1、2019 年广东省深圳市光明新区第二中学中考数学模拟试卷（4 月）一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1不透明的袋子中装有红球 1 个、绿球 1 个、白球 2 个，除颜色外无其他差别随机摸出一个小球后不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）A B C D2反比例函数 y （k 0）的图象经过点（ 2，4），若点（ 4，n）在反比例函数的图象上，则n 等于（ ）A8 B4 C2 D3在一个有 10 万人的小镇，随机调查了 1000 人，其中有 120 人周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目，那么在该镇随便问一个人，他在周六早上观看中央电视台的“朝闻天下”节目
2、的概率大约是（ ）A B C D4点 P1（1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数 yx 2+2x+c 的图象上，则y1，y 2，y 3 的大小关系是（ ）Ay 1y 2y 3 By 1y 2y 3 Cy 3y 2y 1 Dy 3y 1y 25如图，在边长为 a 的正六边形内有两个小三角形，相关数据如图所示若图中阴影部分的面积为 S1，两个空白三角形的面积为 S2则 （ ）A3 B4 C5 D66由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ）A BC D7函数 ykx+1 与 y 在同一坐标系中的大致图象是（ ）A BC D8下列性质中，直角三角形具
3、有而等腰三角形不一定具有的是（ ）A两边之和大于第三边B内角和等于 180C有两个锐角的和等于 90D有一个角的平分线垂直于这个角的对边9下列语句中正确的是（ ）A长度相等的两条弧是等弧B平分弦的直径垂直于弦C相等的圆心角所对的弧相等D经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴10如图，是二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象的一部分，给出下列命题：a+b+c0；b2a； ax2+bx+c0 的两根分别为 3 和 1； a2b+c0其中正确的命题是（ ）A B C D二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）11如图，一山坡的坡度为 i1： ，小辰从山脚 A 出发，沿山坡向上走了
4、200 米到达点 B，则小辰上升了 米12如图所示，一根水平放置的圆柱形输水管道横截面，其中有水部分水面宽 0.8 米，最深处水深0.2 米，则此输水管道的直径是 13将抛物线 yx 2 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的解析式为 14如图，用长为 10 米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过 10 米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为 x 米，花圃面积为 S 平方米，则 S 关于 x 的函数解析式是 （不写定义域）15如图所示，圆柱的高 AB3，底面直径 BC3，现在有一只妈蚁想要从 A 处沿圆柱表面爬到对角 C 处捕食，则它爬行的最短距离是 16按照如图所示
5、的方法排列黑色小正方形地砖，则第 14 个图案中黑色小正方形地砖的块数是 17一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为 10cm 的圆盘，如图所示，AB 与 CD 是水平的，BC 与水平面的夹角为 60，其中 AB60cm，CD40cm ，BC 40cm ，那么该小朋友将圆盘从 A 点滚动到 D 点其圆心所经过的路线长为 cm 18如图，ABC 中，C90，AC6，AB 10，D 为 BC 边的中点，以 AD 上一点 O 为圆心的O 和 AB、BC 均相切，则 OD 的长为 三解答题（共 9 小题，满分 76 分）19（8 分）如图，某日的钱塘江观潮信息如图：按上述信息，小红
6、将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离 s（千米）与时间 t（分钟）的函数关系用图 3 表示，其中：“11：40 时甲地交叉潮的潮头离乙地 12 千米”记为点A（0，12），点 B 坐标为（m ，0），曲线 BC 可用二次函数 s t2+bt+c（b，c 是常数）刻画（1）求 m 的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；（2）11：59 时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以 0.48 千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为 0.48 千米/分，小红逐渐落后问小红与潮头相遇到落
7、后潮头 1.8 千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度 vv 0+ （t 30），v 0 是加速前的速度）20（6 分）为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：镜子；皮尺； 长为 2m 的标杆； 高为 1.5m 的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案上，选用的测量工具是 ；（2）在下图中画出你的测量方案示意图；（3）你需要测量示意图中的哪些数据，并用 a，b，c， 等字母表示测得的数据；（4）写出求树高的算式：AB m 21（6 分）如图所示，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图经过多年开垦荒地，现已变成如图所示的
8、形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图中折线 CDE）还保留着，张大爷想过 E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）（1）写出设计方案，并在图中画出相应的图形；（2）说明方案设计理由22（8 分）已知，如图，EB 是 O 的直径，且 EB6，在 BE 的延长线上取点 P，使EP EB，A 是 EP 上一点，过 A 作O 的切线，切点为 D，过 D 作 DFAB 于 F，过 B 作 AD的垂线 BH，交 AD 的延长线于 H当点 A 在 EP
9、上运动，不与 E 重合时：（1）是否总有 ，试证明你的结论；（2）设 EDx，BHy ，求 y 和 x 的函数关系，并写出 x 的取值范围23（9 分）抛掷红、蓝两枚四面编号分别为 14（整数）的质地均匀、大小相同的正四面体，将红色和蓝色四面体一面朝下的编号分别作为二次函数 yx 2+mx+n 的一次项系数 m 和常数项 n 的值（1）一共可以得到 个不同形式的二次函数；（直接写出结果） （2）抛掷红、蓝四面体各一次，所得的二次函数的图象顶点在 x 轴上方的概率是多少？并说明理由24（8 分）如图，已知ABC 内接于O 中，AB 2 ，C 60（1）求O 的半径；（2）若CAB45，点 P 从
10、 C 点出发，沿 向点 A 滑动，滑动多长距离时PAB 会是等边三角形？（结果保留 ）25（7 分）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形如图，矩形 A1B1C1D1 是矩形ABCD 的 “减半”矩形请你解决下列问题：（1）当矩形的长和宽分别为 1，2 时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由；（2）边长为 a 的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，说明理由26（12 分）如图，已知等边三角形 ABC 的边长为 ，它的顶点 A 在抛物线 yx 22 x 上
11、运动，且始终使 BCx 轴（1）当顶点 A 运动至原点 O 时，顶点 C 是否在该抛物线上？（2）ABC 在运动过程中被 x 轴分成两个部分时，若上、下两个部分的面积之比为 1：8（即 S上 ：S 下 1：8），求此时顶点 A 的坐标；（3）ABC 在运动过程中，当点 B 在坐标轴上时，求此时顶点 C 的坐标27（12 分）已知：正方形 OABC 的边 OC、OA 分别在 x、y 轴的正半轴上，设点 B（4，4），点P（t，0 ）是 x 轴上一动点，过点 O 作 OHAP 于点 H，直线 OH 交直线 BC 于点 D，连 AD（1）如图 1，当点 P 在线段 OC 上时，求证：OPCD；（2）
12、在点 P 运动过程中，AOP 与以 A、B 、D 为顶点的三角形相似时，求 t 的值；（3）如图 2，抛物线 y x2+ x+4 上是否存在点 Q，使得以 P、D 、Q、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由2019 年广东省深圳市光明新区第二中学中考数学模拟试卷（4 月）参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1【分析】先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出两次都摸到白球的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是的白色的结果共有 2 种，所以两
13、次都摸到白球的概率是 ，故选：B【点评】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 是解题关键2【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4n24，然后解关于 n 的方程即可【解答】解：点（2，4）和点（4，n）在反比例函数 y 的图象上，4n24，n2故选：C【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y （k 为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk3【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；
14、全部情况的总数二者的比值就是其发生的概率的大小【解答】解：由题意知：1000 人中有 120 人看中央电视台的早间新闻，在该镇随便问一人，他看早间新闻的概率大约是 故选：C【点评】本题考查概率公式和用样本估计总体，概率计算一般方法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 4【分析】先求出抛物线的对称轴方程，然后根据二次函数的性质，通过比较三个点到对称轴的距离大小可得到 y1，y 2，y 3 的大小关系【解答】解：二次函数 yx 2+2x+c 的图象的对称轴为直线 x 1，而 P1（1，y 1）和 P2（3，y 2）到
15、直线 x1 的距离都为 2，P 3（5，y 3）到直线 x1 的距离为4，所以 y1y 2y 3故选：A【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式也考查了二次函数的性质5【分析】先求得两个三角形的面积，再求出正六边形的面积，求比值即可【解答】解：如图，三角形的斜边长为 a，两条直角边长为 a， a，S 2 a a a2，ABa，OC a，S 正六边形 6 a a a2，S 1S 正六边形 S 空白 a2 a2 a2， 5故选：C【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形的边长等于半径，面积可以分成六个等边三角形的面积来计算6【分析】根据从左边看得到的
16、图形是左视图，可得答案【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图7【分析】先利用一次函数的性质对 B、C 进行判断；然后利用反比例函数的性质对 A、D 进行判断【解答】解：直线 ykx+1 与 y 轴的交点坐标为（0，1），所以 B、C 选项错误；当 k0 时，k 0，反比例函数图象分布在第二、四象限，所以 A 选项错误，D 选项正确故选：D【点评】本题考查了反比例函数的图象：利用反比例函数解析式，运用反比例函数的性质对反比例函数图象的位置进行判断8【分析】根据等腰三角形与直角三角形的性质作答【解答
17、】解：A、两边之和大于第三边，不符合题意；B、对于任意一个三角形都有内角和等于 180，不符合题意；C、只有直角三角形才有两个锐角的和等于 90，符合题意；D、等腰三角形顶角的平分线垂直于顶角的对边，而直角三角形（等腰直角三角形除外）没有任何一个角的平分线垂直于这个角的对边，不符合题意故选：C【点评】本题主要考查了三角形的性质，等腰三角形与直角三角形的性质的区别9【分析】根据等弧的定义对 A 进行判断；根据垂径定理对 B 进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对 C 进行判断；根据圆的对称性对 D 进行判断【解答】解：A、能完全重合的两条弧是等弧，所以 A 选项错误；B、平分弦（非直径）的直径垂直
18、于弦，所以 B 选项错误；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以 C 选项错误；D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以 D 选项正确故选：D【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系10【分析】根据抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0）对进行判断；根据对称轴方程为 x1 对进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的交点坐标为（3，0）和（1，0），由此对进行判断；根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，得到 c0，而a+b+c0，则 a2b+ c3b，由 b0，于是可对进
19、行判断【解答】解：x1 时，y 0，a+b+c0，所以正确；x 1，b2a，所以错误；点（1，0）关于直线 x1 对称的点的坐标为（3，0），抛物线与 x 轴的交点坐标为（3，0）和（1，0），ax 2+bx+c0 的两根分别为3 和 1，所以正确；抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，c0，而 a+b+c0，b2a，c3a，a2b+c3b，b0，3b0，所以错误故选：C【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象为抛物线，当 a0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c）二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每
20、小题 3 分）11【分析】根据坡比的定义得到 tanA ，A30，然后根据含 30 度的直角三角形三边的关系求解【解答】解：根据题意得 tanA ，所以A30，所以 BC AB 200100 （m）故答案为 100【点评】本题考查了解直角三角形的应用：坡度是坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用 i 表示，常写成 i1：m 的形式12【分析】设O 的半径是 R，过点 O 作 ODAB 于点 D，交O 于点 C，连接 OA，由垂径定理得出 AD 的长，在 RtAOD 中利用勾股定理即可求出 OA 的长【解答】解：设O 的半径是 R，过点
21、O 作 ODAB 于点 D，交O 于点 C，连接 OA，AB0.8m， ODAB ，AD 0.4m，CD0.2m，ODRCDR0.2，在 Rt OAD 中，OD2+AD2OA 2，即（R0.2 ） 2+0.42R 2，解得 R0.5 m2R20.51 米故答案为：1 米【点评】本题考查的是垂径定理在实际生活中的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键13【分析】先得到抛物线 yx 2 的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（2，3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式【解答】解：抛物线 yx 2 的顶点坐标为（0，0），把点（0，0
22、）先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得到对应点的坐标为（2，3），所以平移后的抛物线解析式为 y（x+2）23故答案为 y（x +2） 23【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式14【分析】根据题意列出 S 与 x 的二次函数解析式即可【解答】解：设平行于墙的一边为（102x）米，则垂直于墙的一边为 x 米，根据题意得：Sx（102x ）2x 2+10x，故答案为：S2x 2+10x【点评
23、】此题考查了根据实际问题列二次函数关系式，弄清题意是解本题的关键15【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点 A、C 的最短距离为线段 AC 的长在 Rt ADC 中， ADC90 ，CDAB3，AD 为底面半圆弧长，AD1.5，所以 AC ，故答案为： 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答16【分析】观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色地砖比白色地砖多 1 个，求出第 n 个图案中的黑色与白色地砖的和，然后求出黑
24、色地砖的块数，再把 n14代入进行计算即可【解答】解：第 1 个图案只有 1 块黑色地砖，第 2 个图案有黑色与白色地砖共 329，其中黑色的有 5 块，第 3 个图案有黑色与白色地砖共 5225，其中黑色的有 13 块，第 n 个图案有黑色与白色地砖共（2n1） 2，其中黑色的有 （2n1） 2+1，当 n14 时，黑色地砖的块数有 （2141） 2+1 730365故答案为：365【点评】本题是对图形变化规律的考查，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图案序号之间的关系是解题的关键17【分析】A 点滚动到 D 点其圆心所经过的路线在点 B 处少走了一段，在点 C 处又多求了一段弧长，所以
25、A 点滚动到 D 点其圆心所经过的路线（60+40+40） + cm【解答】解：A 点滚动到 D 点其圆心所经过的路线（ 60+40+40） + cm【点评】本题的关键是弄明白圆中心所走的路线是由哪几段组成的18【分析】过点 O 作 OEAB 于点 E，OFBC 于点 F根据切线的性质，知 OE、OF 是 O 的半径；然后由三角形的面积间的关系（S ABO +SBOD S ABD S ACD ）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径，然后根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：过点 O 作 OEAB 于点 E，OFBC 于点 FAB、BC 是O 的切线，点 E、F 是切点，OE、OF 是O
26、的半径；OEOF ；在ABC 中，C90，AC6，AB 10，由勾股定理，得 BC8；又D 是 BC 边的中点，S ABD S ACD ，又S ABD S ABO +SBOD ， ABOE+ BDOF CDAC，即 10OE+4OE46，解得 OE ， O 的半径是 由勾股定理得 AD2 ，DOHDAC， ，OD 故答案为： 【点评】本题考查了切线的性质与三角形的面积运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题三解答题（共 9 小题，满分 76 分）19【分析】（1）由题意可知：经过 30 分钟后到达乙地，从而可知 m30，由于甲地到乙地是匀
27、速运动，所以利用路程除以时间即可求出速度；（2）由于潮头的速度为 0.4 千米/分钟，所以到 11：59 时，潮头已前进 190.47.6 千米，设小红出发 x 分钟，根据题意列出方程即可求出 x 的值，（3）先求出 s 的解析式，根据潮水加速阶段的关系式，求出潮头的速度达到单车最高速度 0.48千米/分钟时所对应的时间 t，从而可知潮头与乙地之间的距离 s，设她离乙地的距离为 s1，则 s1与时间 t 的函数关系式为 s1 0.48t+h（t35），当 t35 时，s 1s ，从而可求出 h 的值，最后潮头与小红相距 1.8 千米时，即 ss 11.8，从而可求出 t 的值，由于小红与潮头相
28、遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时 6 分钟，共需要时间为 6+503026 分钟，【解答】解：（1）由题意可知：m 30；B（30，0），潮头从甲地到乙地的速度为： 千米/分钟；（2）潮头的速度为 0.4 千米/分钟，到 11：59 时，潮头已前进 190.47.6 千米，设小红出发 x 分钟与潮头相遇，0.4x+0.48x 127.6，x5小红 5 分钟与潮头相遇，（3）把 B（30，0），C（55 ，15）代入 s t2+bt+c，解得：b ，c ，s t2 v 00.4，v （t30）+ ，当潮头的速度达到单车最高速度 0.48 千米/分钟，此时 v0.48，0.48 （t30）+
29、 ，t35，当 t35 时，s t2 ，从 t35 分（12：15 时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48 千米/分的速度匀速追赶潮头设她离乙地的距离为 s1，则 s1 与时间 t 的函数关系式为 s10.48t +h（t35），当 t35 时，s 1s ，代入可得：h ，s 1 最后潮头与小红相距 1.8 千米时，即 ss 11.8， t2 + 1.8解得：t50 或 t20（不符合题意，舍去），t50，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时 6 分钟，共需要时间为 6+503026 分钟，小红与潮头相遇到潮头离她 1.8 千米外共需要 26 分钟，
30、【点评】本题考查二次函数的实际应用，涉及一次函数的应用，一元二次方程的解法，待定系数法求解析式等知识，综合程度较高，属于中等题型20【分析】此题要求学生根据题意，自己设计方案，答案不唯一；可借助相似三角形的对应边成比例的性质进行设计测量方法，先测得 CE，EA 与 CD 的大小，根据相似三角形的性质；可得： ；即 AB 【解答】解：（1）镜子，皮尺；（2）测量方案示意图；（3）EA（镜子离树的距离）a，EC（人离镜子的距离）b，DC（目高）c；（4）根据相似三角形的性质；可得： ；即 AB 【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角
31、形21【分析】利用尺规作图做 ECDF，两条平行线之间的垂线段相等，可得 SECF S ECD 【解答】解：（1）画法如图所示连接 EC，过点 D 作 DFEC，交 CM 于点 F，连接 EF，EF 即为所求直路的位置；（2）ECDF，D 和 F 点到 EC 的距离相等（平行线间的距离处处相等），又EC 为公共边，S ECF S ECD （同底等高的两三角形面积相等），S 四边形 ABFES 五边形 AEDCB，S 五边形 EDCMNS 四边形 EFMN即：EF 为直路的位置可以保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多【点评】考查通过尺规作图作出相等面积来彼
32、此替换以保持总面积不变22【分析】欲证所求的比例式，只需证得 DEFH 即可连接 BD，设 BD 与 FH 的交点为G，由于 HD 切O 于 D，根据弦切角定理知 HDBDEB，在 RtDEB 中，易证得DEBFDB，则FDB HDB ，即可证得DFBDHB，由此可得 BHBF ，即BFH是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可证得 BDFH ，而 BDDE，则 FHDE，由此得证由于 BHBF，根据 EB 的长，可用 y 表示出 EF 的值，进而在 RtDEB 中，根据射影定理得到 y、x 的函数关系式；求 x 的取值范围时，只需考虑 x 的最大值即可，当 A、P 重合时，若连接 OD，
33、则 ODPH，根据平行线分线段成比例定理，可求得 BH 的长，进而可得到 BF、EF 的值，然后根据射影定理即可求得 DE 的长，由此求得 x 的取值范围【解答】解：无论点 A 在 EP 上怎么移动（点 A 不与点 E 重合），总有证明：连接 DB，交 FH 于 GAH 是 O 的切线，HDBDEB又BHAH ，BE 为直径，BDE90有DBE90DEB 90HDBDBH在DFB 和DHB 中，DFAB，DFBDHB90，DBDB，DBEDBH，DFBDHB（4 分）BHBFBHF 是等腰三角形BGFH ，即 BDFHEDFH ， （5 分）EDx，BHy ，BE6，BFBH ，EF6y，又D
34、F 是 RtBDE 斜边上的高，DFEBDE，即 ED2EFEBx 26（6y）即 y x2+6（7 分）EDx0，当 A 从 E 向左移动，ED 逐渐增大，当 A 和 P 重合时，ED 最大，这时，连接 OD，则 ODPH，ODBH 又 POPE+EO6+39，PB12，BHBFBH 4，EFEBBF642由 ED2EFEB，得：x 22612，x0，x2 ，0x2 ，或由 BH4y ，代入 y x2+6 中，得 x2 故所求函数关系式为 y x2+6（0x2 ）【点评】此题主要考查了切线的性质、圆周角定理、全等三角形及相似三角形的判定和性质、平行线的判定等知识；（2）中，能够构造出与所求相
35、关的全等三角形是解决问题的关键23【分析】（1）直接求算出两个骰子总共出现的点数和有 16 种；（2）由于二次项系数是 10，根据二次函数图象顶点在 x 轴上方时，0，求算出 n，m 的值，再求满足条件的 m，n 的值的概率是多少即可【解答】解：（1）根据题意知，m 的值有 4 个，n 的值有 4 个，所以可以得到 4416 个不同形式的二次函数故答案为 16；（2）yx 2+mx+n，m 24n二次函数图象顶点在 x 轴上方，m 24n0，通过计算可知，m1，n1 ，2，3，4；或 m2，n2， 3，4；或 m3，n3，4 时满足m 24n0，由此可知，抛掷红、蓝四面体各一次，所得的二次函数
36、的图象顶点在 x 轴上方的概率是 【点评】本题是二次函数与统计初步中的综合题型，要熟悉二次函数的性质，并会根据条件求出字母系数的值掌握求算概率的基本方法24【分析】（1）作直径 AD，连接 BD，如图 1，利用圆周角定理得到 ABD90，DC60，然后在在 RtABD 中利用D 的正弦可计算出 AD，从而得到O 的半径；（2）如图 2，PAB 为等边三角形，连接 PO、PC，利用等边三角形的性质得PAB60，则PAC15，根据圆周角定理得到POC2PAC 30，然后利用弧长公式计算 的长度即可【解答】解：（1）作直径 AD，连接 BD，如图 1，AD 为直径，ABD90，DC60，在 Rt A
37、BD 中，sinD ，AD 4， O 的半径为 2；（2）如图 2，PAB 为等边三角形，连接 PO、PC，PAB 60，PACPABCAB604515，POC2PAC30， 的长度 ，即点 P 滑动 距离时PAB 会是等边三角形【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部也考查了圆周角定理25【分析】（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为 x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可
38、列出方程组求解（2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是 2，面积比就应该是 4，所以不存在“减半”正方形【解答】解：（1）不存在（1 分）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为 x、y，则 ，由得： y x，把代入 得： x2 x+10，b24ac 40，（5 分）所以不存在；（2）不存在（6 分）因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为 时，面积比必定是 ，所以正方形不存在“减半”正方形（10 分）【点评】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系26【分析】（1）当顶点 A 运动至与原点重合时，设 BC 与 y 轴交于点 D，如图所示由等边三角形的性
39、质可以求出 AD 的值，从而求出 C 的坐标（2）过点 A 作 ADBC 于点 D，设出 A 点的坐标，由条件表示出 AD 的值，再由三角函数求出AD 的值，从而建立等量关系，就可以求出 A 的坐标（3）B 点在坐标轴上有两种情况，当 B 点在 x 轴上时，则 A 的纵坐标为 3，代入抛物线的解析式求出 A 的横坐标就可以求出 C 的坐标；当 B 点 y 轴上时，可以求出 A 点的横坐标 ，代入抛物线的解析式可以求出 A 点的纵坐标，从而求出 C 点的坐标【解答】解：（1）当顶点 A 运动至与原点重合时，设 BC 与 y 轴交于点 D，如图所示BCx 轴，BCAC2 ，CD ，AD3，C 点的
40、坐标为（ ，3），当 x 时，y （ ） 22 3，当顶点 A 运动至与原点重合时，顶点 C 在抛物线上（2）过点 A 作 ADBC 于点 D，设点 A 的坐标为（x ，x 22 x）BCx 轴，x 轴上部分的三角形ABC，S 上 ：S 下 1：8，S 上 ：S ABC 1：9，AD3（x 22 x），等边ABC 的边长为 2 ，ADACsin603，3（x 22 x）3，x 22 x 10，解方程，得 x 2，顶点 A 的坐标为（ +2， 1）或（ 2，1）（3）当顶点 B 落在 x 轴时，则 A 点纵坐标为 3，3x 22 x，x 或 + ，顶点 C 的坐标为（2 ，0）、（2 + ，0）
41、，当顶点 B 落在 y 轴时，则 A 点横坐标为 ，yx 22 x3，顶点 C 的坐标为（2 ，6），综上所述，顶点 C 的坐标为（ 2 ，0）、（2 + ，0）、（2 ，6）【点评】本题是一道二次函数的综合试题，考查了点的坐标，三角形的面积，等边三角形的性质，相似三角形的判定及性质的综合应用解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件27【分析】（1）证 OPCD ，可以证明它们所在的三角形全等，即证明：AOPOCD ；已知的条件有：AOP OCD 90，OA OC4，只需再找出一组对应角相等即可，通过图示可以
42、发现OAP 、HAP 是同角的余角，这两个角相等，那么证明三角形全等的全部条件都已得出，则结论可证（2）点 P 在 x 轴上运动，那么就需分三种情况讨论：点 P 在 x 轴负半轴上；可以延续（1）的解题思路，先证明AOP、OCD 全等，那么得到的条件是 OPCD，然后用 t 表示 OP、BD 的长，再根据给出的相似三角形得到的比例线段，列等式求出此时 t 的值，要注意 t 的正负值的判断；点 P 在线段 OC 上时；由于 OP、CD 都小于等于正方形的边长（即 OA、AB），所以只有OPBD 时，给出的两个三角形才有可能相似（此时是全等），可据此求出 t 的值；点 P 在点 C 的右侧时；方法
43、同（3）这道题要分两种情况讨论：线段 PC 为平行四边形的对角线，那么点 Q、D 关于 PC 的中点对称，即两点的纵坐标互为相反数，而 QPCD，即 Q、P 的横坐标相同，那么先用 t 表示出 Q 点的坐标，代入抛物线的解析式中，即可确定 t 的值；线段 PC 为平行四边形的边；先用 t 表示出 PC 的长，把点 D 向左或向右平移 PC 长个单位就能表达出点 Q 的坐标，代入抛物线解析式后即可得到 t 的值【解答】（1）证明：ODAH，OAPDOC90 AOD；正方形 OABC 中，OAOC 4，AOPOCD90，即： ，AOPOCDOPCD（2）解： 点 P 在 x 轴负半轴上时，P（t
44、，0），且 t 0，如图 ；在 RtAOP 中，OHAP ，POH PAO90APO；又POH COD，CODPAO ；在AOP 与OCD 中， ，AOPOCD；OPCDt，则：BD BC+CD4t；若AOP 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似，则有： ，得： 解得：t22 或 t2+2 （正值舍去）；当点 P 在线段 OC 上时，P（t，0），0t 4，如图；因为 OPOA 、BD AB、OAAB，若AOP 与以 A、B、D 为顶点的三角形相似，那么有： ，所以 OPBD，即：t4t，t2；当点 P 在点 C 右侧时，P（t ，0），t4，如图；同可求得 t2+2 ；综上，t 12，t 2
45、 ，t 3 （3）解：假设存在符合条件的点 Q，分两种情况讨论：PC 为平行四边形的对角线，则 QPCD，且 QPCD；若 P（t，0）、D（4，t），则 Q（t ，t），代入抛物线 y x2+ x+4 中，得： t2+ t+4t，即：t 210t 240，解得：t 12，t 212；PC 为平行四边形的边，则 DQPC，且 QDPC；若 P（t，0）、D（4，t），则 PCQD|t 4|，Q （t，t）或（8t，t ）；Q（t，t）时，t t2+ t+4，即：t 2+2t240，解得 t14（舍）、t 26；Q（8t，t）时，t （8t） 2+ （8t）+4，即：t 26t+80，解得 t14（舍）、t 22综上可知，t 12，t 212，t 36，t 42存在点 Q，使得以 P、D、Q、C 为顶点的四边形为平行四边形【点评】此题是二次函数与几何的综合题，主要涉及了正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定和性质、平行四边形的特点等重点知识；题目解题的思路并不复杂，但难度在于涉及的情况太多，需要分情况逐一进行讨论，容易漏解
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