1、2019 年江苏省南通市崇川区中考数学模拟试卷（4 月份）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（3 分） 的值等于（ ）A3 B3 C3 D2（3 分）下列运算正确的是（ ）A（a 3） 2a 5 Ba 3+a2a 5C（a 3a）aa 2 Da 3a3 13（3 分）如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成的几何体，它的主视图为（ ）A B C D4（3 分）某校体育节有 13 名同学参加女子百米赛跑，它们预赛的成绩各不相同，取前6 名参加决赛，小颖已经知道了自己的
2、成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这 13 名同学成绩的（ ）A方差 B极差 C中位数 D平均数5（3 分）用一个圆心角为 120，半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）A1 B2 C3 D66（3 分）若关于 x 的不等式组 的解集为 x3，则 k 的取值范围为（ ）Ak1 Bk1 Ck1 Dk 17（3 分）若一次函数 ykx+b，当 x 的值减小 1，y 的值就减小 2，则当 x 的值增加 2 时，y 的值（ ）A增加 4 B减小 4 C增加 2 D减小 28（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a10 有两根为 x1 和 x2，且x12x
3、 1x20，则 a 的值是（ ）Aa1 Ba1 或 a2 Ca2 Da1 或 a29（3 分）如图，ABC 的三个顶点均在格点上，则 cosA 的值为（ ）A B C2 D10（3 分）如图，在等边ABC 中，AB10，BD 4，BE2，点 P 从点 E 出发沿 EA方向运动，连接 PD，以 PD 为边，在 PD 右侧按如图方式作等边DPF，当点 P 从点E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长是（ ）A8 B10 C3 D5二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11（3 分）若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取
4、值范围是 12（3 分）据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达 680000000 元，这个数用科学记数法表示为 元13（3 分）如图，BCDE，若A35，E60，则C 等于 14（3 分）一个多边形的每个外角都等于 72，则这个多边形的边数为 15（3 分）已知一元二次方程 x23x50 的两根分别为 x1、x 2，那么 x12+x22 的值是 16（3 分）如图，PA、PB 是 O 的切线，A、B 是切点，点 C 是劣弧 AB 上的一个动点（点 C 不与点 A、点 B 重合），若P30，则ACB 的度数是 17（3 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB3，AC4，
5、D 是 BC 的中点，将ABD 沿 AD 翻折，点 B 落在点 E 处，连接 CE，则 CE 的长为 18（3 分）如图：双曲线 经过点 A（2，3），射线 AB 经过点 B（0，2），将射线AB 绕 A 按逆时针方向旋转 45，交双曲线于点 C，则点 C 的坐标的为 三、解答题（本大题共 10 小题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19（10 分）（1）计算（ ） 1 （2010 ） 0+4cos60| 2|；（2）分解因式（x+2）（x +4）+x 2420（6 分）解方程： 121（8 分）如图，从地面 B 处测得热气球 A 的仰角为
6、 45，从地面 C 处测得热气球 A 的仰角为 30，若 BC 为 240 米，求：热气球 A 的高度22（9 分）某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成 5 组，A：0.5 x1，B：1x1.5 ，C：1.5x2，D ：2x 2.5，E：2.5x3，制作成两幅不完整的统计图（如图）请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）学生会随机调查了 名学生；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有 900 名学生，估计该校在这次活动中做家务的时间不少于 2.5 小时的学生有多少人？23（8 分）如图，在A
7、BC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 分别与 BC、AC 交于点D、E，过点 D 作 DFAC 于 F（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若O 的半径为 2，BC2 ，求 DF 的长24（8 分）在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号 1，2，3，4小明先随机地摸出一个小球后放回，小强再随机地摸出一个小球记小明摸出球的标号为 x，小强摸出球的标号为 y小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当 xy 时小明获胜，否则小强获胜则他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由25（10 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，E、F 分别是 AD、BC 的中点，G、H分别是对角线
8、 BD、AC 的中点（1）求证：四边形 EGFH 是菱形；（2）若 AB1，则当ABC+DCB90时，求四边形 EGFH 的面积26（10 分）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少 2 元，发现原来买这种水果 80 千克的钱，现在可买 88 千克（1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系求 y 与 x 之间的函数关系式；请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润销售收入进货金额）27（13
9、 分）如图，已知ABC 中，AB8，BC 10，AC 12，D 是 AC 边上一点，且AB2ADAC，连接 BD，点 E、F 分别是 BC、AC 上两点（点 E 不与 B、C 重合），AEFC， AE 与 BD 相交于点 G（1）求：BD 的长；（2）求证：BGECEF；（3）连接 FG，当GEF 是等腰三角形时，直接写出 BE 的所有可能的长度28（14 分）如图，抛物线 yax 2+bx+c 交 x 轴于 O（0，0），A（8，0）两点，顶点 B的纵坐标为 4（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点 C 是抛物线上异于原点 O 的一点，且满足 2BC2OA 2+2OC2，试判断OBC的形状
10、，并说明理由（3）在（2）的条件下，若抛物线上存在一点 D，使得OCDAOCOCA，求点D 的坐标2019 年江苏省南通市崇川区中考数学模拟试卷（4 月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（3 分） 的值等于（ ）A3 B3 C3 D【分析】此题考查的是 9 的算术平方根，需注意的是算术平方根必为非负数【解答】解： 3，故选：A【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0 的算术平方根是 02（3 分）下列运算正确的是（
11、 ）A（a 3） 2a 5 Ba 3+a2a 5C（a 3a）aa 2 Da 3a3 1【分析】A、利用幂的乘方法则即可判定；B、利用同类项的定义即可判定；C、利用多项式除以单项式的法则计算即可判定；D、利用同底数的幂的除法法则计算即可【解答】解：A、（a 3） 2a 6，故错误；B、a 3 和 a2 不是同类项，a 3+a2a 5，故错误；C、（a 3a）aa 2 ，故错误；D、a 3a3a 01，正确故选：D【点评】此题主要考查了整式的运算，对于相关的法则和定义一定要熟练3（3 分）如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成的几何体，它的主视图为（ ）A B C D【分析】根据主视图为正面所
12、看到的图形，进而得出答案【解答】解：如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成的几何体，它的主视图为：故选：A【点评】本题考查了三视图的知识，注意主视图即为从正面所看到的图形4（3 分）某校体育节有 13 名同学参加女子百米赛跑，它们预赛的成绩各不相同，取前6 名参加决赛，小颖已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这 13 名同学成绩的（ ）A方差 B极差 C中位数 D平均数【分析】由于比赛取前 6 名参加决赛，共有 13 名选手参加，根据中位数的意义分析即可【解答】解：13 个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有 7 个数，故只要知道自己的分数和中位数就可以
13、知道是否获奖了故选：C【点评】本题考查了方差和标准差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量5（3 分）用一个圆心角为 120，半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）A1 B2 C3 D6【分析】易得扇形的弧长，除以 2即为圆锥的底面半径【解答】解：扇形的弧长 4，圆锥的底面半径为 422故选：B【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长6（3 分）若关于 x 的不等式组 的解集为 x3，则 k 的取值范围为（ ）Ak1 Bk1 Ck1 Dk 1【分析】不等式整理后，由已知解集确定出 k 的范围即可【解答】解：不等式整理得： ，
14、由不等式组的解集为 x3，得到 k 的范围是 k1，故选：C【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键7（3 分）若一次函数 ykx+b，当 x 的值减小 1，y 的值就减小 2，则当 x 的值增加 2 时，y 的值（ ）A增加 4 B减小 4 C增加 2 D减小 2【分析】此题只需根据已知条件分析得到 k 的值，即可求解【解答】解：当 x 的值减小 1，y 的值就减小 2，y2k（x 1）+bkx k+b，ykx k+b+2又 ykx +b，k+b+2b，即k+20，k2当 x 的值增加 2 时，y（x+2）k+bkx+ b+2kkx+b+4，当 x 的值增加 2
15、时，y 的值增加 4故选：A【点评】此题主要是能够根据已知条件正确分析得到 k 的值8（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a10 有两根为 x1 和 x2，且x12x 1x20，则 a 的值是（ ）Aa1 Ba1 或 a2 Ca2 Da1 或 a2【分析】根据 x12x 1x20 可以求得 x10 或者 x1x 2，所以 把 x10 代入原方程可以求得 a1；利用根的判别式等于 0 来求 a 的值【解答】解：解 x12x 1x20 ，得x10，或 x1x 2，把 x10 代入已知方程，得a10，解得：a1；当 x1x 2 时，44（a1）0，即 84a0，解得：a2综上所述，a
16、1 或 a2故选：D【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于 0 来求 a 的另一值9（3 分）如图，ABC 的三个顶点均在格点上，则 cosA 的值为（ ）A B C2 D【分析】过 B 点作 BDAC，得 AB 的长，AD 的长，利用锐角三角函数得结果【解答】解：过 B 点作 BD AC，如图，由勾股定理得，AB ，AD 2 ，cosA ，故选：D【点评】本题考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键10（3 分）如图，在等边ABC 中，AB10，BD 4，BE2，点 P 从点 E 出发沿 EA
17、方向运动，连接 PD，以 PD 为边，在 PD 右侧按如图方式作等边DPF，当点 P 从点E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长是（ ）A8 B10 C3 D5【分析】连结 DE，作 FHBC 于 H，如图，根据等边三角形的性质得 B60，过D 点作 DEAB ，则 BE BD2，则点 E与点 E 重合，所以BDE30，DE BE2 ，接着证明DPE FDH 得到 FHDE2 ，于是可判断点 F 运动的路径为一条线段，此线段到 BC 的距离为 2 ，当点 P 在 E 点时，作等边三角形DEF1，则 DF1BC，当点 P 在 A 点时，作等边三角形 DAF2，作 F2QBC 于 Q，则DF2
18、QADE ，所以 DQAE8，所以 F1F2DQ8，于是得到当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长为 8【解答】解：连结 DE，作 FHBC 于 H，如图，ABC 为等边三角形，B60，过 D 点作 DEAB ，则 BE BD2，点 E与点 E 重合，BDE30，DE BE2 ，DPF 为等边三角形，PDF60，DP DF，EDP+HDF90HDF +DFH90，EDPDFH，在DPE 和FDH 中，DPEFDH，FHDE 2 ，点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径为一条线段，此线段到 BC 的距离为 2，当点 P 在 E 点时，作等边三角形 DEF1，B
19、DF 130+6090，则 DF1BC ，当点 P 在 A 点时，作等边三角形 DAF2，作 F2QBC 于 Q，则DF 2QADE，所以DQAE1028，F 1F2DQ8，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长为 8故选：A【点评】本题考查了轨迹：点运动的路径叫点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规律也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11（3 分）若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x2 且 x0 【分析】根据二次根式有意义
20、的条件可得 x+20 且 x0，再解即可【解答】解：由题意得：x+20 且 x0，解得：x2 且 x0，故答案为：x2 且 x0【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数12（3 分）据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达 680000000 元，这个数用科学记数法表示为 6.810 8 元【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数
21、；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 680000000 用科学记数法表示为 6.8108故答案为：6.810 8【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值13（3 分）如图，BCDE，若A35，E60，则C 等于 25 【分析】根据平行线的性质求出CBE，再根据三角形外角性质求出即可【解答】解：BCDE，E60，CBEE60，A35，CCBEA603525，故答案为：25【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，能根据定理求出CBEE和CCBEA 是解此题的
22、关键14（3 分）一个多边形的每个外角都等于 72，则这个多边形的边数为 5 【分析】利用多边形的外角和 360，除以外角的度数，即可求得边数【解答】解：多边形的边数是：360725故答案为：5【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是 360 度是关键15（3 分）已知一元二次方程 x23x50 的两根分别为 x1、x 2，那么 x12+x22 的值是 19 【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x23，x 1x25，再利用完全平方公式变形得到x12+x22（x 1+x2） 22x 1x2，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得 x1+x23，x 1x25，所
23、以 x12+x22（ x1+x2） 22 x1x23 22（5）19故答案为 19【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x 1+x2 ，x 1x2 16（3 分）如图，PA、PB 是 O 的切线，A、B 是切点，点 C 是劣弧 AB 上的一个动点（点 C 不与点 A、点 B 重合），若 P30，则ACB 的度数是 105 【分析】连接 OA，OB，由 PA，PB 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，再利用四边形的内角和定理求出AOB 的度数，进而求出大角AOB 的度数，利用圆周角定理即可求出ACB 的度数【解答】解
24、：连接 OA，OB，PA，PB 分别为圆 O 的切线，OAPOBP90，P30，AOB150，即大角AOB360150210，则ACB 大角AOB 105 故答案为：105【点评】此题考查了切线的性质，四边形的内角和定理，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键17（3 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AB3，AC4，D 是 BC 的中点，将ABD 沿 AD 翻折，点 B 落在点 E 处，连接 CE，则 CE 的长为 【分析】连接 BE 交 AD 于 O，作 AHBC 于 H首先证明 AD 垂直平分线段 BE，BCE 是直角三角形，求出 BC、BE，在 RtBCE 中，利用勾
25、股定理即可解决问题【解答】解：如图所示：连接 BE 交 AD 于 O，作 AHBC 于 H在 Rt ABC 中，AC4，AB3，BC 5，CDDB，ADDCDB ， BCAH ABAC，AH ，AEAB，点 A 在 BE 的垂直平分线上，DEDB DC，点 D 在 BE 使得垂直平分线上，BCE 是直角三角形，AD 垂直平分线段 BE， ADBO BDAH，OB ，BE2OB ，在 Rt BCE 中，CE ；故答案为： 【点评】本题考查了翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型18（3 分）如图：双曲线 经过点 A（2，3），射线
26、AB 经过点 B（0，2），将射线AB 绕 A 按逆时针方向旋转 45，交双曲线于点 C，则点 C 的坐标的为 （1，6） 【分析】过 B 作 BFAC 于 F，过 F 作 FDy 轴于 D，过 A 作 AEDF 于 E，则ABF为等腰直角三角形，易得AEFFDB，设 BDa，则 EFa，进一步得到DF2aAE ，ODOBBD2a，根据 AE+OD3，列出 2a+2a3，求得 a的值，即可求得 F 的坐标，根据待定系数法求得直线 AF 的解析式，然后和反比例函数的解析式联立方程，解方程即可求得【解答】解：如图，过 B 作 BFAC 于 F，过 F 作 FDy 轴于 D，过 A 作 AEDF 于
27、E，则ABF 为等腰直角三角形，易得AEFFDB，设 BDa，则 EFa，点 A（2，3）和点 B（0，2），DF2aAE ，ODOB BD2a，AE+OD3，2a+2a3，解得 a ，F（ ， ），设直线 AF 的解析式为 ykx+b，则 ，解 ，直线 AF 的解析式为 y3x3，双曲线 经过点 A（2，3），k236，双曲线为 y ，解方程组 ，可得 或 ，C（1，6），故答案为：（1，6）【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，旋转的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征的运用，解决问题的关键是利用 45角，作辅助线构造等腰直角三角形，依据交点的性质列方程组进行求解三、解答
28、题（本大题共 10 小题，共 96 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19（10 分）（1）计算（ ） 1 （2010 ） 0+4cos60| 2|；（2）分解因式（x+2）（x +4）+x 24【分析】（1）直接利用负指数幂的性质以及结合零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简进而得出答案；（2）直接提取公因式（x+2），进而分解因式得出答案【解答】解：（1）原式21+221；（2）原式（x+2）（x +4）+（x+2）（x2）（x+2）（2x +2）2（x+2）（x +1）【点评】此题主要考查了实数运算以及分解因式，正确化简各数是解
29、题关键20（6 分）解方程： 1【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：原方程可变为： 1，方程两边同乘（x2），得 3（x1）x 2，解得：x3，检验：当 x3 时，x 20，原方程的解为 x3【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验21（8 分）如图，从地面 B 处测得热气球 A 的仰角为 45，从地面 C 处测得热气球 A 的仰角为 30，若 BC 为 240 米，求：热气球 A 的高度【分析】过点 A 作 ADBC 于点 D，设 ADx 米，根据正确的定义用 x 分别表示出BD、CD
30、，根据题意列出方程，解方程得到答案【解答】解：如图所示，过点 A 作 ADBC 于点 D，由题意知，B45，C30，BC 240 米，设 ADx 米，B45，BDADx 米，在 Rt ADC 中， tanC ，CD x，由 BCBD+ CD 可得，x+ x240，解得：x120 120，答：热气球 A 的高度为（120 120）米【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键22（9 分）某校开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，为了解情况，学生会随机调查了部分学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成 5 组，A
31、：0.5 x1，B：1x1.5 ，C：1.5x2，D ：2x 2.5，E：2.5x3，制作成两幅不完整的统计图（如图）请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）学生会随机调查了 50 名学生；（2）补全频数分布直方图；（3）若全校有 900 名学生，估计该校在这次活动中做家务的时间不少于 2.5 小时的学生有多少人？【分析】（1）根据 D 组人数及其所占百分比即可得出总人数；（2）总人数乘以 C 组的百分比求得 C 组人数，总人数减去其余各组人数求得 B 人数人数即可补全条形图；（3）总人数乘以样本中 E 组人数所占比例可得【解答】解：（1）学生会调查的学生人数为 1020%50（人），故答案
32、为：50；（2）1.5x2 的人数为 5040%20 人，1x1.5 的人数为 50（3+20+10+4）13 人，补全图形如下：（3）900 72（人），答：估计该校在这次活动中做家务的时间不少于 2.5 小时的学生有 72 人【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题23（8 分）如图，在ABC 中，ABAC ，以 AB 为直径的O 分别与 BC、AC 交于点D、E，过点 D 作 DFAC 于 F（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若O 的半径为 2，BC2 ，求 DF 的长【分析】
33、（1）欲证明 DF 是 O 的切线只要证明 DFOD ，只要证明 ODAC 即可（2）连接 AD，首先利用勾股定理求出 AD，由ADC DFC 可得 ，列出方程即可解决问题【解答】（1）证明：连接 OD，OBOD ，ABCODB，ABAC，ABCACB，ODB ACB ，ODAC，DFAC，DFODDF 是 O 的切线（2）连接 AD，AB 是O 的直径，ADBC，又AB ACBDDCAD ，DFAC，ADCDFC ， ，DF 【点评】本题考查切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型24（8 分）在一个口袋中
34、有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号 1，2，3，4小明先随机地摸出一个小球后放回，小强再随机地摸出一个小球记小明摸出球的标号为 x，小强摸出球的标号为 y小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当 xy 时小明获胜，否则小强获胜则他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，继而利用概率公式即可求得答案【解答】解：由条件，可列树形图如下：共有 16 种等可能的结果，其中符合 xy 的有 6 种， ， ， ，不公平【点评】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平25（
35、10 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，E、F 分别是 AD、BC 的中点，G、H分别是对角线 BD、AC 的中点（1）求证：四边形 EGFH 是菱形；（2）若 AB1，则当ABC+DCB90时，求四边形 EGFH 的面积【分析】（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形 EGFH 的四边相等，即可证得；（2）根据平行线的性质可以证得GFH90，得到菱形 EGFH 是正方形，利用三角形的中位线定理求得 GE 的长，则正方形的面积可以求得【解答】（1）证明：四边形 ABCD 中，E、F、G 、H 分别是 AD、BC、BD、AC 的中点，FG CD， HE CD， FH AB，GE AB
36、ABCD，FGFH HEEG四边形 EGFH 是菱形（2）解：四边形 ABCD 中，G 、F、H 分别是 BD、BC、AC 的中点，GFDC，HFAB GFBDCB，HFCABCHFC+GFBABC+ DCB90GFH 90 菱形 EGFH 是正方形AB1，EG AB 正方形 EGFH 的面积（ ） 2 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定以及正方形的判定，理解三角形的中位线定理是关键26（10 分）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少 2 元，发现原来买这种水果 80 千克的钱，现在可买 88 千克（1）现在实际购进这种水果每千克多少元
37、？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量 y（千克）与销售单价 x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系求 y 与 x 之间的函数关系式；请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润销售收入进货金额）【分析】（1）设现在实际购进这种水果每千克 x 元，根据原来买这种水果 80 千克的钱，现在可买 88 千克列出关于 x 的一元一次方程，解方程即可；（2） 设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b，将（25， 165），（35，55）代入，运用待定系数法即可求出 y 与 x 之间的函数关系式；设这种水果的销售单价为 x 元时，所
38、获利润为 w 元，根据利润销售收入 进货金额得到 w 关于 x 的函数关系式为 w11（x30） 2+1100，再根据二次函数的性质即可求解【解答】解：（1）设现在实际购进这种水果每千克 a 元，则原来购进这种水果每千克（a+2）元，由题意，得80（a+2）88a，解得 a20答：现在实际购进这种水果每千克 20 元；（2） 设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b，将（25，165），（35，55）代入，得 ，解得 ，故 y 与 x 之间的函数关系式为 y11x+440；设这种水果的销售单价为 x 元时，所获利润为 w 元，则 w（x20 ）y（x20）（11x+440）11x 2+6
39、60x880011（x30）2+1100，所以当 x30 时，w 有最大值 1100答：将这种水果的销售单价定为 30 元时，能获得最大利润，最大利润是 1100 元【点评】本题考查了一元一次方程、一次函数、二次函数在实际生活中的应用，其中涉及到找等量关系列方程，运用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质等知识，本题难度适中27（13 分）如图，已知ABC 中，AB8，BC 10，AC 12，D 是 AC 边上一点，且AB2ADAC，连接 BD，点 E、F 分别是 BC、AC 上两点（点 E 不与 B、C 重合），AEFC， AE 与 BD 相交于点 G（1）求：BD 的长；（2）求证：
40、BGECEF；（3）连接 FG，当GEF 是等腰三角形时，直接写出 BE 的所有可能的长度【分析】（1）证明ADBABC，可得 ，由此即可解决问题（2）想办法证明BEAEFC ，DBCC 即可解决问题（3）分三种情形构建方程组解决问题即可【解答】解：（1）AB8，AC12，又AB 2AD ACAB 2AD AC， ，又BAC 是公共角ADBABC， （2）AC12， ， ，BDCD，DBCC，ADBABCABDC，ABDDBC，BEF C+EFC，即BEA +AEFC+ EFC，AEF C，BEA EFC，又DBC C ，BEGCFE（3）如图 1 中，过点 A 作 AHBC，交 BD 的延长
41、线于点 H，设 BEx，CFy，AHBC， ，BDCD ，AH8，ADDH ，BH12，AHBC， ， ，BG ，BEF C+EFC，BEA +AEFC+ EFC，AEF C，BEA EFC，又DBCC，BEGCFE， ， ，y ；当GEF 是等腰三角形时，存在以下三种情况：若 GEGF，如图 2 中，则GEFGFEC DBC，GEFDBC，BC10，DBDC ， ，又BEGCFE ， ，即 ，又y ，xBE4；若 EGEF，如图 3 中，则BEG 与CFE 全等，BECF，即 xy，又y ，xBE5+ ；若 FGFE，如图 4 中，则同理可得 ，由BEGCFE，可得 ，即 ，又y ，xBE3
42、+ 【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识的综合运用解题的难点是正确寻找相似三角形解决问题，运用分类思想是解决第（3）小题的关键28（14 分）如图，抛物线 yax 2+bx+c 交 x 轴于 O（0，0），A（8，0）两点，顶点 B的纵坐标为 4（1）直接写出抛物线的解析式；（2）若点 C 是抛物线上异于原点 O 的一点，且满足 2BC2OA 2+2OC2，试判断OBC的形状，并说明理由（3）在（2）的条件下，若抛物线上存在一点 D，使得OCDAOCOCA，求点D 的坐标【分析】（1）根
43、据抛物线 yax 2+bx+c 交 x 轴于 O（0，0），A（8，0）两点，顶点 B的纵坐标为 4，根据待定系数法可求抛物线的解析式；（2）设 C（x， y），由勾股定理得点 C（12，12），则AOBAOC45，BOC90，因此OBC 是直角三角形；（3）作 CEx 轴于 E，根据三角函数可得直线与抛物线的交点即为所求点 DOBC中，tanOCB ，可得直线上方的点 D 即为点 B（4，4），由点 B 关于点O 的对称点 B（4，4），且 OBOC，可得OCBOCB ，将直线 BC 解析式为y x6 代入抛物线 y +2x，可得点 D 的坐标【解答】解：（1）抛物线 yax 2+bx+c
44、交 x 轴于 O（0，0），A（8，0）两点，顶点B 的纵坐标为 4， ，解得 故抛物线的解析式是 y +2x；（2）OBC 是直角三角形如图 1，设 C（x ，y），由勾股定理得：OB 24 2+42，OC 2x 2+y2，BC 2（x4） 2+（y4） 2，2BC 2OA 2+2OC2，化简得 xy ，代入 y +2x，解得 x12，y12，即点 C（12，12），则AOBAOC45，BOC90，因此OBC 是直角三角形 （3）如图 2，作 CEx 轴于 E，则 tanACE AOCOCE45，AOCOCAOCEOCAACE，OCDAOCOCA，tanOCD ，只要经过点 C，在 CO 的上方与下方各作一条直线，使所作直线与 CO 所成锐角的正切值为 ，则直线与抛物线的交点即为所求点 DOBC 中，tanOCB ，直线上方的点 D 即为点 B（ 4，4），点 B 关于点 O 的对称点 B（4，4），且 OBOC，OCBOCB
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