1、2019 年广东省广州四中中考数学一模试卷一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1下列各数中，是无理数的一项是（ ）A0 B1 C0.101001 D2下列立体图形的正视图不是中心对称图形的一项是（ ）A 圆锥 B 正方体C 长方体 D 球3下列运算正确的是（ ）A （m 3n） 2m 6n B C D4一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有 9 个黄球每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在 30%，那么估计盒子中小球的个数 n 为（ ）A20 B24 C28 D305若一次函数 ykx+b
2、的图象经过一、二、四象限，则一次函数 ybx+k 的图象不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6电动车每小时比自行车多行驶了 25 千米，自行车行驶 30 千米比电动车行驶 40 千米多用了 1 小时，求两车的平均速度各为多少？设自行车的平均速度为 x 千米/ 小时，应列方程为（ ）A 1 B 1C +1 D +17如图，在ABC 中，ACBC ，ABC 30，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 BDBA，则 tanDAC 的值为（ ）A2+ B2 C3+ D38如图，菱形 ABCD 中，AC 交 BD 于点 O，DE BC 于点 E，连接 OE，DOE120，DE1，则
3、 BD（ ）A B C D9如图是二次函数 ，反比例函数 在同一直角坐标系的图象，若 y1 与 y2 交于点 A（4，y A） ，则下列命题中，假命题是（ ）A当 x4 时，y 1y 2 B当 x1 时，y 1y 2C当 y1y 2 时，0x4 D当 y1 y2 时，x010如右图，把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 MN，再过点 B 折叠纸片，使点 A落在 MN 上的点 F 处，折痕为 BE若 ，则 CD（ ）A2 B C D1二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11某班 50 名同学在网络安全平台参加知识问答比赛的成绩如表：得分 32500 47500 6
4、2500 75000人数 8 10 23 9则将这组数据中的众数用科学记数法可表示为 12某正多边形的边心距为 ，半径为 4，则该正多边形的面积为 13在平面直角坐标系 xOy 中，点（ 1，4）绕点（0，0）顺时针旋转 90后的对应点落在反比例函数 的图象上，则 k 14 （3 分）如图，已知直线 PA 与 PB 与圆 O 分别相切于点 A，B ，若 ，APB 90，则劣弧 AB 的长为 15如图，平行四边形 ABCD 中，过对角线 BD 上一点 P 作 EFBC，GH AB，且 CG2BG，连接 AP，若 SAPH2，则 S 四边形 PGCD 16在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，P
5、 是 BC 边上的一个动点，过点 P 分别作 PMAB 于 M，PNAC 于 N，连接 PA，则下列说法正确的是 （填序号） 若 PB1，则 ； 若 PB2，则 SABC 8S BMP ； ；若 0PB1，则 S 四边形 AMPN 最大值是 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分）17解不等式组： 18 已知（1）化简 A；（2）若 x1，x 2 是一元二次方程 两个实数解，ax 1x2，求 A 的值19如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 边上一点，且 AEAB ，连接 BE（1）尺规作图：作A 的平分线 AF 交 BC 于 F，交 BE 于 G（不需要写作图过程，保留作
6、图痕迹） ；（2）若 BE8，AB 5，求 AF 的长20甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶 6 次，其中甲、丙的每次射靶具体成绩如下（单位：环）：甲：8，6，9，8，9，8；丙：7，6，3，7，7，6； 平均数 中位数 方差甲 8 8乙 8 8 2.2丙 6 2（1）根据以上数据，直接完成表格的填写（不需要书写运算过程） ；（2）若要在甲、乙、丙中选一位运动员参加比赛，请依据表格数据做出选择并简要说明理由；（3）若甲、乙、丙组成队伍参加某射击比赛，该射击比赛规则如下：比赛分为两个回合，每回合从甲、乙、丙中随机选一位运动员出场（同一位运动员可重复出场两个回合） 请用列表法或树状图，求在两个
7、回合中，甲均没有出场的概率21如图，一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 的图象在第一象限交于点 A（4，2） ，直线 AB 与 y 轴的负半轴交于点 B，与 x 轴的交于点 C（3，0） ；（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记直线 AB 与反比例函数 的另一交点为 D，若在 y 轴上有一点 P，使得 ，求 P 点的坐标22某建筑公司有甲、乙两位师傅建造养鸡场，建造时按养鸡场的建造面积收费已知甲师傅建造 2m2 的费用与乙师傅建造 3m2 的费用总和为 440 元，甲师傅建造 3m2 的费用与乙师傅建造 2m2 的费用总和为 460 元（1）分别求出甲、乙两位师傅建造 1m2 养
8、鸡场的费用；（2）若乙师傅计划用总长度为 24 米的材料建造两个一侧靠墙且位置相邻的矩形养鸡场（如图） ，已知墙的长为9 米，则养鸡场的宽 AB 为多少时，建造费用最多？最多为多少元？23已知圆 O 是等边ABC 的外接圆，P 是圆上异于 A，B，C 的一点（1）如图，若PAC90， ，记直线 AP 与直线 BC 的交点为 D，连接 PC，求 PD 的长度；（2）若APCBPC，猜想 PA，PB ，PC 的数量关系并给予证明24如图 1，已知正方形 ABCD 和等腰 RtBEF，EFBE，BEF90，F 是线段 BC 上一点，取 DF 中点 G，连接 EG、CG（1）探究 EG 与 CG 的数
9、量与位置关系，并说明理由；（2）如图 2，将图 1 中的等腰 RtBEF 绕点 B 顺时针旋转 （090） ，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若 AD2，求 2GE+BF 的最小值25如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax 24ax+3a（a0）与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧） ，与 y 轴交于 C 点D 为抛物线的顶点，对称轴 l 与 x 轴的交点为 E已知 D 的纵坐标为1（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若 P 是 l 上的一点，满足APB 2ACB，求 P 的坐标；（3）点 Q 是抛物线上的一点，以 Q 为圆心，作与
10、 l 相切的圆 Q 交 x 轴于 M，N 两点（M 在 N 的左侧） 若EMEN4，求 Q 的坐标参考答案一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1 【解答】解： 是无理数，故选：D2 【解答】解：A圆锥的主视图是等腰三角形，不是中心对称图形；B正方体的主视图是正方形，是中心对称图形；C长方体的主视图是长方形，是中心对称图形；D球的主视图是圆，是中心对称图形；故选：A3 【解答】解：选项 A， （m 3n） 2m 6n2，故选项错误选项 B，由题意， 中得 ay0，选项正确选项 C，当 a0；b0 时不成立，故选项错误选项 D，当 时， ，故选项错误故选：B4 【解答】解：根据题意得 30%，
11、解得 n30，所以这个不透明的盒子里大约有 30 个除颜色外其他完全相同的小球故选：D5 【解答】解：一次函数 ykx+b 过一、二、四象限，则函数值 y 随 x 的增大而减小，因而 k0；图象与 y 轴的正半轴相交则 b0，因而一次函数 ybx +k 的一次项系数 b0，y 随 x 的增大而减小，经过二四象限，常数项 k0，则函数与 y 轴负半轴相交，因而一定经过二三四象限，因而函数不经过第一象限故选：A6 【解答】解：设自行车的平均速度为 x 千米/ 小时，则电动车的平均速度为（x+25）千米/小时，由自行车行驶 30 千米比电动车行驶 40 千米多用了 1 小时，可列方程 1 ，故选：B
12、7 【解答】解：如图，在ABC 中，AC BC ，ABC30，AB2AC，BC ACBDBA，DCBD+BC（2+ ）AC，tanDAC 2+ 故选：A8 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，ODOB ，CDBC，DEBC，DEB90，OEOD OB ，DOE 120 ，BOE60，OBE 是等边三角形，DBC60，CBCD，DCB 是等边三角形，BD ，故选：B9 【解答】解：由函数图象可知，当 x4 时，y 1y 2，A 是真命题；当 x1 时，y 1y 2，C 是真命题；当 y1y 2 时，0x 4，C 是真命题；y1y 2 时，x 0 或 x4，D 是假命题；故选：D10 【解答】解
13、：设 CDx，则 BFAB x，BM BC x，RtBFM 中， MF x，又MNABx ， ，2 + xx ，解得 x2，CD2，故选：A二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11 【解答】解：62500 出现了 23 次，出现的次数最多，这组数据中的众数是 62500，用科学记数法可表示为 6.25104；故答案为：6.2510 412 【解答】解：如图所示：由题意可得，OEAB，OE2 ，OA4，则 cosAOE ，故AOE45，则 OEAE2 ，故 AB4 ，BOA 90，正多边形是正方形，则该正多边形的面积为：4 4 32故答案为：3213 【解答】解：点（1，4）绕点（0，0）
14、顺时针旋转 90后的对应点的坐标为（4，1） ，把（4，1）代入 y 得 k414故答案为 414 【解答】解：如图，连接 OA，OB ，直线 PA 与 PB 与圆 O 分别相切于点 A，B，OAPA，OBPB，APB 90，四边形 OBPA 为矩形，OAOB ，四边形 OBPA 为正方形，AOB90，OA PB ，劣弧 AB 的长： 故答案为： 15 【解答】解：EFBC，GHAB，四边形 HPFD、四边形 PGCF 是平行四边形，S APH 2， CG2BG，S DPH 2S APH 4，平行四边形 HPFD 的面积8，平行四边形 PGCF 的面积 平行四边形 HPFD 的面积 4，S 四
15、边形 PGCD4+4 8，故答案为：816 【解答】解：PMAB，ABC 是等边三角形，BPM 30 ，BM BP ，PM ，AMAB BM4 ，PA ，故正确；PB 2，则 P 为 BC 的中点， PA 为ABC 的高，BM BP1，PM ，PA 2 ，S ABC BCPA 42 4 ，S BMP BMPM 1 ，S ABC 8S BMP ，故正确；设 BPx，则 CP2x，ABC 是等边三角形，BC60，PMAB，PNAC，BM x，PM x，CN （4x） ，PN （4x） ，四边形 AMPN 的面积 （4 x） x+ 4 （4x） （4x） x2+ x+2 ，即四边形 AMPN 的面积
16、是关于 x 的二次函数，是变量，故不正确；由得：S 四边形 AMPN x2+ x+2 （x2） 2+3 ，若 0PB1，当 x1，即 PB1 时，S 四边形 AMPN 的值最大 （x1） 2+3 ，故 不正确；故答案为： 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分）17 【解答】解： ，由式得 x3；由式得 x2，所以不等式组的解为 x218 【解答】解：（1）A（ ） 2（a2）2a4；（2）x 1，x 2 是一元二次方程 两个实数解，ax 1x2 ，则 A2a42（ ）4 419 【解答】解：（1）射线 AF 如图所示（2）AEAB，AF 平分 BAE，AGBE，EGBG 4，在 R
17、t AGB 中，AB 5，BG 4，AG 3，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，EFA BAGAFB，BABF，BGAF，AGGF 3，AF620 【解答】解：（1）甲的方差为 （68） 2+3（88） 2+2（98） 21，丙的射击成绩重新排列为 3，6，6，7，7，7，则其中位数为 6.5，补全表格如下：平均数 中位数 方差甲 8 8 1乙 8 8 2.2丙 6 6.5 2（2）甲和乙的平均成绩均高于丙，且甲的方差比乙小，甲的平均成绩高，且成绩最稳定，应该选择甲参赛；（3）列表如下：甲 乙 丙甲 （甲，甲） （甲，乙） （甲，丙）乙 （乙，甲） （乙，乙） （乙，丙）丙 （丙，甲）
18、 （丙，乙） （丙，丙）共有 9 种等可能的结果，在两个回合中，甲均没有出场的有 4 种结果，在两个回合中，甲均没有出场的概率为 21 【解答】解：（1）一次函数 ykx+b 的图象与反比例函数 的图象在第一象限交于点 A（4，2） ，m428，反比例函数的解析式为 y ，A（4，2） ，C（3，0）在一次函数 ykx+ b 的图象上， ，解得 ，一次函数的解析式为 y2x6；（2）解 得 或 ，D（1，8） ，在 y2x6 中，令 x0，则 y6，B（0，6） ，S BOC 369， 4设点 P 的坐标为（0，y ） ，则 BP|6y|，S PCD S PBD +SPBC ， |6y|3+
19、|6y| 14，解得 y4 或8，点 P 的坐标为（0，4）或（0，8） 22 【解答】解：（1）设甲、乙两位师傅建造 1m2 养鸡场的费用分别为 x 元和 y 元，根据题意得： ，解得：答：甲、乙两位师傅建造 1m2 养鸡场的费用分别为 100 元和 80 元；（2）设 AB 为 z，面积为 S，则 BC（243z ）米，墙长为 9 米，243z9，解得：z5，根据题意得：Sz（243z）3（z4） 2+48，a30，对称轴为 z4，当 z4 时 S 随着 z 的增大而减小，当 z5 时面积最大为 45m2，费用为 45803600 元，养鸡场的宽 AB 为 5 米时，建造费用最多；最多为
20、3600 元23 【解答】解：（1）ABC 是等边三角形，ABC60，APCABC60，在 Rt PAC 中，APC60 ，PAC 90，ACAB2 ，PCA30，PC2PAPC 2PA 2+AC2，PA2，PC 4而PAC90，ACB60，PCBPAB30PCPDPD4故 PD 的长度为 4（2）由题意点 P 在 上结论：PCPA+PB理由：在 PC 上截取一点 E，使得 PBPE，连接 BEBPCBAC60，PBPE ，PBE 是等边三角形，BPBE，PBE ABC 60，ABP EBC，BABC，ABP CBE（SAS） ，PAEC，PCPE+ECPB+PA24 【解答】解：（1）EG
21、CG 且 EGCG理由如下：如图 1，连接 BD正方形 ABCD 和等腰 Rt BEF，EBF DBC45B、E、D 三点共线DEF90，G 为 DF 的中点， DCB90，EG DFCGDGEGF2EDG ，CGF2CDGEGF+CGF2EDC90，即EGC90，EGCG（2）仍然成立理由如下：如图 2，延长 CG 至 H，使 GHCG，连接 HF 交 BC 于 M，连接 EH、ECGFGD ， HGFCGD，HGCG，HFG CDG（SAS） ，HFCD，GHFGCD ，HFCD正方形 ABCD，HFBC，HFBCBEF 是等腰直角三角形，BEEF，EBCHFE，BECFEH（SAS） ，
22、HEEC，BECFEH，BEF HEC90，ECH 为等腰直角三角形又CGGH，EGCG 且 EGCG（3）如下图，连接 AH，当 A、H 、G，C 在同一直线上时， 2GE+BF 有最小值，此时 BE 在 BC 上，FHAB，AC BF，四边形 ABFH 是平行四边形，AHBF，由（2）知 CGGH，2GE+BF CH+AHAC，即 2GE+BF 有最小值，就是 AC 的长，由勾股定理得 AC 2 25 【解答】解：（1）yax 24ax +3aa（x2） 2a，顶点 D 的纵坐标为1，a1，即 a1，抛物线的解析式为 yx 24x +3；（2）如图 1，作ABC 的外接圆P，连结 PA，P
23、B，CA，CB，则点 P 在直线 l 上，且满足APB 2ACB，点 P 就是所求的点，抛物线的解析式为 yx 24x +3，当 x0 时，y3，当 y0 时，x1 或 x3，A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） ，设直线 BC 与直线 l 相交于 K，OBOC3，CBO45，KAKB，KEAB，KAKB ，AC ，KC BC BK ，AK 2+CK2AC 2，AKC 90 ，tanACB ，APE APB ACB，tanAPE ，PE2，点 P 的坐标为（2，2） ，同理，点 P 关于 x 轴的对称点（2，2）也符合题意，点 P 的坐标为（2，2） ， （2，2） ；（3）设Q 与 l 相切于点 R，则直径 KRRE，KNR90，如图 2，连结 KN，RN，RM，NRE90KRNKRMN，RENMER，RENMER， ，RE 2EMEN4，RE2，当 y2 时，x 24x +32，解得，x ，点 Q 的坐标为（2+ ，2）或（2 ，2）
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