1、2019 年四川省达州市开江县中考数学一模试卷一、选择题：（每小题 3 分，共 30 分）每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请你将正确的选项填入题后的括号内.1（3 分）向东行驶 5km，记作+5km ，向西行驶 2km 记作（ ）A+2 km B2km C+5km D5km2（3 分）2014 年 5 月 21 日，中国石油天然气集团公司与俄罗斯天然气工业股份公司在上海签署了中俄东线供气购销合同，这份有效期为 30 年的合同规定，从 2018 年开始供气，每年的天然气供应量为 380 亿立方米，380 亿立方米用科学记数法表示为（ ）A3.8010 10m3 B3810 9m3
2、C38010 8m3 D3.810 11m33（3 分）下列计算正确的是（ ）A（a+b） 2 a2+b2 B（2a 2） 24a 4Ca 5a3a 2 Da 4+a7 a114（3 分）已知函数 y ，则自变量 x 的取值范围是（ ）A1x1 Bx1 且 x1 Cx1 Dx 15（3 分）下列说法正确的是（ ）A了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况 ”最适合的调查方式是全面调查B甲乙两人跳绳各 10 次，其成绩的平均数相等， S 甲 2S 乙 2，则甲的成绩比乙稳定C三张分别画有菱形，等边三角形，圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形卡片的概率是D“任意画一个三角形，其内角
3、和是 360”这一事件是不可能事件6（3 分）小颖同学到学校领来 n 盒粉笔，整齐地摞在讲桌上，其三视图如图，则 n 的值是（ ）A6 B7 C8 D97（3 分）如图，A，B，C，D 为O 的四等分点，动点 P 从圆心 O 出发，沿OCDO 路线作匀速运动，设运动时间为 t（s）APBy（），则下列图象中表示 y 与 t 之间函数关系最恰当的是（ ）A BC D8（3 分）如图，在ABC 中，BF 平分ABC ，AF BF，D 为 AB 中点，连接 DF 并延长交 AC 与点 E，若 AB12，BC 20，则线段 EF 的长为（ ）A3 B4 C5 D69（3 分）如图，菱形 ABCD 的边
4、 ADy 轴，垂足为点 E，顶点 A 在第二象限，顶点 B在 y 轴的正半轴上，反比例函数 y （k 0，x0）的图象同时经过顶点 C，D若点C 的横坐标为 5，BE3DE，则 k 的值为（ ）A B3 C D510（3 分）已知二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，OA OC，则由抛物线的特征写出如下含有 a、b、c 三个字母的等式或不等式： 1；ac+b+10；abc0； ab+c 0其中正确的个数是（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个二、填空题（本题 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分把最后答案直接填在题中的横线上）11（3 分）分解因式：x 39x 12（3 分
5、）已知一元二次方程 x28x+150 的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长，则ABC 的周长为 13（3 分）如图，量角器的 0 度刻度线为 AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点 C，直尺另一边交量角器于点 A， D，量得 AD10cm ，点 D 在量角器上的读数为 60，则该直尺的宽度为 cm14（3 分）若|3x 2y1|+ 0，则 xy 15（3 分）如图，矩形 ABCD 中，点 P、Q 分别是边 AD 和 BC 的中点，沿过 C 点的直线折叠矩形 ABCD 使点 B 落在线段 PQ 上的点 F 处，折痕交 AB 边于点 E，交线段 PQ 于点 G，若
6、BC 长为 3，则线段 FG 的长为 16（3 分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OAA1 的直角边 OA 在 x 轴上，点 A1 在第一象限，且 OA1 ，以点 A1 为直角顶点，0 A1 为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点 A2 为直角顶点， OA2 为直角边作等腰直角三角形 OA2A3依此规律，则点 A2019 的坐标是 三、解答题（72 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（6 分）计算：（ ） 1 +（ 1） 0+2sin45+| 2|18（6 分）先化简再求值：（ ） ，其中 x 是不等式组的整数解19（7 分）为了解某中学学生课余生活情况
7、，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计现从该校随机抽取 n 名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图由图中提供的信息，解答下列问题：（1）求 n 的值；（2）若该校学生共有 1200 人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）若调查到喜爱体育活动的 4 名学生中有 3 名男生和 1 名女生，现从这 4 名学生中任意抽取 2 名学生，求恰好抽到 2 名男生的概率20（6 分）如图，某测量小组为了测量山 BC 的高度，在地面 A 处测得山顶 B 的仰角45，然后沿着坡
8、度为 i1： 的坡面 AD 走了 200 米达到 D 处，此时在 D 处测得山顶 B 的仰角为 60，求山高 BC（结果保留根号）21（7 分）某车行去年 A 型车的销售总额为 6 万元，今年每辆车的售价比去年减少 400元若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少 20%（1）求今年 A 型车每辆车的售价（2）该车行计划新进一批 A 型车和 B 型车共 45 辆，已知 A、B 型车的进货价格分别是1100 元、1400 元，今年 B 型车的销售价格是 2000 元，要求 B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？22（9 分）已知：如图，在A
9、BC 中，ABAC ，点 P 是底边 BC 上一点且满足PA PB，O 是PAB 的外接圆，过点 P 作 PDAB 交 AC 于点 D（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若 BC8，tanABC ，求O 的半径23（9 分）如图，A（4，3）是反比例函数 y 在第一象限图象上一点，连接 OA，过A 作 ABx 轴，截取 ABOA（B 在 A 右侧），连接 OB，交反比例函数 y 的图象于点 P（1）求反比例函数 y 的表达式；（2）求点 B 的坐标；（3）求OAP 的面积24（10 分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图 1，在等腰直角ABC 中，ABAC ，BAC90，小敏将一块
10、三角板中含 45角的顶点放在 A 上，从 AB 边开始绕点 A 逆时针旋转一个角 ，其中三角板斜边所在的直线交直线 BC 于点 D，直角边所在的直线交直线 BC 于点 E（1）小敏在线段 BC 上取一点 M，连接 AM，旋转中发现：若 AD 平分BAM ，则 AE也平分MAC请你证明小敏发现的结论；（2）当 045时，小敏在旋转中还发现线段 BD、CE、DE 之间存在如下等量关系：BD 2+CE2DE 2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将ABD 沿 AD 所在的直线对折得到ADF，连接 EF（如图 2）小亮的想法：将ABD 绕点 A 逆时针旋转 90得到ACG，连
11、接 EG（如图 3）；请你从中任选一种方法进行证明；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当 45135且 90时，等量关系BD2+CE2DE 2 仍然成立，先请你继续研究：当 135180时（如图 4）等量关系 BD2+CE2DE 2 是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由25（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2+bx+c 交 x 轴于 A、B 两点，交y 轴于点 C（0 ， ），OA1，OB4，直线 l 过点 A，交 y 轴于点 D，交抛物线于点 E，且满足 tanOAD （1）求抛物线的解析式；（2）动点 P 从点 B 出发，沿 x 轴正方形以每秒 2 个
12、单位长度的速度向点 A 运动，动点Q 从点 A 出发，沿射线 AE 以每秒 1 个单位长度的速度向点 E 运动，当点 P 运动到点 A时，点 Q 也停止运动，设运动时间为 t 秒在 P、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻 t，使得ADC 与PQA 相似，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由在 P、Q 的运动过程中，是否存在某一时刻 t，使得APQ 与CAQ 的面积之和最大？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由2019 年四川省达州市开江县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题 3 分，共 30 分）每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，请你将正确的选项
13、填入题后的括号内.1（3 分）向东行驶 5km，记作+5km ，向西行驶 2km 记作（ ）A+2 km B2km C+5km D5km【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向东记为正，可得答案【解答】解：向东行驶 5km，记作+5km ，向西行驶 2km 记作2km，故选：B【点评】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示2（3 分）2014 年 5 月 21 日，中国石油天然气集团公司与俄罗斯天然气工业股份公司在上海签署了中俄东线供气购销合同，这份有效期为 30 年的合同规定，从 2018 年开始供气，每年的天然气供应量为 380 亿立方米，380 亿立方米用科学记数法表示为（
14、 ）A3.8010 10m3 B3810 9m3C38010 8m3 D3.810 11m3【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 380 亿立方米用科学记数法表示为：3.8010 10m3故选：A【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）下列计算正确的是
15、（ ）A（a+b） 2 a2+b2 B（2a 2） 24a 4Ca 5a3a 2 Da 4+a7 a11【分析】根据完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法运算法则逐一计算可得【解答】解：A、（a+b） 2a 2+2ab+b2，此选项错误；B、（2a 2） 24a 4，此选项计算错误；C、a 5a3a 2，此选项计算正确；D、a 4，a 7 不是同类项，此选项计算错误；故选：C【点评】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法运算法则及同类项概念等知识点4（3 分）已知函数 y ，则自变量 x 的取值范围是（ ）A1x1 Bx1 且 x1 C
16、x1 Dx 1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，就可以求解【解答】解：根据题意得： ，解得：x1 且 x1故选：B【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数5（3 分）下列说法正确的是（ ）A了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况 ”最适合的调查方式是全面调查B甲乙两人跳绳各 10 次，其成绩的平均数相等， S 甲 2S 乙 2，则甲的成绩比乙稳定C三张分别画有菱形
17、，等边三角形，圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形卡片的概率是D“任意画一个三角形，其内角和是 360”这一事件是不可能事件【分析】根据随机事件的概念以及概率的意义结合选项可得答案【解答】解：A、了解“孝感市初中生每天课外阅读书籍时间的情况”最适合的调查方式是抽样调查，此选项错误；B、甲乙两人跳绳各 10 次，其成绩的平均数相等，S 甲 2S 乙 2，则乙的成绩比甲稳定，此选项错误；C、三张分别画有菱形，等边三角形，圆的卡片，从中随机抽取一张，恰好抽到中心对称图形卡片的概率是 ，此选项错误；D、“任意画一个三角形，其内角和是 360”这一事件是不可能事件，此选项正确；故选：D【点评
18、】此题主要考查了概率的意义，关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别6（3 分）小颖同学到学校领来 n 盒粉笔，整齐地摞在讲桌上，其三视图如图，则 n 的值是（ ）A6 B7 C8 D9【分析】易得这个几何体共有 3 层，由俯视图可得第一层盒数，由正视图和左视图可得第二层，第三层盒数，相加即可【解答】解：由俯视图可得最底层有 4 盒，由正视图和左视图可得第二层有 2 盒，第三层有 1 盒，共有 7 盒，故选：B【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案7（3 分）如图，A，B，C，
19、D 为O 的四等分点，动点 P 从圆心 O 出发，沿OCDO 路线作匀速运动，设运动时间为 t（s）APBy（），则下列图象中表示 y 与 t 之间函数关系最恰当的是（ ）A BC D【分析】本题考查动点函数图象的问题【解答】解：当动点 P 在 OC 上运动时，APB 逐渐减小；当 P 在 上运动时，APB 不变；当 P 在 DO 上运动时，APB 逐渐增大故选：C【点评】本题主要考查学生对圆周角、圆内的角及函数图象认识的问题要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象8（3 分）如图，在ABC 中，BF 平分ABC ，AF BF，D 为
20、AB 中点，连接 DF 并延长交 AC 与点 E，若 AB12，BC 20，则线段 EF 的长为（ ）A3 B4 C5 D6【分析】由直角三角形的性质可求得 DFBD AB，由角平分线的定义可证得DEBC，利用三角形中位线定理可求得 DE 的长，则可求得 EF 的长【解答】解：AFBF ，D 为 AB 的中点，DFDB AB6，DBFDFB，BF 平分ABC，DBFCBF，DFBCBF，DEBC，DE 为ABC 的中位线，DE BC10，EFDE DF1064，故选：B【点评】本题主要考查直角三角形的性质及中位线定理，利用直角三角形的性质求得DF、利用中位线定理求得 DE 是解题的关键9（3
21、分）如图，菱形 ABCD 的边 ADy 轴，垂足为点 E，顶点 A 在第二象限，顶点 B在 y 轴的正半轴上，反比例函数 y （k 0，x0）的图象同时经过顶点 C，D若点C 的横坐标为 5，BE3DE，则 k 的值为（ ）A B3 C D5【分析】由已知，可得菱形边长为 5，设出点 D 坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出 k 值【解答】解：过点 D 做 DFBC 于 F由已知，BC5四边形 ABCD 是菱形DC5BE3DE设 DEx，则 BE3xDF3x，BFx ，FC5x在 Rt DFC 中，DF2+FC2DC 2（3x） 2+（5x ） 25 2解得 x1DE1，FD3设 OBa则点
22、 D 坐标为（1，a+3），点 C 坐标为（5，a）点 D、C 在双曲线上1（a+3）5aa点 C 坐标为（5， ）k故选：C【点评】本题是代数几何综合题，考查了数形结合思想和反比例函数 k 值性质解题关键是通过勾股定理构造方程10（3 分）已知二次函数 yax 2+bx+c 的图象如图所示，OA OC，则由抛物线的特征写出如下含有 a、b、c 三个字母的等式或不等式： 1；ac+b+10；abc0； ab+c 0其中正确的个数是（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a0，1c0，b0，再对各结论进行判断【解答】解： 1，抛物线顶点纵坐标
23、为1，正确；ac+b+10，设 C（0，c），则 OC|c |，OAOC|c|，A（c ，0）代入抛物线得 ac2+bc+c0，又 c0，ac+b+10，故正确；abc0，从图象中易知 a0，b0，c0，故正确；ab +c0，当 x1 时 yab+c，由图象知（1，ab+c）在第二象限，ab+c0，故正确故选：A【点评】本题考查了二次函数的性质，重点是学会由函数图象得到函数的性质二、填空题（本题 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分把最后答案直接填在题中的横线上）11（3 分）分解因式：x 39x x （x+3）（x3） 【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式【解答】解：原式x（x
24、 29）x（x+3）（x3），故答案为：x（x +3）（x 3）【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式，注意分解要彻底12（3 分）已知一元二次方程 x28x+150 的两个解恰好分别是等腰ABC 的底边长和腰长，则ABC 的周长为 11 或 13 【分析】将已知方程左边的多项式分解因式，再利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到 x 的值，分两种情况考虑，分别求出周长即可【解答】解：x 28x +150，分解因式得：（x3）（x 5）0，可得 x30 或 x50，解得：x 13，x 25，若 3 为底边，5 为腰时，三边长
25、分别为 3，5，5，周长为 3+5+513；若 3 为腰，5 为底边时，三边长分别为 3，3，5，周长为 3+3+511，综上，ABC 的周长为 11 或 13故答案为：11 或 13【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，求出方程的解是解本题的关键13（3 分）如图，量角器的 0 度刻度线为 AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点 C，直尺另一边交量角器于点 A， D，量得 AD10cm ，点 D 在量角器上的读数为 60，则该直尺的宽度为 cm【分析】连接 OC，利用垂径定理解答即可【解答】解：连接 OC，直尺一边与量角器
26、相切于点 C，OCAD，AD10，DOB 60，DAO 30 ，OE ，OA ，CEOCOEOAOE ，故答案为：【点评】此题考查垂径定理，关键是利用垂径定理解答14（3 分）若|3x 2y1|+ 0，则 xy 0 【分析】根据绝对值的定义和算术平方根的定义，得到关于 x 和 y 的二元一次方程组，利用加减消元法解之，求出 x 和 y 的值，代入 xy，计算求值即可【解答】解：根据题意得：，方程可整理得：，+2 得：5x5，解得：x1，把 x1 代入得：1+y2，解得：y1，原方程组的解为： ，xy110，故答案为：0【点评】本题考查了解二元一次方程组，非负数的性质：绝对值，非负数的性质：算术
27、平方根，正确掌握绝对值和算术平方根的定义和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键15（3 分）如图，矩形 ABCD 中，点 P、Q 分别是边 AD 和 BC 的中点，沿过 C 点的直线折叠矩形 ABCD 使点 B 落在线段 PQ 上的点 F 处，折痕交 AB 边于点 E，交线段 PQ 于点 G，若 BC 长为 3，则线段 FG 的长为 【分析】先根据EFC 由EBC 折叠而成可知EFC EBC，故34，BEFC90，BC CF 3，由于 Q 是 BC 的中点可知 CQ BC 故130，260所以FCQ60，故3430，在 RtBEC 中，由直角三角形的性质可得出 BE 的长，再由三角形外角的性
28、质即可得出560，故可得出EFG 是等边三角形，故可得出结论【解答】解：EFC 由EBC 折叠而成，EFCEBC，34，BEFC90，BC CF 3，Q 是 BC 的中点，CQ BC，130，260，FCQ60，3430，在 Rt BEC 中，330，BEBCtan303 ，EFBE ，5 是CGF 的外角，51+460，5260，EFG 是等边三角形，GFEF 故答案为： 【点评】本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键16（3 分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OAA1 的直角边 OA
29、 在 x 轴上，点 A1 在第一象限，且 OA1 ，以点 A1 为直角顶点，0 A1 为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点 A2 为直角顶点， OA2 为直角边作等腰直角三角形 OA2A3依此规律，则点 A2019 的坐标是 （2 1009，2 1009） 【分析】利用等腰直角三角形的性质可得出部分点 An 的坐标，根据点的坐标的变化可得出变化规律“点 A8n+3 的坐标为（2 4n+1，2 4n+1）（n 为自然数）”，结合20192528+3 即可得出点 A2019 的坐标【解答】解：由等腰直角三角形的性质，可知：A 1（1，1），A 2（0，2），A3（2，2），A 4（0，4）
30、，A 5（4，4），A 6（0，8），A 7（8，8），A8（16，0），A 9（16，16），A 10（0，32），A 11（32，32），点 A8n+3 的坐标为（ 2 4n+1，2 4n+1）（n 为自然数）20192528+3，点 A2019 的坐标为（2 4252+1，2 4252+1），即（2 1009，2 1009），故答案为：（2 1009，2 1009）【点评】本题考查了等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“点 A8n+3 的坐标为（2 4n+1，2 4n+1）（n 为自然数）”是解题的关键三、解答题（72 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过
31、程或演算步骤）17（6 分）计算：（ ） 1 +（ 1） 0+2sin45+| 2|【分析】接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案【解答】解：原式3+1+2 +24+ +26【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键18（6 分）先化简再求值：（ ） ，其中 x 是不等式组的整数解【分析】化简后代入计算即可；【解答】解：原式 ，不等式组 的解集为4x2，不等式的整数解为 x3，当 x3 时，原式2【点评】本题考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式
32、或整式，代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为 019（7 分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计现从该校随机抽取 n 名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图由图中提供的信息，解答下列问题：（1）求 n 的值；（2）若该校学生共有 1200 人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）若调查到喜爱体
33、育活动的 4 名学生中有 3 名男生和 1 名女生，现从这 4 名学生中任意抽取 2 名学生，求恰好抽到 2 名男生的概率【分析】（1）用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到 n 的值；（2）先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用 1200 乘以样本中喜爱看电视人数所占的百分比可估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）画树状图展示 12 种等可能的结果数，再找出恰好抽到 2 名男生的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）n510%50；（2）样本中喜爱看电视的人数为 501520510（人），1200 240，所以估计该校喜爱看电视的学生人数为 240 人；（3）画树状图为：共有 12
34、 种等可能的结果数，其中恰好抽到 2 名男生的结果数为 6，所以恰好抽到 2 名男生的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率也考查了统计图20（6 分）如图，某测量小组为了测量山 BC 的高度，在地面 A 处测得山顶 B 的仰角45，然后沿着坡度为 i1： 的坡面 AD 走了 200 米达到 D 处，此时在 D 处测得山顶 B 的仰角为 60，求山高 BC（结果保留根号）【分析】作 DFAC 于 F解直角三角形分别求出 BE、EC 即可解决问题；【解答】
35、解：作 DFAC 于 FDF：AF1： ，AD200 米，tanDAF ，DAF30，DF AD 200100（米），DECBCADFC90，四边形 DECF 是矩形，ECDF100（米），BAC45，BCAC，ABC45，BDE60，DE BC，DBE90BDE 906030，ABDABCDBE453015，BADBAC1453015，ABDBAD，ADBD 200（米），在 Rt BDE 中，sinBDE ，BEBD sinBDE 200 100 （米），BCBE+EC100+100 （米）【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
36、构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型21（7 分）某车行去年 A 型车的销售总额为 6 万元，今年每辆车的售价比去年减少 400元若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少 20%（1）求今年 A 型车每辆车的售价（2）该车行计划新进一批 A 型车和 B 型车共 45 辆，已知 A、B 型车的进货价格分别是1100 元、1400 元，今年 B 型车的销售价格是 2000 元，要求 B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？【分析】（1）设今年 A 型车每辆售价为 x 元，则去年每辆售价为（x+400）元，根据数量总价单价，即可得出关于 x
37、的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设今年新进 A 型车 a 辆，销售利润为 y 元，则新进 B 型车（45a）辆，根据销售利润单辆利润销售数量，即可得出 y 关于 a 的函数关系式，由 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之即可得出 a 的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）设今年 A 型车每辆售价为 x 元，则去年每辆售价为（x+400）元，根据题意得： ，解得：x1600，经检验，x1600 是原分式方程的解，今年 A 型车每辆车售价为 1600 元（2）设今年新进 A 型车 a 辆，销售利润为 y 元，
38、则新进 B 型车（45a）辆，根据题意得：y（16001100）a+（20001400）（45a）100a+27000B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，45a2a，解得：a151000，y 随 a 的增大而减小，当 a15 时，y 取最大值，最大值10015+2700025500，此时 45a30答：购进 15 辆 A 型车、30 辆 B 型车时销售利润最大，最大利润是 25500 元【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用一次函数的性质求出最大利润22（9 分）已知：如图，在ABC 中
39、，ABAC ，点 P 是底边 BC 上一点且满足PA PB，O 是PAB 的外接圆，过点 P 作 PDAB 交 AC 于点 D（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若 BC8，tanABC ，求O 的半径【分析】（1）先根据圆的性质得： ，由垂径定理可得：OP AB，根据平行线可得：OPPD，所以 PD 是O 的切线；（2）如图 2，作辅助线，构建直角三角形，设O 的半径为 r，根据勾股定理列方程可得 r 的值【解答】（1）证明：如图 1，连接 OP，PAPB， ，OPAB，PDAB，OPPD ，PD 是 O 的切线；（2）如图 2，过 A 作 AHBC 于 H，连接 OA，OP，OP 交 A
40、B 于 E，ABAC，BH BC 4，RtABH 中，tan ABC ，AH2 ，AB 2 ，BE ，PE ，设 O 的半径为 r，则 OAr，OEr ，由勾股定理得： ，r ，答： O 的半径是 【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角函数和勾股定理的计算，利用勾股定理列方程是解题的关键23（9 分）如图，A（4，3）是反比例函数 y 在第一象限图象上一点，连接 OA，过A 作 ABx 轴，截取 ABOA（B 在 A 右侧），连接 OB，交反比例函数 y 的图象于点 P（1）求反比例函数 y 的表达式；（2）求点 B 的坐标；（3）求OAP 的面积【分析】（1）
41、将点 A 的坐标代入解析式求解可得；（2）利用勾股定理求得 ABOA5，由 ABx 轴即可得点 B 的坐标；（3）先根据点 B 坐标得出 OB 所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点 P 的坐标，再利用割补法求解可得【解答】解：（1）将点 A（4，3）代入 y ，得：k 12，则反比例函数解析式为 y ；（2）如图，过点 A 作 ACx 轴于点 C，则 OC4、AC3，OA 5，ABx 轴，且 ABOA5，点 B 的坐标为（9，3）；（3）点 B 坐标为（9，3），OB 所在直线解析式为 y x，由 可得点 P 坐标为（6，2），过点 P 作 PD x 轴，延长 DP 交 AB 于点 E，则
42、点 E 坐标为（6，3），AE2、PE1、PD2，则OAP 的面积 （2+6）3 62 215【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及求直线、双曲线交点的坐标和割补法求三角形的面积24（10 分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图 1，在等腰直角ABC 中，ABAC ，BAC90，小敏将一块三角板中含 45角的顶点放在 A 上，从 AB 边开始绕点 A 逆时针旋转一个角 ，其中三角板斜边所在的直线交直线 BC 于点 D，直角边所在的直线交直线 BC 于点 E（1）小敏在线段 BC 上取一点 M，连接 AM，旋转中发现：若 AD 平分
43、BAM ，则 AE也平分MAC请你证明小敏发现的结论；（2）当 045时，小敏在旋转中还发现线段 BD、CE、DE 之间存在如下等量关系：BD 2+CE2DE 2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将ABD 沿 AD 所在的直线对折得到ADF，连接 EF（如图 2）小亮的想法：将ABD 绕点 A 逆时针旋转 90得到ACG，连接 EG（如图 3）；请你从中任选一种方法进行证明；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当 45135且 90时，等量关系BD2+CE2DE 2 仍然成立，先请你继续研究：当 135180时（如图 4）等量关系 BD2+CE2DE 2 是否仍然
44、成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由【分析】（1）如图 1，根据图形、已知条件推知BAD+MAEDAM+EAC45，所以MAEEAC，即 AE 平分MAC；（2）成立小颖的方法是应用折叠对称的性质和 SAS 得到AEFAEC，在 RtDFE 中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将ABD 绕点 A 逆时针旋转 90得到ACG，根据旋转的性质用 SAS 得到ACEACG，从而在 RtCEG 中应用勾股定理而证明（3）成立小颖的方法是应用折叠对称的性质和 SAS 得到AEFAEC，在 RtDFE 中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将ABD 绕点 A 逆时针旋转 90得到ACG，根据旋转的性质用
45、SAS 得到ACEACG，从而在 RtCEG 中应用勾股定理而证明当 135180 时，等量关系 BD2+CE2DE 2 仍然成立可以根据小颖和小亮的方法进行证明即可【解答】 （1）证明：如图 1，BAC90，BAD+DAM+ MAE+EAC 90DAE45，BAD+EAC45BADDAM，BAD+EACDAM +EAC45，DAM+MAEDAM +EAC，MAE EAC，即 AE 平分MAC；（2）选择小颖的方法证明：如图 2，连接 EF由折叠可知，BADFAD，AB AF，BD DF，BADFAD，由（1）可知，CAEFAE 在AEF 和AEC 中， ，AEF AEC（SAS），CEFE， AFEC45DFEAFD+AFE 90在 Rt DFE 中，DF 2+FE2DE 2，BD 2+CE2DE 2 （3）当 135180时，等量关系 BD2+CE2DE 2 仍然成立证明如下：如图 4，按小颖的方法作图，设 AB 与 EF 相交于点 G将ABD 沿 AD 所在的直线对折得到ADF，AFAB，AFD ABD135
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