2019年辽宁省沈阳市皇姑区中考数学一模试卷（含答案解析）

1、2019 年辽宁省沈阳市皇姑区中考数学一模试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题 2 分，共 20 分）1下列四个数中，最大的一个数是（ ）A2 B C0 D22一个数用科学记数法表示为 2.37105，则这个数是（ ）A237 B2370 C23700 D2370003如图所示的几何图形的俯视图是（ ）A B C D4下列运算正确的是（ ）Ax 2+x2x 4 B a2a3a 5 C（3x） 2 6x2 D（mn ） 5（mn）mn 45不等式组 的解集是（ ）Ax1 Bx2 C1x2 D无解6下列说法正确的是（ ）A一组数据 3，5，4，5，6 ，7 的众数、中位

2、数和平均数都是 5B为了解某灯管的使用寿命，可以采用普查的方式进行C两组身高数据的方差分别是 S2 甲 0.01，S 2 乙 0.02，那么乙组的身高比较整齐D“清明时节雨纷纷”是必然事件7如图，在ABC 中，ACB90，AC 1，AB2，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交 AB于点 D，则扇形 CAD 的面积是（ ）A B C D8小明在解方程 x24x 150 时，他是这样求解的：移项得 x24x15，两边同时加 4 得x24x +419，（x2） 2 19，x2 ， x 2 ，x 12+ ，x 22，这种解方程的方法称为（ ）A待定系数法 B配方法 C公式法 D因式分解法9已知关于

3、 x 的方程 x2+3x+a0 有一个根为2，则另一个根为（ ）A5 B1 C2 D510已知二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴是直线 x1，下列结论：abc0；2a+b0；ab+c0；4a2b+ c0其中正确的是（ ）A B只有 C D二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11（3 分）分解因式：a 34ab 2 12（3 分）计算： +（3） 0（ ） 2 13（3 分）已知四个点的坐标分别是（1，1），（2，2），（ ， ），（5， ），从中随机选取一个点，在反比例函数 y 图象上的概率是 14（3 分）已知 ，则实数 AB 15（3 分）如图是由相同的花盆

4、按一定的规律组成的正多边形图案，其中第 1 个图形一共有 6 个花盆，第 2 个图形一共有 12 个花盆，第 3 个图形一共有 20 个花盆，则第 n 个图形中花盆的个数为 16（3 分）如图，点 A 在双曲线 y （k 0）上，过点 A 作 ABx 轴，垂足为点 B，分别以点O 和点 A 为圆心，大于 OA 的长为半径作弧，两弧相交于 D，E 两点，作直线 DE 交 x 轴于点C，交 y 轴于点 F（0，2），连接 AC若 AC1，则 k 的值为 三、解答恿（第 17 小题 6 分，第 18、19 小题各 8 分，共 22 分）17（6 分）先化简，再求值：（ ） ，其中 a2sin60ta

5、n4518（8 分）2019 年第三届沈阳女子半程马拉松赛将于 5 月 26 日在沈阳市五里河公园正式开跑比赛共设有三项：A“半程 21 公里”、B“健身 10 公里”、C“迷你 5 公里”小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组，请用“列表法”或“树状图法”求小明和小刚被分配到不同项目组的概率19（8 分）已知：如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是 BC 和 DC 边上的点，且 ECFC 求证：AEFAFE 四、（每小题 8 分，共 16 分）20（8 分）为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间（单位：h，精确到 1h），抽样调查了部分学生，并

6、用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图请你根据图中提供的信息，回答下列问题（1）所抽查的学生人数为 人，扇形统计图中百分数 a 的值为 ；（2）直接在图中补全条形统计图；（3）如果该校共有学生 1300 名，估计睡眠不足（少于 8 小时）的学生有多少人？21（8 分）由甲、乙两运输队承包运输 15000 立方米沙石的任务，要求在 10 天之内（包含 10 天）完成已知两队共有 20 辆汽车且全部参与运输，甲队每辆车每天能够运输 100 立方米的沙石，乙队每辆车每天能够运输 80 立方米的沙石，前 3 天两队一共运输了 5520 立方米（1）求甲乙两队各有多少辆汽车？（2）3 天后，另有紧急任

7、务需要从甲队调出车辆支援，在不影响工期的情况下，甲队最多可以调出汽车 辆（直接填空）五、（本题 10 分）22（10 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 是半圆上不与点 A，B 重合的动点，PCAB，点M 是 OP 中点（1）求证：四边形 AOCP 是平行四边形；（2）连接 BP，当ABP 度时，四边形 AOCP 是菱形；当ABP 度时，PC是 O 的切线（直接填空）六、（本题 10 分）23（10 分）如图在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 的坐标为（0，8），点 B 的坐标为（6，0），点 C 在 y 轴正半轴上，沿直线 BC 翻折ABC，点 A 的对应点 D 恰好落在 x

8、 轴负半轴上动点 P 从点 D 出发，沿 DC A 的路线，以每秒 1 个单位的速度向终点 A 匀速运动，同时，动点 Q 也从点 D 出发，沿 x 轴以每秒 1 个单位的速度向终点 B 匀速运动，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设运动的时间为 t 秒（ t0）（1）求点 C 的坐标；（2）当 t2 时，PCQ 的面积为 （直接填空）；（3）当点 C 到直线 PQ 的距离等于 3 时，请直接写出 t 的值七、（本题 12 分）24（12 分）矩形 ABCD 中，AB30，AD40，连接 BD，点 P 在线段 BD 上（且不与点 B 重合），连接 AP，过点 P 作 PEAP ，交直线

9、 BC 于点 E，以 AP、PE 为边作矩形 APEF，连接 BF（1）如图 ，当点 E 与点 B 重合时，线段 DP 的长为 （直接填空）；（2）如图 当 EBEP 时：求证 ABAP；线段 DP 的长为 （直接填空）（3）若 AP26，请直接写出线段 BF 的长八、（本题 12 分）25（12 分）如果一条抛物线与 x 轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的四边形称为这条抛物线的“抛物四边形”如图 ，抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 x 轴交于 A，C 两点，点 B 为抛物线的顶点，点 D 在抛物线的对称轴上，则四边形 ABCD 为“抛物四边形”，已知

10、A（1，0），C（3，0）（1）若图 中的 “抛物四边形”ABCD 为菱形，且ABC60，则顶点 B 的坐标为 （直接填空）（2）如图 ，若 “抛物四边形”ABCD 为正方形，边 AB 与 y 轴交于点 E，连接 CE求这条抛物线的函数解析式；点 P 为第一象限抛物线上一个动点，设PEC 的面积为 S，点 P 的横坐标为 m，求 S 关于 m的函数关系式，并求 S 的最大值连接 OB，抛物线上是否存在点 Q，使直线 QC 与直线 BC 所夹锐角等于OBD？若存在，请直接写出点 Q 的横坐标：若不存在，说明理由2019 年辽宁省沈阳市皇姑区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的

11、备选答案中，只有一个答案是正确的每小题 2 分，共 20 分）1【分析】正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得20 2，故四个数中，最大的一个数是 2故选：A【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数0负实数，两个负实数绝对值大的反而小2【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a| 10，n 为整数，n 的值取决于原数变成 a 时，小数点移动的位数，n 的绝对值与小数点移动的位数相同把 2.37 的小数点向右移动 5 位，求出

12、这个数是多少即可【解答】解：2.3710 5237000故选：D【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，以及小数点移动的规律，要熟练掌握3【分析】主视图：从正面看：半个椭圆+梯形，选项 B；左视图：从左面看：线段+梯形，选项A；俯视图：从上面看：圆环+直径，选项 D；【解答】解：A、这个图形是左视图，所以此选项错误；B、这个图形是主视图，所以此选项错误；C、这个图形即既不是俯视图，也不是主视图和左视图，所以此选项错误；D、这个图形是俯视图，所以此选项正确；故选 D【点评】本题考查了简单组合体的三视图，同时考查了学生的空间想象能力4【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、除法和幂的乘方计

13、算判断即可【解答】解：A、x 2+x22x 2，错误；B、a 2a3a 5 ，正确；C、（3x） 2 9x2，错误；D、（mn） 5（mn）（mn） 4，错误；故选：B【点评】此题考查同底数幂的乘法、除法，关键是根据合并同类项、同底数幂的乘法、除法和幂的乘方法则解答5【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解【解答】解： ，由得， x1，由得， x2，所以不等式组的解集为 1x2，故选：C【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）6【分析】A、先分别根据众数、中位数和平均数的定义求

14、出数据 3，5，4，5，6，7 的众数、中位数和平均数，再进行判断；B、根据普查的和抽样调查的特点，结合考查的对象即可进行判断；C、根据方差越小越稳定即可进行判断；D、根据必然事件的定义进行判断【解答】解：A、数据 3，5，4，5，6，7 中，5 出现的次数最多，所以这组数据的众数是 5；将这 6 个数按照从小到大的顺序排列，处在第三个与第四个位置的都是 5，所以这组数据的中位数是（5+5）25；这组数据的平均数是（3+5+4+5+6+7）65故本选项正确；B、由于了解某灯管的使用寿命会给灯管带来损伤破坏，所以不宜采用普查的方式进行，故本选项错误；C、由于 0.010.02，所以甲组的身高比较

15、整齐，故本选项错误；D、清明时节可能下雨，也可能不下雨，所以 “清明时节雨纷纷”是随机事件，故本选项错误故选：A【点评】本题考查了众数、中位数和平均数的定义，方差的特征，普查和抽样调查的选择，必然事件与随机事件的定义，涉及的知识点较多，但是属于基础题型，必须掌握7【分析】根据直角三角形的性质求出B，根据三角形内角和定理求出A，根据扇形面积公式计算，得到答案【解答】解：ACB90，AC 1，AB2，B30，A60，扇形 CAD 的面积 ，故选：C【点评】本题考查的是扇形面积计算、直角三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键8【分析】根据配方法解方程的步骤即可得【解答】解：根据题意知这种解方程的

16、方法称为配方法，故选：B【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法是解题的关键9【分析】根据关于 x 的方程 x2+3x+a0 有一个根为2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决【解答】解：关于 x 的方程 x2+3x+a0 有一个根为2，设另一个根为 m，2+m ，解得，m1，故选：B【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数10【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点，确定 a、b、c 的符号，根据对称轴和图象确

17、定 y0 或 y0 时，x 的范围，确定代数式的符号【解答】解：抛物线的开口向上，a0， 0，b0，抛物线与 y 轴交于负半轴，c0，abc0，正确；对称轴为直线 x1， 1，即 2ab0，错误；x1 时，y 0，ab+c0，错误；x2 时，y 0，4a2b+c0，正确；故选：D【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11【分析】观察原式 a34ab 2，找到公因式 a，提出公因式后发现 a24b 2 符合平方差公式的形式，

18、再利用平方差公式继续分解因式【解答】解：a 34ab 2a（a 24b 2）a（a+2b）（a2b）故答案为：a（a+2b）（a2b）【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式，最后一定要分解到各个因式不能再分解为止12【分析】原式利用算术平方根定义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果【解答】解：原式4+194，故答案为：4【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键13【分析】先判断四个点的坐标是否在反比例函数 y 图象上，再让在反比例函数 y 图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数 y 图象上的概率，依此即可求解【解答】解：111，2

19、24， 1，（5）（ ）1，2 个点的坐标在反比例函数 y 图象上，在反比例函数 y 图象上的概率是 24 故答案为： 【点评】考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比14【分析】先根据分式的加减运算法则计算出 ，再根据对应相等得出关于 A，B 的方程组，解之求得 A，B 的值，代入计算可得【解答】解： + ，根据题意知， ，解得： ，AB71017，故答案为：17【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和解二元一次方程组的能力15【分析】由题意可知，三角形每条边上有 3 盆花，共计 333 盆花，正四边形每条边上有 4盆花，共计 444 盆

20、花，正五边形每条边上有 5 盆花，共计 555 盆花，则正 n 变形每条边上有 n 盆花，共计 nnn 盆花，结合图形的个数解决问题【解答】解：第一个图形：三角形每条边上有 3 盆花，共计 323 盆花，第二个图形：正四边形每条边上有 4 盆花，共计 424 盆花，第三个图形：正五边形每条边上有 5 盆花，共计 525 盆花，第 n 个图形：正 n+2 边形每条边上有 n 盆花，共计（n+2） 2（n+2）（n+1）（n+2）盆花，故答案为：（n+1）（n+2 ）【点评】本题主要考查归纳与总结的能力，关键在于根据题意总结归纳出花盆总数的变化规律16【分析】如图，设 OA 交 CF 于 K利用面

21、积法求出 OA 的长，再利用相似三角形的性质求出AB、OB 即可解决问题【解答】解：如图，设 OA 交 CF 于 K由作图可知，CF 垂直平分线段 OA，OCCA1，OKAK，在 Rt OFC 中， CF ，在 Rt OFC 中， CF ，OA ，由FOCOBA，可得 ， ，OB ，AB ，A ，k 故答案为：【点评】本题考查作图复杂作图，反比例函数图象上的点的坐标特征，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型三、解答恿（第 17 小题 6 分，第 18、19 小题各 8 分，共 22 分）17【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，

22、最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得 a 的值，代入即可【解答】解：原式 （ a1） （a1）当 a2sin60tan45 2 1 1 时，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键，也考查了特殊锐角的三角函数值18【分析】画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再找出小明和小刚被分配到不同项目组的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 9 种等可能的结果数，其中小明和小刚被分配到不同项目组的结果数为 6，所以小明和小刚被分配到不同项目组的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果

23、 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率19【分析】由四边形 ABCD 是菱形，即可求得 ABAD，BD ，又由 ECFC 知 BEDF ，根据 SAS，即可证ABEADF 得 AEAF ，从而得证【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形，ABAD ，BC DC ，B D ，ECFC，BEDF ，在ABE 和ADF 中，ABE ADF（SAS）；AEAF，AEF AFE【点评】此题考查了菱形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，注意菱形的四条边都相等，对角相等四、（每小题 8 分，共 16 分）20【分析】（

24、1）根据条形统计图中 9 小时的人数除以占的百分比即可得到所抽查的学生人数；由 7 小时的人数除以所抽查的学生人数，即为 a 的值；（2）由总人数分别减去 6、7、9 小时的人数，求出 8 小时的学生数，补全条形统计图即可；（3）先求出样本中睡眠不足（少于 8 小时）的学生占的百分比，再乘以 1300 即可【解答】解：（1）根据题意得：35%60（人），276045% ，则所抽查的学生人数为 60 人，扇形统计图中百分数 a 的值为 45%故答案为 60，45%；（2）8 小时的学生数为 60（12+27+3）18（人）；补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：1300 845（人）故如果

25、该校共有学生 1300 名，估计睡眠不足（少于 8 小时）的学生有 845 人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小也考查了用样本估计总体21【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲乙两队各有多少辆汽车；（2）根据题意可以列出相应的不等式，甲队最多可以调出汽车多少辆【解答】解：（1）设甲队有 x 辆汽车，乙队有 y 辆汽车，解得， ，答：甲乙两队各有汽车 12 辆、8 辆；（2）设 3 天后，另有紧急任务需要从甲队调出

26、 a 辆车支援，（12a）100（103）+880（103）150005520，解得，a ，a 为整数，a 的最大值为 4，故答案为：4【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，注意与实际相联系，汽车辆数为整数五、（本题 10 分）22【分析】（1）先判断出四边形 OBCP 是平行四边形，得出 OBPC，OBPC，再判断出OAPC ，从而得出结论；（2）根据圆周角定理得到AOP60，推出AOP 是等边三角形，得到 APAO ，于是得到四边形 AOCP 是菱形；由圆周角定理得到AOP90，根据平行线的性质得到OPCAOP90，于是得到结论【解答】解

27、：（1）点 M 是 OP 中点，AMCM，AOBO ，OM BC，OPBC，PCAB，四边形 OBCP 是平行四边形；（2）当ABP30 度时，四边形 AOCP 是菱形；理由：ABP30，AOP60，AOPO ，AOP 是等边三角形，APAO ，四边形 AOCP 是菱形；当ABP 45 度时，PC 是O 的切线；理由：ABP45，AOP90，AOPC，OPCAOP90，PC 是O 的切线【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，切线的判定，菱形的判定，正确的识别图形是解题的关键六、（本题 10 分）23【分析】（1）由点 A 和 B 的坐标得出 OA8，OB 10，由勾股定理求出AB 10，由

28、折叠的性质得：DCAC，BDAB10，求出 ODBDOB4，设OCx，则 CDAC8x ，在 RtOCD 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（2）由（1）得：CDAC 5，OC3，OD4，当 x 2 时，DP DQ2，则OQODDQ2，作 PM OD 于 M，则 PMOA，由平行线得出DPMDCO，得出 ，求出 PM ，PCQ 的面积OCD 的面积 PDQ 的面积OCQ 的面积，代入内角公式计算即可；（3）分两种情况：点 P 和点 Q 在 OC 的左侧时，作 CEPQ 于 E，PGOD 于 G，则CEDF，PG OC，CE3，证明DPGDCO，得 ，求出 DG t，PGt，QG t，由勾股定

29、理得出 PQ ，由PDQ 的面积求出 DF ，由平行线得出PCFPDF，得 ，即可求出 t 的值；点 P 和点 Q 在 OC 的右侧时，作 CEPQ 于 E，则 OQt 4，CPt5，求出OPCP+ OCt2，由勾股定理得出 PE ，证明CPEQPO，得出 ，得出方程，解方程即可【解答】解：（1）点 A 的坐标为（0，8），点 B 的坐标为（6，0），OA8，OB10，AB 10，由折叠的性质得：DCAC， BDAB10，ODBD OB 4，设 OCx，则 CDAC8x，在 Rt OCD 中，由勾股定理得：x 2+42（8x） 2，解得：x3，即 OC3，点 C 的坐标为（0，3）；（2）由（

30、1）得：CDAC 5，OC3，OD4，当 x2 时，DPDQ2，则 OQODDQ2，作 PMOD 于 M，如图 1 所示：则 PMOA ，DPMDCO ， ，即 ，解得：PM ，PCQ 的面积OCD 的面积PDQ 的面积OCQ 的面积 43 2 23 ；故答案为： ；（3）分两种情况：点 P 和点 Q 在 OC 的左侧时，如图 2 所示：作 CEPQ 于 E，PG OD 于 G，则 CEDF，PGOC，CE3，DPG DCO， ，PDQD t ，DG t，PG t，QG t，PQ ，PDQ 的面积 DQPG PQDF，DF ，CEDF，PCFPDF， ，即 ，解得：t5 ；点 P 和点 Q 在

31、 OC 的右侧时，如图 3 所示：作 CEPQ 于 E，则 OQt 4，CPt 5，OPCP+ OCt2，PE ，CEPQOP90，CPEQPO ，CPEQPO， ，即 ，解得：t10，或 t2（方程无意义，舍去），t10；综上所述，当点 C 到直线 PQ 的距离等于 3 时，t 的值为 5 或 10【点评】本题是三角形综合题目，考查了翻折变换的性质、勾股定理、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积公式、解方程以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键七、（本题 12 分）24【分析】（1）通过证明APDBAD，可得 ，即可求 PD 的长；（

32、2） 由等腰三角形的性质可得EBP EPB，由余角的性质可得ABPAPB ，可得ABAP；连接 AE，交 BD 于点 O，由线段垂直平分线可求 BO18PO，即可求 PD 的长；（3）分两种情况讨论，通过证明点 A，点 P，点 E，点 B，点 F 共圆，可得BAEEPB，通过证明APOAEB，由相似三角形的性质和勾股定理可求 BF 的值【解答】解：（1）矩形 ABCD 中，AB30，AD40，BD 50BPAPAPDBAD90，ADB ADBAPDBADPD32，故答案为：32（2） BE PEEBP EPB四边形 ABCD 是矩形，四边形 APEF 是矩形ABCAPE90ABP APBABA

33、P如图，连接 AE，交 BD 于点 O，ABAP，BEPEAE 垂直平分 BP，AOBP，BOOP由（1）可知：OD32，BD50BO18，DPDO OP 321814故答案为：14，（3）如图，作 AOBD 于点 O，若点 P 在点 O 的左侧，AO AO24AP26，AO24，OP 10BPBO PO18108四边形 APEF 是矩形PFAE，AM EMMPFM，ABE 90BMAMEM MPFM，点 A，点 P，点 E，点 B，点 F 共圆BAE EPB，PBF PEF90EPB +APO90，APO+PAO90PAOEABEPB，且AOPABE90APOAEBAEPFBF 若点 P 在

34、点 O 的右侧同理可得：OP10，AO24，点 A，点 P，点 E，点 B，点 F 共圆，APB AEB，且ABEAOPABE AOPAEPFBF 故答案为： 或【点评】本题四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键八、（本题 12 分）25【分析】（1）ABC60，故ABC 为等边三角形，即可求解；（2） 点 B 的坐标为（ 1，2），抛物线的表达式为：ya（x1） 2+2，将点 A 的坐标代入上式，即可求解；S PHOC，即可求解；设： HEMHn，则 CH2n，即3n2 ，n ，ME n ，DM4 ，则点 M 坐标为（

35、，2），则CM 的表达式为：y3x +9，即可求解【解答】解：（1）ABC60，故ABC 为等边三角形，AC4，则 yB AC2 ，函数对称轴为 x1，故点 B（1，2 ），故答案是（1，2 ）；（2） AC4，则点 B 的坐标为（1，2），抛物线的表达式为：ya（x1） 2+2，将点 A 的坐标代入上式得：0a（2） 2+2，解得：a ，函数的表达式为：y （x1） 2+2 x2+x+ ；将点 A、B 坐标代入一次函数表达式：ykx+b 得： ，解得： ，直线 AB 的表达式为：y x +1，则点 E（0，1），同理可得直线 CE 的表达式为： y x+1，过点 P 作 PH y 轴交 EC

36、 于点 H，则点 P（m， m2+m+ ），点 H（m， m+1）则 S PHOC （ m2+m+ + m1）3 m2+2m+ ， ，S 有最大值，当 m 时，最大值为： ；存在，理由：过点 D 作 DEx 轴，分别交 CQ 于点 M、交 BC 的延长线于点 E，过点 M 作 MHCE 于点 H，则 CDE 为等腰直角三角形，AC4，则 DC2 CE，tanOBD ，QC 与直线 BC 所夹锐角等于OBD，即：tan MCH ，设：HEMH n，则 CH2n，即 3n2 ，n ，ME n ，DM 4 ，则点 M 坐标为（ ，2），同理直线 CM 的表达式为：y3x+9，联立并解得： x3 或 5，即点 Q 的横坐标为 3 或 5【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（2），利用解直角三角形的方式求出点 M 坐标，进而求出直线 CM 的表达式，是本题的难点