1、2019 届 高 三 湖 北 名 校 联 盟 4 月 份 内 部 特 供 卷理 科 数 学 （ 三 ）注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用
2、 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1若复数 z满足 4i3i，则 z（ ）A1 B 2C 2D 122若集合 290x， y，则 ABR（ ）A 0,B ,C D 92,3如图给
3、出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过 1%的为（ ）A腾讯与百度的访问量所占比例之和 B网易与搜狗的访问量所占比例之和C淘宝与论坛的访问量所占比例之和 D新浪与小说的访问量所占比例之和4为了得到函数 sin34fx的图象，需对函数 cosgx的图象所作的变换可以为（ ）A先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的 13，纵坐标不变，再向右平移 12个单位B先向左平移 4个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的 3，纵坐标不变C先向左平移 3个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的 ，纵坐标不变D先向右平移 4个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐
4、标不变5已知双曲线 2:10,xyab的左、右焦点分别为 1F， 2，2,Pbxa满足12PFa若 12PF 为等腰三角形，则双曲线 C的离心率为（ ）A B C 5D 26若 tan34，则 sinco2sin4（ ）A 175B 195C 215D 257已知抛物线 21:0Cypx与圆 2:0xyx交于 A， B， C， 四点若 Bx轴，且线段 恰为圆 2的一条直径，则点 的横坐标为（ ）A 16B3 C 13D68陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的帝京景物略一书中才正式出现如图所示的网格纸中小正方形的边长均为 1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视
5、图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A 8542B 8524C 854216D 852169若 2log3a， 5l7b， 40.c，则实数 a， b， c的大小关系为（ ）A cB abC D abc10运行如图所示的程序框图，若输出的 S的值为 1011，则判断框中可以填（ ）A 20?iB 201?iC 20?iD 203?i11在正方体 1CDA中，点 E平面 1AB，点 F是线段 1A的中点，若 1ECF，则当 E 的面积取得最小值时， BCADS四 边 形 （ ）A 25B 12C 5D 51012已知 aZ，若 0,em， 1x， 20,e且 12x，使得2123lnlmxa，则满足
6、条件的 a的取值个数为（ ）A5 B4 C3 D2第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 13若向量 2,xm， ,2n，且 mn，则实数 x_14若 x， y满足约束条件230xy，则 4x的最大值为_157231x的展开式中，含 的项的系数为_ （用数字填写答案）16如图所示，点 M， N分别在菱形 ABCD的边 ， 上，2AB， 423CB，则 MN 的面积的最小值为_三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17 （12
7、 分）已知等差数列 na的前 项和为 nS，且 152， 361a（1）证明： nS是等差数列；（2）设 2nba，求数列 nb的前 项和 nT18 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD中， 与 B交于点 E， 60BAD， 120C，3BDE（1）在线段 AS上找一点 F，使得 E 平面 SCD，并证明你的结论；（2）若 90， BAD， 2BA，求二面角 BSCD的余弦值19 （12 分）2018 年 10 月 28 日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考如何做一个文明的乘客全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范 A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，
8、并将得到的分数整理成如图所示的统计图（1）求得分在 70,8上的频率；（2）求 A社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（3）以频率估计概率，若在全部参与学习的居民中随机抽取 5 人参加问卷调查，记得分在40,6间的人数为 X，求 的分布列以及数学期望20 （12 分）已知椭圆2:1xCy，点 ,2A， 1,B（1）若直线 1l与椭圆 交于 M， N两点，且 为线段 MN的中点，求直线 MN的斜率；（2）若直线 2:0yxt与椭圆 交于 P， Q两点，求 BP 的面积的最大值21 （12 分）已知函数 2exfa（1）若函数 fx在 2,上单调递
9、增，求实数 a的取值范围；（2）设 12，求证： 2122211exxfxf请 考 生 在 22、 23 两 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程 】在极坐标系中，曲线 C的极坐标方程为 6cos以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l的参数方程为 21sinxty（ t为参数） （1）若 4，求曲线 C的直角坐标方程以及直线 l的极坐标方程；（2）设点 2,1P，曲线 与直线 l交于 A， B两点，求 PAB的最小值23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选
10、讲 】已知函数 123fxx（1）在如图所示的网格纸中作出函数 fx的图象；（2）记函数 fx的最小值为 m，证明：不等式 32nm成立的充要条件是 10n2019 届 高 三 湖 北 名 校 联 盟 4 月 份 内 部 特 供 卷理 科 数 学 （ 三 ） 答 案一 、 选 择 题 1 【答案】C【解析】依题意 13i24i10i1i2z，故21z，故选 C2 【答案】B【解析】因为 290,02Ax，所以 90,2,0,ABR，故选 B3 【答案】B【解析】由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为 18%，不超过 21，故选 B4 【答案】A【解析】函数 cosgx的图象上所有点的横坐标压缩为
11、原来的 3，纵坐标不变，再向右平移 12个单位得 3cos3cossin3124424yxxxx，函数 cosgx的图象先向左平移 4个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的 1，纵坐标不变得 3sin3yxx，函数 cosgx的图象先向左平移 4个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的 13，纵坐标不变得 3sinyxx，函数 cosgx的图象先向右平移 4个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变得 13sinyxx，所以选 A5 【答案】B【解析】因为2,Pbxa满足 12FPa，所以 P在双曲线右支，因此21Pxa， 2Pc， Px，又 12F 为等腰三角
12、形，所以 212F， bca，2ac， 210e，因为 e，所以 1e，故选 B6 【答案】D【解析】由 tan34，得 1tan2，则 sicosinco2si sico2 2in2inciiincossns22ta1t1ta5故选 D7 【答案】A【解析】圆 2:10Cxyx可化为 2265xy，故圆心为 6,0，半径为 5，由于 B轴和线段 B恰为圆 2C的一条直径，故 6,5， ,将 点坐标代入抛物线方程得 251p，故 251，抛物线方程为2yx设 6,5aA，由于 BC是圆的直径，所对圆周角为直角，即 ACB，也即 0ACB，所以226,50a，化简得42367105a，解得 27
13、536a，故 A点横坐标为275136a故选 A8 【答案】C【解析】最上面圆锥的母线长为 2，底面周长为 24，侧面积为 1242，下面圆锥的母线长为 5，底面周长为 48，侧面积为 58，没被挡住的部分面积为 2241，中间圆柱的侧面积为 214故表面积为 854216，故选 C9 【答案】D【解析】 22log3la， 55log7l1b，而 40.71，故 c是最小的由于 54221l773，即 2ogl3，即 ba，故选 D10 【答案】C【解析】程序的功能是计算 51sinisin157922S ，则 105235790 ，2i，故条件为 ?i，故选 C11 【答案】D【解析】取
14、AB的中点 H，连接 1B，设 1FBHG作出图像如下图所示易得 11BDAC， 1A，所以 1BD平面 1AC，所以 1BDCF易得 1BHF，H，所以 平面 CF，所以 HF故 F平面 1，所以 E在直线 1上，可使得 1E由于 BCE，所以 B最短时三角形 B的面积取得最小值，此时 点在点 G的位置设正方体棱长为 2，故 24ACDS， 215H，所以 125BH，所以 15EBCS ，故 50EBCADS四 边 形 ，故选 D12 【答案】A【解析】因为 0,em，所以 23,5ym，由题意得 lnyax在 ,上不单调，因为 1yax，所以 0,ea， 1，当 10,xa时， 0y，
15、1ln,a，当 1,exa时， 0y， 1ln,ea，因此 ln3e15， 26ea， Z， 3，4，5，6，7，故选 A二 、 填 空 题 13 【答案】 15【解析】由 2,xm， 4,2n，得 2,xmn且 mn，得 2, 0x，解得 15故答案为 1514 【答案】 32【解析】作出可行域，如图 4,A， 2,7P，则 4yx的最大值为 7432PAk15 【答案】35【解析】 2157231 71CCr rrrrrTxx，25， 4，即含 的项的系数为 47316 【答案】 163【解析】在菱形 ABCD中， 423MBN，所以 2BN，在 M 中， 3，设 A， 60,，则 3AM
16、，且 2AB，由正弦定理 sinsi3ABM，得 32sinB，在 NC 中， 6，则 NC，由正弦定理 sini32BNC，得 3cossin2B，在 MNRt 中， 2133122sincoscos+incosMBNS311=32 3+cosin2si+442，因为 60,，所以 ,3，即 3sin,12，所以 sin2,132，所以 6,BMNS ，故答案为 16三 、 解 答 题 17 【答案】 （1）证明见解析；（2） 1236nnT【解析】 （1）设等差数列 na的公差为 d，首项为 1a，则 582Sa，解得 815a所以 3682716ad，解得 2，所以 87d， 1n所以
17、1 221nnanS所以 nS因为当 时， 1S，当 时， 11n，故 nS是首项为 1，公差为 1 的等差数列（2）由（1）可知 2na，故 212nnba故 1351nT，2342n，两式相减可得 13 12nn 1114226nn故 136nnT18 【答案】 （1）见解析；（2） 64【解析】 （I）取线段 AS上靠近 的三等分点 F，连接 E因为 120ADC， 60BA，所以 ABCD ，所以 12AEB而 FS，所以 EFS，所以 ES 而 E平面 ， 平面 ，故 F 平面 （2）易知 ABD 为等边三角形，所以 BDA又 S，故 22S，所以有 S由已知可得 ，又 ，所以 平面
18、 BCD以 D为坐标原点，以直线 DA， S分别为 y， z轴，过点 且与 yz平面垂直的直线为 x轴，建立如图所示的空间直角坐标系设 1AD，则 BADS， 2C，所以 0,， 31,02， ,1， 3,10，则 ,SB， ,SC， ,DC， 0,1DS设平面 的一个法向量为 1,xyzn，则有 10BSn，即 11320xyz，设 1y，则 13x， 12z，所以 13,2设平面 SCD的个法向量为 22,xyzn，则有 20DCSn，即 230xyz，令 21x，则 23y，所以 21,30所以 1212 6cos 4,n因为二面角 BSCD为锐角，故所求二面角的余弦值为 19 【答案】
19、 （1） 0.3；（2） 70.5；（3）详见解析【解析】 （1）依题意，所求频率 1.015.20.15.0.3P（2）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表： 450.1.560.275.380.159.705x，即问卷调查的平均得分的估计值为 （3）依题意， 15,4XB故 532010P； 415305C12PX；3225C45X；33545；445315C02PX； 51402PX，故 的分布列为：故 154EX20 【答案】 （1） ；（2） 【解析】 （1）设 1,Mxy， 2,Nxy，故21xy，21xy，将两式相减，可得2120，即 121212120y，因为 A为线段
20、N的中点，所以 12x， 12y，得 1212xyx，即 20Mk，故直线 的斜率 MNk（2）联立 21yxt，可得 22980xt，由 可得 226430tt，解得 209t设 3,Pxy， 4,Qxy，由根与系数的关系可得34289tx，2222 2343448101599ttxx t，又 点 B到直线 2l的距离 td，211095BPQ tS，290t， 222999BPQ tStt，当且仅当 29t，即 32t时取等号故 BPQ 的面积的最大值为 221 【答案】 （1）2,4e；（2）见证明【解析】 （1）由题可知 xfa令 0fx，即 e20xa，当 2,时，有 2exa令 m
21、，则 221exx所以当 2,x时， 0m，所以 在 ,上单调递增所以 ea，即24e，故实数 a的取值范围为2,4e（2）令 21xt，则 t故 2122211exxfxafxa2121lenxt构造函数 l1tst，则 221140tstt所以 t在 ,上单调递增，所以 s，所以当 1t时， 2ln1t，故 2122211exxfxafxa22 【答案】 （1）曲线 C的直角坐标方程为 39y，直线 l的极坐标方程为cosin3；（2） 7【解析】 （1）曲线 :6cos，将 cosx， siny，代入得 260xy，即曲线 C的直角坐标方程为 239y直线 2,: 1,xtly为 参 数，故 xy，故直线 l的极坐标方程为 cosin3（2）联立直线 l与曲线 C的方程得 22cs1sin19tt，即 2cosin70t，设点 A， B对应的参数分别为 1t， 2，则 12cosint， 127t，因为 121212434i8Pttt，当 sin2时，取等号，所以 PAB的最小值为 2723 【答案】 （1）见解析；（2）证明见解析【解析】 （1）依题意， 3,215123,273,23xfxxx，作出函数 fx的图象如图所示：（2）由（1）中图象可知 1m 33222110nnnn210n因为当 10时， 10，当 2n时， n，故不等式 31成立的充要条件是 10n
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