1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1若集合 ， ，则2Ax2,01BxABI（A） （B） （C） （D ）0， -1， ， -， ， -102， ， ，2.在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于i（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限3执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）sA 12B 56C 7D 124“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展
2、做出了重要的贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 若第一个单音的频率为 ，则第八个单音的频率为（ ）12 fA 3fB 32fC 15fD 27f5某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A 1B 2C 3D 46.设 均为单位向量，则 “ ”是“ ”的ab, 3abab（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件7. 在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距离.当 变dPcos,in20xmy,m化时， 的最大值为d（A）
3、 （B） 2 （C ）3 （D）418. 设集合 ，则,|1,4,2xyaxya对任意实数 ， 对任意实数 ，Aa2,AB,1A当且仅当 时， 当且仅当 时，C0,1D32a,二.填空（9）设 是等差数列，且 ， ，则 的通项公式为 。na13a256na（10）在极坐标系中，直线 与圆 相切，则 cosin(0)2cosa。（11）设函数 。若 对任意的实数 都成立，s6fx4fxfx则 的最小值为 。（12）若 满足 ，则 的最小值是 。,y12yxy（13）能说明“若 对任意的 都成立，则 在 上是增函数”0ff0,2fx0,2为假命题的一个函数是 。（14）已知椭圆 ，双曲线 。若双曲
4、线 的两条渐2:10xyMab2:1xyNmnN近线与椭圆 的四个交点及椭圆 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 的离M心率为 ；双曲线 的离心率为 。21 世纪教育网N三解答题（15）（本小题 13 分）在 ， ， ， 。ABC中 a78b1cos7B（）求 ；（）求 边上的高。（16）（本小题 14 分）如图，在三棱柱 中， 平面 , , , , 分别为 , ,1ABC1CABDEFG1AC, 的中点， , .1ACB52（I）求证： 平面 ;EF（II）求二面角 的余弦值；1CD（III）证明：直线 与平面 相交. FGBCD（16）（本小题 12 分）电影公司随机收集了电影的有关
5、数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类电影部数 1405302080510好评率 2.15.5.2.好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（ ）从电影公司收集的电影中随机选取 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；1（ ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，估计恰有 部获得好评的概率；2 11（ ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表示3 1k第 类电影得到人们喜欢，“ ” 表示第 类电影没有得到人们喜欢k0kk（ ）.写出方差 的大小关系【21世纪教育
6、网】1,2345,6 561234,DD（18）（本小题 13 分）设函数 ，2413exfxaxa（1）若曲线 在点 处的切线方程与 轴平行，求 ；yf,f xa（ 2） 若 在 处取得极小值，求 的取值范围fx2a（19）（本小题 14 分）已知抛物线 经过点 过点 的直线 与抛物线 有两个2:Cyp1,2P0,1QlC不同的交点 ， ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ABAyMPByN（1）求直线 的斜率的取值范围；l（2）设 为原点， ， ，求证： 为定值OQON20.（本小题 14 分）设 为正整数，集合 .对于集合 中的任意元n12|,.,0,1,2nkAtt nA素 和 ，记
7、12,.nx,.y1122, .nnMxyxxy 当 时，若 ，求 和 的值；I3n,0,M,当 时，设 是 的子集，且满足：对于 中的任意元素 ，当 相同时，4BAB,是奇数；当 不同时， 是偶数.求集合 中元素个数的最大值；,给定不小于 的 ，设 是 的子集，且满足：对于 中的任意两个不同的元素 ，I2n ,.写出一个集合 ，使其元素个数最多，并说明理由.21cnjy,0MB答案：一. 选择题1. 【答案】A2. 【答案】D，1i1iii()2z则 ，故 的共轭复数在第四象限，2i故选3. 【答案】 B【解析】根据程序框图可知，开始 ， ，1ks执行 ， ，此时 不成立，循环，12s3，
8、，此时 成立，结束，2563kk输出 s故选 B4. 【答案】 D【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以 为首项， 为公比的等比数列，f12故第八个单音的频率为 81272ff故选 5. 【答案】 C【解析】由三视图可知，此四棱锥的直观图如图所示，在正方体中， , , 均为直角三角形，PADPAB, , ，故 不是直角三角形3PB52C故选 C6. 【答案】 C【解析】 充分性： ，|3|ab，2222|69|6|ab又 ，可得 ，故 .|10abab必要性： ，故 ，所以 ，2222|69|6|abab所以 |3|7. 【答案】 C【解析】： ，所以 点的轨迹是圆。Pcos,inP直线
9、 恒过 点。20xmy,2转化为圆心到直线的距离加上半径取到最大值，所以答案为 3.8. 【答案】：D【解析】：若 ，则 。2,1A210342a则当 时， ； 当 时， 选 D3a, ,1A二.填空题9答案： 63nN解析：由题知，设等差数列公差为 ，所以： ，即 ，d12534ad13+4=6ad解得 ，所以 。13=6ad163nanN10 答案： 2解析： cosina直线方程转化为 即xy0xy2cso圆的方程转化为 即 、2xy2(1)xy直线与圆相切 1a解得 2a0211. 答案： 23解析：由题知： ，即 ，所以max14ffcos146，246kZ解得: ， ，所以 时，
10、。=830kmin2312答案：3解析：将不等式转换成线性规划，即 12xy目标函数 zyx如右图 在 处取最小值A(1,2)min3z13. 答案： ，23fxx答 案 不 唯 一解析：函数需要满足在 上的最小值为 ，并且在 上不单调。选取开口向下，0,0f,2对称轴在 上的二次函数均可，其余正确答案也正确。www.21-cn-,214. 【答案】： ，31【解析】：设正六边形边长为 ；根据椭圆的定义 ， ，t 231at2ct31cea椭 圆双曲线的渐近线方程为 ， ，所以 。3yxba=2cea双 曲 线三.解答题15. 【解析】（ ） ， ，所以 为钝角， ；ABC中 1cos7B24
11、3sin1cos7B由正弦定理： ，所以 ，siniabi3sin2aAb所以 ；或者 ；2,3AkZ2,3kZ又 ， 为钝角，所以 为锐角，所以 。BC中 A3A（） ， ，A中 13sini(=sin+sincos214BB） （ ）三角形 的面积 ，设 边上的高为 ，BC1i632ABCSabACh，所以 ，即 边上的高为 。18632ASbhh3216. 【解析】（I）证明： ，且 是 的中点，BCEA ,在三棱柱 中， , 分别是 , 的中点，1BFAC1 1EF 平面 ，CA 平面 ,B 平面 ， ,EF , 平面 ,EF 平面 .ACB（II）由（I）知， ， ， ,ACEB以
12、为原点， , , 分别为 轴， 轴， 轴Exyz建立如图所示空间直角坐标系，则有， , , ,02B10C1D,02C，1,2,设平面 的法向量 ，D,znxy ,即 ，0BCn20z ，.2,14易知平面 法向量1CD0,1m ，2cos,n由图可知，二面角 的平面角为钝角，1BC二面角 的余弦值 .1D2（III）方法一： , ,02FG0,1F平面 的法向量 ，BC2,4n设直线 与平面 的夹角为 ，D ，24sinco, 0512FGn 0直线 与平面 相交. FGBCD方法二：假设直线 与平面 平行，设 与 的交点为 ,连结 ，EM 平面 ,且平面 平面 ,F1B1BFECDBM ,
13、G ,四边形 为平行四边形， ,易知 ，FMBFBG假设不成立，直线 与平面 相交.CD17. 【解析】（ ）由表格可知电影的总部数 1140532085102获得好评的第四类电影 20.5设从收集的电影中选 部，是获得好评的第四类电影为事件 ,则A()4P（ ）由表格可得获得好评的第五类电影 2 80.216第五类电影总数为 未获得好评的第五类电影 80 04第四类电影总数为 未获得好评的第四类定影 2 5设从第四类电影和第五类电影中各随机选取 部，估计恰有 部获得好评为事件 B则115064506287()CPB（ ）351436DD18. 【解析】（1）函数定义域为 ，xR2()241e
14、413exfxaaxa ex，12xa若函数在 处切线与 轴平行，则,fx，即 1e0fa1a（2）由（1）可知 ，22e1exxfx a当 时，令 ， ，0a0fx2x,22,f 0fxZ极大值 不满足题意；当 时，令 ， 或 ，0a0f2x1a当 时，即 ，1ax,1a1,2a2,f 0fx极小值 Z极大值 不满足题意；当 时，0a1）当 ，即 时， ，函数 无极值点；210fx fx2）当 ，即 时，ax1,a1a1,2a2,f0fxZ极大值 极小值 Z满足题意；3）当 ，即 时，12a102ax,212,a1a,f0fxZ极大值 极小值 Z不满足题意综上所述，若 在 处取得极小值， f
15、2x12a19. 【解析】（1）由已知可得 ，所以抛物线 的方程为 42pC24yx令 ， ，1(,)Axy2(,)By直线 显然不能与 轴垂直，令其方程为 ，lx1ykx带入 整理得 ，24y214yk即 0k所以由已知可得 ，解得 且 160k1k0所以直线 的斜率 的取值范围为 l ,（2）由（1）知 ， 124yk12yk而点 ， 均在抛物线上，所以 ， (,)Ax(,)B214yx2因为直线 与直线 与 轴相交，Py则直线 与直线 的斜率均存在，即 ， 12y因为 ，1112214()4PAykxy所以直线 的方程为 ，1()x令 ，可得 ，即 0x242Myy12(0,)yM同理可
16、得 1(,)N而由 可得， ，所以 QO12y12y同理由 可得， ，所以 22所以 1121122()()1yyy1288444()2kkyy20. 【解析】解：（） , (10)(,1)(,)|(0|)202M1(,)(|)(1|)(01|)20（） ,1ixyQ0,0|2=1iiiiiiiixyxy或，因为 为奇数，则 有 1 项或 3 项为 1，其余为 0，所以理论上元素个数最4n(,)M多有 个。138C因为 为偶数 ，则两者同为 1 的项数为 0 或者 2（若为 4，则 与 相同）(,)(,)不 同。综上，最大个数为 4，或者(1,0),(0),(1),(0,)B。(1,0),1(,0),1B易知以上两种情况都可以满足题意，且一种情况集合中的元素与另一种情况集合中的元素结合，不满足题意，故最大个数为 4.21 教育网（）由（）可知，任两不同的元素 与 满足 ，(,)0M则 与 无同一位置同为 1.元素个数最大为 ,1n(0,.),(.0)(.,).(0,.1)B
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