1、新定义和阅读一、单选题1已知二次函数 y=x 2+x+6 及一次函数 y=x+m，将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示） ，请你在图中画出这个新图象，当直线 y=x+m 与新图象有 4 个交点时，m 的取值范围是（ ）A m3 B m2 C2m3 D6m2【答案】D2如图，一段抛物线 y=x 2+4（2x2）为 C1，与 x 轴交于 A0，A 1两点，顶点为 D1；将 C1绕点 A1旋转 180得到 C2，顶点为 D2；C 1与 C2组成一个新的图象，垂直于 y 轴的直线 l 与新图象交于点 P1（x 1，y 1） ，P 2
2、（x 2，y 2） ，与线段 D1D2交于点 P3（x 3，y 3） ，设 x1，x 2，x 3均为正数，t=x 1+x2+x3，则 t 的取值范围是（ ）A6t8 B6t8 C10t12 D10t12【答案】D3如图，抛物线 与 x 轴交于点 A、B，把抛物线在 x 轴及其下方的部分记作 ，将 向左平移得到 ， 与 x 轴交于点 B、D，若直线 与 、 共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是 A B C D【答案】C4定义一种对正整数 n 的“F”运算：当 n 为奇数时，F（n）=3n+1；当 n 为偶数时，F（n）= （其中 k 是使 F（n）为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，
3、例如，取 n=24，则：若 n=13，则第 2018 次“F”运算的结果是（ ）A1 B4 C2018 D4 2018【答案】A5在求 1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 6 倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69然后在式的两边都乘以 6，得：6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610得 6SS=6 101，即 5S=6101，所以 S= ，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a” （a0 且 a1） ，能否求出 1+a+a2+a3+a4+a20
4、14的值？你的答案是（ ）A B C Da 20141【答案】B6已知三角形的三边长分别为 a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元 50 年）给出求其面积的海伦公式 S= ，其中 p= ；我国南宋时期数学家秦九韶（约 1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式 S= ，若一个三角形的三边长分别为 2，3，4，则其面积是（ ）A B C D【答案】B7在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点从一个格点移动到与之相距 的5另一个格点的运动称为一次跳马变换例如，在 44 的正方形网格图形中（如图
5、 1） ，从点 A 经过一次跳马变换可以到达点 B， C， D， E 等处现有 2020 的正方形网格图形（如图 2） ，则从该正方形的顶点 M 经过跳马变换到达与其相对的顶点 N，最少需要跳马变换的次数是（ ）A13 B14 C15 D16【答案】B8已知点 A 在函数 （ x0）的图象上，点 B 在直线 y2=kx+1+k（ k 为常数，且 k0）上若 A， B 两点关1y于原点对称，则称点 A， B 为函数 y1， y2图象上的一对“友好点” 请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ）A有 1 对或 2 对 B只有 1 对 C只有 2 对 D有 2 对或 3 对【答案】A9对于实
6、数 a， b，定义符号 mina， b，其意义为：当 a b 时，min a， b=b；当 a b 时，min a， b=a例如：min=2，1=1，若关于 x 的函数 y=min2x1， x+3，则该函数的最大值为（ ）A B1 C D234353【答案】D10根据如图所示的程序计算函数 y 的值，若输入的 x 值是 4 或 7 时，输出的 y 值相等，则 b 等于（ ）A9 B7 C9 D7【答案】C11已知: 表示不超过 的最大整数，例: ，令关于 的函数 ( 是正整数)，例： =1，则下列结论错误的是（ ）A BC D 或 1【答案】C12设 a， b 是实数，定义的一种运算如下： ，
7、则下列结论：22abab若 ，则 a=0 或 b=0；0 ；abcc不存在实数 a， b，满足 ；25ab设 a， b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当 a=b 时， 最大其中正确的是（ ）A B C D【答案】C13在ABC 中，若 O 为 BC 边的中点，则必有：AB 2+AC2=2AO2+2BO2成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE=4，EF=3，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，则 PF2+PG2的最小值为（ ）A B C34 D10【答案】D14我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三
8、角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ）A20 B24 C D【答案】B15阅读理解： ， ， ， 是实数，我们把符号 称为 阶行列式，并且规定： ，例如： .二元一次方程组 的解可以利用 阶行列式表示为： ；其中 ， ， .问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ）A B C D方程组的解为【答案】C二、填空题16对于实数 a，b，定义运算“”：ab= ，例如 43，因为 43所以 43= =5若 x，y 满足方程组 ，则 xy=_.【答案】6017观察下列运算过程：
9、S=1+3+3 2+33+32017+32018 ，3 得 3S=3+32+33+32018+32019 ，得 2S=320191，S= 运用上面计算方法计算：1+5+5 2+53+52018=_【答案】18对于任意实数 a、b，定义：ab=a 2+ab+b2若方程（x2）5=0 的两根记为 m、n，则 m2+n2= 【答案】619规定： ，如： ，若 ，则 _.【答案】1 或-320对于实数 a，b，定义运算“”如下：ab=a 2ab，例如，53=5 253=10若（x+1）（x2）=6，则 x 的值为_【答案】121我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章一书中，给出了著名的秦九韶公式，
10、也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为 S= 现已知ABC 的三边长分别为 1，2， ，则ABC 的面积为_【答案】122对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图 1） ，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高如图 2，菱形 ABCD 的边长为 1，边 AB 水平放置如果该菱形的高是宽的 ，那么它的宽的值是_【答案】23对于任意实数 a、b，定义一种运算：ab=aba+b2例如，25=252+52=ll请根据上述的定义解决问题：若不等式 3x2
11、，则不等式的正整数解是_【答案】124如图，把平面内一条数轴 x 绕原点 O 逆时针旋转角 （090）得到另一条数轴 y，x 轴和 y 轴构成一个平面斜坐标系规定：过点 P 作 y 轴的平行线，交 x 轴于点 A，过点 P 作 x 轴的平行线，交 y 轴于点 B，若点A 在 x 轴上对应的实数为 a，点 B 在 y 轴上对应的实数为 b，则称有序实数对（a，b）为点 P 的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知 =60，点 M的斜坐标为（3，2） ，点 N 与点 M 关于 y 轴对称，则点 N 的斜坐标为_【答案】 （2，5）25如图 1，作BPC 平分线的反向延长线 PA，现要分别以APB，APC
12、，BPC 为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案例如，若以BPC 为内角，可作出一个边长为 1 的正方形，此时BPC=90，而 =45 是 360（多边形外角和）的 ，这样就恰好可作出两个边长均为 1 的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图 2 所示图 2 中的图案外轮廓周长是_；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_【答案】 14 2126若 为实数，则 表示不大于 的最大整数，例如 ， ， 等. 是大于 的最小整数，对任意的实数 都满足不等式 . ，利用这个不等式，求出满足 的所有解，其所有解为_【答
13、案】 或 1. 27 九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是_步【答案】 28在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点以顶点都是格点的正方形 ABCD 的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点 E，F，G，H 都是格点，且四边形 EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图例如，在如图 1 所示的格点弦图中，正方形 ABCD 的边长为 ，此时正方形 EFG
14、H的而积为 5问：当格点弦图中的正方形 ABCD 的边长为 时，正方形 EFGH 的面积的所有可能值是_（不包括 5） 【答案】9 或 13 或 49.29刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在九章算术中提出了“割圆术” ，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 O 的半径为 1，若用圆 O 的外切正六边形的面积来近似估计圆 O 的面积，则S=_ （结果保留根号）【答案】30定义新运算：ab=a 2+b，例如 32=3 2+2=11，已知 4x=20，则 x=_【答案】431设双曲线 与直线 交于 ， 两点（点 在第三象限） ，将双曲线在第一象限的一支沿射线 的方向平移，使其经
15、过点 ，将双曲线在第三象限的一支沿射线 的方向平移，使其经过点 ，平移后的两条曲线相交于点 ， 两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸” ， 为双曲线的“眸径”.当双曲线 的眸径为 6 时， 的值为_.【答案】32如图，若ABC 内一点 P 满足PAC=PCB=PBA，则称点 P 为ABC 的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮已知ABC 中，CA=CB，ACB=120，P 为ABC 的布罗卡尔点，若 PA= ，则
16、PB+PC=_【答案】1+ 三、解答题33综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论实践操作如图 1，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 AC 翻折，使点 B落在矩形 ABCD 所在平面内，BC 和 AD 相交于点 E，连接BD解决问题(1)在图 1 中，BD 和 AC
17、的位置关系为 ；将AEC 剪下后展开，得到的图形是 ；(2)若图 1 中的矩形变为平行四边形时(ABBC)，如图 2 所示，结论和结论是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 ；拓展应用(4)在图 2 中，若B=30，AB=4 ，当ABD 恰好为直角三角形时，BC 的长度为 【答案】(1)BD/AC，菱形；(2)见解析；(3)1：1 或 ：1；(4)4 或 6 或 8 或 12.34如图，在 RtABC 中，以下是小亮探究 与 之
18、间关系的方法：sinA= ，sinB= ，c= ，c= ， = ，根据你掌握的三角函数知识在图的锐角ABC 中，探究 、 、 之间的关系，并写出探究过程【答案】 = = ，理由见解析.35如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的对称中心为坐标原点 O，ADy 轴于点 E（点 A 在点 D 的左侧） ，经过 E、D 两点的函数 y= x2+mx+1（x0）的图象记为 G1，函数 y= x2mx1（x0）的图象记为 G2，其中 m是常数，图象 G1、G 2合起来得到的图象记为 G设矩形 ABCD 的周长为 L（1）当点 A 的横坐标为1 时，求 m 的值；（2）求 L 与 m 之间的函数关系式
19、；（3）当 G2与矩形 ABCD 恰好有两个公共点时，求 L 的值；（4）设 G 在4x2 上最高点的纵坐标为 y0，当 y 09 时，直接写出 L 的取值范围【答案】 （1） ；（2）L=8m+4 （3）20；（4）12L44 36我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形” （1）在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；在凸四边形 ABCD 中，AB=AD 且 CBCD，则该四边形 “十字形” （填“是”或“不是” ）（2）如图 1，A，B，C，D 是半径为 1 的O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与 BD 交于点E，ADBCDB=ABDCBD，当 6
20、AC 2+BD27 时，求 OE 的取值范围；（3）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a0，c0）与 x 轴交于 A，C 两点（点 A 在点 C 的左侧） ，B 是抛物线与 y 轴的交点，点 D 的坐标为（0，ac） ，记“十字形”ABCD 的面积为 S，记AOB，COD，AOD，BOC 的面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； = ； = ；“十字形”ABCD 的周长为 12 【答案】 （1）菱形，正方形；不是；（2） （OE0） ；（3）y=x 2937若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘
21、积，我们把这个三角形叫做比例三角形已知 是比例三角形， ， ，请直接写出所有满足条件的 AC 的长；如图 1，在四边形 ABCD 中， ，对角线 BD 平分 ， 求证： 是比例三角形如图 2，在 的条件下，当 时，求 的值【答案】 当 或 或 时， 是比例三角形； 证明见解析； 38定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等） ，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线” 理解：（1）如图 1，已知 RtABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点 D，使四边形 ABCD 是以 AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，
22、找出 3 个即可） ；（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABC=80，ADC=140，对角线 BD 平分ABC求证：BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线” ；（3）如图 3，已知 FH 是四边形 EFCH 的“相似对角线” ，EFH=HFG=30，连接 EG，若EFG 的面积为 2 ，求FH 的长【答案】 （1）见解析；（2）证明见解析；（3）FH=2 39对于三个数 a， b， c，用 Ma， b， c表示这三个数的中位数，用 maxa， b， c表示这三个数中最大数，例如：M2，1，0=1， max2，1，0=0， max2，1， a= 解决问题：（1）填空： Msin45，co
23、s60，tan60=_，如果 max3，53 x，2 x6=3，则 x 的取值范围为_；（2）如果 2M2， x+2， x+4=max2， x+2， x+4，求 x 的值；（3）如果 M9， x2，3 x2= max9， x2，3 x2，求 x 的值40阅读短文，解决问题如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图 1，菱形 AEFD 为ABC 的“亲密菱形”.如图 2，在ABC 中，以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧，交 AB、AC 于点 M、N，再分别以 M、N 为圆心，以
24、大于MN 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线 AP，交 BC 于点 F，过点 F 作 FD/AC，FE/AB.(1)求证：四边形 AEFD 是ABC 的“亲密菱形” ；(2)当 AB=6，AC=12，BAC=45时，求菱形 AEFD 的面积.【答案】(1)证明见解析；(2) 四边形 的面积为 .41小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验(1)已知抛物线 经过点(-1,0),则 = ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .抽象感悟我们定义：对于抛物线 ,以 轴上的点 为中心，作该抛物线关于点 对称的抛物线 ,则我们又称抛物线 为抛物线 的
25、“衍生抛物线” ，点 为“衍生中心”.(2)已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ，若这两条抛物线有交点，求 的取值范围.问题解决(3) 已知抛物线若抛物线 的衍生抛物线为 ,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及衍生中心的坐标；若抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 ；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ；( 为正整数).求 的长(用含 的式子表示).【答案】求解体验： ；顶点坐标是(-2,1)； ；抽象感悟： ；问题解决： ；（0，6） ； 42结果如此巧合！下面是小颖对一道题目的解答.题目：如图， 的内切圆与斜边 相切于点 ， ， ，求
26、 的面积.解：设 的内切圆分别与 、 相切于点 、 ， 的长为 .根据切线长定理，得 ， ， .根据勾股定理，得 .整理，得 .所以.小颖发现 恰好就是 ，即 的面积等于 与 的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知： 的内切圆与 相切于点 ， ， .可以一般化吗？（1）若 ，求证： 的面积等于 .倒过来思考呢？（2）若 ，求证 .改变一下条件（3）若 ，用 、 表示 的面积.【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析.（3） .43我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底” 。（1）概念理解:如图 1,在 中
27、, , . ,试判断 是否是“等高底”三角形，请说明理由.（2）问题探究:如图 2, 是“等高底”三角形, 是“等底” ，作 关于 所在直线的对称图形得到 ,连结 交直线 于点 .若点 是 的重心,求 的值.（3）应用拓展:如图 3,已知 , 与 之间的距离为 2.“等高底” 的“等底” 在直线 上,点 在直线 上,有一边的长是 的 倍.将 绕点 按顺时针方向旋转 得到 , 所在直线交 于点 .求 的值.【答案】 （1）证明见解析；（2） （3） 的值为 , ,244阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，ABC 中，ACB=90，点 D 在 AB 上，且BAC=2DCB，求证：AC=A
28、D小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法 1：如图 2，作 AE 平分CAB，与 CD 相交于点 E方法 2：如图 3，作DCF=DCB，与 AB 相交于点 F（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明 AC=AD用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图 4，ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，且BDE=2ABC，点 F 在 BD 上，且AFE=BAC，延长DC、FE，相交于点 G，且DGF=BDE在图中找出与DEF 相等的角，并加以证明；若 AB=kDF，猜想线段 DE 与 DB 的数量关系，并证明你的猜想【答案】 （1）证明见解析；（2）DEF=FDG，证明见解析；结论：BD=kDE理由见解析.
浙公网安备33030202001339号