1、2019 年广西南宁市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设全集 UR，集合 A x|x1，B x|72+3x5，则 U（AB）（ ）A x| 3x1 B x|x3 或 x1|Cx| x1 D x|x 32 （5 分）已知复数 z 2i1，则它的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为（ = -1+ z）A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3）3 （5 分）在等比数列a n中，若 a23，a 524，则 a1（ ）A B C D23 -23 -32 324 （5 分
2、）已知 （ ） ，tansin76 cos46 cos76sin46，则 sin（ -2， 2）A B C D55 - 55 255 -2555 （5 分）如图，长方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱 AB 和 A1D1 的中点分别为E，F ，AB 6，AD8，AA 17，则异面直线 EF 与 AA1 所成角的正切值为（ ）A B C D57 75 57474 774746 （5 分）已知直线 l：3x 4y150 与圆 C：x 2+y22x4y+5r 20（r0）相交于A，B 两点，若 |AB|6，则圆 C 的标准方程为（ ）A （x1） 2+（y2） 236 B （x1） 2+（y2）
3、225C （x 1） 2+（y 2） 216 D （x1） 2+（y 2） 2497 （5 分）已知 P（ ，1） ，Q（ ，1）分别是函数 f（x）sin（x+） （0，|12 512）图象上相邻的最高点和最低点，则 （ ）2A B C D2 -2 34 -348 （5 分）元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中 的酒量”即输出值13是输入值的 ，则输入的 x（ ）13A B C D35 911 2123 45479 （5 分）已知实
4、数 x，y 满足 ，则目标函数 z4x3y 的最小值为（ ）y- 13+232112+4A24 B22 C17 D710 （5 分）已知四棱锥 M ABCD，MA平面 ABCD，ABBC ，BCD+BAD180，MA2，BC 2 ，ABM30若四面体 MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则6该球的表面积为（ ）A20 B22 C40 D4411 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，直线 yk（x ）交抛-2物线于 A，B 两点，过点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 E，若等边AFE 的面积为 36 ，3则BEF 的面积为（ ）A6 B12 C16 D243 3
5、312 （5 分）设 alog 23，b log34，clog 58，则（ ）Acab Bcba Cabc Dac b二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13 （5 分）在正方形 ABCD 中，E 为线段 AD 的中点，若 ，则 + EC= + 14 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若 an+2a n+1a n+1a n，a 12，a 38，则S4 15 （5 分）不透明的袋中有 5 个大小相同的球，其中 3 个白球，2 个黑球，从中任意摸取2 个球，则摸到同色球的概率为 16 （5 分）已知函数 f（x ） x+a1 的图象是
6、以点（ 1，1）为中心的中心对=1+1+称图形，g（x） ex+ax2+bx，曲线 yf （x）在点（1，f（1） ）处的切线与曲线yg（x ）在点（0，g（0） ）处的切线互相垂直，则 a+b 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每道试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一) 必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且3b2+3c24 bc3a 22（1）求 sinA；（2）若 3csinA asinB，ABC 的面积为 ，求 c 的值= 2
7、 218 （12 分）某电子商务平台的管理员随机抽取了 1000 位上网购物者，并对其年龄（在 10岁到 69 岁之间）进行了调查，统计情况如表所示 年龄 10，20 ） 20，30 ） 30，40） 40，50） 50，60） 60，70）人数 100 150 a 200 b 50已知30，40） ，40，50） ，50，60）三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列（1）求 a，b 的值；（2）若将年龄在30，50）内的上网购物者定义为 “消费主力军” ，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军” 现采用分层抽样的方式从参与调查的 1000 位上网购物者中抽取 5 人，再从这 5
8、 人中抽取 2 人，求这 2 人中至少有一人是消费潜力军的概率19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC60，PB PC，E 为线段 BC 的中点，F 为线段 PC 上的一点（1）证明：平面 PAE平面 BCP（2）若 AC 交 BD 于点 O，PAAB PB4，CF3FP，求三棱锥 FAOE 的体=22积20 （12 分）设 D 是圆 O：x 2+y216 上的任意一点，m 是过点 D 且与 x 轴垂直的直线，E是直线 m 与 x 轴的交点，点 Q 在直线 m 上，且满足 2|EQ| |ED|当点 D 在圆 O 上= 3运动时，记点 Q 的轨迹为曲线 C
9、（1）求曲线 C 的方程（2）已知点 P（2，3） ，过 F（2，0）的直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，交直线 x8 于点 M判定直线 PA，PM，PB 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由21 （12 分）已知函数 f（x ）1+lnxax 2（1）讨论函数 f（x ）的单调区间；（2）证明：xf（x ） ex+xax 3 22(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （r0，x= 3+=1+为参数） ，以坐标原点 O 为极点，
10、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos（ ）+10若直线 l 与曲线 C 相切+6（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）在曲线 C 上任取两点 M，N，该两点与原点 O 构成MON，且满足MON ，=6求MON 面积的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|ax 1|2x+a|的图象如图所示（1）求 a 的值；（2）设 g（x）f（x ）+ f（x1） ，g（x）的最大值为 t，若正数 m，n 满足+12m+nt，证明： 4+9 2562019 年广西南宁市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共
11、60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）设全集 UR，集合 A x|x1，B x|72+3x5，则 U（AB）（ ）A x| 3x1 B x|x3 或 x1|Cx| x1 D x|x 3【分析】可解出集合 B，然后进行并集、补集的运算即可【解答】解：Bx| 3x 1；ABx|x1； U（AB ）x |x1故选：C【点评】考查描述法的定义，以及并集、补集的运算2 （5 分）已知复数 z 2i1，则它的共轭复数 在复平面内对应的点的坐标为（ = -1+ z）A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3）【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 z，求出
12、 得答案z【解答】解：z 2i1 ，= -1+ = 2+21=1+3 ，z=13则 在复平面内对应的点的坐标为（1，3） z故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）在等比数列a n中，若 a23，a 524，则 a1（ ）A B C D23 -23 -32 32【分析】设公比为 q，则 q38，则 q2，即可求出 a152=【解答】解：设公比为 q，则 q38，则 q2，52=则 a1 ，=22=32故选：C【点评】本题考查了等比数列的性质，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用4 （5 分）已知 （ ） ，ta
13、nsin76 cos46 cos76sin46，则 sin（ -2， 2）A B C D55 - 55 255 -255【分析】由已知求得 tan，再由同角三角函数基本关系式结合角的范围求解【解答】解：由 tansin76cos46cos76 sin46sin（7646）sin30 ，=12且 （ ） ，（0 ， ） ，-2， 2 2联立 ，解得 sin =122+2=1 = 55故选：A【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦，是基础题5 （5 分）如图，长方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱 AB 和 A1D1 的中点分别为E，F ，AB 6，AD8，
14、AA 17，则异面直线 EF 与 AA1 所成角的正切值为（ ）A B C D57 75 57474 77474【分析】由题意平移 AA1，异面直线 EF 与 AA1 所成角为FEG 或其补角，在EFG 中可求【解答】解：取 A1B1 中点 G，连接 EG，FG，EGFG ，因为 EGAA 1，所以异面直线 EF 与 AA1 所成角为FEG 或其补角，在EFG 中，FG 5，EG 7，所以 tanFEG ，=57故选：A【点评】本题考查异面直线所成的角，属于简单题6 （5 分）已知直线 l：3x 4y150 与圆 C：x 2+y22x4y+5r 20（r0）相交于A，B 两点，若 |AB|6，
15、则圆 C 的标准方程为（ ）A （x1） 2+（y2） 236 B （x1） 2+（y2） 225C （x 1） 2+（y 2） 216 D （x1） 2+（y 2） 249【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，进一步求得半径得答案【解答】解：化圆 C：x 2+y22x4y+5r 20（r0）为（x1） 2+（y2） 2r 2，可得圆心坐标为（1，2） ，半径为 r，由圆心（1，2）到直线 l：3x4y150 的距离 d ，=|314215|32+(4)2 =4且|AB| 6，得 r23 2+42 25圆 C 的标准方程为（x 1） 2+（y 2
16、） 225故选：B【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题7 （5 分）已知 P（ ，1） ，Q（ ，1）分别是函数 f（x）sin（x+） （0，|12 512）图象上相邻的最高点和最低点，则 （ ）2A B C D2 -2 34 -34【分析】由题意可求 T，利用周期公式可求 ，将点 P（ ，1）代入，得：sin（312） 1，解得 k ，kZ ，结合范围| | ，可求 的值，即可计算得12+ +4 2解【解答】解：函数过点 P（ ，1） ，Q（ ，1） ，12 512由题意，得 T ，12=51212T ，=2=233 ，f（x）sin（3x +） ，将点 P
17、（ ，1）代入，得：sin（3 ）1，12 12+3 k ，k Z，解得： k ，k Z，12+ +2 +4| ，2 ，=43 4=34故选：C【点评】本题重点考查了由 yAsin （ x+）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质等知识，属于基础题8 （5 分）元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中 的酒量”即输出值13是输入值的 ，则输入的 x（ ）13A B C D35 911 2123 4547【分析】根据程序框图进行模拟运
18、算即可【解答】解：i1 时x 2x1，i2 时，x 2（2x1）14x3，i3 时，x2（ 4x3）18x7，i4 时，退出循环，此时 8x7 x=13解得 x ，=2123故选：C【点评】本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力，利用模拟运算法是解决本题的关键9 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，则目标函数 z4x3y 的最小值为（ ）y- 13+232112+4A24 B22 C17 D7【分析】画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，代入求出目标函数的最小值【解答】解：画出约束条件 表示的平面区域如图所示，y- 13+232112+4由图形知，当目标函数 z4x3y 过点 A 时
19、取得最小值，由 ，解得 A（4，2） ，y= -13+23=12+4 代入计算 z4（4）3222，所以 z4x3y 的最小值为22故选：B【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题10 （5 分）已知四棱锥 M ABCD，MA平面 ABCD，ABBC ，BCD+BAD180，MA2，BC 2 ，ABM30若四面体 MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则6该球的表面积为（ ）A20 B22 C40 D44【分析】先由题中条件得知四边形 ABCD 四点共圆，利用锐角三角函数计算出 AB，再由勾股定理得出四边形 ABCD 的外接圆直径 AC，再利用公式 可得出2R= 2+2球的直径，最后
20、利用球体的表面积公式可得出答案【解答】解：由于BCD+BAD180，则四边形 ABCD 四点共圆，由于 MA平面 ABCD，AB平面 ABCD，所以，MAAB，在 Rt ABM 中， ABM30，MA2，所以， ，AB= 3=23ABBC，所以，四边形 ABCD 的外接圆直径为 ，AC= 2+2=6因此，四面体 MACD 的外接球直径为 ，2R= 2+2=210所以，该球的表面积为 4R2（2R） 240故选：C【点评】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于确定底面四点共圆，并利用合适的方法求出外接圆的半径，考查计算能力，属于中等题11 （5 分）已知抛物线 y22px（p0）的焦点为
21、F，准线为 l，直线 yk（x ）交抛-2物线于 A，B 两点，过点 A 作准线 l 的垂线，垂足为 E，若等边AFE 的面积为 36 ，3则BEF 的面积为（ ）A6 B12 C16 D243 3 3【分析】通过三角形的面积求出 p，然后联立直线与抛物线方程，转化求解 AB 的横坐标，然后求解三角形的面积【解答】解：因为AFE 是等边三角形，所以 k ， AFE 的边长为：2p，= 3由 ，解得 p6，抛物线方程为：y 212x，122232=363联立 ，解得 x210x+90，所以，x A9，x B1，y= 3(3)2=12所以|BF|4，| AF|12，故BEF 的面积为： 12 41
22、2363= 3故选：B【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力12 （5 分）设 alog 23，b log34，clog 58，则（ ）Acab Bcba Cabc Dac b【分析】可以得出 ，从而得出 log58log 34，根据 即可lo34=6427， 58=6425 8 532得出 ，并能得出 ，从而得出 log23log 58log 34，这样便可得出lo5832 lo23 32a，b，c 的大小关系【解答】解： ， ；lo34=2764=6427lo58=2564=6425又 lg27lg251，lg641； ；6427 6425log 34l
23、og 58；8 25 3； ；8 532 ；lo58 5532=32又 ；lo23=49 48=32log 23log 58log 34；acb故选：D【点评】考查对数函数的单调性，对数的运算性质，以及对数的换底公式二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中的横线上13 （5 分）在正方形 ABCD 中，E 为线段 AD 的中点，若 ，则 + EC= + 32【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出【解答】解：如图所示， ， EC=ED+DCED=12ADDC=AB EC=12AD+AB又 ，EC= + 则 ，1=12则 + =32故答案为： 32【
24、点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14 （5 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若 an+2a n+1a n+1a n，a 12，a 38，则S4 26 【分析】由 an+2a n+1a n+1a n，可得：数列 an为等差数列，设公差为 d利用通项公式与求和公式即可得出【解答】解：由 an+2a n+1a n+1a n，可得：数列 an为等差数列，设公差为 da 12，a 38，2+2d8，解得 d3则 S442 326+432故答案为：26【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15 （5
25、分）不透明的袋中有 5 个大小相同的球，其中 3 个白球，2 个黑球，从中任意摸取2 个球，则摸到同色球的概率为 25【分析】基本事件总数 n 10，摸到同色球包含的基本事件个数=25=m 4，由此能求出摸到同色球的概率=23+22=【解答】解：不透明的袋中有 5 个大小相同的球，其中 3 个白球，2 个黑球，从中任意摸取 2 个球，基本事件总数 n 10，=25=摸到同色球包含的基本事件个数 m 4，=23+22=摸到同色球的概率 p =410=25故答案为： 25【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16 （5 分）已知函数 f（x ） x
26、+a1 的图象是以点（ 1，1）为中心的中心对=1+1+称图形，g（x） ex+ax2+bx，曲线 yf （x）在点（1，f（1） ）处的切线与曲线yg（x ）在点（0，g（0） ）处的切线互相垂直，则 a+b -43【分析】由 yx 的图象关于（0，0）对称，yf （x）的图象可由 yx 平移可+1 +1得由题意可得 a21，可得 a，分别求得 f（x ） ，g（x）的导数，可得切线斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得 b，进而得到所求和【解答】解：由 yx 的图象关于（0，0）对称，yf（x）的图象可由 yx 平+1 +1移可得函数 f（x） x+a1 的图象是以点（1，1）为中心
27、的中心对称图形，=1+1+可得 a21，即 a1，则 f（x ） x，=1+1+f（x）1 ，可得 f（x）在 x1 处的切线斜率为 ，- 1(+1)2 34g（x）e x+x2+bx 的导数为 g（x）e x+2x+b，可得 g（x）在 x0 处的切线斜率为1+b，由题意可得（1+b） 1，可得 b ，34= = -73则 a+b1 -73=43故答案为： -43【点评】本题考查函数的对称性和导数的运用：求切线斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每道试题考生都必须作答第 22、23
28、题为选考题，考生根据要求作答(一) 必考题：共 60 分17 （12 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且3b2+3c24 bc3a 22（1）求 sinA；（2）若 3csinA asinB，ABC 的面积为 ，求 c 的值= 2 2【分析】 （1）先把题设条件代入关于 A 的余弦定理中，求得 cosA 的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得 sinA 的值（2）由正弦定理化简可求 b ，利用三角形的面积公式即可解得 c 的值=32【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）3b 2+3c24 bc3a 2，2b 2+c2a 2 bc，2 分=423由余弦定理得
29、 cosA ，4 分=2+222=223又 0A，sinA ，6 分= 12=13（2）3csin A asinB，= 23ac ab，可得：b ，8 分= 2=32ABC 的面积为 ，2 bcsinA ，即： ，10 分12 = 2 1232213=2解得：c212 分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，同角三角函数的基本关系的应用以及用诱导公式和两角和公式化简求值考查了学生对基础知识的掌握和基本的计算能力18 （12 分）某电子商务平台的管理员随机抽取了 1000 位上网购物者，并对其年龄（在 10岁到 69 岁之间）进行了调查，统计情况如表所示 年龄 10，2
30、0 ） 20，30 ） 30，40） 40，50） 50，60） 60，70）人数 100 150 a 200 b 50已知30，40） ，40，50） ，50，60）三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列（1）求 a，b 的值；（2）若将年龄在30，50）内的上网购物者定义为 “消费主力军” ，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军” 现采用分层抽样的方式从参与调查的 1000 位上网购物者中抽取 5 人，再从这 5 人中抽取 2 人，求这 2 人中至少有一人是消费潜力军的概率【分析】 （1）由频率分布表和等比数列的性质列出方程组，能求出 a，b（2）在抽取的 5 人中，有 3
31、 人是消费主力军，分别记为 a1，a 2，a 3，有 2 人是消费主力军，分别记为 b1，b 2，利用列举法能求出这 2 人中至少有一人是消费潜力军的概率【解答】解：（1）由题意得：，a+b=500=40000 解得 a400，b100（2）由题意可知在抽取的 5 人中，有 3 人是消费主力军，分别记为 a1，a 2，a 3，有 2 人是消费主力军，分别记为 b1，b 2，记“这 2 人中至少有一人是消费潜力军”为事件 A，从这 5 人中抽取 2 人所有可能情况有 10 种，分别为：（a 1，a 2） ， （a 1，a 3） ， （a 1，b 1） ， （a 1，b 2） ， （a 2，a 3
32、） ，（a 2，b 1） ， （a 2，b 2） ， （a 3，b 1） ， （a 3，b 2） ， （b 1，b 2） 符合条件 A 的有 7 种，分别为：（a 1，b 1） ， （a 1，b 2） ， （a 2，b 1） ， （a 2，b 2） ， （a 3，b 1） ， （a 3，b 2） ， （b 1，b 2） ，这 2 人中至少有一人是消费潜力军的概率 P =710【点评】本题考查等差数列、随机事件所包含的基本事件、古典概型及概率计算公式等等基础知识，考查运用概率知识解决简单简单实际问题的能力，考查运算求解能力，是基础题19 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD
33、 为菱形，ABC60，PB PC，E 为线段 BC 的中点，F 为线段 PC 上的一点（1）证明：平面 PAE平面 BCP（2）若 AC 交 BD 于点 O，PAAB PB4，CF3FP，求三棱锥 FAOE 的体=22积【分析】 （1）推导出 AEBC，PEBC ，从而 BC平面 PAE，由此能证明平面 PAE平面 BCP（2）推导出 PAAB ，PA BC，从而 PA平面 AOE，由此能求出三棱锥 FAOE 的体积【解答】证明：（1）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，ABC60，PBPC，AC 交 BD 于点 O，E 为线段 BC 的中点，F 为线段 PC 上的一点AEBC，
34、PEBC，AEPEE，BC平面 PAE，BC平面 BCP，平面 PAE平面 BCP解：（2）PAAB PB4，PA 2+AB2PB 2，PAAB，=22BC平面 PAE，PA平面 PAE，PABC ，ABBCB，PA平面 AOE，CF3FP， 点 F 到平面 AOE 的距离 d ，=34=3SAOE ，=12=14=1431=34三棱锥 FAOE 的体积：V =13=13343=34【点评】本题考查面面平行的垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20 （12 分）设 D 是圆 O：x 2+y216 上的任意一点，m 是过
35、点 D 且与 x 轴垂直的直线，E是直线 m 与 x 轴的交点，点 Q 在直线 m 上，且满足 2|EQ| |ED|当点 D 在圆 O 上= 3运动时，记点 Q 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的方程（2）已知点 P（2，3） ，过 F（2，0）的直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，交直线 x8 于点 M判定直线 PA，PM，PB 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由【分析】 （1）由题意设 Q（x，y） ，D（x 0，y 0） ，根据 2|EQ| |ED|，Q 在直线 m 上，= 3则椭圆的方程即可得到；（2）设出直线 l 的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到 k1+k3，
36、并求得 k2的值，由 k1+k32k 2 说明直线 PA，PM，PB 的斜率成等差数列【解答】解：（1）设 Q（x，y） ，D（x 0，y 0） ，2|EQ| |ED|，Q 在直线 m 上，= 3x 0x，|y 0| y|23点 D 在圆 x2+y216 上运动，x 02+y0216，将式代入 式即得曲线 C 的方程为 x2 y216，即 1，+43 216+212=（2）直线 PA，PM ，PB 的斜率成等差数列，证明如下：由（1）知椭圆 C：3x 2+4y248，直线 l 的方程为 yk（x2） ，代入椭圆方程并整理，得（3+4k 2）x 216k 2x+16k248 0设 A（x 1，y
37、 1） ，B（x 2，y 2） ，直线 PA，PM ，PB 的斜率分别为 k1，k 2，k 3，则有 x1+x2 ，x 1x2 ，= 1623+42 =162483+42可知 M 的坐标为（8，6k） k 1+k3=1312+2322=(12)312 +(22)3222k3 2k3 2k1，1+2412+42(1+2)= 1236=2k22 2k16382=k 1+k32k 2故直线 PA，PM，PB 的斜率成等差数列【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运
38、算推理的能力，该题是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）1+lnxax 2（1）讨论函数 f（x ）的单调区间；（2）证明：xf（x ） ex+xax 3 22【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证 ，令 g（x） （x0） ，令 k（x） ，根据函数 222 =222 =的单调性求出函数的最值，从而证明结论【解答】解：（1）f（x ）的定义域是（0，+） ，f（x） ，=122故 a0 时，f（x ）0，f（x）在（0，+）递增，当 a0 时，令 f（x ）0，解得：x ，=22故 f（x）在（0 ， ）递增，在（ ，+）递减
39、；22 22（2）证明：要证 xf（x ） ex+xax 3， 22即证 xlnx ex，也即证 ， 22 222令 g（x） （x0） ，=222则 g（x） ，=22(2)3故 g（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，故 g（x） 最小值 g（2） ，=12令 k（x） ，则 k（x ） ，= =12故 k（x）在（0，e ）递增，在（ e，+）递减，故 k（x） 最大值 k （e） ，=1 ，1 12故 k（x）h（x ） ，即 lnx ，22故 xf（x） ex+xax 3 22【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，分类讨论思想，转化思想，是一道
40、综合题(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （r0，x= 3+=1+为参数） ，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos（ ）+10若直线 l 与曲线 C 相切+6（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）在曲线 C 上任取两点 M，N，该两点与原点 O 构成MON，且满足MON ，=6求MON 面积的最大值【分析】 （1）由和角的余弦公式以及互化公式可得直线 l 的直角坐标方程，根据直线与
41、圆相切得圆的半径，再得到圆 C 的直角坐标方程和极坐标方程；（2）根据极径的几何意义以及三角函数的性质可得【解答】解：（1）由题意可知，直线 l 的直角坐标方程为 y+20，3曲线 C 是圆心为（ ，1） ，半径为 r 的圆，由直线 l 与曲线 C 相切可得 r32，=|331+2|2 =可知曲线 C 的直角坐标方程为（ x ） 2+（y1） 24，- 3所以曲线 C 的极坐标方程为 22 cos2sin 0，即 4sin（ ） 3 +3（2）由（1）不放设 M（ 1， ） ，N（ 2， ） （ 10， 20， ） +6 -3 23SMON |OM|ON|sin 124sin（ ）sin（ ）
42、=12 6=14 +3 +22sincos +2 cos2sin2 cos23 + 3 + 32sin（2 ） ，+3 + 3当 时，MON 面积的最大值为 2 =12 + 3【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|ax 1|2x+a|的图象如图所示（1）求 a 的值；（2）设 g（x）f（x ）+ f（x1） ，g（x）的最大值为 t，若正数 m，n 满足+12m+nt，证明： 4+9 256【分析】 （1）代入点的坐标，求出 a 的值即可；（2）求出 g（x）的解析式，求出 t 的值，根据基本不等式的性质证明即可【解答】解：（1）将（1，3）代入函数的解析式得：3|a 1| |2+a| ，解得：a2；（2）由（1）f（x ）|2x 1|2x+2|，故 g（x）|2x3| |2x +3|2x32x 3|6，故 t6，故 m+n6，故 （ ） （ ） 2 ，4+9= 4+9 6+6 =23+23+32+32136+ 2332=256当且仅当 2n3m 时“”成立【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及转化思想，是一道常规题
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