2019年北京市平谷区中考数学一模试卷（含答案解析）

1、2019 年北京市平谷区中考数学一模试卷一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1（2 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A BC D2（2 分）如图，直径为单位 1 的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点 A，则点 A 表示的数是（ ）A2 B C D43（2 分）如图，正五边形 ABCDE，点 F 是 AB 延长线上的一点，则CBF 的度数是（ ）A60 B72 C108 D1204（2 分）某颗人造地球卫星绕地球运行的速度是 7.9103m/s，那么这颗卫星绕地球运行一年（一年以 3.2107s 计算）走过的路

2、程约是（ ）A1.110 10m B7.910 10m C2.510 10m D2.510 11m5（2 分）如图，在O 中，AB 是O 直径，BAC 40，则ADC 的度数是（ ）A40 B50 C60 D906（2 分）如果 a+b2，那么代数式 的值是（ ）A B1 C D27（2 分）某非物质文化遗产共有 16 名传承艺人，为了了解每位艺人的日均生产能力，随机调查了某一天每位艺人的生产件数获得数据如下表：生产件数（件）10 11 12 13 14 15人数（人） 1 6 3 3 2 1从这一天 16 名艺人中随意抽取 1 人，则他的这一天生产件数最可能的是（ ）A11 件 B12 件

3、C13 件 D15 件8（2 分）如图，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象经过点 A，B，C现有下面四个推断：抛物线开口向下；当 x2 时，y 取最大值；当 m4 时，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cm 必有两个不相等的实数根；直线 ykx +c（k0）经过点 A，C ，当 kx+cax 2+bx+c 时，x 的取值范围是4x0；其中推断正确的是（ ）A B C D二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9（2 分）如图，该正方体的主视图是 形10（2 分）若分式 的值是正数，则 x 的取值范围是 11（2 分）某商场甲、乙、丙三名业务员 5 个月的销售额（单位：万元

4、）如下表：销售额业务员第 1 月 第 2 月 第 3 月 第 4 月 第 5 月甲 7.2 9.6 9.6 8.0 9.3乙 7.8 9.7 9.8 5.8 9.9丙 9.2 5.8 8.5 9.9 9.9则甲、乙、丙三名业务员中销售额最稳定的是 12（2 分）如图，在ABC 中，射线 AD 交 BC 于点 D，BEAD 于 E，CF AD 于 F，请补充一个条件，使BEDCFD，你补充的条件是 （填出一个即可）13（2 分）甲乙二人分别从相距 20km 的 A，B 两地出发，相向而行如图是小华绘制的甲乙二人运动两次的情形，设甲的速度是 xkm/h，乙的速度是 ykm/h，根据题意所列的方程组

5、是 14（2 分）如图，从一个边长为 a 的正方形的一角上剪去一个边长为 b（ab）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是 （用含a，b 的等式表示）15（2 分）如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，过点 D作 DE AB 于点 E，若 CD2，BD 4，则 AE 的长是 16（2 分）小明家的客厅有一张直径为 1.2 米，高 0.8 米的圆桌 BC，在距地面 2 米的 A处有一盏灯，圆桌的影子为 DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中 D 点坐标为（2，0），则点 E 的坐标是 三、解答题（本题共 68 分，第 17-21

6、题，每小题 5 分，第 22-27 题，每小题 5 分，第 28题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17（5 分）下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程已知：如图，AOB求作：AOB 的角平分线 OP作法：如图，在射线 OA 上任取点 C；作 ACD AOB；以点 C 为圆心 CO 长为半径画圆，交射线 CD 于点 P；作射线 OP；所以射线 OP 即为所求根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：ACDAOB，CDOB（ ）（填推理的依据）BOPCPO又OCCP，COPCPO（ ）（填推理的依据）COPBOPOP 平分A

7、OB18（5 分）计算：2sin60 +（3 ） 0 +| 1| 19（5 分）解不等式组： 20（5 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（k 1）x+k 20（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根为正数，求实数 k 的取值范围21（5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y （x0）的图象经过点 A，作ACx 轴于点 C（1）求 k 的值；（2）直线 AB：y ax +b（a0）图象经过点 A 交 x 轴于点 B横、纵坐标都是整数的点叫做整点线段 AB，AC，BC 围成的区域（不含边界）为 W直线 AB 经过（0，1）时，直接写出区域 W 内的整点个数；若区域 W

8、 内恰有 1 个整点，结合函数图象，求 a 的取值范围22（6 分）如图，在ABC 中，ABAC ，点 D 是 BC 边的中点，连接 AD，分别过点A，C 作 AEBC ，CEAD 交于点 E，连接 DE，交 AC 于点 O（1）求证：四边形 ADCE 是矩形；（2）若 AB10，sinCOE ，求 CE 的长23（6 分）费尔兹奖是国际上享有崇高荣誉的一个数学奖项，每 4 年评选一次，在国际数学家大会上颁给有卓越贡献的年龄不超过 40 岁的年轻数学家，美籍华人丘成桐 1982年获得费尔兹奖为了让学生了解费尔兹奖得主的年龄情况，我们查取了截止到 2018年 60 名费尔兹奖得主获奖时的年龄数据

9、，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息a截止到 2018 年费尔兹奖得主获奖时的年龄数据的频数分布直方图如图 1（数据分成5 组，各组是 28x31，31x34，34x 37，37x 40，x 40）：b如图 2，在 a 的基础上，画出扇形统计图；c截止到 2018 年费尔兹奖得主获奖时的年龄在 34x37 这一组的数据是：36 35 34 35 35 34 34 35 36 36 36 36 34 35d截止到 2018 年时费尔兹奖得主获奖时的年龄的平均数、中位数、众数如下：年份 平均数 中位数 众数截止到 2018 35.58 m 37，38根据以上信息，回答下列问题：（1）依

10、据题意，补全频数直方图；（2）31x34 这组的圆心角度数是度，并补全扇形统计图；（3）统计表中中位数 m 的值是；（4）根据以上统计图表试描述费尔兹奖得主获奖时的年龄分布特征24（6 分）如图，AB 是 O 的直径，AC 切O 于点 A，连接 BC 交 O 于点 D，点 E 是的中点，连接 AE 交 BC 于点 F（1）求证：ACCF；（2）若 AB4，AC3，求BAE 的正切值25（6 分）如图，点 P 是 所对弦 AB 上一动点，点 Q 是 与弦 AB 所围成的图形的内部的一定点，作射线 PQ 交 于点 C，连接 BC已知 AB6cm ，设 A，P 两点间的距离为 xcm，P，C 两点间

11、的距离为 y1cm，B，C 两点间的距离为 y2cm（当点 P 与点 A重合时，x 的值为 0）小平根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y 2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小平的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y 与 x 的几组对应值；x/cm 0 1 2 3 4 5 6y1/cm 5.37 4.06 2.83 m 3.86 4.83 5.82y2/cm 2.68 3.57 4.90 5.54 5.72 5.79 5.82经测量 m 的值是（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数

12、值所对应的点（x，y 1），（x，y 2），并画出函数 y1， y2 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当BCP 为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm26（6 分）平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx 22mx+m 23 与 y 轴交于点 A，过 A作 ABx 轴与直线 x4 交于 B 点（1）抛物线的对称轴为 x （用含 m 的代数式表示）；（2）当抛物线经过点 A，B 时，求此时抛物线的表达式；（3）记抛物线在线段 AB 下方的部分图象为 G（包含 A，B 两点），点 P（m ，0）是 x轴上一动点，过 P 作 PDx 轴于 P，交图象 G 于点 D，交 AB 于点 C，若 CD

13、1，求m 的取值范围27（6 分）在ABC 中，ABC 120，线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段AD，连接 CD，BD 交 AC 于 P（1）若BAC，直接写出BCD 的度数（用含 的代数式表示）；（2）求 AB，BC ，BD 之间的数量关系；（3）当 30时，直接写出 AC，BD 的关系28（7 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 P，Q，给出如下定义：M 为图形 P 上任意一点，N 为图形 Q 上任意一点，如果 M，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 P，Q 间的“非常距离 ”，记作 d（P，Q ）已知点 A（4，0），B（0，4），连接 AB（1）d（点

14、 O，AB） （2）O 半径为 r，若 d（O，AB）0，求 r 的取值范围；（3）点 C（3，2），连接 AC，BC， T 的圆心为 T（t，0），半径为2，d（T，ABC），且 0d2，求 t 的取值范围2019 年北京市平谷区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1（2 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项

15、不合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念2（2 分）如图，直径为单位 1 的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点 A，则点 A 表示的数是（ ）A2 B C D4【分析】根据题意，直径为单位 1 的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点 A，则 OA 的长为圆的周长，求圆的周长即可【解答】解：由题意可知 OA 的长是圆的周长而 Cd1OA点 A 表示的数是 故选：C【点评】本题考查的是数轴上两点间的距离，正确理解题意，

16、明确 OA 长度的实际意义是解决本题的关键3（2 分）如图，正五边形 ABCDE，点 F 是 AB 延长线上的一点，则CBF 的度数是（ ）A60 B72 C108 D120【分析】正多边形的外角和是 360，这个正多边形的每个外角相等，因而用 360除以多边形的边数，就得到外角的度数【解答】解：正多边形的外角和是 360，360572故选：B【点评】本题考查了多边形的内角与外角根据正多边形的外角和求多边形的边数和外角的度数是常用的一种方法，需要熟记4（2 分）某颗人造地球卫星绕地球运行的速度是 7.9103m/s，那么这颗卫星绕地球运行一年（一年以 3.2107s 计算）走过的路程约是（ ）

17、A1.110 10m B7.910 10m C2.510 10m D2.510 11m【分析】路程速度时间，依此可求这颗卫星绕地球运行一年（一年以 3.2107s 计算）走过的路程，科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：7.910 33.21072510 102.510 11（m）故选：D【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，

18、n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值5（2 分）如图，在O 中，AB 是O 直径，BAC 40，则ADC 的度数是（ ）A40 B50 C60 D90【分析】AB 是O 直径可得ACB90，再根据直角三角形的性质即可求解【解答】解：AB 是O 直径ACB90BAC40DB90BAC50故选：B【点评】本题考查圆周角定理和直角三角形的性质的运用6（2 分）如果 a+b2，那么代数式 的值是（ ）A B1 C D2【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后将 a+b2 代入化简后的式子即可解答本题【解答】解： ，当 a+b2 时，原式 ，故选：A【点评】本题考查分式

19、的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法7（2 分）某非物质文化遗产共有 16 名传承艺人，为了了解每位艺人的日均生产能力，随机调查了某一天每位艺人的生产件数获得数据如下表：生产件数（件）10 11 12 13 14 15人数（人） 1 6 3 3 2 1从这一天 16 名艺人中随意抽取 1 人，则他的这一天生产件数最可能的是（ ）A11 件 B12 件 C13 件 D15 件【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解【解答】解：由表可知，11 件的次数最多，所以众数为 11 件，所以从这一天 16 名艺人中随意抽取 1 人，则他的这一天生产件数最可能的是

20、11 件，故选：A【点评】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义：众数是指一组数据中出现次数最多的数据8（2 分）如图，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象经过点 A，B，C现有下面四个推断：抛物线开口向下；当 x2 时，y 取最大值；当 m4 时，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+cm 必有两个不相等的实数根；直线 ykx +c（k0）经过点 A，C ，当 kx+cax 2+bx+c 时，x 的取值范围是4x0；其中推断正确的是（ ）A B C D【分析】结合函数图象，利用二次函数的对称性，恰当使用排除法，以及根据函数图象与不等式的关系可以得出正确答案【解答】解：由图象可

21、知，抛物线开口向下，所以正确；若当 x2 时，y 取最大值，则由于点 A 和点 B 到 x 2 的距离相等，这两点的纵坐标应该相等，但是图中点 A 和点 B 的纵坐标显然不相等，所以错误，从而排除掉A 和 D；剩下的选项中都有，所以 是正确的；易知直线 ykx+c（k 0）经过点 A，C，当 kx+cax 2+bx+c 时，x 的取值范围是x4 或 x0，从而错误故选：B【点评】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，以及二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式的关系，属于较复杂的二次函数综合选择题二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9（2 分）如图，该正方体的主视图是 正方 形【

22、分析】根据主视图为正面所看到的图形进而得出答案【解答】解：正方形的主视图为正方形，故答案为：正方【点评】本题考查了三视图的知识，主视图即为从正面所看到的图形10（2 分）若分式 的值是正数，则 x 的取值范围是 x1 【分析】直接利用分式的性质分析得出答案【解答】解：分式 的值是正数，x+10，解得：x1故答案为：x1【点评】此题主要考查了分式的值，正确把握分子与分母的关系是解题关键11（2 分）某商场甲、乙、丙三名业务员 5 个月的销售额（单位：万元）如下表：销售额业务员第 1 月 第 2 月 第 3 月 第 4 月 第 5 月甲 7.2 9.6 9.6 8.0 9.3乙 7.8 9.7 9

23、.8 5.8 9.9丙 9.2 5.8 8.5 9.9 9.9则甲、乙、丙三名业务员中销售额最稳定的是 甲 【分析】方差越小方差越小的越稳定，方差越大的波动越大，从而越不稳定，从数据的集中趋势可以看出哪个更集中，哪个更分散，从而得解【解答】解：将甲乙丙三组数据按照从小到大排列：甲 7.2 8.0 9.3 9.6 9.6乙 5.8 7.8 9.7 9.8 9.9丙 5.8 8.5 9.2 9.9 9.9可以看出甲组数据更集中一些，乙丙的数据较为分散，而数据越分散则方差越大，数据越集中，则方差越小方差越小的越稳定，则本题甲、乙、丙三名业务员中销售额最稳定的是甲故答案为：甲【点评】方差是反映数据波动

24、大小的统计量，在可以观察出波动大小，从而知道方差大小的情况下，可以不用具体计算每组数据的方差值12（2 分）如图，在ABC 中，射线 AD 交 BC 于点 D，BEAD 于 E，CF AD 于 F，请补充一个条件，使BEDCFD，你补充的条件是 答案不唯一，如 BDDC （填出一个即可）【分析】根据全等三角形的判定定理 AAS 判定BEDCFD【解答】解：可以添加条件：BDDC理由：BDCD；又BEAD ，CFAD，ECFD90；在BED 和CFD 中，BEDCFD（AAS ）故答案是：答案不唯一，如 BDDC【点评】本题考查了全等三角形的判定判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、A

25、SA 、AAS 、HL13（2 分）甲乙二人分别从相距 20km 的 A，B 两地出发，相向而行如图是小华绘制的甲乙二人运动两次的情形，设甲的速度是 xkm/h，乙的速度是 ykm/h，根据题意所列的方程组是 【分析】设甲的速度是 xkm/h，乙的速度是 ykm/h，根据路程速度时间结合两次运动的情形，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，此题得解【解答】解：设甲的速度是 xkm/h，乙的速度是 ykm/h，依题意，得： 故答案为： 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键14（2 分）如图，从一个边长为 a 的正方形的一角上剪去一个

26、边长为 b（ab）的正方形，则剩余（阴影）部分正好能够表示一个乘法公式，则这个乘法公式是 a2b 2（a+b）（ab） （用含 a，b 的等式表示）【分析】根据阴影部分面积的不同表示方法，图中阴影部分的面积是：a 2b 2，阴影部分的面积是：a（ab）+b（ab）（a+b）（ab），即可得到乘法公式【解答】解：图中阴影部分的面积是：a 2b 2，阴影部分的面积为：a（ab）+b（ab）（a+b）（ab），a 2b 2（a+b）（ab）故答案为：a 2b 2（a+b）（ab）【点评】本题主要考查了平方差公式几何背景利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式15（2 分）如图，在 Rt

27、ABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，过点 D作 DE AB 于点 E，若 CD2，BD 4，则 AE 的长是 2 【分析】先证明 AEAC，利用勾股定理求出 BE 长，在 RtABC 中利用勾股定理可求AE 长【解答】解：AD 平分BAC 交 BC 于点 D，DCAC，DEAB，CDED又 ADAD ，RtADERtADC（HL ）AEAC在 Rt BDE 中，BE 设 AEx，则 ACx，AB 2 +x，在 Rt ABC 中，利用勾股定理得（2 +x） 26 2+x2，解得 x2 所以 AE 长为 2 故答案为 2 【点评】本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质、全等三

28、角形的判定和性质，解题的关键是借助勾股定理构造方程求解16（2 分）小明家的客厅有一张直径为 1.2 米，高 0.8 米的圆桌 BC，在距地面 2 米的 A处有一盏灯，圆桌的影子为 DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中 D 点坐标为（2，0），则点 E 的坐标是 （4，0） 【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论【解答】解：BCDE，ABCADE， ，BC1.2，DE2，E（4，0）故答案为：（4，0）【点评】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键三、解答题（本题共 68 分，第 17-21 题，每小题 5 分，第 22-27 题，每小题 5 分，第

29、28题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17（5 分）下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程已知：如图，AOB求作：AOB 的角平分线 OP作法：如图，在射线 OA 上任取点 C；作 ACD AOB；以点 C 为圆心 CO 长为半径画圆，交射线 CD 于点 P；作射线 OP；所以射线 OP 即为所求根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：ACDAOB，CDOB（ 同位角相等，两直线平行 ）（填推理的依据）BOPCPO又OCCP，COPCPO（ 等边对等角 ）（填推理的依据）COPBOPOP 平分AOB【分析】（1）在 C

30、D 上截取 OPCO 即可；（2）利用平行线的判定方法可先判断 CDOB，则BOP CPO再利用等边对等角COPCPO，所以COPBOP【解答】解：（1）如图，OP 为所作；（2）证明：ACDAOB，CDOB（同位角相等，两直线平行）；BOPCPO又OCCP，COPCPO（等边对等角）COPBOPOP 平分AOB故答案为同位角相等，两直线平行；等边对等角【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了平行线的判定与性质18

31、（5 分）计算：2sin60 +（3 ） 0 +| 1| 【分析】原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值【解答】解：原式2 +12 + 10【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键19（5 分）解不等式组： 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可【解答】解：由得 x3；由得 x1不等式组的解集为 1x3【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解20（5 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（k 1）x+k 20（1）求证：方程总有两个实

32、数根；（2）若方程有一根为正数，求实数 k 的取值范围【分析】（1）先求出的值，再根据的意义即可得到结论；（2）利用求根公式求得 ，然后根据方程有一根为正数列出关于k 的不等式并解答【解答】解：（1）k 22k+14k +81（k 3） 22（k3） 20，方程总有两个实数根3（2） ，x 11，x 22k 方程有一个根为正数，2k0，k2【点评】考查了根的判别式体现了数学转化思想，属于中档题目21（5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y （x0）的图象经过点 A，作ACx 轴于点 C（1）求 k 的值；（2）直线 AB：y ax +b（a0）图象经过点 A 交 x 轴于点 B横

33、、纵坐标都是整数的点叫做整点线段 AB，AC，BC 围成的区域（不含边界）为 W直线 AB 经过（0，1）时，直接写出区域 W 内的整点个数；若区域 W 内恰有 1 个整点，结合函数图象，求 a 的取值范围【分析】（1）把 A（2，2）代入 y 中便可求得 k；（2） 根据图象直接写出答案便可；用待定系数法求出直线 AB 分别过点（0，1），（1，0），（3，1），（4，1）四点时的 a 值便可【解答】解：（1）把 A（2，2）代入 y 中，得 k2 24；（2） 直线 AB 经过（0，1），设直线 AB 的解析式为：yax+b（a0），则，解得 ，直线 AB 的解析式为：y +1，B（2，0

34、），图象如下：由图象可知，直线 AB 经过（0，1）时，区域 W 内的整点只有 1 个；当直线 AB 经过点 A（2，2），（0，1）时区域 W 内恰有 1 个整点，则， ，当直线 AB 经过点 A（2，2），（1，1）时区域 W 内没有整点，则，a1，当 时区域 W 内恰有 1 个整点；综上，当 时区 W 内恰有 1 个整点【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，新定义，解答（2）小题的关键是根据新定义，确定不同情况下的解析式22（6 分）如图，在ABC 中，ABAC ，点 D 是 BC 边的中点，连接 AD，分别过点A，C 作 AEBC ，CEAD

35、交于点 E，连接 DE，交 AC 于点 O（1）求证：四边形 ADCE 是矩形；（2）若 AB10，sinCOE ，求 CE 的长【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到 ADBC 于点 D，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）过点 E 作 EFAC 于 F解直角三角形即可得到结论【解答】（1）证明：ABAC，点 D 是 BC 边的中点，ADBC 于点 D，AEBC，CEAD ，四边形 ADCE 是平行四边形，平行四边形 ADCE 是矩形；（2）解：过点 E 作 EFAC 于 FAB10，AC10，对角线 AC，DE 交于点 O，DEAC10，OE5.4，sinCOE ，EF4.5，OF3，O

36、EOC5，CF2CE 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，熟记特殊四边形的判定与性质是解题的关键23（6 分）费尔兹奖是国际上享有崇高荣誉的一个数学奖项，每 4 年评选一次，在国际数学家大会上颁给有卓越贡献的年龄不超过 40 岁的年轻数学家，美籍华人丘成桐 1982年获得费尔兹奖为了让学生了解费尔兹奖得主的年龄情况，我们查取了截止到 2018年 60 名费尔兹奖得主获奖时的年龄数据，并对数据进行整理、描述和分析下面给出了部分信息a截止到 2018 年费尔兹奖得主获奖时的年龄数据的频数分布直方图如图 1（数据分成5 组，各组是 2

37、8x31，31x34，34x 37，37x 40，x 40）：b如图 2，在 a 的基础上，画出扇形统计图；c截止到 2018 年费尔兹奖得主获奖时的年龄在 34x37 这一组的数据是：36 35 34 35 35 34 34 35 36 36 36 36 34 35d截止到 2018 年时费尔兹奖得主获奖时的年龄的平均数、中位数、众数如下：年份 平均数 中位数 众数截止到 2018 35.58 m 37，38根据以上信息，回答下列问题：（1）依据题意，补全频数直方图；（2）31x34 这组的圆心角度数是度，并补全扇形统计图；（3）统计表中中位数 m 的值是；（4）根据以上统计图表试描述费尔兹

38、奖得主获奖时的年龄分布特征【分析】（1）根据总人数为 60 求出第二组的人数即可解决问题（2）根据圆心角360百分比计算即可，根据百分比的和为 1，求出第二组的百分比，即可画出扇形统计图、（3）根据中位数的定义，中位数等于第 30，31 的年龄的平均数（4）答案不唯一，合理即可【解答】解：（1）频数直方图如图所示：（2）31x34 这组的圆心角度数36021.7%78 扇形统计图如图所示（3）统计表中中位数 m 的值是 36（4）答案不唯一，如：费尔兹奖得主获奖时年龄集中在 37 岁至 40 岁【点评】本题考查频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图，平均数，中位数，众数等知识，解题的关键是熟练

39、掌握基本知识，属于中考常考题型24（6 分）如图，AB 是 O 的直径，AC 切O 于点 A，连接 BC 交 O 于点 D，点 E 是的中点，连接 AE 交 BC 于点 F（1）求证：ACCF；（2）若 AB4，AC3，求BAE 的正切值【分析】（1）连接 BE，若要证明 ACCF ，则只要证明CAE EFBAFC 即可；（2）易证得 BF2，根据 cosABC ，可求出 BD 的长，进而得到 AD和 DF 的长，然后根据 tanBAEtanDAE 求得即可【解答】（1）证明：连接 BE，CA 是O 的切线，CAB90，AB 是直径，AEB 90，E 是弧 BD 的中点， ，BAE DBE，C

40、AEEFBAFC，ACCF；（2）解：在 RtABC 中，AB4，AC 3，BC 5ACCF3，BFBCCF2AB 是直径，ADB90，cosABC ，BD ，AD ，DFBD BF tanBAEtanDAE 【点评】本题考查了圆的切线性质，圆周角定理及解直角三角形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题25（6 分）如图，点 P 是 所对弦 AB 上一动点，点 Q 是 与弦 AB 所围成的图形的内部的一定点，作射线 PQ 交 于点 C，连接 BC已知 AB6cm ，设 A，P 两点间的距离为 xcm，P，C 两点间的距离为 y1c

41、m，B，C 两点间的距离为 y2cm（当点 P 与点 A重合时，x 的值为 0）小平根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y 2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小平的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y 与 x 的几组对应值；x/cm 0 1 2 3 4 5 6y1/cm 5.37 4.06 2.83 m 3.86 4.83 5.82y2/cm 2.68 3.57 4.90 5.54 5.72 5.79 5.82经测量 m 的值是（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x

42、，y 1），（x，y 2），并画出函数 y1， y2 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当BCP 为等腰三角形时，AP 的长度约为 1.2 或 1.6或 3 cm【分析】（1）利用圆的半径相等即可解决问题；（2）利用描点法画出图象即可（3）图中寻找 PB 长关于 x 的函数：直线 yx+6 与两个函数的交点的横坐标以及 y1与 y2 的交点的横坐标即可；【解答】（1）解：（1）PA0 时，点 P 与点 A 重合，AB6，PCAC5.37，BC 2.68，AB 2PC 2+BC2，ACB90，AB 是直径当 x3 时，PAPBPC3，y 13，故答案为 3（2）如图；（3）观察图象可知：当

43、xy，即当 PBPC 或 PBBC 时，x3 或 1.2，当 y1y 2 时，即 PCBC 时， x1.6，或 x6（与 P 重合，BCP 不存在）综上所述，满足条件的 x 的值为 1.2 或 1.6 或 3，故答案为 1.2 或 1.6 或 3.0【点评】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型26（6 分）平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx 22mx+m 23 与 y 轴交于点 A，过 A作 ABx 轴与直线 x4 交于 B 点（1）抛物线的对称轴为 x m （用含 m 的代数式表示）；（2）当抛物线经过点 A，B 时，求此时抛物线

44、的表达式；（3）记抛物线在线段 AB 下方的部分图象为 G（包含 A，B 两点），点 P（m ，0）是 x轴上一动点，过 P 作 PDx 轴于 P，交图象 G 于点 D，交 AB 于点 C，若 CD1，求m 的取值范围【分析】利用二次函数对称轴和顶点即可求解（1）（2）问；（3）求出函数与 x 轴两个交点，由于 CD1，所有 C 要在 x 轴上方的 G 区域，结合图象，即可求出 m 的范围【解答】解：（1）根据抛物线的对称轴 x ，代入得到 xm；故答案为 m；（2）yx 22mx+m 23（xm） 23，抛物线顶点坐标为（m， 3）抛物线经过点 A，B 时，且 ABx 轴，抛物线对称轴为 x

45、m 2抛物线的表达式为 yx 24x +1；（3）yx 24x +1 与 x 轴两个交点为（2 ，0），（2+ ，0），CD1，0m2 或 2+ m4【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得 D 点坐标是解题的关键，在（ 3）中注意数形结合思想的应用27（6 分）在ABC 中，ABC 120，线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段AD，连接 CD，BD 交 AC 于 P（1）若BAC，直接写出BCD 的度数（用含 的代数式表示）；（2）求 AB，BC ，BD 之间的数量关系；（3）当 30时，直接写出 AC，BD 的关系【分析】（1）证ACD 是等边三角形，由三角形内角和可得出结论；（2）如图 1，延长 BA 使 AEBC，连接 DE可证ADECDB，得出BDAB+BC；（3）如图 2，当 30时， ABBC ，ADCD，则 BD 垂直平分 AC，可得 AC【解答】解：（1）线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段 AD，ACD 是等边三角形，ACD60，ABC120，BAC+ BCA60，BCDACD+BCA 60+60 1