1、第 1 页，共 17 页河北省保定市 2019 年高三(4 月)第一次模拟考试文科数学试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 若复数 z= ，则 =（ ）2+41 A. B. C. D. 1+3 13 1+3 132. 已知 cos=- ，且 为第二象限角，则 sin2 的值为（ ）12A. B. C. D. 32 32 34 343. 设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 P-Q=x|xP，且 xQ，如果 P=x|12 x4，Q=y|y=2+sinx，x R，那么 P-Q=（ ）A. B. C. D. |06 22 60）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.
2、4 个二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 函数 y=x2+ex的图象在点 x=0 处的切线方程为_14. 从由数字 1，2，3 所组成的所有两位数中随机抽取一个数，则该数为没有重复数字的两位数的概率为_15. 我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一并五关所税，适重一斤问本持金几何？“其意思为“今有人持金出五关，第 1 关收税金为总量的 ，第 2 关收税金为剩余的 ，第 3 关收税金为剩余的 ，第 4 关收税金为12 13 14剩余的 ，第 5 关收税金为剩余的 ，5 关所收税金之和恰好
3、重 1 斤，问原本持金多15 16少？假设原本持金 x 斤，则 x=_斤16. 已知点 O 为ABC 所在平面内的一点，且满足| |=| |=| |=1，3，则 =_+4+5=0 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 已知函数 f（x ）=2 sinxcosx+2cos2x-1（xR ）3（1）求函数 f（x ）的最小正周期；第 3 页，共 17 页（2）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 f（A）=-2，a=4，求ABC 面积的最大值18. 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD= ，AB=4，PA=PD=2 3 2（1）
4、若 M 为线段 AB 中点，N 为线段 PC 中点，求证：MN平面 PAD；（2）若平面 PAD平面 ABCD，求三校锥 A-PBD 的高19. 已知椭圆 C： =1（ab0）的右焦点 F2 与抛物线 y2=4x 的焦点重合，且其22+22离心率为 12（1）求椭圆 C 的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线 l 与 C 交于 M，N 两点，线段 MN 中点为 P，问kMNkOP（O 为坐标原点）是否为定值？请说明理由20. 为了尽快攻克一项科研课题，某生物研究所分别设立了甲、乙两个研究小组同时进行对比试验，现随机在这两个小组各抽取 40 个数据作为样本，并规定试验数据落在495，510）之内
5、的数据为理想数据，否则为不理想数据试验情况如表所示：频数抽查数据甲 乙490，495） 6 2495，500） 8 12500，505） 14 18505，510） 8 6第 4 页，共 17 页510，515） 4 2（1）根据表中数据作出两个小组样本数据的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试着估计从两个小组的试验数据中分别任取一个数据，则其恰好是理想数据的概率各是多少？（3）由以上统计数据完成下面 22 列联表，并回答有多大的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关？甲小组 乙小组 合计理想数据不理想数据合计附：K 2= ，其中 n=a+b+c+d()2(+)(+)(+
6、)(+)P（K 2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82821. 已知函数 f（x ）=alnx - +1，aR1（1）讨论 f（x ）的单调性；（2）若（x-1 ）f（x ）0 恒成立，求 a 的取值范围第 5 页，共 17 页22. 已知曲线 C 的极坐标方程是 = ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面3直角坐标系，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），曲线 M 的参数方=1+22，=22， 程是 （ 为参数）=，=3， （1）写出曲线 C 和直线
7、l 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，P 为曲线 M 上的动点，求ABP 面积的最大值23. 已知函数 f（x ）=| x-1|-|x+a|，a R（1）若 a=2，解不等式 f（x）1；（2）若 x（2 ，4）时，|f（ x）|2x +a-1|，求 a 的取值范围第 6 页，共 17 页答案和解析1.【答案】A【解析】解：z= = ， =-1+3i故选：A直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2.【答案】B【解析】解：cos=- ，且 为第二象限角，sin= = ，则 sin2=2sincos=2
8、（- ）=- ，故选：B 利用同角三角函数的基本关系求得 sin的值，再利用二倍角公式求得 sin2的值本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题3.【答案】D【解析】解：P=x|0x 2，Q=y|1y3； P-Q=x|0 x1 故选：D根据 P-Q 的定义，可求出 P，Q，然后即可求出 P-Q考查描述法的定义，指数函数的单调性，正弦函数的值域，以及 P-Q 的定义4.【答案】A【解析】解：若方程 =1 表示双曲线，则（m-2）（6-m）0m2 或 m6，故选：A第 7 页，共 17 页利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基
9、础题5.【答案】C【解析】解：第一次 p=1，kN 成立，k=2， 第二次 p=2，kN 成立，k=3， 第三次 p=6，kN 成立，k=4， 第五次 p=24，kN 成立，k=5， 第六次 p=120，kN 不成立， 输出 p=120， 故 k4不成立，k=5 成立， 则 N=5， 故选：C 根据条件进行模拟运算即可本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键6.【答案】B【解析】解： ， ； ； ； ；又 ； 与 的夹角为 150故选：B 根据 即可得出 ，从而得出 ，这样即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，以及向量夹
10、角的余弦公式7.【答案】A【解析】第 8 页，共 17 页解：变量 x，y 满足约束条件的可行域如图阴影部分：目标函数 z= 的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率：k OA=2，则目标函数 z= 的取值范围是：0， 2故选：A画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义 ，通过数形结合是解决本题的关键8.【答案】D【解析】解：由题意可知几何体 C-MEF 的体积：V ADF-BCE-VF-AMCD-VE-MBC= = 故选：D利用棱柱的体积减去两个棱锥的体积，求解即可本题考查三视图求解几何体的体积，考查计算能力9.【答案】B【解析】
11、解：2sin 2Asin2B+sinAsinB= sin2Asin2B=2sinAcosAsinBcosB，又sinAsinB0，可得：2sinAsinB+1=2cosAcosB，可得： 1=2cos（A+B）=-2cosC，解得：cosC=- 故选：B 利用二倍角的正弦函数公式化简已知等式，结合 sinAsinB0，可得2sinAsinB+1=2cosAcosB，进而根据两角和的余弦函数，诱导公式可得 cosC的值第 9 页，共 17 页本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，两角和的余弦函数，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基 础题10.【答案】C【解析】解：SA 平面 A
12、BC，ABBC，四面体 S-ABC 的外接球半径等于以 长宽高分别 SA，AB，BC 三边长的长方体的外接球的半径SA=1，AB=2，BC=2，2R= =3，即 R= 球 O 的表面积 S=4R2=9故选：C 由题意可得，S 、A、B、C 四点均为长宽高分别 SA，AB，BC 三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球 O 的半径，代入球的表面积公式即可得到答案本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球 O 的半径是解答本题的关键，是中档 题11.【答案】C【解析】解：由题意，可知：当 n=1 时，a 1=S1=1；当 n=2 时，a 2=3
13、S1=3；当 n2时，a n=Sn-Sn-1= ， ，即：a n+1=4an数列a n从第 2 项起是以 3 为首项，4 为公比的等比数列a11=349第 10 页，共 17 页故选：C 本题先根据题中公式推出前几项，然后根据公式 an=Sn-Sn-1 得出数列a n从第 2 项起是一个等比数列，即可得出数列a n的通项公式，即可得到结果本题主要考查公式 an=Sn-Sn-1 的应用，以及等比数列的判定，本题属中档题12.【答案】C【解析】解：函数 g（x）=f（x）-ln（x+e2）的零点个数即为 g（x）=0，即 y=f（x）和 y=ln（x+e2）的图象交点个数，作出 y=f（x）的图象
14、和 y=ln（x+e2）的图象，可得它们共有 3 个交点，即零点个数为 3故选：C 由题意可得可令 g（x）=0，即求 y=f（x）和 y=ln（x+e2）的图象交点个数，作出y=f（x）的图象和 y=ln（x+e2）的图象，通过观察可得所求零点个数本题考查函数的零点个数，注意运用转化思想和数形结合思想，考查判断能力和推理能力，属于基础题13.【答案】y=x +1【解析】解：函数 y=x2+ex，可得 y=2x+ex， 切线的斜率为：1，切点坐标（0， 1）， 函数 y=x2+ex 的图象在点 x=0 处的切线方程为：y=x+1 故答案为：y=x+1求出函数的导数，然后求解切线的斜率，切点坐
15、标，然后求解切线方程本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考 查计算能力14.【答案】23【解析】第 11 页，共 17 页解：从由数字 1，2，3 所组成的所有两位数中随机抽取一个数，基本事件个数 n=33=9，该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数 m=32=6，该数为 没有重复数字的两位数的概率为 p= = 故答案为： 基本事件个数 n=33=9，该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数m=32=6，由此能求出该数为没有重复数字的两位数的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、排列 组合等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题15.【答案】1.2【解析】解：由题意可知过第一关
16、后剩余 ，过第二关后剩余 = ，过第三关后剩余 = ，过第四关后剩余 = ，过第五关后剩余 = ，x- =1，解得 x=1.2故答案为：1.2计算每关过后的剩余量即，列方程求出答案本题考查了数学应用，属于基础题16.【答案】45【解析】解：| |=| |=| |=1，3 ， ，两边同时平方可得，9+16+24 =25， =0，第 12 页，共 17 页 = ，则 =（ ）=0 = ，故答案为： 由已知可知 两边同时平方可求 ，然后结合 =，及 = ，结合向量数量积的性质即可求解本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于中档试题17.【答案】解：（1）函数 f（x ）=2 sinxcosx+
17、2cos2x-13= ，32+2= ，2(2+6)所以：函数的最小正周期为 =22=（2）由于 f（A）=-2，故： ，2(2+6)=2解得：A= 23由余弦定理得：a 2=b2+c2-2bccosA，整理得：16=b 2+c2+bc3bc，所以： 163则： = =1212163 32433【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数最小正周期 （2）利用（1）的结论，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式和基本不等式的应用求出结果本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，正第 13 页，共 17 页弦定理余弦定理和三角形面
18、积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18.【答案】证明：（1）如图所示，取线段 PD 的中点 H，连结 NH，AH，在PDC 中，NHDC，NH= ，12ABCD 是菱形，M 为中点， AMDC，AM= ，12HNAM，HN=AM，四边形 AMNH 为平行四边形， MNAH，AH面 PAD， MN面 PAD，MN平面 PAD解：（2）PA=PD=2 ，AD=4，APPD，2取 AD 中点 O，连结 PO，则 POAD，面 PAD面 ABCD，PO面 ABCD，则 PO=2，BD =4，在 RtPOB 中， PB=4， SPBD= =2 ，122242(2)2 7设三棱锥
19、 A-PBD 的高为 h，由 VP-ABD=VA-PBD，得 ，1334162=1327解得 h= ，4217三棱锥 A-PBD 的高为 4217【解析】（1）取线段 PD 的中点 H，连结 NH，AH，推导出 AMDC，AM= ，四 边形 AMNH 为平行四边形，从而 MNAH，由此能证明 MN平面 PAD（2）取 AD 中点 O，连结 PO，则 POAD，设三棱锥 A-PBD 的高为 h，由 VP-ABD=VA-PBD，能求出三棱锥 A-PBD 的高本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基础知识，考 查空间想象能力与思维能力，考 查运算求
20、解能力，是中档题19.【答案】解：（1）抛物线 y2=4x 的焦点为（1，0）， 椭圆 C 的半焦距为 c=1，又椭圆的离心率 e= ， a=2，则 b= =12 22=3椭圆 C 的方程为 ；24+23=1（2）由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，设 l 的方程为 y=kx+m，第 14 页，共 17 页联立 ，得（3+4k 2）x 2+8kmx+4m2-12=0=+32+4212=00 即只需 n24k 2+3设 M（x 1，y 1），N（x 2，y 2），则 ， ，1+2=83+42 12=(1+2)+2=63+42P（ ），43+42， 33+42 =33+4243+42=34
21、 =34【解析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆半焦距，再由离心率求得 a，结合隐含条件求得 b，则椭圆方程可求； （2）由题意可知，直线 l 的斜率存在且不 为 0，设 l 的方程 为 y=kx+m，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得P 的坐标，再由斜率公式求得 OP 的斜率，可得 kMNkOP 为定值本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题20.【答案】解：（1）根据题意，画出甲、乙两个小组的频率分布直方图如下；（2）由题意知，甲小组的理想数据为 8+14+8=30，故甲小组的理想数据频率为 =0.75；
22、3040乙小组的理想数据为 12+18+6=36，故乙小组中理想数据的频率为 =0.9；据此可以估计从甲组数据中任取 1 个数据，3640该数据恰好为理想数据的概率为 0.75，从乙组数据中任取 1 个数据，该数据恰好为理想数据的概率为 0.9；（3）甲小组的理想数据为 30，乙小组的理想数据为 36，由此填写列联表如下；第 15 页，共 17 页甲小组 乙小组 合计理想数据 30 36 66不理想数据 10 4 14合计 40 40 80由表中数据，计算 K2= 3.1172.706，80(3043610)240406614所以有 90%的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个小组的选择有关【
23、解析】（1）根据题意画出甲、乙两个小组的频率分布直方图； （2）由题意计算甲、乙小组的理想数据和频率，由此得出结论； （3）由题意填写列联表，计算观测值， 对照临界值得出结论本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题21.【答案】解：（1）f（x ）=aln x- +1 的定义域是（0，+ ），1f（x）= ，+12a0 时，f（x）0，f （x ）在（ 0，+）递增，a0 时，令 f（x ）0，解得：0x- ，1令 f（x）0 ，解得：x ，1f（x）在（0，- ）递增，在（- ，+）递减；1 1（2）f（1）=0由（1）可得当 a0 时，f（x）在（0，+）递增，x1 时，f
24、（x）0，x1 时，f （x）0所以，此时（x-1 ）f（x ）0 恒成立，即 a0 符合题意当 a0 时，f（x ）在（0，- ）递增，在（- ，+）递减，且 f（1）=0；1 1当- 时，f（x ）在（0，1）递增，在（1，+ ）递减，易知（x-1 ）f （x ）0 不1=1恒成立；当- 1 时，即 a-1 时， f（x）在（0，1）上由 f（- ）f （1）=0，易知（x-1 ）1 1f（x）0 不恒成立；当- 时，即-1a0 时， ，1 1 1 1=- ，易知（x-1）f（x）0 不恒成立；(1)=111+1 11 0综上，（x-1 ）f（x ）0 恒成立时， a 的取值范围为0 ，+
25、）【解析】第 16 页，共 17 页（1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）由（1）可得当 a0时， f（x）在（0，+）递增，（x-1）f（x）0 恒成立，当 a0 时，分 当- ，当- 1，当- 讨论本题考查了函数的单调性、最值问题，考 查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题22.【答案】解：（1）由题意可知 C：x 2+y2=3，直线 l 的直角坐标方程为 y=x-1（2）将直线 l 方程代入 C 的方程并整理得 t2+ -2=0，2设 A，B 对应的参数分别为 t1，t 2，则 t1+t2=- ，t 1t2=-2，2|AB|=|t1-t2|= ，
26、10所以点 P 到直线 l 的距离 d= = ，|31|2 |2(6)1|2所以当 sin（ -）=-1 时，d 的最大值为 ，6 322即三角形 ABP 面积最大值为 = 12 10322 352【解析】（1）消去参数 t 可得直线 l 的直角坐标方程，由 = 可得 2=3，可得x2+y2=3；（2）利用参数的几何意义求弦长，利用掉到直线的距离求三角形的高，利用三角函数的性质求最大值本题考查了简单无线的极坐标方程，属中档题23.【答案】解：（1）当 a=2 时，f（x ）= ，3， 221， 213， 1 当 x-2 时，由 f（x ）1，得 x-2 ；当-2 x1 时，由 f（x）1 得-2x -1；当 x1 时，由 f（x）1，无解；所以不等式 f（x ）1 的解集为 x|x-1（2）因为|f（x）|=|x-1|-|x +a|（x-1 ）+（x+a）|=|2 x+a-1|，当且仅当（x-1）（x+a）0 时，等号成立当（x-1 ）（x+a）0 时，| f（x）|2 x+a-1|，记其解集为 A，则（2，4）A，若 a-1，显然成立；若 a-1，A=（-，1）（- a，+），-2a-1，所以 a 的取值范围是-2，+）【解析】第 17 页，共 17 页（1）分 3 段去绝对值姐不等式； （2）利用绝对值不等式取等的条件可得本题考查了绝对值不等式，属中档题
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