1、北京市西城区重点中学 2019 年四月初三数学模拟考试数学试卷 一选择题（每题 2 分，满分 16 分）1如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图（视图） ，这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？（ ）A BC D2实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）Aa+ c0 B| a| b| Cbc1 Dac 03从 1978 年 12 月 18 日党的十一届三中全会决定改革开放到如今已经 40 周年了，我国GDP（国内生产总值）从 1978 年的 1495 亿美元到 2017 年已经达到了 122400 亿美元，全球排名第二，将 122400 用科学记数法表示为
2、（ ）A12.2410 4 B1.22410 5 C0.122410 6 D1.22410 64如果边长相等的正五边形和正方形的一边重合，那么1 的度数是多少（ ）A30 B15 C18 D205从某公司 3000 名职工随机抽取 30 名职工，每个职工周阅读时间（单位：min）依次为 周阅读时间（单位：min）6170 7180 8190 91100 101110人数 3 6 9 10 2则该公司所有职工中，周阅读时间超过一个半小时的职工人数约为（ ）A1200 B1500 C1800 D21006如果 a+b2，那么代数式 的值是（ ）A B1 C D27如图，排球运动员站在点 O 处练习
3、发球，将球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y（m ）与运行的水平距离 x（m）满足关系式 ya（xk）2+h已知球与 D 点的水平距离为 6m 时，达到最高 2.6m，球网与 D 点的水平距离为9m高度为 2.43m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18m，则下列判断正确的是（ ）A球不会过网 B球会过球网但不会出界C球会过球网并会出界 D无法确定8在平面直角坐标系中，张敏做走棋游戏，其走法：棋子从原点出发，第 1 步向右走 1 个单位，第 2 步向右走 2 个单位，第 3 步向上走 1 个单位，第 4 步向右走 1 个单位，以此类推，第 n 步的走法是：当
4、 n 能被 3 整除时，则向上走 1 个单位；当 n 能被 3 除时，余数为 1 时，则向右走 1 个单位；当 n 能被 3 除时，余数为 2 时，则向右走 2 个单位，当走完 67 步时，棋子所处的位置坐标是（ ）A （66，22） B （66，23） C （67，23） D （67，22）二填空题（满分 16 分，每小题 2 分）9如图，在ABC 中，A30，tanB ，AC2 ，则 AB 的长是 10当 x 时，分式 的值为 0；若分式 有意义，则 x 的取值范围是 11计算： 12如图，AB 为O 的直径，C、D 是O 上两点，AC BC，AD 与 CB 交于点EDAB25，则E 13
5、某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天 25 元，两人间每人每天 35元一个 50 人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费 1510 元设该旅游团租住三人间客房 x 间，两人间客房 y 间，请列出满足题意的方程组 14在小于等于 9 的正整数中任意取出一个数，取到素数的可能性大小是 15某商场店庆活动中，商家准备对某种进价为 600 元、标价为 1100 元的商品进行打折销售，但要保证利润率不低于 10%，则最低折扣是 16如图，在正方形 ABCD 中，AB2，点 E 为 AB 的中点，AFDE 于点 O，则 AO 三解答题（共 12 小题，满分
6、 68 分）17 （5 分）已知ABC 中，ABBC （1）尺规作图：作 AB 的垂直平分线，交 BC 于点 P（保留作图痕迹，不写作法） ；（2）在（1）的条件下，AC 5，BC 10求APC 的周长18 （5 分）计算： 19 （5 分）解不等式组： 并将解集在数轴上表示20 （5 分）关于 x 的方程 x2+（2k +1）x +k210 有两个不相等的实数根（1）求实数 k 的取值范围；（2）若 k 为负整数，求此时方程的根21 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，BD 的垂直平分线分别交 AB、CD、BD 于E、F 、O，连接 DE、BF（1）求证： 四边形 BEDF 是菱形；（2）
7、若 AB8cm，BC4cm，求四边形 DEBF 的面积22 （5 分）如图，在等腰ABC 中，ABBC ，以 AB 为直径的半圆分别交 AC、BC 于点D、E 两点，BF 与 O 相切于点 B，交 AC 的延长线于点 F（1）求证：D 是 AC 的中点；（2）若 AB12，sinCAE ，求 CF 的值23 （6 分）如图，已知反比例函数 y 的图象与一次函数 yx+b 的图象交于点A（1， 4） ，点 B（4，n） （1）求 n 和 b 的值；（2）求OAB 的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量 x 的取值范围24 （6 分）当今，青少年用电脑手机过多，视力水平下降已引起
8、了全社会的关注，某校为了解八年级 1000 名学生的视力情况，从中抽查了 150 名学生的视力情况，通过数据处理，得到如下的频数分布表解答下列问题：视力范围分组 组中值 频数3.95x4.25 4.1 204.25x4.55 4.4 104.55x4.85 4.7 304.85x5.15 5.0 605.15x5.45 5.3 30合计 150（1） 分别指出参加抽测学生的视力的众数、中位数所 在的范围；（2）若视力为 4.85 以上（含 4.85）为正常，试估计该校八年级学生视力正常的人数约为多少？（3）根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数相应
9、组中的权请你估计该校八年级学生的平均视力是多少？25 （6 分）如图，过半径为 2 的O 外一点 P，作O 的切线 PA，切点为 A，连接 PO，交O 于点 C，过点 A 作O 的弦 AB，使 ABPO ，连接 PB、BC（1）当点 C 是 PO 的中点时，求证：四边形 PABC 是平行四边形；求 PAB 的面积（2）当 AB2 时，请直接写出 PC 的长度26 （6 分）点 M 为二次函数 yx 2+2bx+1+4bb 2 图象的顶点，直线 ymx +5 分别交 x轴正半轴，y 轴 于点 A，B （1）判断顶点 M 是否恒在某条直线上？若是，求出该直线解析式；若不是，说明理由（2）若二次函数
10、图象也经过点 A，B，且 mx+5x 2+2bx+2+4bb 2，借助图象，求出x 的取值范围（3）点 A 坐标为（5，0） ，点 M 在AOB 内时，若点 C（ ，y 1） ，D（ ，y 2）都在二次函数图象上，试比较 y1 与 y2 的大小27 （7 分）在ABC 中，ABAC ，点 D 是 BC 中点，EDF 两边分别交线段 AB 于点E，交线段 AC 于点 F，且 EDF+BAC 180（1）如图 1，当EDF90时，求证：BEAF ；（2）如图 2，当EDF60时，求证：AE+AFAD；（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 EF 并延长 EF 至点 G，使 FGEF，连接 CG，若
11、 BE5，CF 4，求 CG 的长度28 （7 分）已知 AB 是O 的直径，点 C 是 的中点，点 D 在 上，BD 、AC 的延长线交于点 K，连接 CD（1）求证：AKBBCD45；（2）如图 2，若 DC DB 时，求证：BC 2CK；（3）在（2）的条件下，连接 BC 交 AD 于点 E，过点 C 作 CFAD 于点 F，延长 CF交 AB 于点 G，连接 GE，若 GE5，求 CD 的长参考答案一选择题1解：主视图和左视图都是长方形，此几何体为柱体，俯视图是一个圆，此几何体为圆柱，因此图 A 是圆柱的展开图故选：A2解：由数轴可以发现 a0bc，而| a|c| |b|，a+c0，|
12、 a| |b|，ac 0又由数轴可发现 1b2，2c3bc1 正确故选：C3解：1224001.22410 5，故选：B4解：正五边形的内角的度数是 （52）180108，正方形的内角是 90，11089018故选：C5解：由题可得，3000 1200（人） ，该公司所有职工中，周阅读时间超过一个半小时的职工人数约为 1200 人，故选：A6解： ，当 a+b2 时，原式 ，故选：A7解：（1）球与 O 点的水平距离为 6m 时，达到最高 2.6m，抛物线为 ya（x 6） 2+2.6 过点，抛物线 ya（x 6） 2+2.6 过点（0，2） ，2a（06） 2+2.6，解得：a ，故 y 与
13、 x 的关系式为：y （x6） 2+2.6，当 x9 时，y （x 6） 2+2.62.452.43，所以球能过球网；当 y0 时， （x 6） 2+2.60，解得：x 16+2 18，x 262 （舍去）故会出界故选：C8解：由题意得，每 3 步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右 3 个单位，向上 1个单位，67322 余 1，走完第 67 步，为第 23 个循环组的第 1 步，所处位置的横坐标为 223+167，纵坐标为 22122，棋子所处位置的坐标是（67，22） 故选：D二填空题（共 8 小题，满分 16 分，每小题 2 分）9解：如图，作 CDAB 于 D，在 Rt ACD
14、中， A30， AC2 ，CD AC ，AD CD3，在 Rt BCD 中， tanB ， ，BD2，ABAD +BD3+25故答案为：510解：若分式 的值为 0，则 x10，且 x+10，解得 x1；若分式 有意义，则 x+50，解得 x5，故答案为：1；x511解：原式 ，故答案为： 12解：AB 为O 的直径，ACB90，ACBC，CBACAB45，DAB25，ECBADAB20，故答案为：2013解：设租住三人间 x 间，租住两人间 y 间，由题意，得，故答案是： 14解：因为在小于等于 9 的正整数中，素数有 2，3，5，7，共 4 个数，所以取到素数的可能性大小是 ；故答案为：
15、15解：设可以打 x 折1100x 600 60010%解得 x60% ，即最低折扣是 6 折故答案为：6 折16解：四边形 ABCD 是正方形，ADBC2，DAE 90，AEEB1，DE ，AODE ， DEAO AEAD，AO 故答案为 三解答题（共 12 小题，满分 68 分）17解：（1）如图，点 P 为所作；（2）由作法得 APBP ，所以APC 的周长AC+PC+APAC+PC +BPAC +BC1518解：原式4 （2 3）2+12 +32 2+1219解： ，解 得 x 4，解得 x1，所以不等式组的解集为4x1，用数轴表示为20解：（1）由题意知，0，则（2k+1） 241（
16、k 21）0，解得：k ；（2）k 为负整数，k1，则方程为 x2x0，解得：x 11，x 2021证明：（1）四边形 ABCD 是矩形，O 是 BD 的中点，A90，ADBC，ABDC，OBOD，OBEODF在BOE 和DOF 中，BOEDOF（ASA） ，EOFO ，且 OBOD四边形 BEDF 是平行四边形，EF 垂直平分 BDBEDE四边形 BEDF 是菱形（2） 四边形 BEDF 是菱形BEDE ，在 Rt ADE 中，DE 2AE 2+DA2，BE 2（8BE ） 2+16，BE5四边形 DEBF 的面积BEAD 20cm 222 （1）证明：连接 DB，AB 是O 直径，ADB9
17、0，DBAC又ABBC D 是 AC 的中点（2）解：BF 与O 相切于点 B，ABF 90，CAECBD，CBDABD，ABD F ，sinCAEsinFsinABD，在ADB 和ABF 中， ，AB12，AF ，AD ，CFAFAC 23解：（1）把 A 点（1，4）分别代入反比例函数 y ，一次函数 yx+b，得 k14，1+b4，解得 k4，b3，点 B（4，n）也在反比例函数 y 的图象上，n 1；（2）如图，设直线 yx +3 与 y 轴的交点为 C，当 x0 时，y 3，C（0，3） ，S AOB S AOC +SBOC 31+ 347.5；（3）B（4，1） ，A（1，4） ，
18、根据图象可知：当 x1 或4x0 时，一次函数值大于反比例函数值24解：（1）众 数 在 4.85x5.15 的范围内，中位数在 4.85x5.15 的范围内；（2）依题意，八年级视力正常的学生约有 人；（3）依题意，抽样调查 150 名学生的平均视力为由于可以用样本估计总体，因此得到八年级 1000 名学生平均视力为 4.8425 （1） 证明：连接 OA、OB，则有 OAOBOC，PA 是O 的切线，OAPA，点 C 是 PO 的中点，PCOC PO ，OA PO，在 RtOAP 中，sinAPO ，APO30，POA60，ABPO ，BAOPOA60，OAB 是等边三角形，ABOA ，A
19、BPC，四边形 PABC 是平行四边形；解：过点 O 作 OEAB，垂足为 E，OAB 是等边三角形，OAAB2，OEOA sin602 ，S OAB ABOE 2 ，ABPO ，S PAB S OAB ；（2）PC2 2，理由为：OAOB 2，AB 2 ，OA 2+OB2AB 2，根据勾股定理逆定理可得，OAB 是直角三角形，即AOB90，OBPA，四边形 PABO 是平行四边形，POAB，PC2 226解：（1）yx 2+2bx+1+4bb 2（xb） 2+4b+1，M 为二次函数的顶点，M（b，4b+1） ，设 xb，y4b+ 1，则 y4x+1，点 M 在直线 y4x+1 上（2）如图
20、 1 所示，直线 ymx+5 交 y 轴于点 B，B（0，5） ，又点 B 在抛物线上，5（0b） 2+4b+15，解得 b2，二次函数解析式为 y（x2） 2+9，当 y0 时，（x 2） 2+90，解得 x15，x 21，A（5，0） ，由 图象得当 mx+5x 2+2bx+1+4bb 2 时，x 的取值范围是 x0 或 x5（3）如图 2 所示，直线 y4x+1 与直线 AB 交于点 E，与 y 轴交于点 F，A（5，0） ，B （0，5） ，可得直线 AB 的解析式为 yx +5，则有解得E（ ， ） ，点 M 在AOB 内，14b+1 ，0b 当点 C、D 关于抛物线的对称轴对称时，
21、b b，解得 b ，二次函数的开口方向向下，顶点 M 在直线 y4x+ 1 上，综上： 当 0 b 时，y 1y 2，当 b 时，y 1y 2，当 b 时，y 1y 227 （1）证明：连接 AD，如图 1 所示：EDF+BAC180，EDF90，BAC90 ，ABAC，点 D 是 BC 中点，ADBC，AD BCBDCD，BC45，DAF BAC45，BDAF ，EDF90，BDEADF，在BDE 和ADF 中， ，BDEADF（ASA ） ，BEAF；（2）证明：取 AB 的中点 M，连接 DM，如图 2 所示：ADBC，M 是 AB 的中点，DM AB BMAM，EDF+BAC180，E
22、DF60，BAC120，ABAC，点 D 是 BC 中点，BADCAD BAC60，ADM 是等边三角形，AMDMAD，AMD ADM60，MDEADF，在DEM 和DFA 中， ，DEMDFA（ASA） ，MD AF，AE+MEAMAD，AE+AFAD；（3）解：作 EHBC 于 H， FMBC 于 M，GNBC 于 N，如图 3 所示：则 EHFMGN ，由（2）得：AE+AFAD ，BE5，CF 4，AB +ACBE +AE+AF+CFBE+AD+ CF5+AD +49+ AD，BAC120，AB AC，点 D 是 BC 中点，BACB30，AD BC，ADBADC90，AD AB，BD
23、CD AD，EH BE ，FM CF2，BH EH，CM FM2 ，2AB9+ AB，解得：AB6，AD3，BDCD3 ，DHBD BH ，DM CDCM ，HM DH+DM ，EHFMGN ，EFFG，FM 是梯形 EHNG 的中位线，HM MN，2FMEH +GN，MN ，CNCDDMMN3 ，22 +GN，GN ，在 Rt CGN 中，由勾股定理得：CG 28解：（1）如图 1，连接 AD，AB 是O 的直径，ACBADB90，点 C 是 的中点，ACBC，则ABC 是等腰直角三角形，CABCBA45，设CBK DAC ，则DABDCB45 ，K90 ，AKBBCD45；（2）如图 1，
24、过点 C 作 CH AD，CDHCBA45，CD CH，CD DB，CHDB，CEHBED、CHEBDE90，EBDEHC（AAS ） ，CEBE BC，CAECBK、ACE BCK、AC BC ，ACEBCK（ASA） ，CKCEBE BC，即 BC2CK；（3）如图 2，过点 G 作 GHBC 于点 H，则GHC90，AB 是直径，ADB90，CGAD 于点 F，CFEADB90，CGBD，GCBCBDCAD，ACE90，CEBE BC AC，tanGCBtan CAD ， ，ABC45，GHB90，GHBH ，设 GHBH a ，则 CH2a、BC 3a，BE a，EH a，在 Rt EGH 中， （ a） 2+a25 2，解得：a2 （负值舍去） ，CE3 ，tanGCB ， ，设 EFx、CF2x，x 2+（2x） 2（ 3 ） 2，解得：x3（负值舍去） ，CF6，CDACBA45，CD6
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