 10 名同学中的 3 人，每人 1 张，则不同分法的种数是_解析：按分步来完成此事第 1 张有 10 种分法，第 2 张有 9 种分法，第 3 张有 8 种分法，故共有 1098720 种分法答案：7205在学校举行的田径运动会上，8 名男运动员参加 100 米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在 1，2，3，4，5，6，7，8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这 8 名运动员比赛的方式共有_种解析：分两步安排这 8 名运动员第一步，安排甲、乙、丙三人，共有 1，3，5，7 四条跑道可安排，所以安排方式有 43224(种)；第二步，安排另外 5
6、人，可在2，4，6，8 及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有 54321120(种)所以安排这 8 名运动员的方式共有 241202 880(种)答案：2 880排列、组合的应用排列、组合应用问题的 8 种常见解法(1)特殊元素(特殊位置)优先安排法(2)相邻问题捆绑法(3)不相邻问题插空法(4)定序问题缩倍法(5)多排问题一排法(6)“小集团”问题先整体后局部法(7)构造模型法(8)正难则反，等价转化法考法全练1(2018辽宁五校协作体联考)在爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处；由于 Grace年龄尚小，所以要么不
7、参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处那么不同的搜寻方案有( )A10 种 B40 种C70 种 D80 种解析：选 B.若 Grace 不参与任务，则需要从剩下的 5 位小孩中任意挑出 1 位陪同，有C 种挑法，再从剩下的 4 位小孩中挑出 2 位搜寻远处，有 C 种挑法，最后剩下的 2 位小15 24孩搜寻近处，因此一共有 C C 30 种搜寻方案；若 Grace 参加任务，则其只能去近处，需1524要从剩下的 5 位小孩中挑出 2 位搜寻近处，有 C 种挑法，剩下 3 位小孩去搜寻远处，因此
8、25共有 C 10 种搜寻方案综上，一共有 301040 种搜寻方案，故选 B.252(2018甘肃第二次诊断检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有 4 个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4 个红包中有 2 个 6 元，1 个 8元，1 个 10 元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A18 种 B24 种C36 种 D48 种解析：选 C.若甲、乙抢的是一个 6 元和一个 8 元的红包，剩下 2 个红包，被剩下的 3人中的 2 个人抢走，有 A A 12 种；若甲、乙抢的是一个 6 元和一个 10 元的红包，剩下2232 个红包，被剩
9、下的 3 人中的 2 个人抢走，有 A A 12 种；若甲、乙抢的是一个 8 和一个22310 元的红包，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢走，有 A C 6 种；若甲、乙抢223的是两个 6 元的红包，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢走，有 A 6 种，根据23分类加法计数原理可得，共有 36 种情况，故选 C.3(一题多解)(2018南昌调研)某校毕业典礼上有 6 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )A120 种 B156 种C188 种 D240 种
10、解析：选 A.法一：记演出顺序为 16 号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占 1 和2 号，2 和 3 号，3 和 4 号，4 和 5 号，5 和 6 号，其排法分别为 A A ，A A ，C A A ，C A23 23 1223 13A ，C A A ，故总编排方案有 A A A A C A A C A A C A A 120 种23 1323 23 23 1223 1323 1323法二：记演出顺序为 16 号，按甲的编排进行分类，当甲在 1 号位置时，丙、丁相邻的情况有 4 种，则有 C A A 48 种；当甲在 2 号位置时，丙、丁相邻的情况有 3 种，1423共有 C A A 36
11、种；当甲在 3 号位置时，丙、丁相邻的情况有 3 种，共有 C A A 361323 1323种所以编排方案共有 483636120 种4现有红色、蓝色和白色的运动鞋各一双，把三双鞋排列在鞋架上，仅有一双鞋相邻的排法总数是( )A72 B144C240 D288解析：选 D.首先，选一双运动鞋，捆绑在一起看作一个整体，有 C A 6 种排列方法，132则现在共有 5 个位置，若这双鞋在左数第一个位置，共有 C A A 8 种情况，若这双鞋在1222左数第二个位置，则共有 C C 8 种情况，若这双鞋在中间位置，则共有 A A A A 16 种1412 2222情况，左数第四个位置和第二个位置的
12、情况一样，第五个位置和第一个位置的情况一样所以把三双鞋排列在鞋架上，仅有一双鞋相邻的排法总数是 6(282816)288.故选 D.5冬季供暖就要开始，现分配出 5 名水暖工去 3 个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有_种解析：5 名水暖工去 3 个不同的居民小区，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，5 名水暖工分组方案为 3，1，1 和 1，2，2，则分配的方案共有 A 150(种)3答案：150二项式定理通项与二项式系数(a b)n的展开式的通项 Tk1 C an kbk(k0，1，2， n)，其中 C 叫做二项式
13、系kn kn数注意 Tk1 是展开式中的第 k1 项，而不是第 k 项各二项式系数之和(1)C C C C 2 n.0n 1n 2n n(2)C C C C 2 n1 .1n 3n 0n 2n考法全练1(2018高考全国卷)( x2 )5的展开式中 x4的系数为( )2xA10 B20C40 D80 解析：选 C.Tr1 C (x2)5 r C 2rx103 r，由 103 r4，得 r2，所以 x4的系数r5 (2x)r r5为 C 2240.252(2018郑州第一次质量预测)在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和(x 3x)n 之比为 321，则 x2的系数为( )A50 B70C90
14、 D120解析：选 C.令 x1，则 4 n，所以 的展开式中，各项系数和为 4n，(x 3x)n (x 3x)n 又二项式系数和为 2n，所以 2 n32，解得 n5.二项展开式的通项4n2nTr1 C x5 r C 3rx5 r，令 5 r2，得 r2，所以 x2的系数为 C 3290，故选r5 (3x)r r5 32 32 25C.3(2018武汉模拟)若(3 x1) 5 a0 a1x a2x2 a5x5，则a12 a23 a34 a45 a5( )A80 B120C180 D240解析：选 D.由(3 x1) 5 a0 a1x a2x2 a5x5两边求导，可得 15(3x1)4 a12
15、 a2x3 a3x25 a5x4，令 x1 得，15(31) 4 a12 a23 a35 a5，即a12 a23 a34 a45 a5240，故选 D.4( x2 x y)5的展开式中， x5y2的系数为( )A10 B20C30 D60解析：选 C.(x2 x y)5( x2 x) y5，含 y2的项为 T3C (x2 x)3y2.25其中( x2 x)3中含 x5的项为 C x4xC x5.13 13所以 x5y2的系数为 C C 30.故选 C.25135(2018南昌模拟)已知( x1)( ax1) 6的展开式中含 x2项的系数为 0，则正实数a_解析：( ax1) 6的展开式中 x2
16、项的系数为 C a2， x 项的系数为 C a，由( x1)( ax1)46 566的展开式中含 x2项的系数为 0，可得C a2C a0，因为 a 为正实数，所以 15a6，46 56所以 a .25答案：25一、选择题1(2018福州模拟)福州西湖公园花展期间，安排 6 位志愿者到 4 个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，则不同的安排方案共有( )A90 种 B180 种C270 种 D360 种解析：选 B.可分两步：第一步，甲、乙两个展区各安排一个人，有 A 种不同的安排26方案；第二步，剩下两个展区各两个人，有 C C 种不同的安排方案，根据分步
17、乘法计数原242理，不同的安排方案的种数为 A C C 180.故选 B.262422(2018河北“五个一名校联盟”模拟) 的展开式中的常数项为( )(2x2 x4)3 A3 B32 2C6 D6解析：选 D.通项 Tr1 C ( x4)rC ( )3 r(1) rx66 r，当r3(2x2)3 r r3 266 r0，即 r1 时为常数项， T26，故选 D.3若二项式 的展开式的各项系数之和为1，则含 x2项的系数为( )(x2ax)7 A560 B560C280 D280解析：选 A.取 x1，得二项式 的展开式的各项系数之和为(1 a)7，即(1 a)(x2ax)7 71，1 a1，
18、 a2.二项式 的展开式的通项 Tr1 C (x2)(x22x)7 r77 r C (2) rx143 r.令 143 r2，得 r4.因此，二项式 的展开式(2x)r r7 (x2 2x)7 中含 x2项的系数为 C (2) 4560，故选 A.474. (1 x)6的展开式中 x2的系数为( )(11x2)A15 B20C30 D35解析：选 C.(1 x)6的展开式的通项 Tr1 C xr，所以 (1 x)6的展开式中 x2的r6 (11x2)系数为 1C 1C 30，故选 C.26 465设( x23 x2) 5 a0 a1x a2x2 a10x10，则 a1等于( )A80 B80C
19、160 D240解析：选 D.因为( x23 x2) 5( x1) 5(x2) 5，所以二项展开式中含 x 项的系数为 C(1) 4C (2) 5C (1) 5C (2) 416080240，故选 D.45 5 5 456(2018沈阳教学质量监测(一)若 4 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有 1 个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有( )A4 种 B8 种C12 种 D24 种解析：选 B.将 4 个人重排，恰有 1 个人站在自己原来的位置，有 C 种站法，剩下 314人不站原来位置有 2 种站法，所以共有 C 28 种站法，故选 B.147(2018柳州模拟)从1，2，3，10中选
20、取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是( )A72 B70C66 D64解析：选 D.从1，2，3，10中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C C C C 56 种选法，三个数相邻共有 C 8 种选法，故至少有两个数相邻共有12 17 17 16 1856864 种选法，故选 D.8(2018惠州第二次调研)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )A24 B18C16 D10解析：选 D.分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有 A 种可选的路线；第
21、二种：3不在最后体验甲景区，则有 C A 种可选的路线所以小李可选的旅游路线数为12 2A C A 10.故选 D.3 12 29已知( x2) 9 a0 a1x a2x2 a9x9，则( a13 a35 a57 a79 a9)2(2 a24 a46 a68 a8)2的值为( )A3 9 B3 10C3 11 D3 12解析：选 D.对( x2) 9 a0 a1x a2x2 a9x9两边同时求导，得 9(x2)8 a12 a2x3 a3x28 a8x79 a9x8，令 x1，得 a12 a23 a38 a89 a93 10，令 x1，得 a12 a23 a38 a89 a93 2.所以( a1
22、3 a35 a57 a79 a9)2(2 a24 a46 a68 a8)2( a12 a23 a38 a89 a9)(a12 a23 a38 a89 a9)3 12，故选 D.10(2018广州调研)某学校获得 5 个高校自主招生推荐名额，其中甲大学 2 个，乙大学 2 个，丙大学 1 个，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3 男 2 女共 5 个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A36 种 B24 种C22 种 D20 种解析：选 B.根据题意，分两种情况讨论：第一种，3 名男生每个大学各推荐 1 人，2名女生分别推荐给甲大学和乙大学，共有 A A 12 种推荐方法；
23、第二种，将 3 名男生分成32两组分别推荐给甲大学和乙大学，共有 C A A 12 种推荐方法故共有 24 种推荐方法，2322故选 B.11若 m， n 均为非负整数，在做 m n 的加法时各位均不进位(例如：1343 8023 936)，则称( m， n)为“简单的”有序对，而 m n 称为有序对( m， n)的值，那么值为 1 942的“简单的”有序对的个数是( )A100 B150C30 D300解析：选 D.第一步，110，101，共 2 种组合方式；第二步，909，918，927，936，990，共 10 种组合方式；第三步，404，413，422，431，440，共 5 种组合方
24、式；第四步，202，211，220，共 3 种组合方式根据分步乘法计数原理知，值为 1 942 的“简单的”有序对的个数是 21053300.故选 D.12(2018郑州第二次质量预测)红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成 A， B， C， D， E， F 六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务 A 必须排在前三位，且任务 E， F 必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有( )A240 种 B188 种C156 种 D120 种解析：选 D.因为任务 A 必须排在前三位，任务 E，
25、 F 必须排在一起，所以可把 A 的位置固定， E， F 捆绑后分类讨论当 A 在第一位时，有 A A 48 种；42当 A 在第二位时，第一位只能是 B， C， D 中的一个， E， F 只能在 A 的后面，故有C A A 36 种；1332当 A 在第三位时，分两种情况： E， F 在 A 之前，此时应有 A A 种， E， F 在 A 之23后，此时应有 A A A 种，故而 A 在第三位时有 A A A A A 36 种2322 23 2322综上，共有 483636120 种不同的安排方案故选 D.二、填空题13(一题多解)(2018高考全国卷)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人
26、参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)解析：法一：可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不同的选法有C C 12(种)；第二种情况，有 2 位女生入选，不同的选法有 C C 4(种)根据分类加1224 214法计数原理知，至少有 1 位女生入选的不同的选法有 16 种法二：从 6 人中任选 3 人，不同的选法有 C 20(种)，从 6 人中任选 3 人都是男生，36不同的选法有 C 4(种)，所以至少有 1 位女生入选的不同的选法有 20416(种)34答案：1614(2018武汉调研)在 的展开式中， x3的系数是_(x4x 4)5 解析：
27、的展开式的通项 Tr1 C (4)(x4x 4)5 r55 r ， r0，1，2，3，4，5， 的展开式的通项(x4x)r (x 4x)r Tk1 C xr k 4 kC xr2 k， k0，1， r.令 r2 k3，当 k0 时， r3；当 k1kr (4x)k kr时， r5.所以 x3的系数为 40C (4) 53 C 4C (4) 0C 180.03 35 15 5答案：180.15在多项式(12 x)6(1 y)5的展开式中， xy3的系数为_解析：因为二项式(12 x)6的展开式中含 x 的项的系数为 2C ，二项式(1 y)5的展开16式中含 y3的项的系数为 C ，所以在多项式(12 x)6(1 y)5的展开式中， xy3的系数为352C C 120.1635答案：12016(2018成都模拟)从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为_(用数字作答)解析：根据题意，分 2 种情况讨论，若只有甲、乙其中一人参加，有 C C A 3 12 46 5600(种)；若甲、乙两人都参加，有 C A A 1 440(种)2 36 24则不同的安排种数为 3 6001 4405 040.答案：5 040
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