1、2019 年浙江省杭州市萧山区城厢片五校中考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1（3 分） （ ）A2 B2 C D22（3 分）据科学家估计，地球的年龄大约是 4600000000 年，将 4600000000 用科学记数法表示为（ ）A4.610 8 B4610 8 C4.6 9 D4.610 93（3 分）如图，直线 l1l 2l 3，直线 AC 分别交 l1，l 2，l 3 于 A，B，C；直线 DF 分别交 l1，l 2，l 3 于 D，E，F已知 ，则（ ）A B C D4（3 分）如图是杭州市某天上午和下午各四个整点时的气温绘制成的
2、折线统计图，为了了解该天上午和下午的气温哪个更稳定，则应选择的统计量是（ ）A众数 B平均数 C方差 D中位数5（3 分）下列各式变形中，正确的是（ ）A（ ） 2 x B（x1）（1x）1x 2C Dx 2+x+1（x+ ）6（3 分）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的 2 倍，设男孩有 x 人，女孩有 y 人，则下列方程组正确的是（ ）A BC D7（3 分）若（5m） 0，则（ ）Am5 B3m5 C3m5 D3m 58（3 分）已知 A，B 两地相距 120 千米，甲、乙两人沿同一条公路
3、从 A 地出发到 B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中 DE，OC 分别表示甲、乙离开 A 地的路程 s（单位：千米）与时间 t（单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y（单位：千米），则 y 关于 t 的函数图象是（ ）A BC D9（3 分）如图，AB 是O 的直径，点 D 是半径 OA 的中点，过点 D 作 CDAB，交O 于点 C，点 E 为弧 BC 的中点，连结 ED 并延长 ED 交 O 于点 F，连结 AF、BF，则（ ）AsinAFE Bcos BFE CtanEDB Dtan BAF 10（3 分）如图，已知在ABC 中，点 D 为 BC 边上一点（不与
4、点 B，点 C 重合），连结 AD，点 E、点 F 分别为 AB、AC 上的点，且 EFBC，交 AD 于点 G，连结 BG，并延长 BG 交 AC 于点 H已知 2，若 AD 为 BC 边上的中线， 的值为 ；若 BH AC，当 BC2CD 时， 2sin DAC则（ ）A正确； 不正确 B 正确； 正确C不正确；正确 D不正确； 正确二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11（3 分）计算：aa 2 12（3 分）分解因式：m 4n4m 2n 13（3 分）如图，点 P 在O 外，PA、PB 分别切 O 于点 A、点 B，若P50，则A 14（3 分）有 6 张卡片，每
5、张卡片上分别写有不同的从 1 到 6 的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，不放回，再抽出一张卡片，以第一次抽取的数字为十位数，第二次抽取的数字为个位数，则组成的两位数是 6 的倍数的概率是 15（3 分）已知在ABCD 中，B 和C 的平分线分别交直线 AD 于点 E、点F，AB5，若 EF4 时，则 AD 的取值范围是 16（3 分）在ABC 中，点 A 到直线 BC 的距离为 d，ABAC d，以 A 为圆心，AC 为半径画圆弧，圆弧交直线 BC 于点 D，过点 D 作 DE AC 交直线 AB 于点 E，若BC4，DE1，EDAACD，则 AD 三、解答题17（6 分）跳跳一家外出自驾游
6、，出发时油箱里还剩有汽油 30 升，已知跳跳家的汽车没百千米平均油耗为 12 升，设油箱里剩下的油量为 y（单位：升），汽车行驶的路程为x（单位：千米），（1）求 y 关于 x 的函数表达式；（2）若跳跳家的汽车油箱中的油量低于 5 升时，仪表盘会亮起黄灯警报要使邮箱中的存油量不低于 5 升，跳跳爸爸至多能够行驶多少千米就要进加油站加油？18（8 分）为了满足学生的个性化需求，新课程改革已经势在必行，某校积极开展拓展性课程建设，大体分为学科、文体、德育、其他等四个框架进行拓展课程设计为了了解学生喜欢的拓展课程类型，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（未绘制
7、完整）（1）求调查的学生总人数，并把条形图补充完整并填写扇形图中缺失的数据；（2）小明同学说：“因为调查的同学中喜欢文体类拓展课程的同学占 16%，而喜欢德育类拓展课程的同学仅占 12%，所以全校 2000 名学生中，喜欢文体类拓展课程的同学人数一定比喜欢德育类拓展课程的同学人数多”你觉得小明说得对吗？为什么？19（8 分）如图，已知在ABC 中，ABAC ，点 D 为 BC 上一点（不与点 B、点 C 重合），连结 AD，以 AD 为边在 AC 同侧作ADE，DE 交 AC 于点 F，其中ADAE，ADE B（1）求证：ABDAEF；（2）若 ，记ABD 的面积为 S1，AEF 的面积为 S
8、2，求 的值20（10 分）在同一平面直角坐标系中，设一次函数 y1mx+n（m ，n 为常数，且m0，mn）与反比例函数 y2 （1）若 y1 与 y2 的图象有交点（1，5），且 n4m ，当 y15 时，y 2 的取值范围；（2）若 y1 与 y2 的图象有且只有一个交点，求 的值21（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，2ABBC，点 E 和点 F 为边 AD 上两点，将矩形沿着 BE 和 CF 折叠，点 A 和点 D 恰好重合于矩形内部的点 G 处，（1）当 ABBC 时，求GEF 的度数；（2）若 AB ，BC2，求 EF 的长22（12 分）在平面直角坐标系中，函数 y1ax+
9、b（a、b 为常数，且 ab0）的图象如图所示，y 2bx+a，设 yy 1y2（1）当 b2a 时，若点（ 1，4 ）在函数 y 的图象上，求函数 y 的表达式；若点（ x1，p）和（x 2，q）在函数 y 的图象上，且| x | ，比较 p，q 的大小；（2）若函数 y 的图象与 x 轴交于（m ，0）和（n，0）两点，则求证：m 23（12 分）已知在ABC 中，ABAC ，ADBC ，垂足为点 D，以 AD 为对角线作正方形 AEDF，DE 交 AB 于点 M，DF 交 AC 于点 N，连结 EF，EF 分别交 AB、AD、AC 于点 G、点 O、点 H（1）求证：EGHF；（2）当B
10、AC60时，求 的值；（3）设 k，AEH 和四边形 EDNH 的面积分别为 S1 和 S2，求 的最大值2019 年浙江省杭州市萧山区城厢片五校中考数学模拟试卷（3 月份）参考答案与试题解析一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1（3 分） （ ）A2 B2 C D2【分析】根据立方根解答即可【解答】解： ，故选：D【点评】此题考查立方根，关键是根据8 的立方根是2 解答2（3 分）据科学家估计，地球的年龄大约是 4600000000 年，将 4600000000 用科学记数法表示为（ ）A4.610 8 B4610 8 C4.6 9 D4.610 9【分析】科学记数法
11、的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值是易错点，由于 4 600 000 000 有 10 位，所以可以确定 n1019【解答】解：4 600 000 0004.610 9故选：D【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键3（3 分）如图，直线 l1l 2l 3，直线 AC 分别交 l1，l 2，l 3 于 A，B，C；直线 DF 分别交 l1，l 2，l 3 于 D，E，F已知 ，则（ ）A B C D【分析】由直线 l1l 2l 3，可得 ，由此即可解决问题【解答】解：直线 l1l 2l 3， ， ，故选：C【点评】本
12、题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型4（3 分）如图是杭州市某天上午和下午各四个整点时的气温绘制成的折线统计图，为了了解该天上午和下午的气温哪个更稳定，则应选择的统计量是（ ）A众数 B平均数 C方差 D中位数【分析】方差（或标准差）越大，数据的离散程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好，据此求解可得【解答】解：为了了解该天上午和下午的气温哪个更稳定，应选择的统计量是方差，故选：C【点评】本题主要考查折线统计图和统计量的选择，解题的关键是掌握方差的意义：方差（或标准差）越大，数据的历算程度越大，稳定性越小；反之，则离散程度越小，稳定性越好
13、5（3 分）下列各式变形中，正确的是（ ）A（ ） 2 x B（x1）（1x）1x 2C Dx 2+x+1（x+ ）【分析】根据二次根式的性质、平方差公式、分式的基本性质、配方法计算，判断即可【解答】解：（ ） 2x，A 正确；（x1）（1x ）1+x 2，B 错误； ，C 错误；x2+x+1（x+ ） 2+ ，D 错误；故选：A【点评】本题考查的是二次根式的化简、平方差公式、分式的基本性质，掌握二次根式的性质、平方差公式和配方法的一般步骤是解题的关键6（3 分）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽
14、的 2 倍，设男孩有 x 人，女孩有 y 人，则下列方程组正确的是（ ）A BC D【分析】利用每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色的多 1 倍，进而分别得出等式即可【解答】解：设男孩 x 人，女孩有 y 人，根据题意得出：，解得： ，故选：C【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意利用已知得出正确等量关系是解题关键7（3 分）若（5m） 0，则（ ）Am5 B3m5 C3m5 D3m 5【分析】根据不等式的性质即可求出答案【解答】解：原不等式等价于 ，3m5，故选：D【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型8
15、（3 分）已知 A，B 两地相距 120 千米，甲、乙两人沿同一条公路从 A 地出发到 B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中 DE，OC 分别表示甲、乙离开 A 地的路程 s（单位：千米）与时间 t（单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y（单位：千米），则 y 关于 t 的函数图象是（ ）A BC D【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出出各个选项中的量，从而可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题【解答】解：由题意和图象可得，乙到达 B 地时甲距 A 地 120km，开始时两人的距离为0；甲的速度是：120（31）60km/h，乙的速度是：803 ，即乙出发
16、1 小时后两人距离为 ；设乙出发后被甲追上的时间为 xh，则 60（x1） x，得 x1.8，即乙出发后被甲追上的时间为 1.8h所以符合题意的函数图象只有选项 B故选：B【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答9（3 分）如图，AB 是O 的直径，点 D 是半径 OA 的中点，过点 D 作 CDAB，交O 于点 C，点 E 为弧 BC 的中点，连结 ED 并延长 ED 交 O 于点 F，连结 AF、BF，则（ ）AsinAFE Bcos BFE CtanEDB Dtan BAF 【分析】连接 OC、OF，作 EGAB 于 G，根据直
17、角三角形的性质得到OCD30，根据特殊角的三角函数值判断【解答】解：连接 OC、OF，作 EGAB 于 G，OD OC，OCD30，COD60，BOC18060120，AFE BOC60， ，A 错误；点 E 为弧 BC 的中点，BOE BOC60，BFE 30，cosBFE ，B 错误；设 ODa，则 OC2a，由勾股定理得，CD a，在COD 和EOG 中，CODEOG（AAS ）EGCD a，OGOD a，tanEDB ，C 正确；tanEDB ，EDB60，则BAF 60，tanBAF ，D 错误；故选：C【点评】本题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握
18、圆周角定理、直角三角形的性质是解题的关键10（3 分）如图，已知在ABC 中，点 D 为 BC 边上一点（不与点 B，点 C 重合），连结 AD，点 E、点 F 分别为 AB、AC 上的点，且 EFBC，交 AD 于点 G，连结 BG，并延长 BG 交 AC 于点 H已知 2，若 AD 为 BC 边上的中线， 的值为 ；若 BH AC，当 BC2CD 时， 2sin DAC则（ ）A正确； 不正确 B 正确； 正确C不正确；正确 D不正确； 正确【分析】 过点 B 作 BMAC ，与 AD 的延长线相交于点 M，可得ADCMDB ，由 EFBC 得 AG：GD，进而得 MG：AG，再由相似三角
19、形得结果，便可判断是否正确；过点 D 作 DNAC 于点 N，再解直角三角形和应用相似三角形的比例线段便可判断的正误【解答】解：过点 B 作 BMAC ，与 AD 的延长线相交于点 M，CMBD，在ACD 和MBD 中，ACDMBD（ASA），ADMD ，EFBC， ， ， ，BMAC，MBGAHG， ， ，故正确；（2）过点 D 作 DNAC 于点 N，则 DNADsinDAC，BHAC，DNAC，BHDN， ，即 ，BC2CD， ， 故错误；故选：A【点评】本题是三角形的一个综合题，主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，关键是作辅助线，构造全等三角形与相似
20、三角形、直角三角形进行解答二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11（3 分）计算：aa 2 a 3 【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即amana m+n 计算即可【解答】解：aa 2a 1+2a 3故答案为：a 3【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键12（3 分）分解因式：m 4n4m 2n m 2n（m+2）（m2） 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式m 2n（m 24）m 2n（m+2）（m2），故答案为：m 2n（m+2）（m 2）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合
21、运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键13（3 分）如图，点 P 在O 外，PA、PB 分别切 O 于点 A、点 B，若P50，则A 65 【分析】根据切线的性质知 PAPB，结合三角形内角和定理和等腰三角形的性质解答【解答】解：如图，PA、PB 分别切 O 于点 A、点 B，PAPBAB P50，AB （18050）65故答案是：65【点评】考查了切线的性质解题的关键是掌握切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等14（3 分）有 6 张卡片，每张卡片上分别写有不同的从 1 到 6 的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，不放回，再抽出一张卡片，以第一次抽取的数字为十位数，第
22、二次抽取的数字为个位数，则组成的两位数是 6 的倍数的概率是 【分析】列表得出所有等可能结果，找到组成的两位数是 6 的倍数的结果数，再利用概率公式计算可得【解答】解：列表如下：1 2 3 4 5 61 12 13 14 15 162 21 23 24 25 263 31 32 34 35 364 41 42 43 45 465 51 52 53 54 566 61 62 63 64 65由表格中，共有 30 种等可能结果，其中组成的两位数是 6 的倍数的有 5 种结果，组成的两位数是 6 的倍数的概率是 ，故答案为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树状图法可以不
23、重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比15（3 分）已知在ABCD 中，B 和C 的平分线分别交直线 AD 于点 E、点F，AB5，若 EF4 时，则 AD 的取值范围是 0AD6 或 AD14 【分析】由角平分线的性质和平行四边形的性质可求 ABAE5，DFCD5，分点E 在点 F 右边，点 E 在点 F 左边两种情况讨论，可求 AD 的取值范围【解答】解：若点 E 在点 F 右边，如图，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AB CD 5AEB EBC，BE 平分ABCABE EBC，AEB ABEABAE5，同理可得：DFCD5ADAE+DFEF
24、 10EFEF40AD6若点 E 在点 F 左边，如图，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AB CD 5AEB EBC，BE 平分ABCABE EBC，AEB ABEABAE5，同理可得：DFCD5ADAE+EF +FD10+EFEF4AD14故答案为：0AD6 或 AD14【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键16（3 分）在ABC 中，点 A 到直线 BC 的距离为 d，ABAC d，以 A 为圆心，AC 为半径画圆弧，圆弧交直线 BC 于点 D，过点 D 作 DEAC 交直线 AB 于点 E，若BC4，DE1，EDA ACD，则
25、AD 2 或2+2 【分析】分两种情形画出图形，利用平行线分线段成比例定理等知识构建方程求解即可【解答】解：分两种情形：如图 1 中，当点 D 在线段 BC 上时DEAC，ADECAD，ADEC，CADC，DADC，ADAC，ADDCAC，设 ADx，DEAC， ， ，解得 x2如图 2 中，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，同法可证：ADDCAC，设 ADx，DEAC， ， ，解得 x2+2 或22 （舍弃），综上所述，满足条件的 AD 的值为 2 或2+2 ，故答案为 2 或2+2 【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思
26、考问题，学会利用参数构建方程解决问题三、解答题17（6 分）跳跳一家外出自驾游，出发时油箱里还剩有汽油 30 升，已知跳跳家的汽车没百千米平均油耗为 12 升，设油箱里剩下的油量为 y（单位：升），汽车行驶的路程为x（单位：千米），（1）求 y 关于 x 的函数表达式；（2）若跳跳家的汽车油箱中的油量低于 5 升时，仪表盘会亮起黄灯警报要使邮箱中的存油量不低于 5 升，跳跳爸爸至多能够行驶多少千米就要进加油站加油？【分析】（1）表示出油箱中油的剩余量，然后列出关系式即可；（2）求出剩余油量是 5 升时的行驶里程，然后与两地间的距离比较即可判断【解答】解：（1）y 关于 x 的函数表达式为：y
27、0.12x +30；（2）当 y5 时，0.12x +305，x答：跳跳爸爸至多能够行驶 千米就要进加油站加油【点评】本题考查了一次函数的应用，已知函数值求自变量的值，读懂题目信息，理解剩余油量的表示是解题的关键18（8 分）为了满足学生的个性化需求，新课程改革已经势在必行，某校积极开展拓展性课程建设，大体分为学科、文体、德育、其他等四个框架进行拓展课程设计为了了解学生喜欢的拓展课程类型，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图（未绘制完整）（1）求调查的学生总人数，并把条形图补充完整并填写扇形图中缺失的数据；（2）小明同学说：“因为调查的同学中喜欢文体类拓展课
28、程的同学占 16%，而喜欢德育类拓展课程的同学仅占 12%，所以全校 2000 名学生中，喜欢文体类拓展课程的同学人数一定比喜欢德育类拓展课程的同学人数多”你觉得小明说得对吗？为什么？【分析】（1）由文体的人数及其百分比可得总人数，总人数乘以学科对应的百分比求得其人数，根据百分比之和等 1 求得其它对应的百分比，据此可补全图形；（2）根据样本估计总体思想的应用求解可得【解答】解：（1）被调查的总人数为 416%25（人），学科的人数为 2532%8（人），其它的百分比为 1（32%+16%+12% ）40%，补全图形如下：（2）不对，样本容量不够大，无法用局部预测整体【点评】本题考查的是条形统
29、计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小19（8 分）如图，已知在ABC 中，ABAC ，点 D 为 BC 上一点（不与点 B、点 C 重合），连结 AD，以 AD 为边在 AC 同侧作ADE，DE 交 AC 于点 F，其中ADAE，ADE B（1）求证：ABDAEF；（2）若 ，记ABD 的面积为 S1，AEF 的面积为 S2，求 的值【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到BC，ADEE，求得BE，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）
30、ABBC，BC，ADAE，ADEE，又ADEB ，BE ，BDEADB+ADE C+DFCE+AFEADBAFE，ABDAEF；（2）由（1）得，ABDAEF， （ ） 2 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键20（10 分）在同一平面直角坐标系中，设一次函数 y1mx+n（m ，n 为常数，且m0，mn）与反比例函数 y2 （1）若 y1 与 y2 的图象有交点（1，5），且 n4m ，当 y15 时，y 2 的取值范围；（2）若 y1 与 y2 的图象有且只有一个交点，求 的值【分析】（1）把（1，5）代入一次函数解析式和 n4m
31、，联立方程组求得反比例函数解析式，然后由反比例函数图象性质解答（2）利用反比例函数与一次函数交点的求法得到敢于 x 的一元二次方程mx2+nx（m+n）0，根据根的判别式0 求得 m+2n0，易得答案【解答】解：（1）把（1，5）代入 y1mx+n，得 m+n 5又n4m，m1，n4y 1x+4，y 2 当 y15 时，x 1此时，0y 25（2）令 mx +n，得 mx2+nx（m +n）0由题意得，n 2+4m（m+ n）（m +2n） 20，即 m+2n0 2【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确利用数形结合分析是解题关键21（10 分）如图，在矩形 ABCD 中，2
32、ABBC，点 E 和点 F 为边 AD 上两点，将矩形沿着 BE 和 CF 折叠，点 A 和点 D 恰好重合于矩形内部的点 G 处，（1）当 ABBC 时，求GEF 的度数；（2）若 AB ，BC2，求 EF 的长【分析】（1）由折叠的性质可得 ABBG，CDCG；EGBA90FGC，可得 BGBCGC，可得BGC60，ABG30，由四边形内角和可求AEG360A BGEABG150，可求 GEF 的度数；（2）由折叠的性质可得 ABBG，CDCG，AEEG ， DFFG，由勾股定理的逆定理可得BGC90，可得GBC45，由四边形内角和可求AEG360ABGE ABG 135 ，可求FEG45
33、，由线段关系可求 EF 的长【解答】解：（1）当 ABBC 时，矩形 ABCD 为正方形由折叠得，ABBG ，CD CG ；EGBA90 FGC，ABBCCDBGBCGCBGC60ABG30AEG360A BGEABG150GEF30（2）在矩形 ABCD 中，AB CD由折叠得，ABBG ，CD CG ，AEEG ，DFFGBGGC ，BG 2+CG24 ，BC 24，BG 2+CG2BC 2，BGC90，且 BGCG ，GBC45AEG360A BGE ABG135FEG45，同理可得EFG45，EGF 为等腰直角三角形设 EGx，则 AEFDx，EF x，得（2+ ）x2，x2EF x2
34、 2【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，证明EGF 为等腰直角三角形是本题的关键22（12 分）在平面直角坐标系中，函数 y1ax+b（a、b 为常数，且 ab0）的图象如图所示，y 2bx+a，设 yy 1y2（1）当 b2a 时，若点（ 1，4 ）在函数 y 的图象上，求函数 y 的表达式；若点（ x1，p）和（x 2，q）在函数 y 的图象上，且| x | ，比较 p，q 的大小；（2）若函数 y 的图象与 x 轴交于（m ，0）和（n，0）两点，则求证：m 【分析】（1）根据 b2a 代入 yy 1y2 中，即可求出 a 的值，于是可求出函数 y的表
35、达式；求出函数 yy 1y2 的对称轴，对点（x 1，p）和（x 2， q）在函数 y 的图象的位置进行比较，即可得到 p，q 的大小关系；（2）求出函数 yy 1y2 与 x 轴的交点，从而得到 mn 的值，即可证明相关结论【解答】解：（1）由题意得 y（ax+b）（bx +a）当 b2a 时，y（ax 2a）（2ax +a）把（ 1，4）代入，得， a24由题意可知，a0，则 a2故函数 y 的表达式为 y（2x +4）（4x2）令（ ax2a）（2ax+a）0得 x12，x 2二次函数 y（ax 2a）（2ax +a）与 x 轴的两个交点坐标为（2，0）、（ ，0）二次函数 y 的对称轴
36、为直线 x又|x |点（x 1，p）离对称轴较近，且抛物线 y 开口向下pq故 p，q 的大小为 pq（2）证明：令（ax+b）（bx+a）0得，x 1 ，x 2mn（ ）（ ）1mn1即 m 得证【点评】本题考查的是一次函数及二次函数的应用，利用函数与方程及不等式的关系解题是关键23（12 分）已知在ABC 中，ABAC ，ADBC ，垂足为点 D，以 AD 为对角线作正方形 AEDF，DE 交 AB 于点 M，DF 交 AC 于点 N，连结 EF，EF 分别交 AB、AD、AC 于点 G、点 O、点 H（1）求证：EGHF；（2）当BAC60时，求 的值；（3）设 k，AEH 和四边形 E
37、DNH 的面积分别为 S1 和 S2，求 的最大值【分析】（1）根据正方形的性质得到 OEOF ，EFAD，根据平行线的性质得到AGH B，AHGC，根据等腰三角形的性质得到BC，求得AGH AHG，于是得到结论；（2）当BAC60时，ABC 为正三角形设 OHa，则 OAOE OF a，求得 EH（ +1）a，HF （ 1）a，根据相似三角形的性质得到 ，得到 CD2a，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）设 EH2m，则 FH2km 求得 OA EF（k+1）m，得到 S1（k+1）m 2，于是得到结论【解答】解：（1）在正方形 AEDF 中，OEOF，EFAD，ADBC，EFBC，A
38、GH B，AHG C，而 ABAC，BC，AGH AHG，AGAH ，OGOH，OEOG OF OH ，EGFH ；（2）当BAC60时，ABC 为正三角形ADEFOAH 30 ，设 OHa，则 OAOEOF a，EH（ +1）a，HF （ 1）a，AEFN，AEHNFH， ，EFBC，AOH ADC ， ，CD2a，HNFCND， ， ；（3）设 EH2m，则 FH2kmOA EF（k+1 ）m，S 1（k+1）m 2，由（2）得，AEHNFH，S HNF k 2S1k 2（k +1）m 2，而 SEDF OA 2（k +1） 2m2，S 2S EDF SHNF （k+1） 2m2 k 2（k +1）m 2（ k 2+k+1）（k+1）m 2， k 2+k+1，当 k 时， 的最大值为 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键
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