1、第 1 页，共 17 页四川省泸州市高 2016 级第三次教学质量诊断性考试数学理科试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 设集合 A=x|y=ln（x -1），B=y|y=2 x，则 AB=（ ）A. B. C. D. 0,+) (0,+) 1,+) (1,+)2. 已知复数 z 满足 ，则|z| 的值为（ ）1=1+A. B. C. D. 212 2 223. 等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=3，S 5=35，则数列 an的公差为（ ）A. B. 2 C. 4 D. 724. 双曲线 =1（a0，b0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）2222 3A
2、. B. C. D. =2 =3 =22 =325. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 1616 88 168 8166. 已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，且公比为 2，则 Sn与 an的关系正确的是（ ）A. B. C. D. =41 =2+1 =43 =217. 设 ， 为非零向量，则 “存在正数 ，使得 = ”是“ 0”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件8. 四人并排坐在连号的四个座位上，其中 A 与 B 不相邻的所有不同的坐法种数是（ ）A. 12 B.
3、16 C. 20 D. 89. 将函数 的图象向左平移 m（m0）个单位长度后，得到的图=22(2+8)1象关于坐标原点对称，则 m 的最小值为（ ）A. B. C. D. 3 4 2 第 2 页，共 17 页10. 已知抛物线 C：y 2=2px（p0），直线 y=k（x- ）（k0）与 C 分别相交于点2A，M ，与 C 的准线相交于点 N，若| AM|=|MN|，则 k=（ ）A. 3 B. C. D. 223 22 1311. 已知函数 f（x ）=x- x，其中 x表示不超过 x 的最大正整数，则下列结论正确的是（ ）A. 的值域是 B. 是奇函数() 0,1 ()C. 是周期函数
4、D. 是增函数() ()12. 三棱锥 S-ABC 的各个顶点都在求 O 的表面上，且ABC 是等边三角形，SA底面ABC，SA =4，AB=6，若点 D 在线段 SA 上，且 AD=3SD，则过点 D 的平面截球 O所得截面的最小面积为（ ）A. B. C. D. 3 4 8 13二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 展开式中 x3 项系数为 160，则 a 的值为_ (21)614. 已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为_+3312 =15. 已知函数 f（x ）= ，则 f（-2）+f（log 23）=_1+2(2),121,1 16. 过直线 4x+3y
5、-10=0 上一点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线，切点分别为 A，B，则 的最小值是_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 在三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若233=2+22（）求角 A（）若 ，求 b=5， =1718. 下表是某公司 2018 年 512 月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体数据：月份 5 6 7 8 9 10 11 12研发费用（百万元） 2 3 6 10 21 13 15 18产品销量（万台） 1 1 2 2.5 6 3.5 3.5 4.5第 3 页，共 17 页（）根据数据可知 y 与 x 之间存
6、在线性相关关系，求出 y 与 x 的线性回归方程（系数精确到 0.01）；（）该公司制定了如下奖励制度：以 Z（单位：万台）表示日销售，当Z0，0.13 ）时，不设奖；当 Z0.13，0.15）时，每位员工每日奖励 200 元；当Z0.15，0.16）时，每位员工每日奖励 300 元；当 Z0.16，+）时，每位员工每日奖励 400 元现已知该公司某月份日销售 Z（万台）服从正态分布N（，0.0001）（其中 是 2018 年 5-12 月产品销售平均数的二十分之一），请你估计每位员工该月（按 30 天计算）获得奖励金额总数大约多少元参考数据： 参考=1=347， =12=1308， =12=
7、93， 714084.50公式：相关系数 r= ，其回归直线 = x 中的 =1(=122)(=122)，若随机变量 x 服从正态分布 N（， 2），则 P（-x+）=1=122=0.6826，P （-2 x+2）=0.9544，19. 如图，四棱锥 E-ABCD 中，平面 ABCD平面 BCE，若，四边形 ABCD 是平行四边形，且 AEBD=2（）求证：AB=AD；（）若点 F 在线段 AE 上，且 EC平面BDF，BCD=60，BC=CE，求二面角 A-BF-D 的余弦值20. 设椭圆 的右焦点为 F，右顶点为 A，已知椭圆离心率为 ，：22+22=1( 0) 12过点 F 且与 x 轴
8、垂直的直线被椭圆截得的线段长为 3（）求椭圆 C 的方程（）设过点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于点 B（B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与l 交于点 M，与 y 轴交于点 H，若 BFHF，且MOA MAO，求直线 l 斜率的取值范围第 4 页，共 17 页21. 已知函数 f（x ）=（2-x ）e x+ax（）已知 x=2 是 f（x）的一个极值点，求曲线 f（x）在（0，f （0）处的切线方程；（）讨论关于 x 的方程 f（x）=aln x（a R）根的个数22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 ，曲线 以(0， 3) ： =2=2(为参数 )原点为极点，x 轴正半轴建
9、立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 (6)=32（）判断点 P 与直线 l 的位置关系并说明理由；（）设直线与曲线 C 的两个交点分别为 A，B ，求 的值1|+1|23. 已知 a0，b0，函数 f（x ）=|x+a|+|2x -b|的最小值为 1（1）求证：2a+b=2 ；（2）若 a+2btab 恒成立，求实数 t 的最大值第 5 页，共 17 页答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合 A=x|y=ln（x-1）=x|x1， B=y|y=2x=y|y0， AB=x|x 1=（1，+） 故选：D分别求出集合 A 和 B，由此能求出 AB本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性 质等基
10、础知识，考 查运算求解能力，是基础题2.【答案】C【解析】解：由 ，得 z= ，则|z|=| |= 故选：C 把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题3.【答案】B【解析】解：a 1=3，S5=35，53+ =35，解得 d=2故选：B 利用等差数列的求和公式即可得出本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4.【答案】A【解析】解：双曲 线的离心率为 e= = ，则 = = = = = ，第 6 页，共 17 页即双曲线的渐近线方程为 y= x= x，故选：A根据双曲线离心率的定义求出 a，c 的关系，结合双曲
11、线 a，b，c 的关系进行求解即可本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键5.【答案】A【解析】解：由已知中的三视图可得该几何体为一个圆柱挖去一个四棱柱所得的组合体， 圆柱的底面半径为 2，棱柱的底面棱长为 2， 两个柱体的高均为 4， 故组合体的体积 V=（22-22）4=16-16， 故选：A由已知中的三视图可得该几何体为一个圆柱挖去一个四棱柱所得的组合体，代入柱体体积公式，可得答案本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档6.【答案】D【解析】解：因为数列a n是等比数列，且 a1=1，公比 为 2
12、，所以Sn= = =2n-1=22n-1-1=2an-1故选：D根据等比数列的前 n 项和公式将 Sn 表示成 an 的算式即可本题考查了等比数列的前 n 项和以及等比数列的通项公式，属于基础题7.【答案】A【解析】第 7 页，共 17 页解：设 为两个非零的空间向量，存在正数 ，使得 = ”则向量 ，共线且方向相同，可得 0反之不成立，非零向量 ， 的夹角为锐角，满足得 0而 = ”不成立 为两个非零的空间向量， 则“ 存在正数 ，使得 = ”是“ 0”的充分不必要条件故选：A根据充分必要条件的定义和结合向量共线定理，即可判断本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、 简易逻辑的判定方法，考 查
13、了推理能力与计算能力，属于基础题8.【答案】A【解析】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，将除 A、B 之外的 2 人全排列，有 A22=2 种情况，排好后有 3 个空位， ，将 A、B 安排在 3 个空位中，有 A32=6 种情况， 则 A 与 B 不相邻的所有不同的坐法有 26=12 种； 故选：A结合题意，分 2 步进行分析：，将除 A、B 之外的 2 人全排列， ，将 A、B安排在 3 个空位中，由分步计数原理计算可得答案本题考查排列、组合的应用，注意不相邻问题用插空法分析，属于基础题9.【答案】B【解析】解：将函数 =cos（x+ ） 的图象向左平移 m（m0）个单位长度后，可得
14、y=cos（x+m+ ） 的图象，根据到的图象关于坐标原点对称，可得 m+ =k+ ，求得 m=k+ ，kZ，则 m 的最小值为 ，第 8 页，共 17 页故选：B 利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得m 的最小值本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题10.【答案】C【解析】解：显然直线 y=k（x- ）过抛物线的焦点 F（ ，0），如图：过 A，M 作准线的垂线，垂足分别为 C，D，过M 作 AC 的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可得MD=MF，AC=AF，又 AM=MN，所以 M 为 AN 的中点，所
15、以 MD 为三角形 NAC 的中位线，所以 MD=CE=EA= AC，设 MF=t，则 MD=t，AF=AC=2t，所以 AM=3t，在直角三角形 AEM 中，ME= =2 ，所以 k=tanMAE= = =2 故选：C 根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义可得本题考查了直线与抛物线的综合，属难题11.【答案】C【解析】第 9 页，共 17 页解：由x表示不超 过 x 的最大整数， 对于 A，函数 f（x）=x-x0，1），A 错误； 对于 B，函数 f（x）=x-x为非奇非偶的函数，B 错误； 对于 C，函数 f（x）=x-x是周期为 1 的周期函数，C 正确； 对于 D，函数 f
16、（x）=x-x在区间0， 1）上为增函数，但整个定义域为不具备单调性，D 错误 故选：C 根据x表示不超 过 x 的最大整数，分别判断函数 f（x）=x-x的值域、奇偶性、周期性、单调性，即可得出结论本题考查了函数的值域、单调性、奇偶性和周期性 应用问题，正确理解新定义是解题的关键12.【答案】A【解析】解：如图，设三角形 ABC 外接圆的圆 心为 G，则外接圆半径 AG= = ，设三棱锥 S-ABC 的外接球的球心为 O，则外接球的半径 R= 取 SA 中点 E，由 SA=4，AD=3SD，得 DE=1，OD= 过点 D 的平面截球 O 所得截面圆的最小半径为 过点 D 的平面截球 O 所得
17、截面的最小面积为 故选：A第 10 页，共 17 页由题意画出图形，求出三棱锥 S-ABC 的外接球的半径，再求出外接球球心到D 的距离，利用勾股定理求得过点 D 的平面截球 O 所得截面圆的最小半径，则答案可求本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题13.【答案】-2【解析】解：由 展开式通项公式 Tr+1= （ax2）6-r（- ）r=（-1）ra6-r x12-3r，令 12-3r=3，解得 r=3，即 展开式中 x3 项系数为：-a 3 =160，解得 a=-2，故答案为：-2 由二项式定理及其通项得：T r+1= （ax2）6-r（- ）r=（-1
18、）ra6-r x12-3r，令 12-3r=3，解得 r=3，即 展开式中 x3 项系数为：-a 3 =160，解得 a=-2，得解本题考查了二项式定理及其通项，属中档题14.【答案】12【解析】解： ，则 k 得几何意义为过原点得直线得斜率，作出不等式组对应得平面区域如图：则由图象可知 OA 的斜率最小，由 ，解得 A（2，1），则 OA 得斜率 k= ，故答案为： 作出不等式组对应得平面区域，利用 的几何意义即可得到结论本题主要考查直线斜率的计算，以及线性规划得应用，根据 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键第 11 页，共 17 页15.【答案】92【解析】解：根据题意，函数 f
19、（x）= ，则 f（-2）=1+log22-（-2）=1+2=3，f（log23）= = ，则 f（-2）+f（log23）=3+ = ；故答案为： 根据题意，由函数的解析式求出 f（-2）和 f（log23）的 值，相加即可得答案本题考查分段函数的求值问题，注意分段函数解析式的形式，属于基础题16.【答案】32【解析】解：由题意可知： =，要求解它的最小值，只需|PA|最小，APB 最大，所以 P 在 OP 垂直直线 4x+3y-10=0 的垂足O 到直线 4x+3y-10=0 的距离 为：d=2，圆的半径为 1，所以 PA= ，cosAPB=2cos2APO-1= = ，则 的最小 值是：
20、 = 故答案为： 画出图形，判断 P 的位置，然后求解即可本题考查向量的数量积的应用，向量与圆相结合，考查数形结合以及计算能力第 12 页，共 17 页17.【答案】解：（）在三角形 ABC 中，由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA， ，233=2+222bccosA= bcsinA，233tanA= ，30 A ，A= ，3（）cosB= ，17sinB= ，437sinC=sin（A +B）=sinAcosB+cosAsinB= ，5314由正弦定理可得 b= sinB=8【解析】（）由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA，即可求出 A， （）根据同角的三角函数的关系
21、和两角和的正弦公式和正弦定理即可求出本题考查了正弦余弦定理的应用，考查了运算能力和转化能力，属于基础题18.【答案】解：（）由题意，计算 = （2+3+6+10+21+13+15+18）=11，18= （1+1+2+2.5+6+3.5+3.5+3.5+4.5）=3；18= = = 0.244，=1=12234781131308812183340 = - =3-0.24411=0.32， 回归直线方程为 =0.244x+0.32；（）由题意 = = =0.15，20320zN（0.15，0.0001），2=0.0001，解得 =0.01，且日销量 z0.13，0.15）的概率为 =0.4772，
22、0.95442日销量 z0.15，0.16）的概率为 =0.3413，0.68262日销量 z0.16，+）的概率为 =0.1587，10.68262所以奖金总数大约为：第 13 页，共 17 页（0.4772200+0.3413300+0.1587400）30=7839.3（元）【解析】（）由题意计算 、 ，求出回归系数 和 ，写出回归直线方程；（）由题意计算平均数 ，得出 zN（ ，2），求出日销量 z0.13，0.15）、0.15，0.16）和0.16，+）的概率， 计算奖金总数是多少本题考查了线性回归方程与正态分布的应用问题，也考查了计算能力与应用问题，是中档题19.【答案】证明：（）
23、 ，BCCE，=2平面 ABCD平面 BCE， EC平面 ABCD，BD平面 ABCD，ECBD ，BDAE，BD平面 AEC， BDAC，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABCD是菱形，AB=AD解：（）设 AC 与 BD 的交点为 G，EC平面 BDF，平面 AEC平面 BDF=FG，ECFG，G 是 AC 的中点， F 是 AE 的中点，BCD=60，取 BC 的中点为 O，连结 OD，则 ODBC，平面 ABCD平面 BCE，OD平面 BEC，以 O 为坐标原点，以过点 O 且与 CE 平行的直线为 x 轴，以 BC 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 AB=
24、2，则 B（0，-1，0）， A（0，-2 ， ），D（0，0， ），F（1，- ），3 312， 32=（0，-1 ， ）， =（0，1， ）， 3 3设平面 ABF 的法向量 =（x，y，z），则 ，取 z=1，得 =（- ，1），=+3=0=+12+32=0 3， 3同理得平面 DBF 的法向量 =（0， ）， 3， 1设二面角 A-BF-D 的平面角为 ，则 cos= = = | 227 77第 14 页，共 17 页二面角 A-BF-D 的余弦值为 77【解析】（）推导出 BCCE，从而 EC平面 ABCD，进而 ECBD，再由 BDAE，得BD平面 AEC，从而 BDAC，进而四边
25、形 ABCD 是菱形，由此能证明AB=AD （）设 AC 与 BD 的交点为 G，推 导出 ECFG，取 BC 的中点为 O，连结OD，则 ODBC，以 O 为坐标原点，以过点 O 且与 CE 平行的直线为 x 轴，以 BC 为 y 轴 ，OD 为 z 轴 ，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-D 的余弦值本题考查线段相等的证明，考查了空间向量法求解二面角的方法，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，属于中档题20.【答案】解：（）过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 3， =3，22e= = ，a 2=b2+c2，12a=2，b= ，c=1 ，3椭圆
26、C 的方程为 + =12423（）设直线 l 的斜率为 k（k0），则直线 l 的方程为 y=k（x-2）设 B（x B，y B），由方程组 ，整理得（4k 2+3）x 2-16k2x+16k2-12=0=(2)24+23=1解得 x=2，或 x= ，由题意得 xB= ，从而 yB= 82642+3 82642+3 1242+3由（）知，F（1，0），设 H（0，y H），有 =（-1 ，y H）， =（ ， ） 94242+3 1242+3由 BFHF，得 =0，可得 +yH =0， 94242+3 1242+3解得 yH= 94212因此直线 MH 的方程为 y=- x+ 1 94212设
27、 M（x M，y M），由方程组 消去 y，解得 xM= =(2)=1+94212 202+912(2+1)在MAO 中， MOAMAOMAMO，即（x M-2） 2+yM2xM2+yM2，第 15 页，共 17 页化简得 xM1，即 xM= 1，解得 k- ，或 k 202+912(2+1) 64 64所以，直线 l 的斜率的取值范围为（ -，- ，+）64 64【解析】（）由题意可得 =3，e= = ，a2=b2+c2，解得即可求出椭圆的 C 的方程（）由已知设直线 l 的方程为 y=k（x-2），（k0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得 B
28、的坐标，再写出MH 所在直线方程，求出 H 的坐标，由 BFHF，解得 yH由方程组消去 y，解得 xM，由MOAMAO，得到 xM1，转化为关于 k 的不等式求得 k 的范围本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“ 整体运算”思想方法和 “设而不求 ”的解题思想方法，考 查运算能力，是 难题21.【答案】解：（）函数的导数 f（x ）=-e x+（2-x）e x+a=（1-x）e x+ax=2 是 f（x）的一个极值点，f（2）=0，得-e 2+a=0 得 a=e2，f（0）=2，f（0）=1+ e2，线 f（x）在（0，2）处的切线方程方程为 y-2=（1+e 2）
29、x，即 y=（1+ e2）x+2（）f（x）=alnx 得（2-x）e x+ax=alnx，即（x-2 ）e x+alnx-ax=0，则（x-2 ）e x=-a（lnx -x），设 g（x）=lnx-x ，x0，则 g（x）= -1，（x0），1则 g（x）在（0，1）上是增函数，则（1，+ ）上是减函数，则 g（x）g（1）=-10，a=h（x）= ，(2)则 h（x）= ，(1)(+21)()2设 m（x）=x+ -lnx-1，则 m （x）=1- - =2 221，(2)(+1)2则 m（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+ ）上是增函数，m（ x）m（2）=2-ln20，当 0 x1
30、 时，h（x ） 0，h（x ）在（0，1）上是减函数，当 x1 时，h（x ）0，函数 h（x ）在（1，+）上是增函数，第 16 页，共 17 页0 x1 时，h（x ）0，h （1）=-e，h（2）=0，当 a=-e 或 a0时，方程有 1 个实根，当-ea 0 时，方程有两个不相等实数根，当 a-e 时，方程无实数根【解析】（）求函数的 导数，利用 x=2 是 f（x）的一个极值点，得 f（2）=0 建立方程求出 a 的值，结合导数的几何意义进行求解即可（）利用参数法分离法得到 a=h（x）= ，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，利用数形结合转化为图象交点个数进行求解即可本
31、题主要考查导数的综合应用，结合导数的几何意义以及利用参数分离法转化为两个函数交点个数问题是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度22.【答案】解：（）直线 l：2cos （- ）= ，即 cos+sin= ，6 3 3 3所以直线 l 的直角坐标方程为 +y- =0，3 3因为 ，30+33=0所以点 P 在直线 l 上（）直线 l 的参数方程为 （t 为参数）=12=3+32曲线 C 的普通方程为 + =1，2224将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程得 5t2+12t-4=0，设 A，B 对应的参数为 t1，t 2，所以 t1+t2=- ，t 1t2=- 0，125
32、45故 t1 与 t2 异号所以|PA|+|PB|=|t 1-t2|= = ，(1+2)24124145|PA|PB|=|t1|t2|=-t1t2= ，45 + = = 1| 1| |+| 14【解析】（）直线 l：2cos（- ）= ，即 cos+sin= ，所以直线 l 的直角坐标方程为 +y- =0，因 为 ，所以点 P 在直线 l 上第 17 页，共 17 页（）根据参数的几何意义可得本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23.【答案】（1）证明： ，()=|+|+|2|=|+|+|2|+|2| 且 ，|+|+|2|(+)(2)|=+2 |2|0 ，当 时取等号，()+2 =2即 f（x）的最小值为 ，+2 +2=1， 2+=2（2）解：a+2btab 恒成立， 恒成立，+2，+2=1+2=(1+2)(2+)12=12(1+4+2+2)12(1+4+222)=92当 时， 取得最小值 ，=23 +2 92 ，即实数 t 的最大值为 92 92【解析】（1）根据不等式的性质求出 f（x）的最小值，证明结论即可；（2）求出 恒成立，根据不等式的性质求出 t 的最大值即可本题考查了绝对值不等式问题，考查不等式的性质以及转化思想，是一道中档题
浙公网安备33030202001339号