1、高三数学（理）二模试题 1 / 17是 否 2019 年房山区第二次高考模拟检测试题高三数学 （理科） 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）复数 ，其中 是虚数单位，则2izi=z(A) 5(B) 1(C) 3(D) 5（2）下列函数中为偶函数的是(A) 3yx(B) 24yx(C) (D) 1（3）执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为(A) 4(B)
2、5(C) 8(D)9 开始S=0， n=1a=7-2nn=n+1S=S+aa0输出 S结束高三数学（理）二模试题 2 / 17（4）已知某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该四面体的四个面中直角三角形的个数为（4）直线 （ 为参数）与圆 （ 为参数）的位置关系为1,xtyt2cos,inxy(A) 相离 (B) 相切(C) 相交且直线过圆心 (D)相交但直线不过圆心（5）五名同学相约去国家博物馆参观“伟大的变革 庆祝改革开放 40 周年大型展览”，参观结束后五名同学排成一排照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排法共有(A) 种36(B) 种48(C) 种
3、72(D)种120（7）不等式组 表示的平面区域为 ，则1,2xy D(A) (,),D (B) (,),2xyy(C) 2xyy (D) （8）在正方体 中，动点 在棱 上，动点 在线段 上，1ABCE1BF1AC为底面 的中心，若 ，则四面体 的体积O1,xAFyOE(A) 4(B) 3(C) 2(D)1(A) 与 都有关,xy(B) 与 都无关(C) 与 有关，与 无关(D)与 有关，与 无关yx主主主主FEDCBOD1AA1 C1B1高三数学（理）二模试题 3 / 17第二部分（非选择题 共 110 分）2、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）双曲线 的一条渐近线方
4、程为 ，则离心率等于 .21(0,)xyab2yx（10）设 为等差数列 的前 项和， ， ，则 = .nSn14a6817S（11）在以 为边， 为对角线的矩形中， ，则实数 .ABC(3,)(,)ABCkk（12）设 ，且 ，能说明“若 ，则 ”为假命题的一,abR1,abloglaba组 的值依次为 .（13）将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则()sin2fx6()gx的()gx解析式为 ；对于满足 的 ， 的最小值()gx12()fxg12,x12x等于 .（14）已知函数当 时， 的最小值等于 2,30,() .xaxf 0a()fx；若对于定义域内的任意 ， 恒成
5、立，则实数 的取值范围是 x()fx a三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)（本小题 13 分）已知在 中， ABC22acb（）求角 的大小； （）求 的最大值cos高三数学（理）二模试题 4 / 17(16)（本小题 13 分）为降低空气污染，提高环境质量，政府决定对汽车尾气进行整治.某厂家生产甲、乙两种不同型号的汽车尾气净化器，为保证净化器的质量，分别从甲、乙两种型号的净化器中随机抽取 100 件作为样本进行产品性能质量评估，评估综合得分 都在区间m.已知评估综合得分与产品等级如下表：70,95根据 评估综合得分，统计整理得到了甲型号的样
6、本频数分布表 和乙型号的样本频率分布直方图（图表如下）.甲型 乙型（）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，估计这件产品为二级品的概率；（）从厂家生产的乙型净化器中随机抽取 3 件，设随机变量 为其中二级品的个数，X求 的分布列和数学期望；X（ ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两种型号汽车尾气净化器的优劣情况进行比较.综合得分 m等级85一级品7二级品0三级品综合得分 频数,)108530,9)40020合计 100主 主0 9508507500.60.32.1高三数学（理）二模试题 5 / 17(17)（本小题 14 分）已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂直， ，点 在线ABCDEF2
7、,1ABFM段 上 .EF（）若 为 的中点，求证： 平面 ；MAM:DE（）求二面角 的余弦值；（）证明：存在点 ，使得 平面 ，并求BF的值.EFABCDEF高三数学（理）二模试题 6 / 17(18)（本小题 13 分）已知抛物线 过点)0(2pyx(2,1).（）求抛物线的方程和焦点坐标；（）过点 的直线 与抛物线交于两点 ，点 关于 轴的对称点为 ，(0,4)AlMN,yT试判断直线 是否过定点，并加以证明.TN高三数学（理）二模试题 7 / 17(19)（本小题 14 分）已知函数 .21()2sin+,()cosfxxgxm（）求曲线 在 处的切线方程；y0（）求 在 上的单调区
8、间；()fx,（）当 时，证明： 在 上存在最小值.1m()gx0,高三数学（理）二模试题 8 / 17(20)（本小题 13 分）设 是不小于 3 的正整数，集合 ，n12(,)|0,1,2nniSaain 对于集合 中任意两个元素 ， .S12(,)A 12(,)nBb定义 1： . 1(|)nABab定义 2：若 ，则称 ， 互为相反元素，记作012(,)a 12(,)n，或 .（）若 ， ， ，试写出 ， ，以及 的值；3n(,)A(,0)BAB（）若 ，证明： ；,nBSAn（）设 是小于 的正奇数，至少含有两个元素的集合 ，且对于集合 中任k nMS意两个不相同的元素 ， ，都有
9、，试求12(,)na 12(,)Bb ABk集合 中元素个数的所有可能值.M高三数学（理）二模试题 9 / 17房山区 2019 年高考第二次模拟测试答案高三数学（理） 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B D A D C C B二、填空题（9） （10） （11） 5 4（12） 答案不唯一 （13） （14）13, sin(2);3x13,三、解答题（15） （本小题 13 分）（） 由余弦定理得 221cos=acbacB角 为三角形内角 5 分B3（）由（）可得 2ACB6 分A32=cosCcos32= cosin32i= 1cosis2CC高三数学（理）二模试
10、题 10 / 17= 31sincos2C= coi66= 10 分sin320C656C1sin1的最大值是 1 13 分Aco（16） （本小题 13 分）（）设“从厂家生产的乙型净化器中随机抽取一件，这件产品为二级品”为事件 A由图可得 .3 分()0.23)50.2PA（） 的可能取值为X,10337()46C123()PX2139()46C.8 分30()PX所以 的分布列为0 1 2 3高三数学（理）二模试题 11 / 17P276427649641.9 分方法一： 10 分 3012EX方法二： 服从二项分布 所以(3,0.5)B:()0.25.7EXnp（）答案不唯一，只要有数
11、据支撑，言之有理可得分（下面给出两种参考答案）（1）可根据三级品率进行比较，由图表可知甲型产品三等品概率为 0，乙型三等品概率0.05.所以可以认为甲型产品的质量更好；（2）可根据一级品率进行比较，由图表可知甲型产品一等品概率为 0.6，乙型一等品概率为 0.7.所以可以认为乙型产品的质量更好；13 分（17） （本小题 14 分）（）设 ，连结 ，=ACBDOE因为 正方形 ，所以 为 中点AC又 矩形 , 为 的中点EFM所以 且 2 分/所以 为平行四边形OA所以 4 分/E又 平面 ， 平面MBDBDE所以 平面 5 分A:（）以 为原点，分别以 为 轴建立坐标系 -C,C,xyzCx
12、yz则 (2,0)(,)(2,0)(,1)BDF,D z yx ABCDEFMO高三数学（理）二模试题 12 / 17设平面 的法向量为 ，BDF(,)nxyz由 得0n20z则 7 分(1,)易知 平面 的法向量 8 分ABF(0,1)m6cos,nm由图可知 二面角 为锐角 ABFD所以 二面角 的余弦值为10 分6（）设 ，则 0(,1)Mx0(2,1)Ax若 平面 则 ，即 12 分ABDF/n0,/(,2)所以 解得所以012x032x3(,1)2M所以 14 分=4EMF（18） （本小题 13 分）（）因为抛物线 过点 ，所以)0(2pyx(2,1)P2=4所以抛物线方程为 ，焦
13、点坐标为 4 分40,（）设直线 的方程为 , lykx由消 整理得 ， 6 分24ykx24160高三数学（理）二模试题 13 / 17则 ，即 21640k|2k设 则12(,)(,)MxyNT1(,)xy且 . 8 分 16k直线 221:()yTx2212221122()44 4xyxxxy12 分即 21x所以，直线 恒过定点 . 13 分TN(0,4)（19） （本小题 13 分）（）因为 ，所以()2sin1fxx()12cosfxx则 ， ，所以切线方程为 4 分01f y（）令 ，即 ， ，得()fxcos2x0,3x当 变化时， 变化如下：,()fx0,33(,)3高三数学
14、（理）二模试题 14 / 17()fx0 减 最小值 增所以函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 8 分fx(0)3(,)3（）因为 ，所以21()cosgmx()singxm令 ，则 9 分()inhxx1coh因为 ， 所以1m(0,1)所以即 在 内有唯一解()cos,hxx1cosxm0,0x当 时， ，当 时， ，0,()00,()hx所以 在 上单调递减,在 上单调递增. 11 分hxx所以 ，又因为 0()()h所以 在 内有唯一零点 12 分sinxmx0,1x当 时， 即 ，1,()h()gx当 时， 即 ， 13 分x0x所以 在 上单调递减,在 上单调递增.g11,x
15、所以函数 在 处取得最小值x即 时，函数 在 上存在最小值m0,14 分高三数学（理）二模试题 15 / 17（20） （本小题 13 分）（） ， ， 3 分(1,0)A(,01)B2AB（）设 ， ， ，2na (,)nb 12(,)nx由 ，可得 ，,iibxi |ia,i所以 ，12|nxx当且仅当 ， ，即 ， 时上式“=”成ia1,i 1ii,2n立由题意可知 12(|)0nAnaxax即 12| nax所以 ，ii,AB1|(1)|ni iiiabab2(|0|iii1)niib8 分（）解法 1：假设 ， ， 为集合12(,)nAa 12(,)nBb 12(,)nCc中的三个不
16、相同的元素.M则 12|nBnbak即 12| nak又由题意可知 或 1，|0i,i恰有 个 1，与 个 012|,|nba设其中 个等于 1 的项依次为k12|,|,|kkmmmbaab个等于 0 的项依次为n122| |,|kkk n由题意可知 12(| |)nACacc高三数学（理）二模试题 16 / 17所以 ，同理11|ii jjknmmi jkacack11|ii jjknmmi jkbcbck所以 1111|2ii jj ii jjkn ni jki jk即 |iiii jj jjk nmmmmi jkkacbcacbc 因为 12|kb由（2）可知 |iiiikmmicc因为
17、 1122|0kkkknm mabaa所以 ，1|jj jjnnmjkjkcbc设 ，由题意可知1|jj jjmjkjkap pN所以 ，得 与 为奇数矛盾2p2所以假设不成立，即集合 中至多有两个元素M当 时符合题意(,0,)(0,knk 个 个所以集合 中元素的个数只可能是 2 13 分解法 2：假设 ， ， 为集合 中12(,)nAa 12(,)nBb 12(,)nCc M的三个不相同的元素.则 12|nBnbak即 12| nk又由题意可知 或 1，|0ia,i恰有 个 1，与 个 012|,|nb设其中 个等于 1 的项依次为k12|,|,|kkmmmabab个等于 0 的项依次为n122| |,|kkk n由题意可知 12(| |)nACcc高三数学（理）二模试题 17 / 17所以 11|ii jjknmmi jkacack同理 |ii jjki jkbb得 1(|)0iiiikmmiac又因为 为奇数1|iiiiki b 1(|)i ikmic12ikmic与 矛盾1(|)0iiiikmmiac所以假设不成立，即集合 中至多有两个元素M当 时符合题意(,0,)(,knk 个 个所以集合 中元素的个数只可能是 2
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