1、9.4 矩形菱形正方形第 5 课时正方形的性质与判定练习一、选择题1下列条件中，不能判定一个平行四边形是正方形的是 ( )链 接 听 课 例 1归 纳 总 结A对角线相等且互相垂直B一组邻边相等且有一个角是直角C对角线相等且有一组邻边相等D对角线互相平分且有一个角是直角2如图 K201，在 ABCD 中， E 为 BC 边上一点，以 AE 为边作正方形 AEFG，若 BAE40， CEF15，则 D 的度数是( )A65 B55C70 D75图 K201图 K2023如图 K202，把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN
2、上的点 F 处，折痕为 BE.若 AB 的长为 2，则 FM 的长为( )A2 B. C. D13 2二、填空题4如图 K203，已知正方形 ABCD，点 E 在边 DC 上， DE2， EC1，则 AE 的长为_图 K203图 K2045已知：如图 K204，在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形 ADE，则 BED_.62016南京 如图 K205，菱形 ABCD 的面积为 120 cm2，正方形 AECF 的面积为50 cm2，则菱形 ABCD 的边长为_cm.图 K205图 K2067如图 K206，正方形 ABCD 的边长为 8，点 M 在 DC 上，且 DM2， N 是 AC 上的
3、一个动点，则 DN MN 的最小值为_三、解答题82018吉林 如图 K207，在正方形 ABCD 中，点 E， F 分别在 BC， CD 上，且BE CF，求证： ABE BCF.图 K2079如图 K208，在正方形 ABCD 中， E 是边 AB 的中点， F 是边 BC 的中点，连接CE， DF.求证： CE DF.图 K208102018盐城 在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直线上有两点 E， F 满足BE DF，连接 AE， AF， CE， CF，如图 K209 所示(1)求证： ABE ADF；(2)试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由图 K20911如图 K2
4、010，在正方形 ABCD 中，点 E(与点 B， C 不重合)是 BC 边上一点，将线段 EA 绕点 E 顺时针旋转 90到 EF 的位置，过点 F 作 BC 的垂线交 BC 的延长线于点 G，连接 CF.(1)求证： ABE EGF；(2)若 AB2， S ABE2 S ECF，求 BE 的长图 K2010探究题 在 ABC 中， BAC90， AB AC， D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与点 B， C重合)，以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF，连接 CF.(1)观察猜想：如图 K2011，当点 D 在线段 BC 上时， BC 与 CF 的位置关系为_； BC， CD，
5、 CF 之间的数量关系为_(将结论直接写在横线上)(2)数学思考：如图，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，(1)中的结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论，再给予证明(3)拓展延伸：如图，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，延长 BA 交 CF 于点 G，连接 GE.若已知AB2 ， CD BC，请求出 GE 的长214图 K2011参考答案课堂达标1解析 D A对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故本选项错误； B.一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故本选项错误； C.对角线相等且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，故本选项错误； D
6、.对角线互相平分且有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项正确故选 D.2解析 A 四边形 AEFG 是正方形，AEF90.CEF15，AECAEFCEF9015105，BAECBAE1054065.四边形 ABCD 是平行四边形，DB65.故选 A.3答案 B4答案 13解析 四边形 ABCD 是正方形，ADDC，D90.DE2，EC1，ADDC213.在 RtADE 中，D90，AD3，DE2，AE .AD2 DE2 32 22 135答案 45解析 由题意，得 ABADAE，BAD90，DAEAED60，所以BAE150，所以AEB15，所以BEDAEDAEB60154
7、5.6答案 13解析 如图，连接 AC 和 BD 交于点 O，由题意可知，B，E，F，D 四点都在菱形 ABCD的对角线 BD 上，设 AC2a cm，BD2b cm，根据菱形与正方形的面积计算公式，可得 (2a)2 50，解得 a5(负值已舍去)，且 2a2b120，解得 b12，所以 AB12 12 13( cm)故答案为 13.a2 b2 52 1227答案 10 解析 利用正方形的轴对称性，点 B，D 关于直线 AC 对称，连接 BM 交 AC 于点 N，N就是所求的点，它使 DNMN 最小在 RtMBC 中，BMDNMN MC2 BC210.（ 8 2） 2 828证明：四边形 AB
8、CD 是正方形，ABBC，ABEBCF90.在ABE 和BCF 中， AB BC， ABE BCF，BE CF， )ABEBCF.9证明：四边形 ABCD 是正方形，ABBCCD，EBCFCD90.又E，F 分别是 AB，BC 的中点，BE AB，CF BC，BECF.12 12在CEB 和DFC 中， BC CD， EBC FCD，BE CF， )CEBDFC，CEDF.10解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，ABAD，ABDADB，ABEADF.在ABE 与ADF 中，AB AD， ABE ADF，BE DF， )ABEADF( SAS)(2)四边形 AECF 是菱形理由：连接 A
9、C 交 BD 于点 O，如图所示四边形 ABCD 是正方形，OAOC，OBOD，ACEF，OBBEODDF，即 OEOF.OAOC，OEOF，四边形 AECF 是平行四边形又ACEF，四边形 AECF 是菱形11解：(1)证明：线段 EA 绕点 E 顺时针旋转 90到 EF 的位置，EFAE，EFAE，FEGAEB90.四边形 ABCD 是正方形，B90，EABAEB90，EABFEG.过点 F 作 BC 的垂线 FG，G90，BG.在ABE 和EGF 中， B G， EAB FEG，AE EF， )ABEEGF.(2)由(1)知ABEEGF，S ABE S EGF ，ABEG2.S ABE
10、2S ECF ，S EGF 2S ECF ，S CGF S ECF .CGF 和ECF 的底边 CG，EC 上的高均是 FG，ECCG EG1，12BEBCECABEC1.故 BE 的长是 1.素养提升解：(1)在正方形 ADEF 中，ADAF.BACDAF90，BADCAF.在DAB 与FAC 中， AD AF， BAD CAF，AB AC， )DABFAC，ABDACF，ACBACFACBABD90，即 CFBC.故答案为垂直由知DABFAC，BDCF.BCBDCD，BCCFCD.故答案为 BCCFCD.(2)当点 D 在线段 CB 的延长线上时，(1)中的结论仍然成立，结论不成立，正确结
11、论：BCCDCF.证明：四边形 ADEF 是正方形，ADAF，DAF90.BACDAF90，BADCAF.在DAB 与FAC 中， AD AF， BAD CAF，AB AC， )DABFAC，ABDACF，BDCF.BAC90，ABAC，ABCACB45，ACFABD180ABC135，DCFACFACB90，CFBC.BCCDBD，BCCDCF.综上所述，BCCF 且 BCCDCF.(3)如图，过点 A 作 AHBC 于点 H，过点 E 分别作 EMBD 于点 M，ENCF 于点 N.BAC90，ABAC，AB2 ，2BC4，AH BC2.12CD BC1，CH BC2，14 12DH3.由(2)证得 BCCF，CFBD5.四边形 ADEF 是正方形，ADDE，ADE90.BCCF，EMBD，ENCF，四边形 CMEN 是矩形，ENCM，EMCN.AHDADEDME90，ADHEDMEDMDEM90，ADHDEM.在ADH 与DEM 中， ADH DEM， AHD DME，AD DE， )ADHDEM，EMDH3，DMAH2，CNEM3，ENCM3.ABC45，BCF90，BGC45，BCG 是等腰直角三角形，CGBC4，GN1，GE .GN2 EN2 10
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