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    江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题含附加题(有答案)

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    江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题含附加题(有答案)

    1、江苏省南通市 2019 届高三适应性考试数学参考公式:球体体积公式: ( 为球的半径).34=rV球 p样本数据 的方差 其中 12nxxL, , , 221()niisx, 1nix一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上1. 已知集合 , ,则集合 = 1357A, , , 013B, , AB2. 若 ,其中 为虚数单位, ,则 的值为 i=ab+-iabR, a3. 已知一组数据 7,8,11,14,15,则该组数据的方差为 4. 一个算法的流程图如图所示,则输出的 的值为 5. 函数 的定义域为 2()ln4)

    2、fx=-6. 一根绳子长为 5 米,若将其任意剪为两段,则剪成的两段绳子的长度有一段大于 3 米的概率为 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 210xya( ) 的离心率为 ,则该双曲线的焦距为 238. 某长方体的长、宽、高分别为 2 cm,2 cm,4 cm ,则该长方体的体积与其外接球的体积之比为 9. 已知等差数列 满足 ,且 , , 成等比数列,则 的所有值为 na41a243a10在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O1: 与圆 O2: 的9xy240xy公共弦的长为 11 若函数 存在零点,且与函数 的零点完全相同,则实2()()fxaR()fx数a 的值为 12如图,在直

    3、角ABC 中, , ,90ACB60AC以 为直径向ABC 外作半圆,点 在半圆4AB P输出 a10na,4结束(第 4 题)开始 3a1nNYA BCP(第 12 题)图B DACFEB(第 15 题)弧 上,且满足 ,则 的值为 ABC=6BPACP13. 在 中,已知 AB 边上的中线 CM ,且 成等差数列,则11tanttanACB, ,的长为 14. 已知函数 ,若存在实数 使得 ,则 a+2b 的最大值()e1xf=-()ab, ()aff=为 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 (本小题满

    4、分 14 分)如图,在三棱锥 ABCD 中,ABBC, , BEAC,点 F 是 的42BC=CD中点, , 3EF=5B求证:(1)EF平面 ABD; (2)平面 ABC平面 ADC16 (本小题满分 14 分)在 中,已知 AB = 2 , , ABC2cos10B4Cp=(1)求 的长;(2)求 的值sin(2)3p+17 (本小题满分 14 分)如图所示,现有一张边长为 10 cm 的正三角形纸片 ABC,在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形 ADA1F1,BD 1B1E,CE 1C1F(剪去的四边形均有一组对角为直角) ,然后把三个矩形 A1B1D1D,B 1C1E1E,A

    5、 1C1FF1 折起,构成一个以 A1B1C1 为底面的无盖正三棱柱(1)若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为 3,求该三棱柱的高;(2)求所折成的正三棱柱的体积的最大值18 (本小题满分 16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 经过点 .设椭2:1yxCab=(0)312( , )圆 C 的左顶点为 A,右焦点为 ,右准线与 x 轴交于点 ,且 F 为线段 AM 的中点.FM(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若过点 A 的直线 与椭圆 C 相交于另一点 P(P 在 轴上方) ,直线 PF 与椭圆 Cl x相交于另一点 Q,且直线 与 垂直,求直线 的斜率.lOQ(第 18

    6、 题)xO FA MyPQD BC (第 17 题)A1C1B1AED1E1FF119 (本小题满分 16 分)设函数 ,其中 e 为自然对数的底数()eln()xfa=-R(1)当 时,判断函数 的单调性;02lnfxa-20 (本小题满分 16 分)定义:从数列 中抽取 项按其在 中的次序排列形成一个新数列na(3)mN, na,则称 为 的子数列;若 成等差(或等比) ,则称 为 的等差nb nbnbna(或等比)子数列(1) 记数列 的前 项和为 ,已知 nanS21n 求数列 的通项公式; 数列 是否存在等差子数列,若存在,求出等差子数列;若不存在,请na说明理由(2) 已知数列 的

    7、通项公式为 ,证明: 存在等比子数列nna+()Qna2019 届高三适应性考试数学(附加题 )21 【选做题】本题包括 A、 B、C 三小题,请选定其中两题,并在答题卡相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分)已知 1 是矩阵 的一个特征值,求点(1,2)在矩阵 对应的变换作用下得0aAA到的点的坐标B选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)已知曲线 C 的极坐标方程为 以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立2sin平面直角坐标系,直线 l 的参数方程 为 (t 为参数) 1

    8、32xty,(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;(2)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长(第 23 题)OFHEAPyBGxC选修 45:不等式选讲(本题满分 10 分)已知关于 的不等式 的解集为 ,其中 x20xmn|12xmnR,求证: (1)3(1)45x【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答22(本小题满分 10 分)已知正四棱锥 的底面边长和高都为 2现从该棱锥的 5 个顶点中随机PABCD选取 3 个点构成三角形,设随机变量 表示所得三角形的面积X(1)求概率 的值;(2)X(2)求随机变量 的概率分布及

    9、其数学期望 ()E23(本小题满分 10 分)已知抛物线 C: 的焦点为 F,过 F 且斜率为 的直线 与抛物线 C 交2ypx(0)43l于 A,B 两点,B 在 x 轴的上方,且点 B 的横坐标为 4(1) 求抛物线 C 的标准方程;(2) 设点 P 为抛物线 C 上异于 A,B 的点,直线 PA 与 PB 分别交抛物线 C 的准线于E,G 两点,x 轴与准线的交点为 H,求证:HG HE 为定值,并求出定值CA BDP(第 22 题)2019 届高三适应性考试数学参考答案及评分建议一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分1. 已知集合 , ,则集合 = 1357A,

    10、 , , 013B, , AB【答案】 ,2. 若 ,其中 为虚数单位, ,则 的值为 i=1ab+-iabR, a【答案】-23. 已知一组数据 7,8,11,14,15,则该组数据的方差为 【答案】104. 一个算法的流程图如图所示,则输出的 的值为 a【答案】95. 函数 的定义域为 2()ln4)fx=-【答案】 ,6. 一根绳子长为 5 米,若将其任意剪为两段,则剪成的两段绳子的长度有一段大于 3 米的概率为 【答案】 457. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 210xya( ) 的离心率为 ,则该双曲线的焦距为 23【答案】 4 输出 a10na,4结束 (第 4 题)开始

    11、3a1nN Y8. 某长方体的长、宽、高分别为 2 cm,2 cm,4 cm,则该长方体的体积与其外接球的体积之比为 【答案】 6: 3p9. 已知等差数列 满足 ,且 , , 成等比数列,则 的所有值为 na41a243a【答案】3,410 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O1: 与圆 O2: 的29xy240xy公共弦的长为 【答案】 12511 若函数 存在零点,且与函数 的零点完全相同,则实2()1()fxaR()fx数的值为 a【答案】112如图,在直角ABC 中, , ,90ACB60AC以 为直径向ABC 外作半圆,点 在半圆4AB P弧 上,且满足 ,则 的值为 C=6P【答

    12、案】 713. 在 中,已知 AB 边上的中线 CM ,且 成等差数列,则AB11tanttanACB, ,的长为 【答案】 23解析:在 中,根据中线长公式 ,得 ABC22abcCM22cab由 成等差数列,11tanttan, ,得 ,从而2tttAB,22sin()sico sininicosicoCABCCcabA BCP(第 12 题)B DACFEB(第 15 题)解得, 23c14. 已知函数 ,若存在实数 使得 ,则 a+2b 的最大值()e1xf=-,()ab()aff=为 【答案】 32ln7解析: ,则 ,解得 , ,()fabte1abt-=ln(1)at=-ln(1

    13、+)bt所以 2+2ln()l(+)ln(1)ttt=-设 ,则 2()10gttt-()1312( , )圆 C 的左顶点为 A,右焦点为 ,右准线与 x 轴交于点 ,且 F 为线段 AM 的中点.FM(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若过点 A 的直线 与椭圆 C 相交于另一点 P(P 在 轴上方) ,直线 PF 与椭圆 Cl x相交于另一点 Q,且直线 与 垂直,求直线 的斜率.lOQ【解】 (1)因为 , , ,且 F 为 AM 的中点(0)Aa, ()Fc,2(0)aMc,所以 ,则 222+-=即 ,所以 2 分()0caac223bac(第 18 题)xO FA MyPQ因为点

    14、 在椭圆上,312( , )所以 , 4 分294ab+=又因为 ,所以 ,则 , 23c1c=24a223bac=所以椭圆的标准方程为 6 分24xy(2)由题意直线 AP 的斜率必存在且大于 ,0设直线 AP 的方程为: ,(2)ykx()k代入椭圆方程并化简得: , 22341610x因为 ,21634Pkx得 , , 828228()34Pkky分当 时,PQ 的斜率不存在,此时 不符合题意 214k 0OQAP当 时,直线 PQ 的方程为: ,24(1)kyx因为 ,所以直线 OQ 的方程为: , 120OQAP分两直线联立解得: ,因为 在椭圆上, 2(4)k, Q所以 ,化简得:

    15、 ,即 ,421613k=22(3)(610k6k因为 ,所以 , 14 分06此时 .2()3Q,直线 的斜率为 . 16 分P619 (本小题满分 16 分)设函数 ,其中 e 为自然对数的底数()eln()xfa=-R(1)当 时,判断函数 的单调性;02lnfa-解:(1) 函数 的定义域为 ()eln()xf-R(0), +因为 ,所以 ,0a所以 在区间上单调递增 2 分()fx(2) 设切点为 ,则 ,00eln)xa, -00elnexa-=因为 ,所以 ,得 ,()xf=0x-0x所以 4 分00elnexx-设 ,则 ,g()lx=g()1)elnxx=-所以当 时, ,

    16、单调递增,01当 时, , 单调递减,xg()x()所以 6 分max1e=因为方程 仅有一解 ,00lnx- 01x=所以 8 分e(3) 因为 ,e()xxaf-=-设 ,则 ,所以 单调递增e0)xh()1e0xh=+()hx因为 , , 10 分(0)a-0hxfxf所以 120min0()()elnffa=-分因为 ,所以 , , 140exa-=0exa00lnxa=-分所以 160min000()el(l)ln2lxf xax-+-分20 (本小题满分 16 分)定义:从数列 中抽取 项按其在 中的次序排列形成一个新数列na(3)mN, na,则称 为 的子数列;若 成等差(或等

    17、比) ,则称 为 的等差nb nbnbna(或等比)子数列(1) 记数列 的前 项和为 ,已知 nanS21n 求数列 的通项公式; 数列 是否存在等差子数列,若存在,求出等差子数列;若不存在,请na说明理由(2) 已知数列 的通项公式为 ,证明: 存在等比子数列nna+()Qna解:(1) 因为 ,所以当 时, , 21S112当 时, ,所以 n1n 11()()2nnna综上可知: 2 分2na假设从数列 中抽 项 , , 成等差,3kalm()kl-lk-所以 为偶数, 为奇数,所以 不成立2lk12mk21lmk因此,数列 不存在三项等差子数列 6 分na若从数列 中抽 项,其前三项

    18、必成等差数列,不成立(,4)N综上可知,数列 不存在等差子数列 8 分na(2) 假设数列 中存在 项 , , 成等比30a0nk0al()k设 ,则 ,故可设 (p 与 q 是互质的正整数) 0nab+Qb则需满足 , 12 分200()()knal即需满足 ,则需满足 bl22kpkbq取 ,则 14kq2lkpq分此时 ,22 2()()bqpp2qlq故此时 成立2()()bkl因此数列 中存在 项 , , 成等比,na30na0k0nal()k所以数列 存在等比子数列 16 分数学( 附加题)21 【选做题】本题包括 A、 B、C、D 四小题,请选定两题,并在相应的答题区域内作答已知

    19、 1 是矩阵 的一个特征值,求点(1,2)在矩阵 对应的变换作用下得0a A到的点的坐标【解】因为矩阵 A 的特征多项式为 ,1()()202af a因为 1 是矩阵 的一个特征值,所以 ,()f解得 ,所以矩阵 6 分a=102A因此 13024A所以点(1,2)在矩阵 对应的变换作用下得到的点为(3,4) 10 分AB选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分)已知曲线 C 的极坐标方程为 以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立2sin平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) 132xty,(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;(2)求直线

    20、l 被曲线 C 所截得的弦长【解】 (1)因为曲线 C 的极坐标方程可化为 2sin且 , 22sinxy,所以曲线 C 的直角坐标方程为 20xy直线 l: (t 为参数)的普通方程为 6 分132xy 32yx(2)圆心 到直线 l: 的距离为 ,(01), 32x213d又因为半径为 1,所以弦长为 10 分21()C选修 45:不等式选讲(本题满分 10 分)已知关于 的不等式 的解集为 ,其中 x20xmn|12xmnR,求证: (1)3(1)45x【解】因为关于 的不等式 的解集为 ,x20n|12x所以 3 分=1+3=mn,所以 ,()(1)4234xxx由柯西不等式可得, ,

    21、222)(1)(3)(4)5x当且仅当 ,即 时取等号234xx6345,所以, 10 分(1)3(1)45mxnx【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分请在答卷纸指定区域内作答22(本小题满分 10 分)已知正四棱锥 的底面边长和高都为 2现从该棱锥的 5 个顶点中随机PABCD选取 3 个点构成三角形,设随机变量 表示所得三角形的面积X(1)求概率 的值;(2)X(2)求随机变量 的概率分布及其数学期望 ()E解:(1)从 5 个顶点中随机选取 3 个点构成三角形,共有 种取法其中 的三角形如ABD,3=10C2X这类三角形共有 个34因此 42105PX分(

    22、2)由题意, 的可能取值为 ,2, 其中 的三角形是侧面,这类三角形共有 4 个;5X其中 的三角形有两个,PAC 和PBD2因此 , 85P125PX分所以随机变量 的概率分布列为:X52 2P15所求数学期望= 10()EX212+45=5分23(本小题满分 10 分)CA BDP(第 22 题)(第 23 题)OFHEAPyBGx已知抛物线 C: 的焦点为 F,过 F 且斜率为 的直线 与抛物线 C 交2ypx(0)43l于 A,B 两点,B 在 x 轴的上方,且点 B 的横坐标为 4(1) 求抛物线 C 的标准方程;(2) 设点 P 为抛物线 C 上异于 A,B 的点,直线 PA 与

    23、PB 分别交抛物线 C 的准线于E,G 两点,x 轴与准线的交点为 H,求证:HG HE 为定值,并求出定值【解】 (1)由题意得: ,(0)2pF,因为点 B 的横坐标为 4,且 B 在 x 轴的上方,所以 ,(48)p,因为 的斜率为 ,A3所以 ,整理得: ,842p280p即 ,得 ,()()0抛物线 C 的方程为: 424yx分(2)由(1)得: , ,准线方程 ,()B, (10)F, 1x直线 的方程: ,l43yx由 解得 或 ,于是得 62(1)4yx, 41()4A,分设 点 , 又 题 意 且 ,2()4nP, 1n4所 以 直 线 : ,令 ,得 ,A4()yx1x41ny即 , 8 分1nHE同理可得: ,4GHG HE 101n分


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