1、习题课推理与证明的综合问题课后训练案巩固提升1.在集合a,b,c,d上定义两种运算 和 如下: a b c dabcdabcdbbbbcbcbdbbd a b cabcdaaaaabcdacca则 d (a c)等于( )A.a B.bC.c D.d解析: 由给出的定义可知 d (a c)=d c=a.答案: A2.设 m 是一个非负整数,m 的个位数记作 G(m),如 G(2 017)=7,G(12)=2,G(50)=0,称这样的函数为尾数函数,给出下列有关尾数函数的结论: G(a-b)=G(a)-G(b); a,b,cN,若 a-b=10c,则有G(a)=G(b); G(abc)=G(G(
2、a)G(b)G(c),则正确结论的个数为( )A.3 B.2C.1 D.0解析: 令 a=12,b=8,则 G(a-b)=G(a)-G(b),显然 错;令 x,y,z 为小于 10 的自然数,m,n,k 为自然数,a=10m+x,b=10n+y,c=10k+z,由a,b,c N,若 a-b=10c,可知 x-y=0,即 a 与 b 的个位数相同,因此G(a)=G(b), 正确;显然的个位数由这三个数的个位数的积来确定的,因此 正确.答案: B3.若“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
3、,则第45 个“整数对”是( )A.(1,9) B.(9,1)C.(1,10) D.(10,1)解析: 因为(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(n,1)共有整数对 1+2+3+n= 个,当 n=9 时,共有 45 个整数对,所以第 45 个“整数对”是(9,1).答案: B4.设 a,b(0,+),ab,x ,y(0,+),则 ,当且仅当 时取等号.利用以上结论,可以得到函数 f(x)= 的最小值为( )A.169 B.121C.25 D.16解析: f(x)= =25,当且仅当 ,即 x= 时,f (x)取得最小值 25.答案: C5.有甲、乙、丙、丁四
4、位歌手参加比赛,其中一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.” 丙说 :“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是 . 解析: 若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四位歌手说的话都是假的,同理可推出乙、丙、丁获奖的情况,最后可知获奖的歌手是丙.答案: 丙6.若数列a n满足 an+1=an+an+2(nN *),则称数列 an为“凸数列”, 已知数列b n为“凸数列”,且b1=1,b2=-2,则数列b n的前 2 016 项的和为 . 解析: 由“凸数列 ”的定义,可写出数列的前几项:b 1=1,b2=-2,b3=-3,b4=-1,
5、b5=2,b6=3,b7=1,b8=-2,故数列b n是周期为 6 的周期数列.又 b1+b2+b3+b4+b5+b6=0,故 S2 016=S3366=0.答案: 07.对于集合a 1,a2,an和常数 a0,定义: = 为集合a 1,a2,an相对 a0 的“正弦方差”, 则集合 相对 a0 的“ 正弦方差 ”为 . 解析: 由题意,得集合 相对 a0 的“ 正弦方差”为 = ,即 3=cos2a0+ ,所以 6=2cos2a0+1-cos +1-cos ,即 6=2cos2a0+2-2cos cos 2a0,所以 6=2cos2a0+2-(2cos2a0-1),于是 = .答案:8.阅读
6、下列不等式的证法,并回答后面的问题.已知 a1,a2R,a 1+a2=1,求证: .证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,则 f(x)=2x2-2x+ . xR,f(x) 0 恒成立, =4-8( )0, .(1)若 a1,a2,anR,a 1+a2+an=1(nN *),请写出上述结论的推广形式 ;(2)参考上述证法,请对你推广的结论加以证明.(1)解: 若 a1,a2,anR ,a1+a2+an=1(nN *),则 + (nN *).(2)证明: 构造函数 g(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-an)2,则 g(x)=nx2-2x+ + . xR,g(x) 0
7、 恒成立, =4-4n( + )0, + (nN *).9.点 M 在圆 C:x2+y2=1 上,经过点 M 的圆的切线方程为 x+ y=1;又点 Q(2,1)在圆 C外部,容易证明直线 2x+y=1 与圆相交; 点 R 在圆 C 的内部,直线 x+ y=1 与圆相离.类比上述结论,你能给出关于一点 P(a,b)与圆 x2+y2=r2 的位置关系与相应直线 ax+by=r2 与圆的位置关系的结论吗?并证明你的结论.解: 点 P(a,b)在 C:x2+y2=r2 上时,直线 ax+by=r2 与C相切;点 P 在C内部时,直线 ax+by=r2 与C 相离;点 P 在C外部时,直线 ax+by=
8、r2 与C 相交.证明如下:圆 x2+y2=r2 的圆心(0,0) 到直线 ax+by=r2 的距离为 d= .若(a,b)在圆内,则 a2+b2r,所以直线与圆相离;若(a,b)在圆上,则 a2+b2=r2,所以 d=r,所以直线与圆相切;若(a,b)在圆外,则 a2+b2r2,所以 dd,a-2d,d0).假设存在 a1,d,使得 a1, 依次构成等比数列,则 a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d) 6=a2(a+2d)4.令 t= ,则 1=(1-t)(1+t)3,且(1+t) 6=(1+2t)4 ,化简得 t3+2t2-2=0(*),且 t2=t+1.将 t2=t+1 代入 (*)式,得 t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则 t=- .显然 t=- 不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在 a1,d,使得 a1, 依次构成等比数列.
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