1、专题 1 二次函数的图像和性质问题例题精讲例 1：（江西模拟）如 图 ， 二 次 函 数 y=ax2+bx+c（ a0） 的 图 象 的 顶 点 在 第 一 象 限 ， 且 过 点（ 0， 1） 和 （ -1， 0） ， 下 列 结 论 ： ab 0， b2 4， 0 a+b+c 2， 0 b 1， 当x -1 时 ， y 0 其 中 正 确 结 论 的 个 数 是 （ ）A、5 个 B、4 个 C、3 个 D、2 个例 2：（衡阳中考）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（-1，0），顶点坐标（1，n）与 y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：
2、3a+b0；-1a- ；对于任意实数23m，a+bam 2+bm 总成立；关于 x 的方程 ax2+bx+c=n-1 有两个不相等的实数根其中结论正确的个数为（ ） 例 3：（鄂州中考）已 知 抛 物 线 y=ax2+bx+c（ 0 2a b） 的 顶 点 为 P（ x0， y0） ， 点A（ 1， yA） ， B（ 0， yB） ， C（ -1， yC） 在 该 抛 物 线 上 ， 当 y00 恒 成 立 时 ， 的 最 小 值 为 （ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 3例 4：（青岛模拟）如 图 是 二 次 函 数 y=ax2+bx+c（ a， b， c 是 常 数 ， a0） 图
3、像 的 一 部 分 ， 与 x轴 的 正 半 轴 交 点 在 点 （ 2， 0） 和 （ 3， 0） 之 间 ， 对 称 轴 是 x=1 对 于 下 列 说 法 ： abc 0； 2a+b=0； a-b+c=0； 点 （ 3， y1） ， （ -2， y2） 都 在 抛 物 线 上 ， 则 有y1 y2， 当 -1 x 3 时 ， y 0， 其 中 正 确 的 是 （ ）A B C D例 5：（恩施中考）如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 2 条 直 线 为 l1： y=-3x+3， l2： y=-3x+9， 直 线 l1交 x 轴 于 点 A， 交 y 轴 于 点 B， 直 线
4、l2 交 x 轴 于 点 D， 过 点 B 作 x 轴 的 平 行 线 交 l2 于 点 C，点 A、 E 关 于 y 轴 对 称 ， 抛 物 线 y=ax2+bx+c 过 E、 B、 C 三 点 ， 下 列 判 断 中 ： a-b+c=0； 2a+b+c=5； 抛 物 线 关 于 直 线 x=1 对 称 ； 抛 物 线 过 点 （ b， c） ； S 四 边 形ABCD=5，其 中 正 确 的 个 数 有 （ ）A5 B4 C3 D2习题精炼1.已 知 抛 物 线 y=ax2+bx+c（ a 0） 的 对 称 轴 为 直 线 x=2， 与 x 轴 的 一 个 交 点 坐 标 为 （ 4， 0
5、） ，其 部 分 图 象 如 图 所 示 ， 下 列 结 论 ： 抛 物 线 过 原 点 ； 4a+b+c=0； a b+c 0； 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为 （ 2， b） ； 当 x 2 时 ， y 随 x 增 大 而 增 大 其中结论正确的是（ ）A. B. C. D. 2.如图：二次函数 y=ax2+bx+c 的图像所示，下列结论中：abc0；2a+b=0；当 m1 时，a+bam 2+bm；ab+c0；若 ax12+bx1=ax22+bx2 ，且 x1x 2 ，则 x1+x2=2，正确的个数为（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个3.函数 y=x2+bx
6、+c 与 y=x 的图像如图所示，有以下结论：b 24c0；b+c+1=0；3b+c+6=0；当 1x3 时，x 2+（b1）x+c0其中正确的个数为（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个4.已知抛物线 ( 0)与 x 轴最多有一个交点，现有以下结论：y=ax2+bx+c a b 0；该抛物线的对称轴在 y 轴左侧；关于 x 的方程 有实数根；对于自c ax2+bx+c-2=0变量 x 的任意一个取值，都有 ，其中正确的为( )abx2+x -b4aA. B. C. D. 5.已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给下以下结论：2ab=0；abc0；4
7、acb 20；9a+3b+c0；关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c+3=0 有两个相等实数根；8a+c0其中正确的个数是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 56.如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（2，0）、B（1，0），直线 x=0.5 与此抛物线交于点 C，与 x 轴交于点 M，在直线上取点 D，使 MD=MC，连接 AC、BC、AD、BD，某同学根据图象写出下列结论：ab=0；当2x1 时，y0；四边形 ACBD 是菱形；9a3b+c0你认为其中正确的是（ ）A. B. C. D. 7.如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x
8、 轴正半轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，对称轴为直线 x=2，且 OA=OC，则下列结论：abc0；9a+3b+c0；c1；关于 x 的方程 ax2+bx+c（a0）有一个根为 1a其中正确的结论个数有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个8.如图所示，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（-1，2），且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1 ， x2 ，其中-2x 1-1，0x 21，下列结论（1）4a-2b+c0；（2）2a-b0；（3）a-3b0；（4）b 2+8a4ac； 其中正确的有( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.
9、4 个9.二次函数 （a0）图象如图所示，下列结论：abc0；2a+b0；当 m1 时，y=ax2+bx+ca+b ；a-b+c0；若 ， 且 ， 则 其am2+bm ax12+bx1=ax22+bx2 x1 x2 x1+x2=2中正确的有（ ）.A. B. C. D. 10.二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论： 3a+2b+c0；3a+cb 2-4ac； 方程 2ax2+2bx+2c-5=0 没有实数根；m（am+b）+ba（m-1）其中正确结论的个数是（ ）A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个11.如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）
10、的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（1，0），其部分图象如图所示，下列结论：4acb 2；、3a+c0；当 x0 时，y 随 x 的增大而减小；当 y0时，x 的取值范围是1x3；方程 ax2+bx+c0 的两个根是 x11，x 23；其中结论正确的个数是（ ） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个12.如图，二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象与 x 轴正半轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，对称轴为直线 x2，且 OAOC，则下列结论：abc0；9a+3b+c0；c1；关于 x 的方程ax2+bx+c0（a0）有一个根为 4+c，其中正确
11、的结论个数有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个13.已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象如图所示，下列结论：abc0；2ab0；b 2（a+c）2；点（3，y 1），（1，y 2）都在抛物线上，则有 y1y 2 其中正确的结论有（ ） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个14.如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：abc0；bac；4a+2b+c0；3ac；a+bm（am+b）（m1 的实数）其中正确结论的有（ ） A. B. C. D.15.如图，抛物线 y1= (x+12)+1 与 y2=a(x-4)2-
12、3 交于点 A(1，3)，过点 A 作 x 轴的平行线，分别交两条抛12物线于 B、C 两点，且 D、E 分别为顶点则下列结论:a= ；AC=AE；ABD 是等腰直角三角形；当 x1 时，y 1y2.期中正确的结论的个数是（ ）23A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 16.如图，若二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、点B(1，0)，则二次函数的最大值为 a+b+c；ab+c0 时，10 a+b m(am+b) m -10（ ）A. B. C. D. 20.如图是抛物线 图象的一部分，抛物线的顶点坐标 ，与
13、 轴的一y1=ax2+bx+c(a 0) A(1, 3) x个交点 ，直线 与抛物线交于 ， 两点，下列结论： B(4, 0) y2=mx+n(m 0) A B 2a+b=0； ；方程 有两个相等的实数根； 抛物线与 轴的另一个交点是 abc0 ax2+bx+c=3 x；当 时，有 ，其中正确的是（ ）(-1, 0) 10,b0, ， abx2+xab(x+b2a)2-b4a ab0则当 x= 时， 有最小值-b2a abx2+x -b4a所以 ， abx2+x -b4a正确；故选 B.5.【答案】 C 【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为 x= =1，b=2a，b2a所以 2a+b=0，故错
14、误；抛物线开口向上，得：a0；抛物线的对称轴为 x= 0 故 b0；抛物线交 y 轴于负半轴，得：b2ac0；所以 abc0；故正确；由图知：抛物线与 x 轴有两个不同的交点，则=b 24ac0，4acb 20，故正确；根据抛物线的对称轴方程可知：（1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当 x=1 时，y0，所以当 x=3 时，也有 y0，即 9a+3b+c0；故正确；二次函数 y=ax2+bx+c 的最小值为3，所以关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c+3=0 有两个相等的实数根，故正确；由图知：当 x=2 时 y0，所以 4a2b+c0，因为 b=2a，所以 4a+4a+c0，即
15、8a+c0，故错误；所以这结论正确的有4 个故选 C6.【答案】 D 【解析】【解答】解：抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（2，0）、B（1，0），该抛物线的对称轴为 x= =0.5，b2aa=b，ab=0，正确；抛物线开口向下，且抛物线与 x 轴交于点 A（2，0）、B（1，0），当2x1 时，y0，正确；点 A、B 关于 x=0.5 对称，AM=BM，又MC=MD，且 CDAB，四边形 ACBD 是菱形，正确；当 x=3 时，y0，即 y=9a3b+c0，错误综上可知：正确的结论为故选 D7.【答案】 C 【解析】【解答】解：由图象开口向下，可知 a0，与 y 轴的
16、交点在 x 轴的下方，可知 c0，又对称轴方程为 x=2，所以 0，所以 b0，b2aabc0，故正确；由图象可知当 x=3 时，y0，9a+3b+c，故错误；由图象可知 OA1，OA=OC，OC1，即c1，c1，故正确；假设方程的一个根为 x= ，把 x= 代入方程可得 +c=0，1a 1a 1a ba整理可得 acb+1=0，两边同时乘 c 可得 ac2bc+c=0，即方程有一个根为 x=c，由可知c=OA，而当 x=OA 是方程的根，x=c 是方程的根，即假设成立，故正确；综上可知正确的结论有三个，故选 C8.【答案】 B 【解析】【解答】解：（1)根据图象知，当 x=-2 时，y0，即
17、 4a-2b+c0；故本选项正确；（2)该函数图象的开口向下，a0；又对称轴-1x=- 0，2a-b0，故本选项正确；b2a（3)a0，- 0，b2ab0，则 a-3b0故本选项错误；（4)y= 2，a0，4ac-b24a4ac-b 28a，即 b2+8a4ac，故本选项错误综上所述，正确的结论有 2 个；故选 B9.【答案】 D 【解析】【解答】根据抛物线开口向下可得 a0，根据对称轴为直线 x=1，可得 b=-2a，则 b0，与 y 轴的交点在 x 轴的上方，则 c0，所以 abc0，故错误；由 b=-2a 得 2a+b=0，故正确；因为 x=1 时，函数值最大，所以 a+b+c +c，即
18、 a+b （m1），故正确；因为抛物线与 x 轴的am2+bm am2+bm交点到对称轴的距离大于 1，所以抛物线与 x 轴的交点一个在（2，0）与（3，0）之间，一个在（0，0）与（-1，0）之间，所以当 x=-1 时，y0，即 a-b+c0，故错误；当 时，则 ax12+bx1=ax22+bx2，所以 x= 与 x= 时的函数值相等，所以 -1=1- ，即 ax12+bx1+c=ax22+bx2+c x1 x2 x2 x1，故正确，综上正确的结论有. x1+x2=2故答案为：D.10.【答案】 B 【解析】【解答】解：由图象可知，当 x=1 时，y0，3a+cam 2+bm+c，m(am+
19、b)+by2 ， 故错误.故答案为：16.【答案】B 【解析】【解答】解：图像的顶点坐标横坐标是 x=1,将 X=1 代入二次函数 y=ax2+bx+c 得：y=a+b+c,又图像开口向下，当 x=1 时函数有最大值 y=a+b+c,故是正确的；把 X=-1 代入二次函数 y=ax2+bx+c 得：y=a-b+c=0，是错误的；图像与 x 轴有两个交点，故 b24ac0，是错误的；图象的对称轴为x=1，与 x 轴交于点 A、点 B(1，0)，A（3,0），152故正确；由抛物线的对称性，点 B 坐标为（5，2）当 y2=ax2的图象分别过点 A、B 时，其与线段分别有且只有一个公共点此时，a
20、的值分别为 a=2、a= 225a 的取值范围是 a2；故正确；225不等式 mx24mx+2n0 的解可以看做是，抛物线 y1=mx24mx+2n1 位于直线 y=1 上方的部分，由图象可知，其此时 x 的取值范围使 y1=mx2-4mx+2n-1 的函数图象分别为位于 x 轴上下方，故错误；故答案为：B18.【答案】D 【解析】【解答】解：由开口可知：a0，对称轴 x= 0，b2ab0，由抛物线与 y 轴的交点可知：c0，abc0，故正确；抛物线与 x 轴交于点 A（-1，0），对称轴为 x=2，抛物线与 x 轴的另外一个交点为（5，0），x=3 时，y0，9a+3b+c0，故正确；由于
21、2 ，12 52且（ ，y 2）关于直线 x=2 的对称点的坐标为（ ，y 2），52 32 ，12 32y 1y 2 ， 故正确， =2，b2ab=-4a，x=-1，y=0，a-b+c=0，c=-5a，2c3，2-5a3，- a- ，故正确35 25故答案为：D19.【答案】 A 【解析】【解答】抛物线的开口向下， a0，可知： b0,故正确；抛物线的对称轴 x= -b2a=1，b=2a ，即 2a+b=0，故正确；由图象知当 x=3 时， y=9a+3b+c0，把 b=2a 代入得： 故错误；3a+c0,故正确；由图象可知，当1x3 时，函数图象有些部分位于 x 轴上方，故错误.故答案为：
22、A.20.【答案】C 【解析】【解答】抛物线的顶点坐标 A（1，3），抛物线的对称轴为直线 x= =1，2a+b=0，所b2a以正确；抛物线开口向下，a0，b=2a0抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，c0，abc0，所以错误；抛物线的顶点坐标 A（1，3），x=1 时，二次函数有最大值，方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根，所以正确；抛物线与 x 轴的一个交点为（4，0），而抛物线的对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴的另一个交点为（2，0），所以错误；抛物线 y1=ax2+bx+c 与直线 y2=mx+n（m0）交于 A（1，3），B 点（4，0），当 1x4 时，y 2y 1 ， 所以正确故答案为：C
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