1、2019 年四川省自贡市第十三中学中考数学模拟试卷（4 月份）一选择题（共 12 小题，满分 48 分，每小题 4 分）1 的倒数是（ ）A2 B2 C D2桂林是世界著名的风景旅游城市和历史文化名城，地处南岭山系西南部，广西东北部，行政区域总面积 27 809 平方公里将 27 809 用科学记数法表示应为（ ）A0.278 0910 5 B27.80910 3C2.780 910 3 D2.780 9 1043下列计算结果等于 x3 的是（ ）Ax 6x2 Bx 4x Cx+x 2 Dx 2x4函数 中自变量 x 的取值范围是（ ）Ax3 Bx3 Cx3 Dx 35在下列命题中，是真命题的
2、是（ ）A两条对角线相等的四边形是矩形B两条对角线互相垂直的四边形是菱形C两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形6下列三视图所对应的直观图是（ ）A BC D7如图，在 RtABC 中，B90，AB3，BC 4，点 D 在 BC 边上（不与点 C 重合），以AC 为对角线作平行四边形 ADCE，连接 DE 交 AC 于点 O设 BDx ，OD 2y，则 y 与 x 之间的函数关系图象大致为（ ）A BC D8已知O 的直径 CD10cm，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 M，且 AB8cm，则 AC 的长为（ ）A2 cm B4 cm C2 cm 或
3、 4 cm D2 cm 或 4 cm9在某个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是 83.3%，下列说法错误的是（ ）A科比罚球投篮 2 次，一定全部命中B科比罚球投篮 2 次，不一定全部命中C科比罚球投篮 1 次，命中的可能性较大D科比罚球投篮 1 次，不命中的可能性较小10已知 5 个正数 a1，a 2，a 3，a 4，a 5 的平均数是 a，且 a1a 2a 3a 4a 5，则数据：a1，a 2，a 3，0，a 4，a 5 的平均数和中位数是（ ）Aa，a 3 Ba，C a， D ，11用半径为 5 的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于（ ）A3 B5 C D12如图，已知
4、AB、AC 分别为O 的直径和弦，D 为 的中点，DE 垂直于 AC 的延长线于 E，连接 BC，若 DE6cm ，CE2cm，下列结论一定错误的是（ ）ADE 是 O 的切线 B直径 AB 长为 20cmC弦 AC 长为 16cm DC 为 的中点二填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）13如果单项式 y 与 2x4yn+3 是同类项，那么 nm 的值是 14甲、乙、丙三人拿出同样多的钱，合伙订购同种规格的若干件商品商品买来后，甲、乙分别比丙多拿了 12、9 件商品，最后结算时，乙付给丙 20 元，那么，甲应付给丙 元15已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程 x26x+80
5、 的两根，则等腰三角形的周长为 16如图，ABC 和DCE 都是边长为 2 的等边三角形，点 B、C、E 在同一条直线上，连接BD，则 BD 的长为 17若关于 x 的方程 无解，则 m 的值是 18如图P 1OA1、P 2A1A2、P 3A2A3、P 2013A2012A2013 是等腰直角三角形，点P1、P 1、P 1、都在函数 y （x 0）的图象上，斜边 OA1、A 1A2、A 2A3、A 2012A2013 都在 x轴上，则 A2013 的坐标为 三解答题（共 8 小题，满分 78 分）19（8 分）计算：| |+（ 1） 0+2sin452cos30+（ ） 1 20（8 分）先化
6、简，再求值（1 ） ，其中 x421（8 分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来22（8 分）2018 年 6 月上海语文把小学教材中“外婆”改成“姥姥一事，引起社会的广泛关注和讨论，明德集团某校文学社就此召开了一次研讨会，为了传承中国传统文化，并组织了一次全体学生“汉字听写”大赛，每位学生听写汉字 39 个，随机抽取了部分学生的听写结果作为样本进行整理，绘制成如下的统计图表：组别正确字数 x 人数A 0x 8 10B 8x 16 15C 16x 24 25D 24x 32 mE 32x 40 n根据以上信息完成下列问题：（1）统计表中的 m ，n ，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中
7、“C 组“ 所对应的圆心角的度数是 ；（3）已知该校共有 600 名学生，如果听写正确的字的个数不少于 24 个定为合格，请你估计该校本次听写比赛合格的学生人数23（10 分）如图，直线 y2x 与反比例函数 y （x0）的图象交于点 A（4，n），ABx 轴，垂足为 B（1）求 k 的值；（2）点 C 在 AB 上，若 OC AC，求 AC 的长；（3）点 D 为 x 轴正半轴上一点，在（2）的条件下，若 SOCD S ACD ，求点 D 的坐标24（10 分）如图，点 O 在 APB 的平分线上， O 与 PA 相切于点 C（1）求证：直线 PB 与O 相切；（2）PO 的延长线与O 交于
8、点 E若O 的半径为 3，PC4求弦 CE 的长25（12 分）如图 1，ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，D、F 分别在 AB、AC边上，此时 BDCF，BD CF 成立（1）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 （090）时，如图 2，BDCF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45时，如图 3，延长 BD 交 CF 于点 G求证： BD CF；当 AB4，AD 时，求线段 BG 的长26（14 分）如图 1，抛物线 yax 2+（a+2）x+2（a0）与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在
9、 x 轴上有一动点 P（m ，0）（0m 4），过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 M（1）求 a 的值；（2）若 PN：MN1：3，求 m 的值；（3）如图 2，在（2）的条件下，设动点 P 对应的位置是 P1，将线段 OP1 绕点 O 逆时针旋转得到 OP2，旋转角为 （0 90），连接 AP2、BP 2，求 AP2+ BP2 的最小值2019 年四川省自贡市第十三中学中考数学模拟试卷（4 月份）参考答案与试题解析一选择题（共 12 小题，满分 48 分，每小题 4 分）1【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可化简绝对值，根据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得
10、答案【解答】解：| |的倒数是 2，故选：B【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数倒数的关键2【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数【解答】解：27 8092.780 910 4故选 D【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3【分析】根据同底数幂的除法、
11、乘法及同类项的定义逐一计算即可得【解答】解：A、x 6x2x 4，不符合题意；B、x 4 x 不能再计算，不符合题意；C、x+x 2 不能再计算，不符合题意；D、x 2xx 3，符合题意；故选：D【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、乘法及同类项的定义4【分析】根据分母不等于 0 列式计算即可得解【解答】解：x30，x3，故选：D【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负5【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱
12、形、矩形、正方形的基本判定性质【解答】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项 A 错误；B、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项 B 错误；C、根据平行四边形的判定定理可知两条平行线相互平分的四边形是平行四边形，为真命题，故选项 C 是正确的；D、两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项 D 错误；故选：C【点评】基本的定义、概念以及一些性质是做题的根本条件，熟练地运用可以为解答更深奥的题目奠定基础6【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的长方体的顶面
13、的两边相切高度相同只有 C 满足这两点，故选 C【点评】本题考查了三视图的概念易错易混点：学生易忽略圆柱的高与长方体的高的大小关系，错选 B7【分析】作 OGBC 于点 G，利用平行四边形的性质构造中位线，从而求得 OG，在根据勾股定理可得 y 的解析式，最后判断大致图象【解答】解：作 OGBC 于点 G，在平行四边形 ADCE 中，COAO，又OGAB，OG AB ，BG ，DG|2x| ，y图象是一条开口向上的抛物线，故选：B【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象三角形的中位线，勾股定理等知识，解题关键是构造直角三角形求出 OD 的平方8【分析】先根据题意画出图形，由于点 C
14、 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论【解答】解：连接 AC，AO， O 的直径 CD10cm ，ABCD，AB8cm，AM AB 84（cm），ODOC5cm ，当 C 点位置如图 1 所示时，OA5cm，AM4cm ，CDAB，OM 3（cm），CMOC+OM5+38（cm），AC 4 （cm）；当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM3cm，OC5cm，MC532（cm），在 Rt AMC 中，AC 2 （cm）故选：C【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键9【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：科比罚球投篮
15、的命中率大约是 83.3%，科比罚球投篮 2 次，不一定全部命中，A 选项错误、B 选项正确；科比罚球投篮 1 次，命中的可能性较大、不命中的可能性较小，C、D 选项说法正确；故选：A【点评】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生10【分析】对新数据按大小排列，然后根据平均数和中位数的定义计算即可【解答】解：由平均数定义可知： （a 1+a2+a3+0+a4+a5） 5a a；将这组数据按从小到大排列为 0，a 5，a 4，a 3，a 2，a 1；由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数其中位数为 故选：D【点评】本题考查了平均数和
16、中位数的定义平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数11【分析】用到的等量关系为：圆锥的弧长底面周长【解答】解：设底面半径为 R，则底面周长2R ，半圆的弧长 252R，R 故选：D【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式，弧长公式求解12【分析】AB 是圆的直径，则ACB90，根据 DE 垂直于 A
17、C 的延长线于 E，可以证得EDBC ，则 DEOD，即可证得 DE 是圆的切线，根据切割线定理即可求得 AC 的长，连接OD，交 BC 与点 F，则四边形 DECF 是矩形，根据垂径定理即可求得半径【解答】解：连接 OD，OCD 是弧 BC 的中点，则 ODBC ，DE 是圆的切线故 A 正确；DE 2CEAE即：362AEAE18，则 ACAE CE 18216cm故 C 正确；AB 是圆的直径ACB90，DE 垂直于 AC 的延长线于 ED 是弧 BC 的中点，则 ODBC ，四边形 CFDE 是矩形CFDE6cmBC2CF12cm在直角ABC 中，根据勾股定理可得：AB 20cm故 B
18、 正确；在直角ABC 中，AC16，AB20，则ABC30，而 D 是弧 BC 的中点弧 AC弧 CD故 D 错误故选：D【点评】本题主要考查了垂径定理，以及切割线定理，利用垂径定理可以把圆的弦、半径的计算转化为解直角三角形二填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）13【分析】根据同类项的概念列式求出 m，n，根据乘方法则计算即可【解答】解：由题意得，2m 4，n+3 1，解得，m2，n2，则 nm（2） 24，故答案为：4【点评】本题考查的是同类项的概念，有理数的乘方，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项14【分析】由条件可知三个人出了同样的钱买所有商品，
19、所以三人在丙买的件数以外还有 21 件商品的钱是丙付的，但是要由三个人均摊，就是说还要各自出 7 件的钱丙出的钱实际上是帮甲垫了 5 件加帮乙垫了 2 件，所以甲、乙该还丙先支付的钱【解答】解：（12+9）37，乙比丙多拿了 2 件，所以一件是 20210 元10（127）50甲付给丙 50 元故答案为：50【点评】本题是一道整式的加减混合运算题考查了学生理解题意的能力，关键知道 20 元是几件商品的钱，求出乙多拿了几件，从而可求出解15【分析】先利用因式分解法解方程得到 x12，x 24，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为 4，底边长为 2，然后计算它的周长【解答】解：（x2）（x
20、4）0，x20 或 x40，所以 x12，x 24，因为 2+24，所以等腰三角形的腰为 4，底边长为 2，所以三角形的周长为 4+4+210故答案为 10【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了三角形三边的关系16【分析】作 DFCE 于 F，构建两个直角三角形，运用勾股定理逐一解答即可【解答】解：过 D 作 DFCE 于 F，根据等腰三角形的三线合一，得：CF1在直角三角形 CDF 中，根据勾股定理，得：DF 23在直角三角形 BDF 中，BF BC+CF 2+13，根据勾股定理得：BD
21、2 【点评】熟练运用等腰三角形的三线合一和勾股定理17【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，确定出 x 的值，代入整式方程计算即可求出 m 的值【解答】解：去分母得：x1m ，由分式方程无解，得到 x20，即 x2，把 x2 代入整式方程得：m 1，故答案为：1【点评】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键18【分析】由P 1OA1 是等腰直角三角形， P1Q1OA 1，可得 P1Q1OQ 1Q 1A1，其它三角形都具有同样的性质，易求 A1（4，0），设 P2Q2a， OQ24+a，P 2（4+a，a），代入 ，得 a（a+4 ）4，解得 ，所以 A2
22、的坐标为 ；同理可求其它各点的坐标【解答】解：P 1OA1 是等腰直角三角形， P1Q1OA 1，P 1Q1OQ 1 Q1A1，设 P1Q1x，则 P1Q1OQ 1Q 1A1x，P 1（x ，x），代入 ，得 x2，P 1（2，2），OA 14，A 1（4，0），设 P2Q2a，OQ 24+a，P 2（4+a，a），代入 ，得 a（a+4 ）4，解得： ， ， ，故 A2 的坐标为 ，同理：可求得 ，故 A2013 的坐标为 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质及反比例函数的性质，解题关键是探寻各个点的横坐标的规律三解答题（共 8 小题，满分 78 分）19【分析】原式利用零指数幂、负整数指
23、数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值【解答】解：原式 +1+2 2 +20182019【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键20【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可【解答】解：原式（ ） ，当 x4 时，原式 【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型21【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上找出解集的公共部分确定出不等式组的解集即可【解答】解：解不等式 x122x，得：x 1，解不等式 ，得：x3，将解集表示在数轴上如下：则不等式组的解集为3x1【点评】此题考查
24、了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，准确求出每个不等式的解集是解本题的关键22【分析】（1）根据 B 组人数以及百分比求出总人数，再根据 D、E 的百分比求出人数即可；（2）根据圆心角360百分比即可；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；【解答】解：（1）总人数1515%100，m10030%30，n10020%20，条形统计图如图所示：故答案为 30，20；（2）扇形统计图中“C 组“ 所对应的圆心角的度数是 36025%90故答案为 90（3）600 300（人），答：估计该校本次听写比赛合格的学生人数为 300 人【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估
25、计总体、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答23【分析】（1）把点 A 坐标代入两个函数解析式即可解决问题（2）设 ACx ，利用勾股定理可得列方程可得 AC 的长；（3）分类讨论 D 的位置，根据已知三角形的面积相等列等式可得结论【解答】解（1）直线 y2x 与反比例函数 y （k0，x0）的图象交于点 A（4，n），n248，A（4，8），k4832，反比例函数为 y （2）设 ACx ，则 OCx，BC 8x ，由勾股定理得：OC 2OB 2+BC2，x 24 2+（8x ） 2，x5，AC5；（3）设点 D 的坐标为（x，0）分两种情况：当 x4 时，如图 1，
26、S OCD S ACD ， ODBC ACBD，3x5（x4），x10，当 0 x4 时，如图 2，同理得：3x5（4x ），x ，点 D 的坐标为（10，0）或（ ，0）【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，学会待定系数法确定函数解析式，理解反比例函数中点和坐标的关系，属于中考常考题型24【分析】（1）连接 OC，作 ODPB 于 D 点证明 ODOC 即可根据角的平分线性质易证；（2）设 PO 交O 于 F，连接 CF根据勾股定理得 PO5，则 PE8证明PCFPEC，得 CF：CEPC：PE1：2 根据勾股定理求解 CE【解答】（1）证明：连接 OC，作 ODPB 于 D 点
27、O 与 PA 相切于点 C，OCPA 点 O 在APB 的平分线上，OCPA，ODPB ，ODOC直线 PB 与O 相切；（2）解：设 PO 交O 于 F，连接 CFOC3，PC4，PO5，PE8 O 与 PA 相切于点 C，PCFE又CPFEPC，PCFPEC，CF：CEPC：PE4：8 1：2EF 是直径，ECF90设 CFx，则 EC2x 则 x2+（2x） 2 62，解得 x 则 EC2x 【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的性质注意：当不知道直线与圆是否有公共点而要证明直线是圆的切线时，可通过证明圆心到直线的距离等于圆的半径，来解决问题25【分析】（1）ABC 是等腰直角三角形
28、，四边形 ADEF 是正方形，易证得BADCAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得 BDCF；（2） 由BADCAF，可得 ABM GCM，又由对顶角相等，易证得BMACMG，根据相似三角形的对应角相等，可得 BGCBAC90，即可证得 BDCF；首先过点 F 作 FNAC 于点 N，利用勾股定理即可求得 AE，BC 的长，继而求得 AN，CN 的长，又由等角的三角函数值相等，可求得 AM AB ，然后利用BMACMG，求得 CG的长，再由勾股定理即可求得线段 BG 的长【解答】解（1）BDCF 成立理由：ABC 是等腰直角三角形，四边形 ADEF 是正方形，ABAC，ADAF，BACDA
29、F90，BADBACDAC，CAF DAF DAC，BADCAF，在BAD 和CAF 中，BADCAF（SAS）BDCF（2） 证明：设 BG 交 AC 于点 MBADCAF（已证），ABM GCMBMA CMG，BMA CMGBGCBAC90BDCF过点 F 作 FNAC 于点 N在正方形 ADEF 中，ADDE ，AE 2，ANFN AE1在等腰直角ABC 中，AB4，CNACAN3，BC 4 在 RtFCN 中，tan FCN 在 RtABM 中，tan ABM tanFCN AM AB CMACAM 4 ，BM BMA CMG， CG 在 RtBGC 中，BG 【点评】此题考查了相似三
30、角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法26【分析】（1）把 A 点坐标代入可得到关于 a 的方程，可求得 a 的值；（2）由OABPAN 可用 m 表示出 PN，且可表示出 PM，由条件可得到关于 m 的方程，则可求得 m 的值；（3）在 y 轴上取一点 Q，使 ，可证得P 2OB QOP2，则可求得 Q 点坐标，则可把AP2+ BP2 化为 AP2+QP2，利用三角形三边关系可知当 A、P 2、Q 三点在一条线上时有最小值，则可求得答案【解答】解：（1）A（4，0
31、）在抛物线上，016a+4（a+2 ）+2，解得 a ；（2）由（1）可知抛物线解析式为 y x2+ x+2，令 x0 可得 y2，OB2，OPm，AP4m，PMx 轴，OABPAN， ，即 ，PN （4 m），M 在抛物线上，PM m2+ m+2，PN：MN1：3，PN：PM1 ：4， m2+ m+24 （4m），解得 m3 或 m4（舍去）；（3）在 y 轴上取一点 Q，使 ，如图，由（2）可知 P1（3，0），且 OB2， ，且P 2OBQOP 2，P 2OB QOP2， ，当 Q（0， ）时 QP2 BP2，AP 2+ BP2AP 2+QP2AQ，当 A、P 2、Q 三点在一条线上时， AP2+QP2 有最小值，A（4，0），Q（0， ），AQ ，即 AP2+ BP2 的最小值为 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形三边关系等知识在（2）中用 m 分别表示出 PN 和 PM 是解题的关键，在（3）确定出取得最小值时的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是（3）中构造三角形相似，难度较大
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