【全国Ⅰ卷】2018年普通高校招生全国统一考试数学（理科）试卷（含答案解析）

1、绝密启用前 试卷类型：A2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。21 2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后

2、再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21c njy1设 ，则 （ ）2izzA0 B C D1122已知集合 ，则 （ ）2|0xARA B|1|12x C D|2xx|x 3某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ）A新农村建设后，种植收入减少B新

3、农村建设后，其他收入增加了一倍以上C新农村建设后，养殖收入增加了一倍D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4记 为等差数列 的前 项和若 ， ，则 （ ）nSna324S12a5A B C D12121005设函数 若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为（ 32fxxfxyfx0，）A B C D2yxyx2yxyx6在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 （ ）BCADEADEBA B314 134AC D C7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点MAN为 ，则在此

4、圆柱侧面上，从 到 的路径中，最短路径的长度为（ BM）21cn jycomA B C D22172538设抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 交于 ， 两点，则24Cyx： F20， CMN（ ）FMNA5 B6 C7 D89已知函数 ， ，若 存在 2 个零点，则 的取值范围是（ 0lnxef， ， gxfxagxa）A B C D10， 0， 1， 1，10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边 ，直角边 ，ABAB， 的三边所围成的区域记为 ，黑色部分记为，其余部分ACB记为，在整个图形中随机取一点，此点取自

5、，的概率分别记为 ， ， ，则（ ）1p23A B C D13p23p123p11已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线与 的两条渐近线的交点分23xCy： OFFC别为 ， 若 为直角三角形，则 （ ）【来源：21世纪教育网】MN MNA B3 C D42 2312已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）21世纪*教育网A B C D342332432二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若 满足约束条件 ，则 的最大值为_xy，201xy 32zxy14记 为数列 的前 项和若 ，则

6、_nSna21nSa6S15从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种（用数字填写答案）www-2-1-cnjy-com16已知函数 ，则 的最小值是_2sinfxxf三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。2-1-c-n-j-y（一）必考题：共 60 分。17（12 分）在平面四边形 中， ， ， ， ABCD90 45A 2B5D（1）求 ；cos（2）若 ，求 2DC18（12 分）如图，四边形 为正方形， ，A

7、BCE分别为 ， 的中点，以 为折痕把FDF折起，使点 到达点 的位置，且 P21*cnjy*comPB（1）证明：平面 平面 ；EF AB（2）求 与平面 所成角的正弦值D19（12 分）设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点，点 的坐标为21xCy： FlCABM20，（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；lxAM（2）设 为坐标原点，证明： OOB 20（12 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设

8、每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不01p合格品相互独立www.21-cn-（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ，求 的最大值点 ；fpf0（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以中确定的 作为 的值已知每件产p品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ，求 ；XE（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21（12 分）已知函数 1lnfxax（1）讨论 的单调性；f（

9、2）若 存在两个极值点 ， ，证明： fx1x212fxfa（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系 中，曲线 的方程为 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐xOy1C2ykxx标系，曲线 的极坐标方程为 【来源：21cnj*y.co*m】2C2cos30（1）求 的直角坐标方程；（2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程12 1C23选修 45：不等式选讲 （10 分）已知 1fxax（1）当 时，求不等式 的解集；f（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围01x

10、， fxa2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案解析编辑整理：潮阳区谷饶中学张泽锋一、选择题。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C B A B D A B D C A B A二、填空题。13 14 15 1666316321、C 解析： 2()1iiizii201z2、B 解析： 2|0|2Axx或 |RCAx3、A 解析：设建设前经济收入为 ，则建设后经济收入为 .aa对于 A 项：种植收入原来为 ，后来为 ，增加，故 A 错误；.6237%=0.4A对于 B 项：其他收入原来为 ，后来为 ，增加的倍数为 ，故 B 正4510.14.51a确；对于 C 项：养

11、殖收入原来为 ，后来为 ，增加的倍数为 ，故 C 正确；0.3a230.6aA.63对于 D 项：新农村建设后，养殖收入为 ，第三产业收入为 ，而经济收入的=28%=0.5aA一半为 ，则 ，故 D 正确 .12a.6+51.4、B 解析：设等差数列的公差为 .d则 .1111513()4242(3)103daad5、D 解析： 为奇函数 ()fx3232()1)(1)fxaxax恒成立 ，则2(1)0ax10a3 2()()31fxfx在点 处的切线斜率为 ，则所求切线方程为 ，即 .f, ()1kf 0yyx6、A 解析： .()()2224EBDACBACBAAC7、B 解析：将此圆柱的

12、四分之一侧面展开如右图所示：则最短路径为 45MN8、D 解析：由已知，得 ，直线为(1,0)F(2)3yx则244(1,)4,2()3yxxMNy或.0,(38FMNA9、C 解析： 存在 2 个零点)gx方程 有两个根(fa方程 有两个根)=x函数 与函数 的图象有两个不同交点(yfyxa如右图所示，则只需 即可1，即 的取值范围是 .1a,)10、A 解析：此题属于几何概型，总区域面积相同，故只要求出，的面积进行比较即可。设 ，则,BCbABc22ba则 ，12Sc 22221111()()()()8cbccabc，故 .23()8aa12P11、B 解析：由已知，得 ，31b则 ，渐近

13、线的方程为224cabc(2,0)F3yx则 ，由于双曲线的对称性，不妨设30MOF90OMN法一：在 中， ，RtA30O2则 cos302在 中， ，则RtMONA609063ONM3tan0法二：直线 的倾斜角为 ，其斜率为9+0=12tan1203k故直线 的方程为MN3()yx则3(2)3(,)2yxMy3(2)3(,3)yxNy22(3)()MN12、A 解析：如下图所示，平面 与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，则1ABC.1/BC平 面 平 面构造 ，设1/NPQRS平 面 平 面 1Sx则 ， ，2S2M2(1)RQPNx则 66(1)+(1) 2SRQPSNP xx六

14、边 形 梯 形 梯 形 2 23133()4x当 时， .12xmax4S13、6 解析：画出可行域如右图所示：将 变形为 ， 最大，即截距 最大.32zxy32zx2z则当直线 平移经过点 时，截距最大.(,0)A.max06z14、-63 解析： 21nSa当 时，1n1当 时，2n，得 ，即- 12nna12()na数列 是首项为-1，公比为 2 的等比数列n661(2)3S15、16 解析：法一（直接法）：分成两类：1 女 2 男、2 女 1 男则不同的选法共有 （种）.12146C法二（间接法）：“至少有 1 位女生入选”的对立事件为“没有一位女生入选”则不同的选法共有 （种）.36

15、416、 解析：法一：易知 的最小正周期为 ，则问题转化求 在 的最小值.2()fx2T()fx0,2()sinfx 2cos2co(s1)xx2(1)co令 ，则cos(1)txt()21)(fxt令 ，得)0ft或当 时， ， 单调递减；2t()0fx()f当 时， ， 单调递增.1当 时， 取得最小值，此时t()fx15cos23xx或又 ，23()sini3f5103()insi2fmin()fx法二： 2siincos2in(cos1)fxxx令 co(1)tt则 22334)44(1)=()fxtt4127)4tt当且仅当 ，即 时等号成立.3t2t.min3()()2fxfx17

16、、解：（1）在 中，由正弦定理，得 ADBsin45i2ii 5B又 ，故 为锐角.AD4AADB.23cos1()5（2）由（1）知， 2coscs(90)sin5BCAB在 中，由余弦定理，得BDCA22osDA2225()55又 .0BC18、解：（1）证明： 四边形 为正方形 ABCDA分别为 的中点 EF， ，即/ EF又 ,PBPP、 平 面又平 面 BAD平 面EFA平 面 平 面（2）法一（几何法）：如图，过点 作 于点 ，连接 .PHEFDH由（1）知， P平 面 平 面且 ，=BDEF平 面 平 面PH平 面 A平 面为直线 与平面 所成角的平面角PBF由（1）知， BFE

17、平 面又 E平 面P又 /AD不妨设正方形的边长为 2，则 1,2PFDEF，213PE25在 中，FA2HE在 中，RtPDA32sin4PHD直线 与平面 所成角的正弦值为 .BF法二（坐标法）：过点 作 于点PHEF由（1）知， ABD平 面 平 面且 ，=EF平 面 平 面 P平 面PH平 面如图，以 为原点建立空间直角坐标系 .Hxyz不妨设正方形的边长为 2，则 1,2PFDEF由（1）知， B平 面又 PE平 面F又 /AD，213PE215F在 中，FA2PEPF，H223()H，则3(0,),(1,0)2PD(1,)P显然平面 的一个法向量为ABF,0m设直线 与平面 所成角

18、为 则32sinco, 491DPA直线 与平面 所成角的正弦值为 .DPBF319、解：（1）由已知，得 221cabc则 ，直线 的方程为 .(,0)Fl1x将 代入 ，得 ，则1x2y22(1,)(,)A或直线 的方程为 或AM20()1yx20()1yx即 或 .2yx2（2）当 与 轴重合时， ；l 0OAMB当 与 轴垂直时， 为 的垂直平分线，则 ；x OAMB当 与 轴既不重合也不垂直时，设 ，l :(1)lykx由 消去 ，得2(1)ykxy22(1)40k422216(1)80k设 ， ，则 ， .,)Axy2,B1x2x，1241k2kx212211 1()()MAByx

19、kxk12213()4kxx2241kkA3322480kk直线 与直线 的倾斜角互补，则 .MABOMAB综上所述， .O20、解：（1）设不合格品的件数为 ,则 ，其中 .Z(20,)p1p（ ）2180()()fpPZCp则 2187170 ()38()0) A令 ，得()f当 时， ， 单调递增；10p()0fp()f当 时， ， 单调递减.当 时， 取得最大值，即 的最大值点 .10()f()fp01p（2）（i）由（1）知， 10p设余下的 180 件产品中的不合格品件数为 ，则Y(18,)0B，且()801EY2542X.425)()0+=9()XYE元（ii）如果对整箱产品进行

20、检查，则检验费用与赔偿费用的和为 20490X应该对这箱余下的所有产品作检验.21、解：（1）由已知，得2 211() ()axfx令 ，2()10gxa4 当 ，即 时， ，则 函数 在 上单调递增.02()0gx()0fx()fx0,) 当 ，即 时，令 ，a或214a224a（i）当 时，则2120x当 时， ，则 函数 在 上单调递增.0x()g()f()fx0,)（ii）当 时，则a21x当 时， ，则 ， 单调递减；1x或 ()0()fx()f当 时， ，则 ， 单调递增.2gxf综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 ，a()f0,)2a()fx240,)a上单

21、调递减，在 上单调递增.24(,)224(,)a（2）法一：由（1）知， 存在两个极值点当且仅当()fxa的两个极值点 ， 满足()fx12210ax，不妨设 ，则120112212ln(ln)()xaxafxf1212lxx221lnlnxaa1222() l0fxfx令 ()ln(1)g由（1）知， 在 上单调递减)x,，即()022lnx0原命题得证，即 .12()ffa法二：由（1）知， 存在两个极值点当且仅当()fx2a的两个极值点 ， 满足()fx12210x，不妨设 ，则120112221ln(ln)()xaaxffxx1212lx21lnxa12211()l0fxf令 ，则21

22、()tx212xtt令 ()ln()tgt则2 21(1)() 0tttt A在 上单调递减，则 .gt,()gt原命题得证，即 . 12()fxfa22、解：（1） 2:cos30C将 代入上式，得22,sxyx的直角坐标方程为 ，即 .22y2(1)4xy（2）由（1）知， 是圆心为 ，半径为 的圆.C(1,0)A1,:2kxy是过点 且关于 轴对称的两条射线. 1(0,)By记 轴右边的射线为 ， 轴左边的射线为 . y1l2l由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个公共点且 与 有两个公2C2C1l2C2lC共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点 .

23、l 1l当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 . 12A22|1k43k0经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与 有两个公共点.0k1l2C43k1l2C2lC 当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或 . 2l 2l 2|1k0k43经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点.0k1l243k2l综上所述， 的方程为 .1C4|3yx23、解：（1）当 时， 可化为：a()1f(+)12xx 无 解 1() xxx 11()2综上所述，不等式 的解集为 .()fx(,)（2）法一：当 时，0,1)1fxax11axax对任意 恒成立，即20(0,)min20()ax又 当 时， (,)x2x，即 的取值范围为 .2a(,法二：当 时，(0,1)11faxax 当 时， ，不符合题意；x 当 时，a 20xxa.2102综上所述， 的取值范围为 .(0,