1、绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第卷和第卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后,将将本试卷和答题卡一并交回。注意事项:1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2.第卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。3. 第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上
2、新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件 A,B 独立,那么 P(AB)=P(A)P(B)第卷(共 50 分)一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的(1)若复数 z 满足 其中 i 为虚数单位,则 z=( )23i,z(A)1+2i (B)1 2i (C ) (D)12i12i(2)设集合 则 =( )2|,|0,xyxRAB(A) (B) (C
3、 ) (D)(1,)(0,1)(1,)(0,)(3)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位:小时) ,制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是 ,样本数据分组为 .根据直方图,7.5,37.5,20),.5)2.,)5,27.).,30这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( )(A)56 (B)60(C)120 (D)140(4)若变量 x,y 满足 则 的最大值是( )2,390,xy+-2xy+(A)4 (B )9 (C)10 (D )12(5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )(A) (B ) (C
4、) (D)123 123 1236 216(6)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 , 内.则“ 直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(7)函数 f(x )=( sinx+cosx) ( cosx sinx)的最小正周期是( )33(A) (B) (C) (D)22 2(8)已知非零向量 m,n 满足 4m=3n,cos= .若 n(tm+n) ,则实数 t 的值为( )13(A)4 (B)4 (C) (D)94(9)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时, ;当 时, ;当3(
5、)1fx1x()(fxf时, .则 f(6)= ( )12x1)2ff(A)2(B) 1(C)0(D )2(10)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是( )(A)y=sinx(B)y=ln x(C)y=e x(D )y=x 3第卷(共 100 分)二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。(11)执行右边的程序框图,若输入的 a,b 的值分别为 0 和 9,则输出的 i 的值为_.(12)若(ax 2+ ) 5 的展开式中 x5 的系数是80,则实数 a=_.1(13)已
6、知双曲线 E1: (a0,b0) ,若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为21yE 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是_.(14)在 上随机地取一个数 k,则事件“直线 y=kx 与圆 相交”发生的概率为 .1,- 2(5)9xy-+=(15)已知函数 其中 ,若存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=b 有三2|,()4,xxmf 0个不同的根,则 m 的取值范围是 _.三、解答题:本答题共 6 小题,共 75 分。(16) (本小题满分 12 分)在ABC 中,角 A,B ,C 的对边分别为 a,b,c,已知 tant2(tant).co
7、sABB()证明:a+b=2 c;()求 cosC 的最小值.17(本小题满分 12 分).在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆 O 的直径,EF 是上底面圆 O 的直径,FB 是圆台的一条母线.(I)已知 G,H 分别为 EC,FB 的中点,求证:GH平面 ABC;(II)已知 EF=FB= AC= AB=BC.求二面角 的余弦值.123FBCA(18) (本小题满分 12 分)已知数列 的前 n 项和 Sn=3n2+8n, 是等差数列,且nanb1.nnab()求数列 的通项公式;nb()令 求数列 的前 n 项和 Tn.1().2nncnc(19) (本小题满分 12 分)甲、乙两人组成
8、“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一个人猜对,则“星队”得 1 分;如果两人都没猜对,则“星队”得0 分。已知甲每轮猜对的概率是 ,乙每轮猜对的概率是 ;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。各轮423结果亦互不影响。假设“星队”参加两轮活动,求:(I) “星队”至少猜对 3 个成语的概率;(II) “星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 EX(20)(本小题满分 13 分)已知 .21()ln,xfxaaR(I)讨论 的单调性;(II)当 时,证明 对于任意的 成立13()2fx 1,2x(21)本小题满分 1
9、4 分)平面直角坐标系 中,椭圆 C: 的离心率是 ,抛物线 E: 的焦点 FxOy210xyab 322xy是 C 的一个顶点。(I)求椭圆 C 的方程;(II)设 P 是 E 上的动点,且位于第一象限, E 在点 P 处的切线 与 C 交与不同的两点 A,B ,线段 AB 的l中点为 D,直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.(i)求证:点 M 在定直线上 ;(ii)直线 与 y 轴交于点 G,记 的面积为 , 的面积为 ,求 的最大值及取得最大值l FA1SPDMA2S1时点 P 的坐标.2016 年普听高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学试题参考答案一、选择题(
10、1) 【答案】B(2) 【答案】C(3) 【答案】D(4) 【答案】C(5) 【答案】C(6) 【答案】A(7) 【答案】B(8) 【答案】B(9) 【答案】D(10) 【答案】A第卷(共 100 分)二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.(11) 【答案】3(12) 【答案】-2(13) 【答案】2(14) 【答案】 34(15) 【答案】 (,)三、解答题(16)解析: 由题意知 ,sinisinsin2cococoABAB化简得 ,siii即 .2nsnAB因为 ,C所以 .sisisiC从而 .n=2nAB由正弦定理得 .abc由 知 ,()所以 ,222cos
11、ababcC31842ab当且仅当 时,等号成立.故 的最小值为 .cs12考点:两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.(17)(I)证明:设 的中点为 ,连接 ,FCIGHI在 ,因为 是 的中点,所以E F/E又 所以/OB,I/在 中,因为 是 的中点,所以 ,CF HF/HIBC又 ,所以平面 平面 ,HIGI/HIABC因为 平面 , 所以 平面 .G(II)解法一:连接 ,则 平面 ,O又 且 是圆 的直径,所以ABC.BOAC以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 ,xyz由题意得 , ,过点 作 于点 ,(0,23)(23,0)FMB垂 直所以 ,F
12、MB可得 (,)故 .(23,0),(,3)BCBF设 是平面 的一个法向量. )mxyzC由 ,0BF可得 23,xyz可得平面 的一个法向量BCF3(1,),m因为平面 的一个法向量A0,n所以 .7cos,|mn所以二面角 的余弦值为 .FBCA7解法二:连接 ,过点 作 于点 ,OFMOB则有 ,/又 平面 ,AC所以 FM平面 ABC,可得 23,FB过点 作 于点 ,连接 ,MN垂 直 FN可得 ,C从而 为二面角 的平面角.FBA又 , 是圆 的直径,ABO所以 6sin45,2MN从而 ,可得2F7co.FNM所以二面角 的余弦值为 .BCA考点:空间平行判定与性质;异面直线所
13、成角的计算;空间想象能力,推理论证能力(18)()由题意知当 时, ,2n561nSan当 时, ,1n1Sa所以 .56设数列 的公差为 ,nbd由 ,即 ,可解得 ,321adb32713,41db所以 .nb()由()知 ,11(6)3()2nnnc又 ,nnT321得 ,412()2n,35n两式作差,得 234122()nnnT22(1)(3nn所以 nnT考点:数列前 n 项和与第 n 项的关系;等差数列定义与通项公式;错位相减法(19)()记事件 A:“甲第一轮猜对 ”,记事件 B:“乙第一轮猜对” ,记事件 C:“甲第二轮猜对” ,记事件 D:“乙第二轮猜对” ,记事件 E:“
14、星队至少猜对 3 个成语”.由题意, .ABCACA由事件的独立性与互斥性,PEABCDPABCDPABCDP,32123132=444.所以“星队”至少猜对 3 个成语的概率为 .23()由题意,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得,110434PX,210523472,13125434431,123PX,2605=44142.316可得随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4 6P 45741521所以数学期望 .31246E考点:独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式;分布列和数学期望(20) () 的定义域为 ;)(xf),0(.32
15、32/ )1()( xaxaxf 当 , 时, , 单调递增;0)1,(0)(/f)(f, 单调递减./,xx时当 时, .0a/3()2)(afa(1) , ,21当 或 时, , 单调递增;),0(x),(a0)(/xf)(f当 时, , 单调递减;)2,1()(/xf)(f(2) 时, ,在 内, , 单调递增;ax),0(0)(/xf)(f(3) 时, ,120a当 或 时, , 单调递增;),(xx),(0)(/xf)(f当 时, , 单调递减.)1,2(a0/ff综上所述,当 时,函数 在 内单调递增,在 内单调递减;0)(xf, ),1(当 时, 在 内单调递增,在 内单调递减,
16、在 内单调递增;2af1,02,a),2(a当 时, 在 内单调递增;)(xf),当 , 在 内单调递增,在 内单调递减,在 内单调递增.2af2,0a)1,2(a),1(()由()知, 时,1/ 2231()ln()xfx x, ,23lx,1令 , .1)(,ln)( 32hxg 2,x则 ,/ xgf由 可得 , 当且仅当 时取得等号.01)(/xg1)(g1x又 ,2436()h设 ,则 在 单调递减,2xx)(x2,1因为 ,10)(,)1所以在 上使得 时, 时, ,0x2),(0x)2,(,0)(0x0)(x所以函数 在 上单调递增;在 上单调递减,()h),02,由于 ,因此,
17、当且仅当 取得等号,21,11)(hx2x所以 ,23)()(/gxf即 对于任意的 成立。23)(/ff ,1x考点:利用导函数判断函数的单调性;分类讨论思想.(21)()由题意知 ,可得: .232abba2因为抛物线 的焦点为 ,所以 ,E)1,0(F1,所以椭圆 C 的方程为 .142yx() (i)设 ,由 可得 ,)0(,mPyx2x/所以直线 的斜率为 ,l因此直线 的方程为 ,即 .)(2xy2mxy设 ,联立方程),(),(),(021DxBA241xy得 ,14)4(432mm由 ,得02505或且 ,14231x因此 ,2310m将其代入 得 ,xy)14(20y因为 ,所以直线 方程为 .410ODxmy联立方程 ,得点 的纵坐标为 ,mxyMM14即点 在定直线 上.M41y(ii)由(i)知直线 方程为 ,l2mx令 得 ,所以 ,0x2my),0(G又 ,21(,)(0,mPFD)14(2,(3m所以 ,)(4|21GS,)1(82| 202 mxPM所以 ,2221)1(4S令 ,则 ,mt 21)(22 ttS当 ,即 时, 取得最大值 ,此时 ,满足 ,21tt2149m0所以点 的坐标为 ,因此 的最大值为 ,此时点 的坐标为 .P)4,(12SP)41,2(考点:椭圆方程;直线和抛物线的关系;二次函数求最值;运算求解能力.