1、1专题训练(一) 直角三角形与勾股定理的应用 类型之一 共边直角三角形的问题1如图 1ZT1,一架梯子的长度为 2.5 米,斜靠在墙上,梯子底部离墙底端 0.7米(1)这个梯子顶端离地面_米;(2)如果梯子的顶端下滑了 0.4 米,那么梯子的底部在水平方向上滑动了几米?图 1ZT12如图 1ZT2,在离水面高度为 5 米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC 的长为 13 米,此人以每秒 0.5 米的速度收绳,10 秒后船移动到点 D 的位置,则船向岸边移动了多少米?(假设绳子是直的,结果保留根号)图 1ZT22 类型之二 构造直角三角形解决问题3由于过度采伐森林和破坏植被,我国部分地区频
2、频遭受沙尘暴的侵袭如图1ZT3,近日,A 城气象局测得沙尘暴中心在 A 城的正西方向 240 km 的 B 处,以每小时12 km 的速度向北偏东 60方向移动,距沙尘暴中心 150 km 的范围为受影响区域(1)A 城是否会受到这次沙尘暴的影响?为什么?(2)如果 A 城受这次沙尘暴影响,那么遭受影响的时间有多长?图 1ZT34如图 1ZT4,小红同学要测量 A,C 两地的距离,但 A,C 之间有一个水池,不能直接测量,于是她在 A,C 同一水平面上选取了一点 B,点 B 可直接到达 A,C 两地她测量得到 AB80 米,BC20 米,ABC120.请你帮助小红同学求出 A,C 两地之间的距
3、离(参考数据: 4.6 ,保留到整数位)21图 1ZT43 类型之三 直角三角形中的测量问题5如图 1ZT5,小明想测量学校旗杆的高度,他采用如下的方法:先将旗杆上的绳子接长一些,让它垂到地面还多 1 米,然后将绳子下端拉直,使它刚好接触地面,测得绳下端离旗杆底部 5 米,你能帮他计算一下旗杆的高度吗?图 1ZT5 类型之四 最短路径问题6如图 1ZT6,有一个圆柱形透明玻璃容器,高 15 cm,底面周长为 24 cm,在容器内壁距上边缘 4 cm 的 A 处停着一只小飞虫,一只蜘蛛从容器底部外向上爬 3 cm 到达 B处时(B 处与 A 处恰好相对),发现了小飞虫,则蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近
4、?它至少要爬多少厘米?(容器厚度忽略不计)图 1ZT64 类型之五 直角三角形与面积问题7如图 1ZT7,学校有一块三角形草坪,数学课外小组的同学测得其三边的长分别为 AB200 米,AC160 米,BC120 米(1)小明根据测量的数据,猜想ABC 是直角三角形,请判断他的猜想是否正确,并说明理由;(2)若计划修一条从点 C 到 AB 边的小路 CH,使 CHAB 于点 H,求小路 CH 的长图 1ZT7 类型之六 直角三角形作图与计算问题8如图 1ZT8,在笔直的公路 l 的同侧有 A,B 两个村庄,已知 A,B 两村分别到公路的距离 AC3 km,BD 4 km.现要在公路上建一个汽车站
5、 P,使该车站到 A,B 两村的距离相等(1)试用直尺和圆规在图中作出点 P;(保留作图痕迹)(2)连接 AP,BP,若测得APB90,求 A 村到车站的距离图 1ZT85详解详析1解:(1)梯子底部离墙底端 0.7 米,且梯子的长度为 2.5 米,则在梯子与地面、墙面构成的直角三角形中,梯子顶端与地面的距离为 2.4(米)故答案为 2.4.2.52 0.72(2)设梯子的底部在水平方向上滑动了 x 米,则(2.40.4) 2(0.7x) 22.5 2,(0.7x) 22.5 22 22.25,0.7x1.5(0.7x1.5 已舍去),x0.8.答:梯子在水平方向上滑动了 0.8 米2解:在
6、RtABC 中,CAB90,BC13 米,AC5 米,AB 12(米)132 52此人以每秒 0.5 米的速度收绳,10 秒后船移动到点 D 的位置,CD130.5108(米),AD (米),CD2 AC2 82 52 39BDABAD(12 )米39答:船向岸边移动了(12 )米393解:(1)A 城会受到这次沙尘暴的影响理由:如图,过点 A 作 ACBM,垂足为 C.在 RtABC 中,由题意可知ABC30,AC AB 240120(km)AC120 12 12km150 km,A 城会受到这次沙尘暴的影响(2)设点 E,F 是以点 A 为圆心,150 km 为半径的圆与 MB 的交点,由
7、题意得 CE 90(km),AE2 AC2 1502 1202EF2CE290180(km)1801215(时)答:A 城遭受影响的时间为 15 小时4解:如图,过点 C 作 CDAB 交 AB 的延长线于点 D.ABC120,CBD60.在 RtBCD 中,BCD90CBD30,BD BC 2010(米),12 12CD 10 (米),202 102 3ADABBD801090(米)在 RtACD 中,AC 92(米)AD2 CD2 902 ( 10 3) 2答:A,C 两地之间的距离约为 92 米65解:如图,设 ACx 米,则 AB(x1)米在 RtABC 中,由勾股定理,得AC2BC
8、2AB 2,即 x25 2(x1) 2,解得 x12.答:旗杆的高度为 12 米6解:将圆柱沿相对的 A,B 垂直切开,并将半圆柱侧面展开成一个长方形,如图所示过点 B 作 BOAO 于点 O,则 AO,BO 分别平行于长方形的两边,作点 A 关于点 D 的对称点 A,连接 AB,则ABO 为直角三角形,且 BO 12(cm),AO(153)242416(cm),由勾股定理,得 AB 2AO 2BO 216 212 2400,AB20 cm.故蜘蛛沿折线 BCA 爬去吃小飞虫最近,且它至少要爬 20 cm.7解:(1)正确理由:在ABC 中,AB200 米,AC160 米,BC120 米,AC
9、 2BC 2160 2120 2200 2AB 2,即 AC2BC 2AB 2,ABC 是直角三角形(2)CHAB,S ABC ABCH.12由(1)知ABC 是直角三角形,且ACB90,S ABC ACBC,12ABCHACBC,即 200CH160120,解得 CH96 米答:小路 CH 的长为 96 米8解:(1)如图,连接 AB,画出 AB 的垂直平分线交 CD 于点 P,则点 P 即为所求的点(2)APB90,7APCBPD90.又APCPAC90,PACBPD.又ACPPDB90,APPB,ACPPDB(AAS),PCBD4 km.在 RtACP 中,ACP90,AP 2AC 2PC 23 24 225,AP5 km.答:A 村到车站的距离为 5 km.