【天津卷】2016年普通高校招生全国统一考试数学（理科）试卷（含答案）

1、绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学（理工类）本试卷分第卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至 2页，第 卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2. 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事

2、件 ， 互斥，那么 如果事件 ， 相互独立，那么ABAB. .()()PP()()P棱柱的体积公式 . 棱锥的体积公式 .VSh13VSh其中 表示棱柱的底面面积， 其中 表示棱锥的底面面积，SS表示圆柱的高. 表示棱锥的高.h h1. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合 ， ，则4,321AAxyB,23 BA（ ）（A） （B） 4（C） （D ）, ,1（2）设变量 ， 满足约束条件 则目标xy.0923,6yx 函数的最小值为z5（A） （B） （C）4 10（D） 17（3）在 中，若 ，CA 3BC， ，20则 （ ）否开 始 4S1nS2

3、6是否 输 出结 束 ?3 是（A） （B）12（C） （D）34（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S的值为 （ ）（A） （B）2（C） （D）68（5）设 是首项为正数的等比数列，公比为 则naq“ ”是“对任意的正整数 ， ”的 （ ）0qn021na（A）充要条件 （B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线 ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐142byx）（ 0近线相交于 ， ， ， 四点，四边形 的面积为 ，则双曲线的方程为 （ ）ABCDABCDb2（A） （B） （C） （D）32yx1342

4、yx14yx124yx（7）已知 是边长为 的等边三角形，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接1EABCE并延长到点 ，使得 ，则 的值为 （ ）FEF2A（A） （B） （C） （D）854181（8）已知函数 （ ，且 ）在 R 上单调递减，且关于 的方程0,1)(log34)(2xxafa ax恰好有两个不相等的实数解，则 的取值范围是 （ ）xf2)(（A） （B）3,0 43,2（C） （D ） 14)1绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学（理工类）（第 4 题图）第 卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共 12 小题

5、, 共 110 分.二填空题: 本大题共 6 小题 , 每小题 5 分, 共 30 分.（9）已知 ， R， 是虚数单位，若 ，则 的值为_.abi ab)i1(（10） 的展开式中 的系数为_.（用数字作82)1(x7x 答）（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位： ） ，则该四棱锥的体积m为_ .3（12）如图， 是圆的直径，弦 与 相交于点ABCDAB ，E， ，则线段 的长2EE为_.（13）已知 是定义在 R 上的偶函数，且在区间)(xf上单调递增.若实数 满足 ，)0,(a)2()(1ffa则 的取值范围是_.a（14）设抛物线 （ 为参数， ）的

6、焦ptyx2,0p点 ，准线为 .过抛物线上一点 作 的垂线，垂足为FlAl.设 ， 与 相交于点 .若 ，B)0,7(CFBCEAF2且 的面积为 ，则 的值为_.AE23p三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15） （本小题满分 13 分）BCDE1113已知函数 .3)cos()2sin(ta4)( xxf（）求 的定义域与最小正周期；（）讨论 在区间 上的单调性.)(xf4,（16） （本小题满分 13 分）某小组共 人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为 ， ， 的人数分10 123别为 ， ， .现从这 人中随机选出

7、 人作为该组代表参加座谈会.342（）设 为事件“选出的 人参加义工活动次数之和为 ”，求事件 发生的概率；A4A（）设 为选出的 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列X2 X和数学期望.（17） （本小题满分 13 分）如图，正方形 的中心为 ，四边形 为矩形，平面 平面 ，点 为ABCDOBEFOBEFACDG的中点， .AB2E（）求证： 平面 ；GF（）求二面角 的正弦值；（ ）设 为线段 上的点，且HA HFA32，求直线 和平面 所成角的正弦值.BCEFCH（18） （本小题满分 13 分）已知 是各项均为正数的等差数列，公差为 .对任意的 ， 是 和 的等比中项.

8、nadNnnba1n（）设 ， ，求证：数列 是等差数列；21nbcNnc（）设 ， ， ，求证 .da1kknT12)(21dTk（19） （本小题满分 14 分）设椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 .已知 ，132yax)( FAFAeO31其中 为原点， 为椭圆的离心率. Oe（）求椭圆的方程；（）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上） ，垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交AlBxllMy于点 .若 ，且 ，求直线 的斜率的取值范HFBMOAl围.（20） （本小题满分 14 分）设函数 ， R，其中 ， R.baxxf3)1(ab（）求 的单调区间；（）若 存在极值点 ，且 ，其

9、中 ，求证： ；)(xf0x)(01xff01x3201x（ ）设 ，函数 ，求证： 在区间 上的最大值不小于0a)(fgg2,42016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）一、选择题：（1） 【答案】D（2） 【答案】B（3） 【答案】A（4） 【答案】B（5） 【答案】C（6） 【答案】D（7） 【答案】B（8） 【答案】C第卷二、填空题：（9） 【答案】2（10） 【答案】 56（11） 【答案】2（12） 【答案】 23（13） 【答案】 1(,)(14) 【答案】 6三、解答题（15）【答案】 （） ， （）在区间 上单调递增,在区间 上单,2xkZ.12441

10、2，调递减.【解析】试题分析：（）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求定义域、周期 根据（1）的结论，研究三角函数在区间()=2sin3fx上单调性,4试题解析： 解： 的定义域为 .fx,2xkZ4tancos34sinco3fx x213=sii2isi2x.in-cossin3co=in3x x所以, 的最小正周期f .2T解：令 函数 的单调递增区间是2,3zxsinyz2,.kkZ由 ,得2kk5,.11kxZ设 ，易知 ., ,42ABx,124AB所以, 当 时, 在区间 上单调递增, 在区间 上单调递减.xf14，考

11、点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式【结束】(16) 【答案】 （） （）详见解析13【解析】试题分析：（）先确定从这 10 人中随机选出 2 人的基本事件种数： ，再确定选出的 2 人参加义工活210C动次数之和为 4 所包含基本事件数： ，最后根据概率公式求概率（）先确定随机变量可能取134C值为 再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望0,12.试题解析：解： 由已知，有()12340,CPA所以，事件 发生的概率为 .A13随机变量 的所有可能取值为()X0,2.，23410CP5，342107X.342105CP所以，随机变量 分布列为X

12、12P41575415随机变量 的数学期望 .X74021EX考点：概率，概率分布与数学期望【结束】(17) 【答案】 （）详见解析（） （）3721【解析】试题分析：（）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值试题解析：依题意， ，如图，以 为点，分别以 的方向为 轴， 轴、OFABCD平 面 O,AD

13、BOFxy轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得 ，z (0,).1,0(,1)(,0)(1,)12(,)(1,0)ABEFG，（I）证明：依题意， .设 为平面 的法向量，则(2,0)1,2ADF1,nxyzADF，即 .不妨设 ，可得 ，又 ，可得 ，10nFxyzz10,0,12EG10EGn又因为直线 ，所以 .EGAF平 面 /EGADF平 面（II）解：易证， 为平面 的一个法向量 .依题意， .设1,0OO1,01,2FC为平面 的法向量，则 ，即 .不妨设 ，可得2,nxyzC20nCF2xyzx.21,因此有 ，于是 ，所以，二面角 的正弦226cos, 3OAn 23si

14、n,OAOEFC值为 .3（III）解：由 ，得 .因为 ，所以 ，进23AHF25AF1,2A224,55AHF而有 ，从而 ，因此 .所以，直线 和4,584,B 227cos, 1BnBH平面 所成角的正弦值为 .CEF721考点：利用空间向量解决立体几何问题【结束】(18) 【答案】 （）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先根据等比中项定义得： ，从而 ，21nba211211nnnnncbada因此根据等差数列定义可证： （） 对数列不等式证明一般以算代证先12ncdd利用分组求和化简 ，再利用裂221nnkTb2212341nbb21dn项相消法求和 ，易得结论.22211

15、1nkkkddd试题解析：（I）证明：由题意得 ，有 ，因此2nba211211nnnnncbada，所以 是等差数列.121nnca（II）证明： 222341nT22242 1nnadadd所以 .22221111nnkkkT考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和【结束】（19）【答案】 （） （）2143xy),46,(【解析】试题分析：（）求椭圆标准方程，只需确定量，由 ，得，再利13|cOFA13()ca用 ， 可解得 ， （）先化简条件： ， 即223acb21c24aMO|AMM 再 OA 中垂线上， ， 再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求 ；利用两直线方程组求 H

16、，最Mx B后根据 ， 列等量关系解出直线斜率.取值范围HFB试题解析：（1）解：设 ，由 ，即 ，可得 ，(,0)c13|cOFA13()ca223ac又 ，所以 ，因此 ，所以椭圆的方程为 .223acb224a243xy（2） （）解：设直线 的斜率为 （ ） ，则直线 的方程为 .设 ，由方程组lk0l)(k),(Byx，消去 ，整理得 .)(1342xkyy 01261)34(22xk解得 ，或 ，由题意得 ，从而 .234682k3482kxB 342kyB由（）知， ，设 ，有 ， .由 ，得)0,1(F),(Hy),1(HF)1,9(22FHFB，所以 ，解得 .因此直线 的方

17、程为HB0341292kky4M.kxy14设 ，由方程组 消去 ，解得 .在 中，),(M)2(1492xkyky)1(290kxMAO，即 ，化简得 ，即 ，解|OAOA 22Mx1)(290k得 或 .46kk所以，直线 的斜率的取值范围为 .l ),46,(考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【结束】（20）【答案】 （）详见解析（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先求函数的导数： ， 再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：axf2)1(3)当 时，有 恒成立，所以 的单调增区间为 .当 时，存在三个单调区间0a()0fx(,)0a（）由题意得 ，计算可得 再由 及单调

18、性可得结论（）3120a00(32)(fxf(1xff实质研究函数 最大值：主要比较 ， 的大小即可，分三种情况研究)(xg(1),f3|(|,()|aff当 时， ，当 时，3a3201aa4，当 时， .2121 304a2310a试题解析：（）解：由 ，可得 .baxxf3)( axf2)1()下面分两种情况讨论：（1）当 时，有 恒成立，所以 的单调递增区间为 .0a0)1()2f )(f ),(（2）当 时，令 ，解得 ，或 .0xf 3ax31ax当 变化时， ， 的变化情况如下表：x)(ff31,a)31,(a),31(a)(xf 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调

19、递增所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， .)(xf )31,(a )31,(a),(（）证明：因为 存在极值点，所以由（ ）知 ，且 ，由题意，得)(xf 0x，即 ，013)( 20axf 3)1(20a进而 .bxbxf)(0030又 baxabxaxf 32)1(38)2()2()3( 00300，且 ，由题意及（）知，存在唯一实数满足 ，且fbax )(01xff，因此 ，所以 ；01013x01x（ ）证明：设 在区间 上的最大值为 ， 表示 两数的最大值.下面分三种情况)(g2,M,maxyx,同理：（1）当 时， ，由（）知， 在区间 上单调递减，所以 在3a3101a

20、)(xf2,0)(xf区间 上的取值范围为 ，因此2,0 )(,2f|1|,1max|)0(|,max| bffM|)(|1| bb，所以 .0),(aa 2|1baM（2）当 时， ，由（）和（）知，34 31321 a， ，)3()()0afaf )()21(faf所以 在区间 上的取值范围为 ，因此)(xf2,0 )3(),(ff|392|,92max|)31(|,)31(ma| babaffM |)(92|,92x| bba.413|3a（3）当 时， ，由（）和（）知，4020a， ，)31()321()faf )31()31(aff所以 在区间 上的取值范围为 ，因此)(xf2,0 )2(,0f|1|max|)(|ma| bafM|)(1|,1| bb.4|综上所述，当 时， 在区间 上的最大值不小于 .0a)(xg2,041考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【结束】