1、无锡市南长区 2019 届初中毕业生学业模拟考试(一) 数学试题一选择题（满分 30分，每小题 3分）1下列方程是关于 x的一元二次方程的是（ ）A x+2y0 B x24 y0 C x2+3x0 D x+102已知 cosA ，那么 A度数是（ ）A30 B45 C60 D不能确定3已知 a， b， c为 ABC的三边，且 ，则 k的值为（ ）A1 B 或1 C2 D1 或24某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示：读书时间（小时）7 8 9 10 11学生人数 6 10 9 8 7则该班学生一周读书时 间的中位数和众数分别
2、是（ ）A9，8 B9，9 C9.5，9 D9.5，85如图，在 ABC中， ACD B，若 AD2， BD3，则 AC长为（ ）A B C D66如图，在 O中， A， B， D为 O上的点， AOB52，则 ADB的度数是（ ）A104 B52 C38 D267五粮液集团 2018年净利润为 400亿元，计划 2020年净利润为 640亿元，设这两年的年净利润平均增长率为 x，则可列方程是（ ）A400（1+ x）640B400（1+ x） 2640C400（1+ x）+400（1+ x） 2640D400+400（1+ x）+400（1+ x） 26408 O的半径为 5，点 P到圆心
3、O的距离为 3，点 P与 O的位置关系是（ ）A无法确定 B点 P在 O外 C点 P在 O上 D点 P在 O 内9如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 5，高是 12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为 a，若直吸管在罐外部分还剩余 3，则吸管的总长度 b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）A12 b13 B12 b15 C13 b16 D15 b1610如图，在 ABC、 ADE中， BAC DAE90， AB AC， AD AE， AF是 ADC的中线， C， D， E三点在一条直线上，连接 BD， BE，以下五个结论： BD CE： BD CE；
4、 ACE+ DBC45；2 AF BE BE AF中正确的个数是（ ）A2 B3 C4 D5二填空题（满分 16分，每小题 2分）11一元二次方程 x25 x60 的解是 12在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击 10发子弹的成绩统计图如图所示，对于本次训练，成绩比较稳定的是 运动员13如图，修建的二滩水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6m，坝髙 23m，斜坡 AB的坡度i1：3，斜坡 CD的坡度 i1：2.5，则坝底宽 AD m14如图， PA、 PB、 DE分别切 O于 A、 B、 C， O的半径为 6cm， OP的长为 10cm，则PDE的周长是 15已知 x1 是一元二次方程 ax2
5、 bx+60 的一个根，则 a+b的值为 16将二次函数 y x2的图象向下平 移 1个单位，再向右平移 2个单位，得到的图象与一次函数 y2 x+b的图象有公共点，则 b的取值范围 17如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为 2的圆，直线 y kx（ k+1）与 O有两个交点 A、 B，则 AB的最短长度是 18如图，线段 AB4， M为 AB的中点，动点 P到点 M的距离是 1，连接 PB，线段PB绕点 P逆时针旋转 90得到线段 PC，连接 AC，则线段 AC长度的最大值是 三 解答题（共 10小题，满分 84分）19 （10 分） （1）计算 2sin45+（2） 0（ ） 1 ；（2）
6、解方程 x22 x1020 （4 分）如图，在平行四边形 ABCD中，过点 A作 AE BC，垂足为 E，连接 DE， F为线段 DE上一点，且 AFE B（1）求证： DAF CDE；（2）求证： ADF DEC；（3）若 AE6， AD8， AB7，求 AF的长21 （8 分）如图所示， O过点 O， A， B， O（0，0） ， A（0，2） ， B（2，0） ，圆上一动点P（1）求 OPB；（2）当 P到 OB距离最远时，求 P点坐标及 POB的面积22 （8 分）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成尚不完整的扇形图和
7、条形图，根据图形信息回答下列问题：（1）本次抽测的男生有 人，抽测成绩的众数是 ；（2）请将条形图补充完整；（3）若规定引体向上 6次以上（含 6次）为体能达标，则该校 125名九年级男生中估计有多少人体能达标？23 （8 分）有 4张看上去无差别的卡片，上面分别写着 1，2，3，4小华随机抽取 1张，记下数字为 x，小芳在剩余的 3张卡片中随机取出 1张，记下数字为 y，这样确定了点M的坐标（ x， y） （1）画出树状图或列表，写出点 M所有可 能的坐标；（2）求点 M在函数 y x1 的图象上的概率24 （8 分）如图， D为 O上一点，点 C在直径 BA的延长线上，且 CDA CBD（
8、1）求证： CD2 CACB；（2）求证： CD是 O的切线；（3）过点 B作 O的切线 BE交 CD的延长线于点 E，若 BC12， CA4，求 BE的长25 （8 分）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进如图，这小区 原地下车库的入口处有斜坡 AC长为 13米，它的坡度为 i1：2.4， AB BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为 13，即 ADC13（此时点 B、 C、 D在同一直线上） （1）求这个车库的高度 AB；（2）求斜坡改进后的起点 D与原起点 C的距离（结果精确到 0.1米） （参考数据：sin130.225，cos130.974，tan130.
9、231，cot134.331）26 （10 分）某店只销售某种进价为 40元/ kg的产品，已知该店按 60元 kg出售时，每天可售出 100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低 1元，则每天的销售量可增加10kg（1）若单价降低 2元，则每天的销售量是 千克，每天的利润为 元；若单价降低 x元，则每天的销售量是 千克，每天的利润为 元；（用含 x的代数式表示）（2）若该店销售这种产品计划每天获利 2240元，单价应降价多少元？（3）当单价降低多少元时，该店每天的利润最大，最大利润是多少元？27 （10 分）如图，抛物线 y ax2+bx2 a与 x轴交于点 A和点 B（1，0） ，与 y轴
10、将于点C（0， ） （1）求抛物线的解析式；（2）若点 D（2， n）是抛物线上的一点，在 y轴左侧的抛物线上存在点 T，使 TAD的面积等于 TBD的面积，求出所有满足条件的点 T的坐标；（3）直线 y kx k+2，与抛物线交于两点 P、 Q，其中在点 P在第一象限，点 Q在第二象限， PA交 y轴于点 M， QA交 y轴于点 N，连接 BM、 BN，试判断 BMN的形状并 证明你的结论28 （10 分）在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2+bx+c（ a0）与 x轴的两个交点分别为A（3，0） 、 B（1，0） ，与 y轴交于点 D（0，3） ，过顶点 C作 CH x轴于点 H（1）求
11、抛物线的解析式和顶点 C的坐标；（2）连结 AD、 CD，若点 E为抛物线上一动点（点 E与顶点 C不重合） ，当 ADE与ACD面积相等时，求点 E的坐标；（3）若点 P为抛物线上一动点（点 P与顶点 C不重合） ，过点 P 向 CD所在的直线作垂线，垂足为点 Q，以 P、 C、 Q为顶点的三角形与 A CH相似时，求点 P的坐标参考答案一选择题1解： A x+2y0 含有两个未知数，不合题意；B x24 y0 含有两个未知数，不合题意；C x2+3x0 是一元二次方程，符合题意；D x+10 中未知数的最高次数不是 2次，不合题意；故选： C2解：cos A ， A60，故选： C3解：根
12、据题意有：2 a k（ b+c） ，2 b k（ a+c） ，2 c k（ a+b） ，2（ a+b+c）2 k（ a+b+c） ， a、 b、 c为 ABC的三边， a+b+c0， k1故选： A4解：由表格可得，该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是：9、8，故选： A5解： ACD B， CAD BAC， ACD ABC， ，即 ， AC 或 AC （舍去） 故选： C6解： AOB52， ADB26，故选： D7解：设这两年的年净利润平均增长率为 x，根据题意得：400（1+ x） 2640故选： B8解： OP35，点 P与 O的位置关系是点在圆内故选： D9解：如图，连接 BO，
13、 AO，当吸管底部在 O点时吸管在罐内部分 a最短，此时 a就是圆柱形的高，即 a12；当吸管底部在 A点时吸管在罐内部分 a最长，即线段 AB的长，在 Rt ABO中，AB13，故此时 a13，所以 12 a13，则吸管的总长度 b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是：15 b16故选： D10解： BAC DAE， BAC+ DAC DAE+ DAC，即 BAD CAE在 ABD和 ACE中， ABD ACE（ SAS） ， BD CE故正确； ABD ACE， ABD ACE CAB90， ABD+ DBC+ ACB90， DBC+ ACE+ ACB90， BDC1809090 B
14、D CE；故正确； BAC90， AB AC， ABC45， ABD+ DBC45 ACE+ DBC45，故正确，延长 AF到 G，使得 FG AF，连接 CG， DG则四边形 ADGC是平行四边形 AD CG， AD CG， DAC+ ACG180， BAC DAE90， EAB+ DAC180， EAB ACG， EA AD CG， AB AC， EAB GCA（ SAS） ， AG BE，2 AF BE，故正确，延长 FA交 BE于 H EAB GCA（ SAS） ， ABE CAG， CAG+ BAH90， BAH + ABE90， AHB90， AF BE，故正确故选： D二填空题（
15、共 8小题，满分 16分，每小题 2分）11解：方程 x25 x60，分解因式得：（ x6） （ x+1）0，可得 x60 或 x+10，解得： x16， x21，故答案为： x16， x2112解：由图中知，甲的成绩为 7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，乙的成绩为 8，9，7，8，10，7，9，10，7，10， （7+7+8+9+8+9+10+9+9+9）108.5， （8+9+7+8+10+7+9+10+7+10）108.5，甲的方差 S 甲 22（78.5） 2+2（88.5） 2+（108.5） 2+5（98.5） 2100.85，乙的方差 S 乙 23（78.5） 2+2（8
16、8.5） 2+2（98.5） 2+3（108.5） 2101.45 S2甲 S2乙 ，甲的射击成绩比乙稳定；故答案为：甲13解： AB的坡度 i1：3，tan A ， ， BE23， AE69， BC6， EF6， CD的坡度 i1：2.5，tan D ， ， DF57.5， AD AE+EF+DF69+6+57.5132.5（ m） 答：坝底宽 AD的长是 132.5m故答案为：132.514解：连接 OA PA、 PB、 DE分别切 O于 A、 B、 C点， BD CD， CE AE， PA PB， OA AP在直角三角形 OAP中，根据勾股定理，得 AP8， PDE的周长为 2AP16故
17、选答案为 16cm15解：把 x1 代入方程 ax2 bx+60 得 a+b+60，所以 a+b6故答案为616解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为： y（ x2） 21，则 ，（ x2） 212 x+b，x26 x+3 b0，（6） 241（3 b）0，b6，故答案为 x617解：直线 y kx（ k+1）可化为 y（ x1） k1，此直线恒过点（1，1） 过点 D作 DH x轴于点 H， OH1， DH1， OD OB2， BD ， AB2 故答案为：2 18解：如图所示：过点 C作 CD y轴，垂足为 D，过点 P作 PE DC，垂足为 E，延长 EP交 x轴于点 F AB4，
18、O为 AB的中点， A（2，0） ， B（2，0） 设点 P的坐标为（ x， y） ，则 x2+y21 EPC+ BPF90， EPC+ ECP90， ECP FPB由旋转的性质可知： PC PB在 ECP和 FPB中， ECP FPB EC PF y， FB EP2 x C（ x+y， y+2 x） AB4， O为 AB的中点， AC x2+y21， AC 1 y1，当 y1 时， AC有最大值， AC的最大值为 3 故答案为：3 三解答题（共 10小题，满分 84分）19解：（1）原式2 2 +13 2；（2）移项，得x22 x1，配方，得（ x1） 22，开 方，得x1 ，x1 1+ ，
19、 x21 20 （1）证明：四边形 ABCD是平行四边形， B ADC， AFE B， AFE ADC， AFE DAF+ ADF， ADC CDE+ ADF， DAF+ ADF CDE+ ADF， DAF CDE；（2）证明：平行四边形 ABCD， AFE B， AB CD， AD BC， AD BC， B+ C180， ADF CED， AFD+ AFE180， C AFD， ADF DEC；（3）解： AE BC， AE AD DE 10，由上可得 ADF DEC， CD AB7， ， ， AF 21解：（1） OPB OA B， AB是 O直径， AOB90， AO OB2， OAB4
20、5， OAB OPB45（2）如图，当 P运动到距离 OB最高时，作 OB中 垂线交 O于 P， N，交 OB于 C， PC NC， PC最长 AB 2 OC OB 21 O C 1， P（1，1+ ） S OPB PCOB 2（1+ ）1+ 22解：（1）观察统计图知达到 7次的有 7人，占 28%，728%25 人，达到 6次的有 2525738 人，故众数为 6次；（4 分）（2）（3） （人） 答：该校 125名九年级男生约有 90人体能达标23解：（1）根据题意画树状图如下：共有 12种可能的坐标：（1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （2，1） ， （2，3） ， （2，
21、4） ， （3，1） ，（3，2） ， （3，4） ， （4，1） ， （4，2） ， （4，3） ；（2）在 12种等可能结果中，在函数的图象上的点有（2，1） ， （3，2） ， （4，3）这 3种结果，点 M在函数 y x1 的图象上的概率为 24 （1）证明： CDA CBD， C C， ADC DBC， ， CD2 CACB（2）证明：连结 OD，如图所示：则 ADO BAD， AB是 O的直径， BDA90， CBD+ BAD90， CDA CBD， CDA+ ADO90 CDO， CD OD， CD是 O的切线；（3）解： BE是 O的切线， CBE90，由（2）知 CDO90，
22、 CDO CBE，又 C C， CDO CBE， ， BC12， CA4， AB8， OA OD4， OC CA+OA8，在 Rt CDO中， CD 4 ， ，解得： BE 25解：（1）由题意，得： ABC90， i1：2.4，在 Rt ABC中， i ，设 AB5 x，则 BC12 x， AB2+BC2 AC2， AC13 x， AC13， x1， AB5，答：这个车库的高度 AB为 5米；（2）由（1）得： BC12，在 Rt ABD中，cot ADC ， ADC13， AB5， DB5cot1321.655（ m） ， DC DB BC21.655129.6559.7（米） ，答：斜坡
23、改进后的起点 D与原起点 C的距离为 9.7米26解：（1）若单价降低 2元，则每天的销售量是 100+210120 千克，每天的利润为（60240）1202160 元；若单价降低 x元，则每天的销售量是 100+10x千克，每天的利润为（20 x）（100+10 x）元；故答案为：120、2160、100+10 x、 （20 x） （100+10 x） ；（2）根据题意得：（6040 x） （100+10 x）2240，整理得： x210 x+240，解得： x14， x26答：每千克应降价 4元或 6元（3）该店每天的总利润 y与降价 x元的函数关系式为：y（60 x40） （100+10
24、 x）10 x2+100x+200010（ x5） 2+2250，当 x5 时， y最大，最大值为 2250，答：当单价降低 5元时，该店每天的利润最大，最大利润是 2250元27解：（1）抛物线 y ax2+bx2 a经过点 B（1，0） 、 C（0， ） 解得：抛物线的解析式为： y x2+ x（2）当 x2 时， n 22+ 2 D（2， ）当点 T在点 A左侧时，如图 1， S TAD S TBD，且 TAD与 TBD有公共底边为 TD AB TD，即 TD x轴 yT yDx2+ x 解得： x13， x22（即点 D横坐标，舍去） T（3 ， ）当点 T在点 A右侧时，如图 2，设
25、 DT与 x轴交点为 P，过 A作 AE DT于 E，过 B作BF DT于 F S TAD S TBD，且 TAD与 TBD有公共底边为 TD AE BF在 AEP与 BFP中， AEP BFP（ AAS） AP BP 即 P为 AB中点由 x2+ x 0 解得： x12， x21 A（2，0） P（ ，0）设直线 DP： y kx+c解得：直线 DT： y解得： （即点 D，舍去） T（ ， ）综上所述，满足条件的点 T的坐标为（3， ）与（ ， ）（3） BMN是直角三角形，证明如下：设 x1为点 P横坐标， x2为点 Q的横坐标整理得： x2+（18 k） x+8k180 x1+x28
26、k1， x1x28 k18设 M（0， m） ， N（0， n）则 OM m， ON n直线 AM解析式： y ，直线 AN解析式： y解得： P（1+4 m，3 m+ ）同理可得： Q（1+4 n，3 n+ ）整理得： mn1 m|n|1 即 OMON1又 OB1，即 OMON OB2 BOM NOB OBM ONB MBN OBM+ OBN ONB+ OBN90 BMN是直角三角形28解：（1）把点 A、 B、 D的坐标代入二次函数表达式得：，解得： ，则抛物线的表达式为： y x22 x+3，函数的对称轴为： x 1，则点 C的坐标为（1，4） ；（2）过点 C作 CE AD交抛物线于点
27、 E，交 y轴于点 H，则 ADE与 ACD面积相等，直线 AD过点 D，则其表达式为： y mx+3，将点 A的坐标代入上式得：03 m+3，解得： m1，则直线 AD的表达式为： y x+3，CE AD，则直线 CE表达式的 k值为 1，设直线 CE的表达式为： y x+n，将点 C的坐标代入上式得：41+ n，解得： n5，则直线 CE的表达式为： y x+5，则点 H的坐标为（0，5） ，联立并解得： x1 或2（ x1 为点 C的横坐标） ，即点 E的坐标为（2，3） ；在 y轴取一点 H，使 DH DH2，过点 H作直线 E E AD，则 ADE、 ADE与 ACD面积相等，同理可
28、得直线 E E的表达式为： y x+1，联立并解得： x ，则点 E、 E的坐标分别为（ ， ） 、 （ ， ） ，点 E的坐标为：（2，3）或（ ， ）或（ ， ） ；（3）设：点 P的坐标为（ m， n） ， n m22 m+3，把点 C、 D的坐标代入一次函数表达式： y kx+b得： ，解得： ，即直线 CD的表达式为： y x+3，直线 AD的表达式为： y x+3，直线 CD和直线 AD表达式中的 k值的乘积为1，故 AD CD，而直线 PQ CD，故直线 PQ表达式中的 k值与直线 AD表达式中的 k值相同，同理可得直线 PQ表达式为： y x+（ n m），联立并解得： x ，即点 Q的坐标为（ ， ） ，则： PQ2（ m ）2+（ n ） （ m+1） 2m2，同理可得： PC2（ m+1） 21+（ m+1） 2，AH2， CH4，则 AC2 ，当 ACH CPQ时， ，即：4 PC25 PQ2，整理得：3 m2+16m+160，解得： m4 或 ，点 P的坐标为（4，5）或（ ， ） ；当 ACH PCQ时，同理可得：点 P的坐标为（ ， ）或（2，5） ，故：点 P的坐标为：（4，5）或（ ， ）或（ ， ）或（2，5）
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