1、绝密启用前 2017 年高考天津卷理数试题解析（正式版）本试卷分为第卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1至 2 页，第卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事件 A， B 互斥，那
2、么 如果事件 A，B 相互独立，那么P(AB )=P(A)+P(B) P(AB)=P(A) P(B)棱柱的体积公式 V=Sh. 球的体积公式 . 34VR其中 S 表示棱柱的底面面积， 其中 表示球的半径h 表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 ，则1,26,4|15ABCxR()ABC（A） （B ） （C） （D ）126|x【答案】 【解析】 ,选 B.()454， ， ， ， ， ，（2）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为,xy20,3xyzxy（A） （B）1（C） （ D）332【答案】 D【解析】目标函数为四边形 AB
3、CD 及其内部，其中 ，所以直线324(0,1),(,)(,)ABCD过点 B 时取最大值 3，选 D.学*科*网zxy（3）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为 24，则输出 的值为NN（A）0 （B）1（C）2（D）3【答案】 【解析】依次为 , ，输出 ，选 C.8N7,6,2N（4）设 ，则“ ”是“ ”的R|121sin（A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】 （5）已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 .若经过 和 两点的直线21(0,)xyabF2F(0,4)P平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A） （
4、B ） （C ） （D）214xy218xy2148xy214xy【答案】【解析】由题意得 ，选 B.24,1, 18xyabcab（6）已知奇函数 在 R 上是增函数， .若 ， ， ，则()fx()gxf2(log5.1)a0.8(2)bg(3)cga，b，c 的大小关系为（A） （B） （C） （D）ccbabcca【答案】 C（7）设函数 ， ，其中 ， .若 ， ，且 的最小()2sin()fxxR0|5()28f()08f()fx正周期大于 ，则（A） ， （B） ， （C） ， （D） ，31223113241324【答案】 【解析】由题意 ，其中 ，所以 ，又 ，12581k1
5、2,kZ21()33k2T所以 ，所以 ， ，由 得 ，故选 A031（8）已知函数 设 ，若关于 x 的不学&科&网等式 在 R 上恒成立，2,().xfaR()|2xfa则 a 的取值范围是（A） （B） （C） （D）47,2164739,1623,392,16【答案】所以 ，23a综上 故选 A学 &科*网4716第 卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2本卷共 12 小题，共 110 分。二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.（9）已知 ，i 为虚数单位，若 为实数，则 a 的值为 .aRi2a【答案】 2【解析】 为实数，()(1)(
6、2155ii ii则 .20,5a（10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 .【答案】 92【解析】设正方体边长为 ，则 ，a226183a外接球直径为 347923,RVR（11）在极坐标系中，直线 与圆 的公共点的个数为_.cos()06sin【答案】2【解析】直线为 ，圆为 ，因为 ，所以有两个交点2310xy22(1)xy314d（12）若 ， ，则 的最小值为_.,abR4ab【答案】 4【解析】 ，当且仅当 时取等号214ab21ab（13）在 中， ， ， .若 ， ，且ABC 60 3ABCBDC()AEBR，则 的值为_.4
7、DE【答案】 31（14）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答）【答案】 0【解析】 4134508AC三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.（本小题满分 13 分）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， ， .AB , ,abc5,6ac3sin5B（）求 和 的值；bsin（）求 的值.(2)4【答案】 (1) .(2) 13b72616.（本小题满分 13 分）从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯
8、的概率分别为.1,234（）设 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 的分布列和数学期望；X X（）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.【答案】 (1) (2) 148【解析】 （）随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,3.X，1(0)()(234PX，111)()()232342，()(144.32PX所以，随机变量 的分布列为0 1 2 3P142414124随机变量 的数学期望 .X113()02442EX（）设 表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为YZ(1)(,)(,)(0)1()0)PZZPY
9、PYZPYZ .4248所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为 .148（17） （本小题满分 13 分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC， .点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，90BACM 是线段 AD 的中点，PA =AC=4，AB=2.（）求证：MN平面 BDE；（）求二面角 C-EM-N 的正弦值；（ ）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ，求线段 AH 的长.721【答案】 （1）证明见解析（2） （3） 或 1052812（）证明： =（0，2，0） ， =（2，0， ）.设 ，为平面 BDE 的法向量，
10、DEDB(,)xyzn则 ，即 .不妨设 ，可得 .又 =（1，2， ） ，可得 .0DEBn20yxz1z(1,0)nMN0MNn所以，线段 AH 的长为 或 .851218.（本小题满分 13 分）已知 为等差数列，前 n 项和为 ， 是学 科.网首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，na()nSNnb, ， .231b3412a4b（）求 和 的通项公式；nb（）求数列 的前 n 项和 .21na()N【答案】 （1） . .（2） .3132843nnT【解析】 （I）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .ndnbq由 ， ，有 ，26na1214nnb21(3)4nnab故
11、 ，3458()T，24 1()nnn 上述两式相减，得 23 134(3)4nnT 1112(4)()438.nn得 .3nnT所以，数列 的前 项和为 .21nab 12843n（19） （本小题满分 14 分）设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 .已知 是抛物线2(0)xyabFA12A的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 .2)pl（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ） ，直线 与 轴相交lPQxAPBABQx于点 .若 的面积为 ，求直线 的方程.DA 62【答案】 （1） ， .（2） ，或 .2413yx
12、4x360y360xy【解析】 （）解：设 的坐标为 .依题意， ， ， ，解得 ， ，F(,0)c1ca2p12aca12c，于是 .2p2234bac所以，椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 .21yx24yx所以，直线 的方程为 ，或 .AP360xy360xy（20） （本小题满分 14 分）设 ，已知定义在 R 上的函数 在区间 内有一个零点 ，aZ432()2f xa(1,2)0x为 的导函数.()gxf（）求 的单调区间；（）设 ，函数 ，求证： ；01,)(,2mx0()()(hxgmxf0()hmx（）求证：存在大于 0 的常数 ，使得对于任意的正整数 ，且 满足A,pq01,2
13、.041|pxqA【答案】 （1）增区间是 ， ，减区间是 .（2） （3）证明见解析(,1)(,)41(,)4【解析】 （）由 ，可得 ，432)26fxxa2(896gxfx进而可得 .令 ，解得 ，或 .(8g()0g1当 x 变化时， 的变化情况如下表：(),gxx (,1)1(,)41(,)4()+ - +g 所以， 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 .()x(,1)(,)41(,)4（）证明：由 ，得 ，0)hxmf 0()hmgxfm.000()(xgf（III）证明：对于任意的正整数 ， ，且 ，pq01)(,2x令 ，函数 .pmq0()()(hgmxxf由（II）知，当 时， 在区间 内有零点；01,h0,)x当 时， 在区间 内有零点.0(,2x()x0(),所以 .所以，只要取 ，就有 .041|2|()pxqgq()2Ag041|pxqA
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