1、哈尔滨市香坊区四中 2019 届第二次模拟综测数学试题一选择题（每题 3 分，满分 30 分）1|2|等于（ ）A2 B C2 D2下列运算正确的是（ ）A3 x2 x B （2 x2） 38 x5C xx4 x5 D （ a+b） 2 a2+b23下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D4反比例函数 y 图象经过 A（1，2） ， B（ n，2）两点，则 n（ ）A1 B3 C1 D35如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中周长最小的是（ ）A主视图 B左视图 C俯视图 D三种一样6已知关于 x 的不等式组 的整数解共有 5 个，则
2、 a 的取值 范围是（ ）A4 a3 B4 a3 C a3 D4 a7某车间原计划 13 小时生产一批零件，后来每小时多生产 10 件，用了 12 小时不但完成任务，而且还多生产 60 件，设原计划每小时生产 x 个零件，则所列方程为（ ）A13 x12（ x+10）+60 B12（ x+10）13 x+60C D8如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离 BC 为 30m，在 A 点测得 D 点的仰角 EAD 为 45，在 B 点测得 D 点的仰角 CBD 为 60，则乙建筑物的高度为（ ）米A30 B30 30 C30 D309如图，在 ABC 中， DE BC，若 ，则 S ADE：
3、 S ABC等于（ ）A4：25 B2：5 C4：9 D4：2110一列动车从 A 地开往 B 地，一列普通列车从 B 地开往 A 地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为 x（小时） ，两车之间的距离为 y（千米） ，如图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系，下列说法中正确的是：（ ） AB 两地相距 1000 千米；两车出发后 3 小时相遇；普通列车的速度是 100 千米/小时；动车从 A 地到达 B 地的时间是 4 小时A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二填空题（满分 30 分，每小题 3 分）11将数 12000000 科学记数法表示为 12函数 y 中，自变量 x
4、 的取值范围是 13计算：（ + ） 的结果是 14把多项式 8a32 a 分解因式的结果是 15扇形的圆心角为 80，弧长为 4 cm，则此扇形的面积等于 cm216二次函数 y2 x212 x+13 的最小值是 17在正方形网格中， ABC 的位置如图所示，则 cosA 的值为 18如图， AB 是 O 的直径，点 C 是半圆 AB 上一点，过点 C 作 O 的切线 CD 交 AB 的延长线于点 D，若 A25，则 D 的度数是 19已知直线的解析式为 y ax+b，现从1，2，3，4 四个数中任选两个不同的数分别作为 a、 b 的值，则直线 y ax+b 同时经过第一象限和第二象限的概率
5、是 20如图，将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠，顶点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，若DE5， AB8，则 S ABF： S FCE 三解答题21 （7 分）先化简再求值： （ a ） ，其中 a2cos30+1， btan4522 （7 分）如图，在正方形网格中有一条线段 AB（网格中每个小正方形的边长均 为 1 个单位） ，其端点 A、 B 均在小正方形的顶点上（1）在图中画出面积为 4 的等腰 ABC，且点 C 在小正方形的顶点上（画出一种即可） ；（2）在图中画出平行四边形 AEBD，且点 D 和点 E 均在小正方形的顶点上，tan EBD2，连接 CE，请直接写出线段 C
6、E 的长（画出一种即可） 23 （8 分）每年的 4 月 23 日为“世界读书日” ，为了解学生一年的课外阅读量，某校“阅读越乐“读书社团对全校 2000 名学生采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查结果分为四种情况： A.10 本以下； B.1015 本； C.1620 本； D.20 本以上，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图（1）在这次调查中一共抽查了 名学生；（2）请补全条形统计图；（3）在扇形统计图中， C 部分所对应的扇形的圆心角是 度；（4）根据抽样调查结果，请估计全校学生中阅读课外书 20 本以上的学生人数24 （8 分）如图，在 ABCD 中， E， F 为对角线 BD
7、 上的两点，且 DAE BCF求证：（1） AE CF；（2）四边形 AECF 是平行四边形25 （10 分）纸箱厂用如图 1 所示的长方形和正方形纸板，做成如图 2 所示的竖式与横式两种长方体形状的有底无盖纸盒（给定的长方形和正方形纸板都不用裁剪） （1）若有 150 张正方形硬纸片和 300 张长方形硬纸片恰好全部用完，可供制作竖式与横式纸盒各多少个？（2）现有正方形纸板 172 张，长方形纸板 330 张若要生产两种纸盒共 100 个，有哪几种生产方案？（3）在（2）条件下，若每个竖式纸盒获利 2 元，横式纸盒获利 3 元，求上述哪种方案销售利润最大？最大利润是多少？（4）若有正方形纸板
8、 112 张，长方形纸板 a 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完若已知 200 a210，则 a 的值是 （直接写答案）26 （10 分）解决问题：（1）如图，半径为 4 的 O 外有一点 P，且 PO7，点 A 在 O 上，则 PA 的最大值和最小值分别是 和 （2）如图，扇形 AOB 的半径为 4， AOB45， P 为弧 AB 上一点，分别在 OA 边找点 E，在 OB 边上找一点 F，使得 PEF 周长的最小，请在图中确定点 E、 F 的位置并直接写出 PEF 周长的最小值；拓展应用（3）如图，正方形 ABCD 的边长为 4 ； E 是 CD 上一点（不与 D、 C 重合） ， CF
9、BE于 F， P 在 BE 上，且 PF CF， M、 N 分别是 AB、 AC 上动点，求 PMN 周长的最小值27 （10 分）在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y ax2+bx+c 与 x 轴交于点A（1，0） ， B（3，0） ，与 y 轴交于点 C（0，3） ，顶点为 G（1）求抛物线和直线 AC 的解析式；（2）如图 1，设 E（ m，0）为 x 轴上一动点，若 CGE 和 CGO 的面积满足 SCGE S CGO，求点 E 的坐标；（3）如图 2，设点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴向右运动，运动时间为 ts，点 M 为射线 AC 上一动
10、点，过点 M 作 MN x 轴交抛物线对称轴右侧部分于点N试探究点 P 在运动过程中，是否存在以 P， M， N 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由参考答案一选择题1解：由于|2|2，故选 C2解： A、3 x 和2 不是同类项，不能合并，此选项错误；B、 （2 x2） 38 x6，此选项错误；C、 xx4 x5，此选项计算正确；D、 （ a+b） 2 a2+2ab+b2，此选项错误；故选： C3解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，是中心对 称图形；C、不是轴对称图形，是中心对称图形；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形故选：
11、B4解：反比例函数 y 图象经过 A（1，2） ， B（ n，2）两点， k122 n解得 n1故选： C5解：如图，该几何体正视图是由 5 个小正方形组成，左视图是由 3 个小正方形组成，俯视图是由 5 个小正方形组成，故三种视图周长最小的是左视图故选： B6解：解不等式 x a0，得： x a，解不等式 32 x0，得： x1.5，不等式组的整数解有 5 个，4 a3故选： B7解：设原计划每小时生产 x 个零件，则实 际每小时生产（ x+10）个零件根据等量关系列方程得：12（ x+10）13 x+60故选： B8解：如图，过 A 作 AF CD 于点 F，在 Rt BCD 中， DBC
12、60， BC30 m，tan DBC ， CD BCtan6030 m，甲建筑物的高度为 30 m；在 Rt AFD 中， DAF45， DF AF BC30 m， AB CF CD DF（30 30） m，乙建筑物的高度为（30 30） m故选： B9解： ， ， DE BC， ADE ABC， （ ） 2（ ） 2 ，即 S ADE： S ABC等于 4：25，故选： A10解：由图象可得，AB 两地相距 1000 千米，故正确，两车出发后 3 小时相遇，故正确，普通列车的速度是： 千米/小时，故错误，动车从 A 地到达 B 地的时间是：1000（ ）4（小时） ，故正确，故选： C二填空
13、题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）11解：12 000 0001.210 7，故答案是：1.210 7，12解：根据题意，得： ，解得： x2 且 x2，故答案为： x2 且 x213解：（ + ） + ，故答案为： 14解：8 a32 a2 a（4 a21）2 a（2 a+1） （2 a1） 故答案为：2 a（2 a+1） （2 a1） 15解：设扇形的半径为 r，由题意：4 ，解得 r9（ cm） S 18（ cm） 2故答案为 1816解： y2 x212 x+132（ x3） 25，当 x3 时，函数值 y 有最小值，最小值为5，故答案为517解：如图，在 Rt AC
14、E 中， CE3， AE4， AC 5cos A故答案为：18解：连接 OC， OA OC， A OCA25 DOC A+ ACO50 CD 是的切线， OCD90 D180905040故答案为：4019解：画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中直线 y ax+b 同时经过第一象限和第二象限的结果数为 3，所以直线 y ax+b 同时经过第一象限和第二象限的概率 故答案为 20解：四边形 ABCD 是矩形 B C D90， AB CD8 DE5 ， EC3折叠 DE EF5， D AFE90在 Rt EFC 中， FC 4 AFE90， C90 AFB+ EFC90， EFC+ FEC
15、90 AFB FEC，且 B C90 ABF FCE （ ） 24故答案为：4三解答题（共 7 小题，满分 60 分）21解：原式 （ ） ，当 a2cos30+12 +1 +1， btan451 时，原式 22解：（1）如图所示， ABC 即为所求：（2）平行四边形 AEBD 如图所示，平行四边形 AEBD 即为所求：CE 23解：（1）在这次调查中一共抽查学生 2010%200 名，故答案为：200；（2） B 调查结果的人数为 20030%60 人，则 C 调查结果的人数为 200（20+60+40）80 人，补全图形如下：（3）扇形统计图中， C 部分所对应的扇形的圆心角是 360 1
16、44，故答案为：144（4）估计全校学生中阅读课外书 20 本以上的学生人数为 2000 400 人24证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD， AB CD， DAB BCD DAE BCF， ABE CDF， BAE DCF在 ABE 和 CDF 中， ABE DCF（ ASA） AE CF（2） ABE DCF， AEB CFD， AEF CFE， AE CF， AE CF，四边形 AECF 是平行四边形25解：（1）设可供制作竖式纸盒 x 个，横式纸盒 y 个，根据题意得： ，解得： 答：可供制作竖式纸盒 30 个，横式纸盒 60 个（2）设生产竖式纸盒 m 个，则生产
17、横式纸盒（100 m）个，根据题意得： ，解得：28 m30，有 3 种生产方案，方案一：生产 28 个竖式纸盒、72 个横式纸盒；方案二：生产 29 个竖式纸盒、71 个横式纸盒；方案三：生产 30 个竖式纸盒、70 个横式纸盒（3）设销售利润 为 w 元，根据题意得： w2 m+3（100 m） m+30010， w 随 m 的增大而减小，当 m28 时， w 取最大值，最大值为 272答：方案一的销售利润最大，最大利润为 272 元（4）设可供制作竖式纸盒 b 个，横式纸盒 c 个，根据题意得： ，解得： a4485 c，200 a210， a203 或 208故答案为：203 或 20
18、826解：（1）如图，圆外一点 P 到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线 OP 上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离 PA 的最大值 PA2 PO+OA27+411，PA 的最小值 PA1 PO OA1743，故答案为 11 和 3；（2）如图，以 O 为圆心， OA 为半径，画弧 AB 和弧 BD，作点 P 关于直线 OA 的对称点P1，作点 P 关于直线 OB 的对称点 P2，连接 P1、 P2，与 OA、 OB 分别交于点 E、 F，点E、 F 即为所求连接 OP1、 OP2、 OP、 PE、 PF，由对称知识可知， AO
19、P1 AOP， BOP2 BOP， PE P1E， PF P2F AOP1+ BOP2 AOP+ BOP AOB45 P1OP245+4590， P1OP2为等腰直角三角形， P1P2 ， PEF 周长 PE+PF+EF P1E+P2F+EF P1P2 ，此时 PEF 周长最小故答案为 4 ；（3）作点 P 关于直线 AB 的对称 P1，连接 AP1、 BP1，作点 P 关于直线 AC 的对称 P2，连接 P1、 P2，与 AB、 AC 分 别交于点 M、 N由对称知识可知， PM P1M， PN P2N， PMN 周长 PM+PN+MN PM1+P2N+MN P1P2，此时， PMN 周长最
20、小 P1P2由对称性可知， BAP1 BAP， EAP2 EAP， AP1 AP AP2， BAP1+ EAP2 BAP+ EAP BAC45 P1AP245+4590， P1AP2为等腰直角三角形， PMN 周长最小值 P1P2 ，当 AP 最短时，周长最小连接 DF CF BE，且 PF CF， PCF45， ACD45， PCF ACD， PCA FCD又 ，在 APC 与 DFC 中， ， PCA FCD APC DFC， ， BFC90，取 AB 中点 O点 F 在以 B C 为直径的圆上运动，当 D、 F、 O 三点在同一直线上时， DF 最短DF DO FO ， AP 最小值为此
21、时， PMN 周长最小值 P1P2 27解：（1）抛物线 y ax2+bx+c 过点 A（1，0） ， B（3，0） ， C（0，3） ，解得：抛物线解析式为： y x2+2x+3设直线 AC 解析式为 y kx+3 k+30 得： k3直线 AC 解析式为： y3 x+3（2）延长 GC 交 x 轴于点 F，过 G 作 GH x 轴于点 H y x2+2x+3（ x1） 2+4 G（1，4） ， GH4 S CGO OCxG 31 S CGE S CGO 2，若点 E 在 x 轴正半轴上设直线 CG： y k1x+3 k1+34 得： k11直线 CG 解析式： y x+3 F（3，0） E
22、（ m，0） EF m（3） m+3 S CGE S FGE S FCE EFGH EFOC EF（ GH OC） （ m+3）（43） 2 解得： m1 E 的坐标为（1，0）若点 E 在 x 轴负半轴上，则点 E 到直线 CG 的距离与点（1，0）到直线 CG 距离相等即点 E 到 F 的距离等于点（1，0）到 F 的距离 EF3 m1（3）4解得： m7 即 E（7，0）综上所述，点 E 坐标为（1，0）或（7，0）（3）存在以 P， M， N 为顶点的三角形为等腰直角三角形设 M（ e，3 e+3） ，则 yN yM3 e+3若 MPN90， PM PN，如图 2过点 M 作 MQ x
23、 轴于点 Q，过点 N 作 NR x 轴于点 R MN x 轴 MQ NR3 e+3Rt MQPRt NRP（ HL） PQ PR， MPQ NPR45 MQ PQ PR NR3 e+3 xN xM+3e+3+3e+37 e+6，即 N（7 e+6，3 e+3） N 在抛物线上（7 e+6） 2+2（7 e+6）+33 e+3解得： e11（舍去） ， e2 AP t， OP t1， OP+OQ PQ t1 e3 e+3 t4 e+4若 PMN90， PM MN，如图 3 MN PM3 e+3 xN xM+3e+34 e+3，即 N（4 e+3，3 e+3）（4 e+3） 2+2（4 e+3）+33 e+3解得： e11（舍去） ， e2 t AP e（1）若 PNM90， PN MN，如图 4 MN PN3 e+3， N（4 e+3，3 e+3）解得： e t AP OA+OP1+4 e+3综上所述，存在以 P， M， N 为顶点的三角形为等腰直角三角形， t 的值为 或 或
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