1、2019 年浙江省温州市鹿城区中考数学模拟试卷（3 月份）一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不绐分）1（4 分）在 0.3，3，0， 这四个数中，最大的是（ ）A0.3 B3 C0 D2（4 分）在开展“爱心捐助某灾区”的活动中，某团支部 8 名团员捐款的数额（单位：元）分别为 3，5，6，5，5，6，5，10，这组数据的中位数是（ ）A3 元 B5 元 C6 元 D10 元3（4 分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）A球 B圆柱 C圆锥 D立方体4（4 分）下列计算正确的是（ ）Aa 2+a2a 4 B2
2、a 2a32 C（a 2） 3a 6 D3a2a15（4 分）如图，在ABC 中，C90，AB10，BC6，则 sinA（ ）A B C D6（4 分）下列选项中，可以用来证明命题“若 a2b 2，则 ab“是假命题的反例是（ ）Aa2，b1 Ba3，b2 Ca0，b1 Da2，b17（4 分）甲，乙工程队分别承接 600 米，800 米的道路修建工程，已知乙比甲每天多修建 12 米，结果甲比乙提早 1 天完成，问甲每天修建多少米？设甲每天修建 x 米，根据题意可列出方程是（ ）A 1 B +1C 1 D +118（4 分）对于代数式 ax22bxc ，当 x 取1 时，代数式的值为 2，当
3、x 取 0 时，代数式的值为 1，当 x 取 3 时，代数式的值为 2，则当 x 取 2 时，代数式的值是（ ）A1 B3 C4 D59（4 分）如图，已知抛物线 yx 22x 3 与 x 轴相交于点 A，B，若在抛物线上有且只有三个不同的点 C1，C 2， C3，使得ABC 1，ABC 2， ABC3 的面积都等于 a，则 a 的值是（ ）A6 B8 C12 D1610（4 分）如图，AB，BC 是O 的弦，B60，点 O 在B 内，点 D 为 上的动点，点 M，N，P 分别是 AD，DC，CB 的中点若O 的半径为 2，则 PN+MN 的长度的最大值是（ ）A B C D二、填空题（本题有
4、 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）11（5 分）因式分解：x 22x 12（5 分）如图，ACD 是ABC 的外角，若B50，ACD120，A 13（5 分）某市号召居民节约用水，为了解居民用水情况，随机抽查了 20 户家庭某月的用水量，结果如下表：户数 8 6 6用水量（吨） 4 6 7则这 20 户家庭的该月平均用水量为 吨14（5 分）已知扇形的圆心角为 120，弧长为 4，则扇形的面积是 15（5 分）如图，点 A 是反比例函数 y 图象上的任意一点，过点 A 做 ABx 轴，ACy 轴，分别交反比例函数 y 的图象于点 B，C，连接 BC，E 是 BC 上一点，连接并延长 A
5、E 交 y 轴于点 D，连接 CD，则 SDEC S BEA 16（5 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，AD5，AB ，点 E 在 CD 边上，DE2，连接 BE，F 是 BE 边上的一点，过点 F 作 FGAB 于 G，连接 DG，将ADG 沿 DG 翻折的PDG ，设 EFx ，当 P 落在EBC 内部时（包括边界）， x 的取值范围是 三、解答题（本题有 8 小题，共 80 分）17（10 分）（1）计算： +（ ） 1 | 3|（2）先化简，再求值：（a2）（a+2）a（a1），其中 a118（8 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AD 平分BAC ，过 AC 的中点 E
6、作FGAD，交 BA 的延长线于点 F，交 BC 于点 G，（1）求证：AEAF ；（2）若 BC AB，AF3 ，求 BC 的长19（8 分）学了统计知识后，小红就本班同学上学“喜欢的出行方式”进行了一次调查，图（1）和图（2）是她根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答以下问题：（1）补全条形统计图，并计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数（2）若由 3 名“喜欢乘车”的学生，1 名“喜欢骑车”的学生组队参加一项活动，现欲从中选出 2 人担任组长（不分正副），求出 2 人都是“喜欢乘车”的学生的概率，（要求列表或画树状图）20（8 分）在直角坐标系中，我们把横，纵坐
7、标都是整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形如图，已知整点 A（2，4），B（1，1），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形（1）在图 1 中画一个 RtPAB，使点 P 落在坐标轴上；（2）在图 2 中画一个等腰PAB，使得PAB 的面积为 421（10 分）如图，ABCD 与抛物线 yx 2+bx+c 相交于点 A，B，D ，点 C 在抛物线的对称轴上，已知点 B（1，0），BC4（1）求抛物线的解析式；（2）求 BD 的函数表达式22（10 分）如图，在O 中，半径 OD直径 AB，CD 与O 相切于点 D，连接 AC 交O 于点 E，交 OD 于点 G，连接 C
8、B 并延长交于点 F，连接 AD，EF（1）求证：ACDF；（2）若 tanF求证：四边形 ABCD 是平行四边形；连接 DE，当 O 的半径为 3 时，求 DE 的长23（12 分）小王准备给家中长为 3 米的正方形 ABCD 电视墙铺设大理石，按图中所示的方案分成 9 块区域分别铺设甲，乙，丙三种大理石（正方形 EFGH 是由四块全等的直角三角形围成），（1）已知甲大理石的单价为 150 元/m 2，乙大理石的单价为 200 元/m 2，丙大理石的单价为 300 元/m 2，整个电视墙大理石总价为 1700 元当铺设甲，乙大理石区域面积相等时，求铺设丙大理石区域的面积设铺设甲，乙大理石区域
9、面积分别为 xm2，ym 2，当丙的面积不低于 1m2 时，求出 y关于 x 的函数关系式，并写出 y 的最大值（2）若要求 AE：AF 1：2，EQ：FQ1：3，甲，乙大理石单价之和为 300 元/m 2，丙大理石的单价不低于 300 元/m 2，铺设三种大理石总价为 1620 元，求甲的单价取值范围24（14 分）如图在矩形 ABCD 中，AB8，过对角线 AC 的中点 O 作直线 PE，交 AB 于点 P，交 CD 于点 Q，交射线 AD 于点 E，连接 CE，作点 Q 关于 CE 对称的对称点Q，以 Q为圆心，为 CQ半径作Q，交 CE 于点 M，设 BCx（1）请说明AOPCOQ 的
10、理由（2）若 AP5，请用 x 的代数式表示 DE 的长当 DQM 为直角三角形时，请求出所有满足条件的 BC 的值（3）若存在Q同时与直线 AC 和直线 AD 相切，请直接写出 Q的半径2019 年浙江省温州市鹿城区中考数学模拟试卷（3 月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不绐分）1（4 分）在 0.3，3，0， 这四个数中，最大的是（ ）A0.3 B3 C0 D【分析】根据正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数，比较即可【解答】解：3 00.3最大为 0.3故选：A【点评】本题考查实数比较大小
11、，解题的关键是正确理解正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数，本题属于基础题型2（4 分）在开展“爱心捐助某灾区”的活动中，某团支部 8 名团员捐款的数额（单位：元）分别为 3，5，6，5，5，6，5，10，这组数据的中位数是（ ）A3 元 B5 元 C6 元 D10 元【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数【解答】解：从小到大排列此数据为：3、5、5、5、5、6、6、100，处在第 4、5 位的都是 5，故这组数据的中位数是 5故选：B【点评】考查了确定一组数据的中位数的能力一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项
12、，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数3（4 分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）A球 B圆柱 C圆锥 D立方体【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体【解答】解：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体，根据俯视图是圆可判断出该几何体为圆柱故选：B【点评】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识4（4 分）下列计算正确的是（ ）Aa 2+a2a 4 B2a 2a32 C（a 2） 3a 6 D3a2a1【分析】根据单项式乘单项式
13、、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的法则，分别进行各项的判断即可【解答】解：A、a 2+a22a 2，故本选项错误；B、2a 2a32a 5，故本选项错误；C、（a 2） 3a 6，故本选项正确；D、3a2aa，故本选项错误；故选：C【点评】此题考查了单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键5（4 分）如图，在ABC 中，C90，AB10，BC6，则 sinA（ ）A B C D【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解【解答】解：C90， AB10，BC 6，sinA 故选：A【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角 A 的对边
14、a 与斜边 c 的比叫做A 的正弦是解题的关键6（4 分）下列选项中，可以用来证明命题“若 a2b 2，则 ab“是假命题的反例是（ ）Aa2，b1 Ba3，b2 Ca0，b1 Da2，b1【分析】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题【解答】解：当 a2，b1 时，（2） 21 2，但是21，a2，b1 是假命题的反例故选：A【点评】此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法7（4 分）甲，乙工程队分别承接 600 米，800 米的道路修建工程，已知乙比甲每天多修建 12 米，结果甲比乙提早 1 天完成，问甲每天修建
15、多少米？设甲每天修建 x 米，根据题意可列出方程是（ ）A 1 B +1C 1 D +11【分析】设甲每天修建 x 米，根据结果甲比乙提早 1 天完成列出方程解答即可【解答】解：设甲每天修建 x 米，根据题意可得： ，故选：C【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答8（4 分）对于代数式 ax22bxc ，当 x 取1 时，代数式的值为 2，当 x 取 0 时，代数式的值为 1，当 x 取 3 时，代数式的值为 2，则当 x 取 2 时，代数式的值是（ ）A1 B3 C4 D5【分析】根据 x1，代数式的值为 2，x0，代数式的值为
16、 1，x3，代数式的值为2，可知 a、b、c 的数量关系【解答】解：根据题意可知：当 x1 时，a+2bc2当 x0 时，c1当 x3 时，9a6bc2，联立解得：代数式为 x+1当 x2 时，原式 +11故选：A【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型9（4 分）如图，已知抛物线 yx 22x 3 与 x 轴相交于点 A，B，若在抛物线上有且只有三个不同的点 C1，C 2， C3，使得ABC 1，ABC 2， ABC3 的面积都等于 a，则 a 的值是（ ）A6 B8 C12 D16【分析】根据抛物线的解析式，先求出抛物线与 x 轴的交点坐标和顶
17、点坐标，根据抛物线上有且只有三个不同点满足以 AB 为底的三角形的面积相等，判断该三个点中有一个是抛物线的顶点，从而算出 a 的值【解答】解：抛物线 yx 22x 3 的顶点坐标为（1 4）当 y0 时，即 x22x 30 ，解得：x 11，x 23所以点 A（1，0），B（3，0）AB3（1）4因为抛物线上有且只有三个不同的点 C1，C 2，C 3，使得ABC 1，ABC 2，ABC 3 的面积相等所以其中的一个点为顶点所以 a 4|4|8故选：B【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点及三角形的面积解决本题的关键是找到满足使ABC 1，ABC 2，ABC 3 的面积相等的一个点10（4 分
18、）如图，AB，BC 是O 的弦，B60，点 O 在B 内，点 D 为 上的动点，点 M，N，P 分别是 AD，DC，CB 的中点若O 的半径为 2，则 PN+MN 的长度的最大值是（ ）A B C D【分析】连接 OC、OA、BD，作 OHAC 于 H首先求出 AC 的长，利用三角形的中位线定理即可解决问题；【解答】解：连接 OC、OA、 BD，作 OHAC 于 HAOC2ABC120，OAOC，OHAC，COHAOH60，CHAH，CHAHOCsin60 ，AC2 ，CNDN ，DMAM，MN AC ，CPPB，ANDN，PN BD，当 BD 是直径时，PN 的值最大，最大值为 2，PM+M
19、N 的最大值为 2+ 故选：D【点评】本题考查圆周角定理、三角形的中位线的定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）11（5 分）因式分解：x 22x x （x2） 【分析】原式提取 x 即可得到结果【解答】解：原式x（x 2），故答案为：x（x 2）【点评】此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键12（5 分）如图，ACD 是ABC 的外角，若B50，ACD120，A 70 【分析】根据三角形的外角的性质计算【解答】解：由三角形的外角的性质可知，AA
20、CDB70，故答案为：70【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键13（5 分）某市号召居民节约用水，为了解居民用水情况，随机抽查了 20 户家庭某月的用水量，结果如下表：户数 8 6 6用水量（吨） 4 6 7则这 20 户家庭的该月平均用水量为 5.5 吨【分析】根据加权平均数的计算方法先求出所有数据的和，然后除以数据的总个数即可【解答】解：这 20 户家庭的该月平均用水量为 5.5（吨），故答案为：5.5【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，关键是求出所有数的和14（5 分）已知扇形的圆心角为 120
21、，弧长为 4，则扇形的面积是 12 【分析】利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积【解答】解：设扇形的半径为 r则 4 ，解得 r6，扇形的面积 12，故答案为：12【点评】此题主要考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式 l ；扇形的面积公式 S ，解题的关键是熟记这两个公式15（5 分）如图，点 A 是反比例函数 y 图象上的任意一点，过点 A 做 ABx 轴，ACy 轴，分别交反比例函数 y 的图象于点 B，C，连接 BC，E 是 BC 上一点，连接并延长 AE 交 y 轴于点 D，连接 CD，则 SDEC S BEA 【分析】设 A（a， ），
22、可得 B（ ， ），C（a， ），进而得到AB a，AC ，依据 S DECS BEA S DAC S BCA 进行计算即可【解答】解：点 A 是反比例函数 y 图象上的任意一点，可设 A（a， ），ABx 轴，ACy 轴，点 B，C ，在反比例函数 y 的图象上，B（ ， ）， C（a， ），AB a，AC ，S DEC S BEA S DAC S BCA （a a） a 故答案为： 【点评】本题考查了反比例函数的比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y 图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）
23、的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk16（5 分）如图，四边形 ABCD 是矩形，AD5，AB ，点 E 在 CD 边上，DE2，连接 BE，F 是 BE 边上的一点，过点 F 作 FGAB 于 G，连接 DG，将ADG 沿 DG 翻折的PDG ，设 EFx ，当 P 落在EBC 内部时（包括边界）， x 的取值范围是 x 【分析】当点 P 落在 BE 上时，如图，延长 GF 交 DC 于 H，作 PMAB 于M，PNAD 于 N求出 EF 的长；当点 P 落在 DC 上时，求出 EF 的长即可解决问题；【解答】解：当点 P 落在 BE 上时，如图，延长 GF 交 DC 于 H，作 PMAB
24、于M，PNAD 于 N四边形 ABCD 是矩形，BDBACBCD90，DCAB，ABCD ，ADBC5，DE2，EC ，CEBPBM，tanCEB tanPBM， ，设 PM3k，则 BM2k，四边形 AMPN 是矩形，PMAN3 k，PNAM 2k ，在 Rt PDN 中， PDAD 5，DN 53k ，PN 2k ，25（53k） 2+（ 2k） 2，整理得：117k 2462k +2560，解得 k 或 （舍弃）PM2，BM ，AM 4，设 AGGPm ，在 Rt PGM 中，m 2（4 m） 2+22，解得 m ，AHAG ，EH ， tan CEB ，HF ，EF ，当点 P 落在
25、DC 上时，如图，ADDP 5，DE 2，EP3，tanCEB ，PF ，EF ， x 故答案为 x 【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题三、解答题（本题有 8 小题，共 80 分）17（10 分）（1）计算： +（ ） 1 | 3|（2）先化简，再求值：（a2）（a+2）a（a1），其中 a1【分析】（1）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，以及负整数指数幂法则计算即可求出值；（2）原式利用平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可
26、得到结果【解答】解：（1）原式2 +332 ；（2）原式a 24a 2+aa4，当 a1 时，原式5【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键18（8 分）如图，在 RtABC 中，BAC90，AD 平分BAC ，过 AC 的中点 E 作FGAD，交 BA 的延长线于点 F，交 BC 于点 G，（1）求证：AEAF ；（2）若 BC AB，AF3 ，求 BC 的长【分析】（1）由BAC90，AD 平分BAC，得DAB45，又 FGAD 所以FDAB 45，AEF45，所以FAEF，因此 AEAF；（2）由 AF3，AE 3，AC2AE6，在 RtA
27、BC 中，AB 2+AC2BC 2，求出AB ，因此 BC 【解答】解：（1）BAC90，AD 平分BAC，DAB CAB 9045，FGADFDAB 45，AEF45，FAEF，AEAF；（2）AF3，AE3，点 E 是 AC 的中点，AC2AE6 ，在 Rt ABC 中，AB 2+AC2BC 2，AB2+32（ ） 2，AB ，BC 【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练运用勾股定理是解题的关键19（8 分）学了统计知识后，小红就本班同学上学“喜欢的出行方式”进行了一次调查，图（1）和图（2）是她根据采集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答以下问题：（1）补全条形统计
28、图，并计算出“骑车”部分所对应的圆心角的度数（2）若由 3 名“喜欢乘车”的学生，1 名“喜欢骑车”的学生组队参加一项活动，现欲从中选出 2 人担任组长（不分正副），求出 2 人都是“喜欢乘车”的学生的概率，（要求列表或画树状图）【分析】（1）从两图中可以看出乘车的有 25 人，占了 50%，所以共有学生 50 人；总人数减乘车的和骑车的就是步行的，根据数据画直方图就可；要求扇形的度数就要先求出骑车的占的百分比，然后再求度数；（2）列出从这 4 人中选两人的所有等可能结果数，2 人都是“喜欢乘车”的学生的情况有 3 种，然后根据概率公式即可求得【解答】解：（1）被调查的总人数为 2550%50
29、 人；则步行的人数为 50251510 人；如图所示条形图，“骑车”部分所对应的圆心角的度数 360108；（2）设 3 名“喜欢乘车”的学生表示为 A、B、C ，1 名“喜欢骑车”的学生表示为D，则有 AB、AC、 AD、BC、BD 、CD 这 6 种等可能的情况，其中 2 人都是“喜欢乘车”的学生有 3 种结果，所以 2 人都是“喜欢乘车”的学生的概率为 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小20（8 分）在直角坐标系中，我们把横，纵坐标
30、都是整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形如图，已知整点 A（2，4），B（1，1），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形（1）在图 1 中画一个 RtPAB，使点 P 落在坐标轴上；（2）在图 2 中画一个等腰PAB，使得PAB 的面积为 4【分析】（1）由（ ） 2+（ ） 2（2 ） 2，画出三边长为 2 ， ，的三角形即可；（2）可三角形的面积和等腰三角形的性质解答即可【解答】解：（1）PAB 即为所求；（2）PAB 即为所求【点评】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理和三角形的底边高面积的 2 倍是解决问题的关键21（10 分）如图，AB
31、CD 与抛物线 yx 2+bx+c 相交于点 A，B，D ，点 C 在抛物线的对称轴上，已知点 B（1，0），BC4（1）求抛物线的解析式；（2）求 BD 的函数表达式【分析】（1）由 B 的坐标，以及 BC 的长，求出 C 的坐标，确定出抛物线对称轴，利用待定系数法求出解析式即可；（2）由四边形 ABCD 为平行四边形，得到对边平行且相等，得到 AD 的长，利用对称性求出 D 横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出 D 坐标，设出直线 BD 解析式为 ykx+b，把 B 与 D 坐标代入确定出 k 与 b 的值即可【解答】解：（1）B（1，0），BC4，C（3，0），即抛物线对称轴为直线
32、 x3， ，解得： ，则抛物线解析式为 yx 2+6x+7；（2）四边形 ABCD 为平行四边形，ADBC，且 ADBC4，A 与 D 关于对称轴直线 x3 对称，且 AD4，A 横坐标为 1，D 横坐标为 5，把 x5 代入抛物线解析式得：y12，即 D（5，12），设直线 BD 解析式为 ykx+ b，把 B 与 D 坐标代入得： ，解得： ，则直线 BD 的解析式为 y2x+2【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及待定系数法求一次函数解析式，二次函数性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键22（10 分）如图，在O 中，半径 OD直径 AB，CD 与O 相
33、切于点 D，连接 AC 交O 于点 E，交 OD 于点 G，连接 CB 并延长交于点 F，连接 AD，EF（1）求证：ACDF；（2）若 tanF求证：四边形 ABCD 是平行四边形；连接 DE，当 O 的半径为 3 时，求 DE 的长【分析】（1）先利用切线的性质得到 ODCD，再证明 ABCD，然后利用平行线的性质和圆周角定理得到结论；（2） 设O 的半径为 r，利用正切的定义得到 OG r，则 DG r，则CD3DG2r，然后根据平行线的判定得到结论；作直径 DH，连接 HE，如图，先计算出 AG，CG2 ，再证明CDECAD，然后利用相似比计算 DE 的长【解答】（1）证明：CD 与O
34、 相切于点 D，ODCD，半径 OD直径 AB，ABCD，ACDCAB，EAB F，ACDF；（2） 证明： ACDCAB F，tanGCDtan GAOtanF ，设 O 的半径为 r，在 Rt AOG 中，tanGAO ，OG r，DGr r r，在 Rt DGC 中，tanDCG ，CD3DG2r，DCAB ，而 DCAB ，四边形 ABCD 是平行四边形；作直径 DH，连接 HE，如图， OG1，AG ，CD6，DG2，CG 2 ，DH 为直径，HED 90 ，H+HDE90，DHDC，CDE+HDE90，HCDE，HDAE，CDEDAC，而DCEACD，CDECAD， ，即 ，DE
35、【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了平行四边形的判定与圆周角定理23（12 分）小王准备给家中长为 3 米的正方形 ABCD 电视墙铺设大理石，按图中所示的方案分成 9 块区域分别铺设甲，乙，丙三种大理石（正方形 EFGH 是由四块全等的直角三角形围成），（1）已知甲大理石的单价为 150 元/m 2，乙大理石的单价为 200 元/m 2，丙大理石的单价为 300 元/m 2，整个电视墙大理石总价为 1700 元当铺设甲，乙大理石区域面积相等时，求铺设丙大理石区域的面积设铺设甲，乙大理石区域面积分别为 xm2，ym 2，当丙的面积不低于 1m2 时，求出 y关于
36、x 的函数关系式，并写出 y 的最大值（2）若要求 AE：AF 1：2，EQ：FQ1：3，甲，乙大理石单价之和为 300 元/m 2，丙大理石的单价不低于 300 元/m 2，铺设三种大理石总价为 1620 元，求甲的单价取值范围【分析】（1）设甲，乙大理石区域面积相等为 xm2，则丙大理石区域面积为（3 22x）m 2，根据“甲大理石的单价为 150 元/m 2，乙大理石的单价为 200 元/m 2，丙大理石的单价为 300 元/m 2，整个电视墙大理石总价为 1700 元”列出关于 x 的一元一次方程，解之即可，甲，乙大理石区域面积分别为 xm2，y 2，则丙大理石区域面积为（9xy ）m
37、 2，根据“甲大理石的单价为 150 元/m 2，乙大理石的单价为 200 元/m 2，丙大理石的单价为300 元/m 2，整个电视墙大理石总价为 1700 元”，列出 y 关于 x 的函数关系式，根据“丙的面积不低于 1m2”列出关于 x 的一元一次不等式，求出 x 的范围，在根据函数的增减性求最大值即可，（2）根据“AE：AF 1：2，EQ：FQ1：3”，求出甲、乙、丙的面积，设甲的单价为 m 元/ ，则乙的单价为（300m ）元/ m2，丙的单价为 n 元/ m2，根据“三种大理石总价为 1620 元”，列出关于 m 的不等式，解之即可【解答】解：（1）设甲，乙大理石区域面积相等为 xm
38、2，则丙大理石区域面积为（3 22x）m 2，即丙大理石区域面积为（92x）m 2，根据题意得：150x+200x +300（92x）1700，解得：x4，把 x4 代入 92x 得：92x 1，答：铺设丙大理石区域的面积为 1m2，甲，乙大理石区域面积分别为 xm2，y 2，则丙大理石区域面积为（9xy ）m 2，根据题意得：150x+200y +300（9xy ）1700，整理得：y1.5x +10，根据题意得：9xy 1，整理得：x4，随着 x 的增大，y 减小，当 x 取到最小值时，y 取到最大值，把 x4 代入 y1.5x +10，解得：y4，y 关于 x 的函数关系式为 y 1.5
39、x+10，y 的最大值为 4，（2）AE：AF1：2，EQ：FQ1：3，正方形 ABCD 边长为 3，AE1，AF2，甲的面积为 4 124（m 2），EF ，设 EQy，FQ3y ，则 y2+（3y） 2 5，解得：y ，乙的面积为 4 3（m 2），丙的面积为 9342（m 2），设甲的单价为 m 元/ ，则乙的单价为（300m ）元/ m2，丙的单价为 n 元/ m2，根据题意得：4m+3（300m）+2n1620，整理得：n360 ，n300，即 360 300，解得：m120，答：甲的单价取值范围为120 元【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键：（1）根据等量关系列出一元一次方
40、程， 根据数量关系列出一次函数的解析式和不等式，再利用函数的增减性求最值，（2）根据不等量关系列出不等式24（14 分）如图在矩形 ABCD 中，AB8，过对角线 AC 的中点 O 作直线 PE，交 AB 于点 P，交 CD 于点 Q，交射线 AD 于点 E，连接 CE，作点 Q 关于 CE 对称的对称点Q，以 Q为圆心，为 CQ半径作Q，交 CE 于点 M，设 BCx（1）请说明AOPCOQ 的理由（2）若 AP5，请用 x 的代数式表示 DE 的长当 DQM 为直角三角形时，请求出所有满足条件的 BC 的值（3）若存在Q同时与直线 AC 和直线 AD 相切，请直接写出 Q的半径【分析】（1
41、）根据 ASA 证明AOPCOQ ；（2） 根据 ABDQ，可得APEDQE ，则 ，可得 DE 的长；当 DQM 为直角三角形时，存在 2 种情况：i）当DQM 90时，如图 2，则CQM 90，作辅助线，证明菱形 QCQM 是正方形，得 CDDE8 x，可得 BC 的长；ii）当QDM 90时，如图 3，此时 M 与 E 重合，同理得：四边形 QCQM 是菱形，DE4 x，可得 BC 的长；（3）如图 4，同理可得四边形 QCQE 是菱形，证明AEOCEOCEQ30，根据三角函数或勾股定理可得 AC、OC 和 CQ 的长，则得 CQ的长，即Q的半径【解答】解：（1）四边形 ABCD 为矩形
42、，ABCD，PAOQCO，O 为对角线 AC 的中点，AOCO，在APO 和COQ 中，APOCOQ；（2） AP 5，AB8，DCAB 8，CQAB5，DQ3，ABDQ，APE DQE， ，即 ，DE x；当 DQM 为直角三角形时，存在 2 种情况：i）当DQM 90时，如图 2，则CQM 90，连接 QM、QQ，QQ与 CM 交于 H，Q、Q关于 CE 对称，QQCE，QHQH，CQMQ ，CHMH，四边形 QCQM 是菱形，CQM90，菱形 QCQM 是正方形，QCM45CDDE8 x，x ，即 BC ；ii）当QDM 90时，如图 3，此时 M 与 E 重合，连接 QM、QQ，同理得
43、：四边形 QCQM 是菱形，QECQ5，DQ3，DE4 x，x ，即 BC ；综上所述，当DQM 为直角三角形时，满足条件的 BC 的值是 或 ；（3）如图 4，同理可得四边形 QCQE 是菱形，PECQ，CEOCEQ，AC 是Q的切线，ACCQ ，ACPE，AOOC，AECE，AEOCEO，AEOCEOCEQ，AE 是Q的切线，AEQ90，AEOCEOCEQ30，ACD30，RtACD 中， ABCD8， cos30 ， ，AC ，OC ，CQCQ ，即Q的半径为 【点评】本题是圆和四边形的综合题，考查了相似三角形和全等三角形的性质和判定、菱形和正方形的性质和判定、圆的切线的性质、勾股定理和三角函数，第二问的关键是分类讨论利用菱形的性质和方程的思想求解，第三问的难点在于正确画出图形，确定AEOCEOCEQ30，注意数形结合思想的运用，难度较大
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