北京市丰台区2019届高三二模数学理科试卷（含答案）

1、丰台区 2019 年高三年级第二学期综合练习（二）数 学（理科）2019. 05（本试卷满分共 150 分，考试时间 120 分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区” 贴好条形码。2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试

2、卷、草稿纸上答题无效。4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1若集合 ，集合 ，则2|4AxZ |13BxAB（A） （B）0,02（C） （D）1,3|x2若 满足 则 的最大值为,xy20,xy xy（A） （B） （C） （D）3 133某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）16（B）43（C）8（D） 44已知 是虚数单位， ，则“ ”是“ 为纯虚数”的iaR1a2(i)a（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件主

3、主主主主2 22 2x 1y=x2-主主主 yx主y=2x（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件5执行如图所示的程序框图，如果输入的，那么输出的 值不可能为0,2xy（A） 1（B）（C）（D） 26已知函数 的图象过点 ，现将 的图象向左平移()sin2)()2fx1(0,)2P()yfx个单位长度得到的函数图象也过点 ，那么(0t（A） ， 的最小值为 （B） ， 的最小值为3t33t（C） ， 的最小值为 （D） ， 的最小值为6t6t7已知点 是边长为 的正方形 所在平面内一点，若 ，则P2AC|1APBD的最大值是|A（A） （B）212（C） （D）8某码头有总重量为 13.

4、5 吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过 0.35 吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重 1.5 吨的卡车（A）12 辆 （B）11 辆 （C）10 辆 （D）9 辆第二部分 （非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9双曲线 的离心率为_21yx10若在区间 上随机选取一个数 ，则事件 发生的概率为_,4x1x11已知等差数列 的前 项和为 ，能够说明“若数列 是递减数列，则数列 是递减数nanSnanS列”是假命题的数列 的一个通项公式为_12在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 圆 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ）

5、， 以坐标原点 为极点，xOyCcos,1inxy O轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，圆心 到直线x lcosin10C的距离为_l13把 5 个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有_种14已 知 点 分 别 是 抛 物 线 和 直 线 上 的 动 点 ， 点 是 圆 上 的 动,PQ2:4Cyx60M2:(1)Kxy点 抛物线 的焦点坐标为_； 的最小值为_2|PM三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15 （本小题 13 分）在 中，角 的对边分别

6、为 ，且 ABC , ,abc3osinaBbA（）求 的值；（）求 的最大值.sin16 （本小题 13 分）某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国 70 周年”的知识竞赛从这两个年级各随机抽取了 40 名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表 高一 高二规定成绩不低于 90 分为“优秀” （）估计高一年级知识竞赛的优秀率；（）将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率在高一、高二年级学生中各选出 1 名成绩分组 频数75，80) 280，85) 685，90) 1690，95) 1495，100 2频率/组距75 80 85 90 9

7、5 100 成绩/分0.060.050.040.030.02学生，记这 2 名学生中成绩优秀的人数为 ，求随机变量 的分布列；（）在高一、高二年级各随机选取 1 名学生，用 分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀,XY的人数写出方差 , 的大小关系 （只需写出结论）DXY17 （本小题 14 分）在梯形 中， ， ， ， 为 的中点，线段 与ABCD 3BAD24ACDPABAC交于 点（如图 1） 将 沿 折起到 的位置，使得二面角 为直二面POC D角（如图 2） （）求证： 平面 ； P（）求二面角 的大小；AB（）线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ？DQCBD68若

8、存在，求出 的值；若不存在，请说明理由PPO BOCDP BA CADQ图 1 图 218 （本小题 13 分）已知函数 2()ln(1)()fxaxa 0（）当 时，求函数 在区间 上的最大值；0af,（）函数 在区间 上存在最小值，记为 ，求证： ()fx(1,)()ga1()4ga19 （本小题 14 分）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，长轴长为 4，离心率为 .过右焦点2:1(0)xyEab,AB12的直线 交椭圆 于 两点（均不与 重合） ，记直线 的斜率分别为 .Fl,CD,ABCD1,k（）求椭圆 的方程；（）是否存在常数 ，当直线 变动时，总有 成立？若存在，求出 的值；若不存

9、在，说明l12k理由.20 （本小题 13 分）在数列 中，记 ( 且 ).na1231()|nPaaa N2n（）若对任意的 且 ，都有 ，则称数列 具有性质 N ()n P请写出具有性质 的一个数列的前四项；设数列 具有性质 ，证明： ；naP1na（ ）若存在常数 ，对任意的 且 ，都有 ，则称数列 是 数列设 是M2 ()PnM nanS数列 的前 项和，且 是 数列，证明：数列 是 数列nbnSb丰台区 20182019 学年度第二学期综合练习（二）高三数学（理科）答案及评分参考 201905一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8

10、答案 A B B A D C C B二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分）9 10 11 满足 （答案不唯一）3312,0,ad12. 1336 14 ；2 (,)6三、解答题（共 6 小题，共 80 分）15.（共 13 分）解：（）因为 ，3cosinaBbA由正弦定理可得 . 2 分csisnBA=因为在 中， ，C i0所以 . 3 分3cosn=因为 , 4 分0B所以 . .5 分（）因为 ， 6 分AC+所以 .7 分sinsin()3A.8 分1iicos)2A. 9 分3sin()6因为 ， 20A所以 . 11

11、56+分当 ，即 时，2=3有最大值 . .13 分sinAC16 （共 13 分）解：（）高一年级知识竞赛的优秀率为. 4 分(0.42)503所以高一年级知识竞赛的优秀率为 .0%（）在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为 ，选中成绩不优秀学生的概率为 ；.30.7在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为 ，选中成绩不优秀学生的概率为 .46的所有可能取值为 0，1，2； 6 分；(0).76.4P；13.6. 9 分(2).012所以随机变量 的分布列为：P0 1 2.42.460.110 分（） . 13 分DXY17.（共 14 分）（）证明：因为在梯形 ABCD中， ， 24AB

12、CD， P为 AB的中点，所以 P， ，所以四边形 为平行四边形， 1 分因为线段 与 交于 O点，所以 O为线段 的中点，所以 中 ， 3 分因为 平面 D， BC平面 PD，所以 BC 平面 P 4 分（）解：因为平行四边形 A中， 2A，所以四边形 是菱形， ，垂足为 O，所以 OD， ，因为 平面 C， P平面 CB，所以 是二面角 BD的平面角，因为二面角 A为直二面角，所以 2，即 可以如图建立空间直角坐标系 Oxyz，其中 (0,)， 6 分x PO BCyzADQ因为在图 1 菱形 APCD中， 3B，所以 O， O所以 (3,20)B， (,0)， (,1) 所以 ,1D，

13、2CB 7 分设 为平面 的法向量，()=x,yzn因为 ，B所以 ，即0CDAn20,3.yxz取 1x，得到 ,.z所以 ， (,03)n易知平面 的法向量为 ， 8 分ABC(0,1)ODm所以 9 分3cos,2n|由图可知，二面角 为锐二面角，所以二面角 的大小为 10 分ABCD6（）解：线段 P上存在点 Q，使得 与平面 BCD所成角的正弦值为 68，11 分设 (01)，因为 3,， (0,)P， 所以 3,1)C 12分因为 2(6cos, 84Qn， 13分所以 2370，因为 01，所以 14 分所以线段 PD上存在点 Q， 且 13PD时，使得 CQ与平面 BD所成角的

14、正弦值为 68 18.（共 13 分）解：（）当 时， ，0a()ln1fx则 ， 2 分1()f因为 ，所以 . 3 分,x()0fx所以 在区间 上单调递减， 4 分()f1,所以 区间 上最大值为 . 5 分x,)(1)0f（）由题可知()2(fax) 6 分(1x当 时，由（）知，函数 在区间 上单调递减，0a()fx(1,)所以函数 无最小值，此时不符合题意； 7 分()fx当 时，因为 ，所以 此时函数 在区间 上单调递增，12a (1,)210ax()fx(1,)所以函数 无最小值，此时亦不符合题意； 8 分()fx当 时，此时 02a12a函数 在区间 上单调递减，在区间 上单

15、调递增，()fx(,)1(,)2a所以 ， 9 分min11ln24ffaa即 .()lg要证 ，只需证当 时， 成立.1()4a102a1()04ga即证 ， 10 分ln()2设 ， 11 分12ta()ln1()htt由（）知 12 分0即 成立.1()4ga所以 . 13 分()19 （共 14 分）解：（）由题知 解得 3分224,1.acb2,3.ab所以求椭圆 的方程为 5分E214xy（）由（ ）知 ,20AB当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 l lx由 解得 或21.43xy， 1,3.2xy,.得 或 ；均有 12,k1,k123k猜测存在 6分3当直线 的斜率存在时

16、，设直线 的方程为 ， ， l lyx1,Cy2,Dxy由 得 21.43ykx， 2248410kxk则8分2128,.43xk故9分1212()yx13分2122122123()()58()8340()0.xyxkkx所以存在常数 使得 恒成立 14分312k20 （共 13 分）解：（）1,2,3,4. 3 分假设 ( )是数列 中，使得 成立的最小的项，ia*Nna1iia则 123 11|iiiiiia 所以 ，1iiii所以 ，这与 矛盾，所以假设不成立1iia iia所以 . 8 分n（）因为 是数列，所以存在常数 ，对于任意的 且 ，都有SMnN2，1231|nS 因为 是数列 的前 n 项和，所以 nSb1,2.nnSb所以 ，23|nM因为 1231|nbbb2211|nnnb= 231(|)|n1|Mb|所以数列 是数列 13 分n