1、2019 年中考备考：中考模拟卷四边形压轴题精选1.（2019 广东省肇庆市一模）如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm ，AD8cm，直线 EF 从点 A 出发沿 AD 方向匀速运动，速度是 2cm/s，运动过程中始终保持 EFAC F 交 AD于 E，交 DC 于点 F；同时，点 P 从点 C 出发沿 CB 方向匀速运动，速度是 1cm/s，连接PE、 PF，设运动时间 t（s）（0t4）（1）当 t1 时，求 EF 长；（2）求 t 为何值时，四边形 EPCD 为矩形；（3）设PEF 的面积为 S（cm 2），求出面积 S 关于时间 t 的表达式；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻使
2、SPCF ：S 矩形 ABCD3：16？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由2.（2019 广东省封开县一模）25（9 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC2，点 E是边 BC 的中点动点 P 从点 A 出发，沿着 AB 运动到点 B 停止，速度为每秒钟 1 个单位长度，连接 PE，过点 E 作 PE 的垂线交射线 AD 与点 Q，连接 PQ，设点 P 的运动时间为 t 秒（1）当 t1 时，sinPEB ；（2）是否存在这样的 t 值，使 APQ 为等腰直角三角形？若存在，求出相应的 t 值，若不存在，请说明理由；（3）当 t 为何值时，PEQ 的面积等于 10？3.（2019
3、 江苏省无锡市一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 y 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，P 、Q 分别是线段 OB、AB 上的两个动点，点 P 从 O 出发一每秒2 个单位长度的速度向终点 B 运动，同时 Q 从 B 出发，以每秒 5 个单位的速度向终点A 运动，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为 t 秒（1）求出点 Q 的坐标（用 t 的代数式表示）（2）若 C 为 OA 的中点，连接 PQ、CQ，以 PQ、CQ 为邻边作 PQCD是否存在时间 t，使得坐标轴刚好将PQCD 的面积分为 1：5 的两个部分，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由直接写出整个运动过程
4、中 四边形 PQCD 对角线 DQ 的取值范围 4.（2019 辽宁省营口市一模）如图，在矩形 ABCD 中，BCacm，ABbcm ，ab，且a、b 是方程 的两个根P 是 BC 上一动点，动点 Q 在 PC 或其延长线上，BP PQ，以 PQ 为一边的正方形为 PQRS点 P 从 B 点开始沿射线 BC 方向运动，设 BPxcm，正方形 PQRS 与矩形 ABCD 重叠部分的面积为 ycm2（1）求 a 和 b；（2）分别求出 0x2 和 2x4，y 与 x 之间的函数关系式；（3）在同一坐标系内画出（2）中函数的图象5.（辽宁省营口市二模）已知四边形 ABCD 是矩形，连接 AC，点 E
5、 是边 CB 延长线上一点，CACE，连接 AE，F 是线段 AE 的中点，（1）如图 1，当 ADDC 时，连接 CF 交 AB 于 M，求证：BM BE；（2）如图 2，连接 BD 交 AC 于 O，连接 DF 分别交 AB、 AC 于 G、H，连接 GC，若FDB30，S 四边形 GBOH ，求线段 GC 的长6.（2019 山东省济南市一模）已知正方形 ABCD，P 为射线 AB 上的一点，以 BP 为边作正方形 BPEF，使点 F 在线段 CB 的延长线上，连接 EA，EC（1）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证：EAEC；（2）如图 2，若点 P 在线段 AB 的中
6、点，连接 AC，判断ACE 的形状，并说明理由；（3）如图 3，若点 P 在边 AB 上，连接 AC，当 EP 平分AEC 时，设AB ，BP1，求AEC 的度数7.（2019 山东省章丘市一模）如图，在 ABCD 中，AB 10cm，BC4cm ， BCD120，CE 平分BCD 交 AB 于点 E点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度运动，连接 CP，将PCE 绕点 C 逆时针旋转 60，使CE 与 CB 重合，得到QCB ，连接 PQ（1）求证：PCQ 是等边三角形；（2）如图 ，当点 P 在线段 EB 上运动时，PBQ 的周长是否存在最小值？若存在，求出PBQ 周
7、长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图 ，当点 P 在射线 AM 上运动时，是否存在以点 P、B、Q 为顶点的直角三角形？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由8.（2019 四川省绵阳市一模）已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm ，BC 8cm ，对角线 AC，BD 交于点 O，点 P 从点 A 出发，沿 AD 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接 PO 并延长，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QFAC ，交 BD 于点 F设运动时间为 t（s）（0t
8、6），解答下列问题：（1）当 t 为何值时，AOP 是等腰三角形？（2）设五边形 OECQF 的面积为 S（cm 2），试确定 S 与 t 的函数关系式；并说明当 t 为多少时，S 的值最大？（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t，使 OD 平分COP？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由9.（2019 浙江省台州市一模）如图，在矩形 ABCD 中，动点 P 从 A 出发，以相同的速度，沿 AB CDA 方向运动到点 A 处停止设点 P 运动的路程为 x，PAB 面积为 y，y 与 x 的函数图象如图 所示（1）矩形 ABCD 的面积为 ；（2）如图 ，若点 P 沿 AB 边向点 B
9、 以每秒 1 个单位的速度移动，同时，点 Q 从点 B出发沿 BC 边向点 C 以每秒 2 个单位的速度移动如果 P、Q 两点在分别到达 B、C 两点后就停止移动，回答下列问题：当运动开始 秒时，试判断DPQ 的形状；在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以 Q 为圆心，PQ 的长为半径的圆与矩形ABCD 的对角线 AC 相切，若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由10.（ 2019 浙江省天台县一模）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点 A 顺时针旋转 90后得到矩形 AMEF（如图 1），连接 BD，MF，若 BD16cm，ADB30（1）试探究线段 BD 与线段 MF 的数量关系和
10、位置关系，并说明理由；（2）把BCD 与MEF 剪去，将ABD 绕点 A 顺时针旋转得AB 1D1，边 AD1 交FM 于点 K（如图 2），设旋转角为 （0 90），当 AFK 为等腰三角形时，求 的度数；（3）若将AFM 沿 AB 方向平移得到 A 2F2M2（如图 3），F 2M2 与 AD 交于点P，A 2M2 与 BD 交于点 N，当 NPAB 时，求平移的距离11.（ 2019 安徽省淮南市一模）在矩形 ABCD 中，AB6，AD8，点 E 是边 AD 上一点，EMEC 交 AB 于点 M，点 N 在射线 MB 上，且 AE 是 AM 和 AN 的比例中项（1）如图 1，求证：AN
11、EDCE；（2）如图 2，当点 N 在线段 MB 之间，联结 AC，且 AC 与 NE 互相垂直，求 MN 的长；（3）连接 AC，如果AEC 与以点 E、M、N 为顶点所组成的三角形相似，求 DE 的长12.（ 2019 安徽省铜陵市一模）如图 1，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点E 在 AB 上，点 F 在 BC 的延长线上，且 AECF，连接 EF 交 AC 于点 P，分别连接DE，DF，DP（1）求证：ADECDF；（2）求证：ADPBDF；（3）如图 2，若 PEBE ，则 的值是 （直按写出结果即可）13.（ 2019 福建省福州市一模）问题：如图（1），
12、点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边BC、CD 上，EAF 45 ，试判断 BE、EF 、FD 之间的数量关系【发现证明】小聪把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，从而发现 EFBE+FD ，请你利用图（1）证明上述结论【类比引申】如图（2），四边形 ABCD 中，BAD90，ABAD ，B+ D180，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，则当EAF 与BAD 满足 关系时，仍有 EFBE +FD【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ABCD已知 ABAD 80 米，B60，ADC120，BAD150，道路 BC、CD 上分别有景点 E、F，EAF7
13、5且 AEAD，DF 40（ 1）米，现要在 E、F 之间修一条笔直道路，求这条道路 EF 的长（结果取整数，参考数据： 1.41， 1.73）14.（ 2019 福建省泉州市一模）如图，已知菱形 ABCD，点 E 是 AB 的中点，AFBC 于点F，联结 EF、ED、DF，DE 交 AF 于点 G，且 AE2EGED（1）求证：DEEF ；（2）求证：BC 22DFBF 15.（ 2019 广东省湛江市一模）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4动点 P 从点 A 出发沿 AC 向终点 C 运动，同时动点 Q 从点 B 出发沿 BA 向点 A 运动，到达 A 点后立刻以原来的速度沿 AB
14、 返回点 P，Q 运动速度均为每秒 1 个单位长度，当点 P 到达点 C 时停止运动，点 Q 也同时停止连结 PQ，设运动时间为 t（t0）秒（1）求线段 AC 的长度；（2）当点 Q 从 B 点向 A 点运动时（未到达 A 点），求APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（3）伴随着 P，Q 两点的运动，线段 PQ 的垂直平分线为 l：当 l 经过点 A 时，射线 QP 交 AD 于点 E，求 AE 的长；当 l 经过点 B 时，求 t 的值16.（ 2019 广东省佛山市一模）如图 1，在四边形 ABCD 的边 BC 的延长线上取一点 E，在直线 BC 的同侧作
15、一个以 CE 为底的等腰CEF，且满足B+F180，则称三角形CEF 为四边形 ABCD 的“伴随三角形 ”（1）如图 1，若CEF 是正方形 ABCD 的“伴随三角形”：连接 AC，则ACF ；若 CE2BC ，连接 AE 交 CF 于 H，求证：H 是 CF 的中点；（2）如图 2，若CEF 是菱形 ABCD 的“伴随三角形”，B60，M 是线段 AE 的中点，连接 DM、FM，猜想并证明 DM 与 FM 的位置与数量关系17.（ 2019 广东省佛山市二模）将矩形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转得到矩形 A1BC1D1，点A、C 、D 的对应点分别为 A1、C 1、D 1（1）当点 A1
16、 落在 AC 上时如图 1，若 CAB60，求证：四边形 ABD1C 为平行四边形；如图 2，AD 1 交 CB 于点 O若CAB60，求证：DOAO ；（2）如图 3，当 A1D1 过点 C 时若 BC5，CD3，直接写出 A1A 的长18.（ 2019 广西贵港市一模）如图 1，在正方形 ABCD 中，AB3，E 是 AD 边上的一点（E 与 A、D 不重合），以 BE 为边画正方形 BEFG，边 EF 与边 CD 交于点 H（1）当 E 为边 AD 的中点时，求 DH 的长；（2）设 DEx，CHy，求 y 与 x 之间的函数关系式，并求出 y 的最小值；（3）若 DE ，将正方形 BE
17、FG 绕点 E 逆时针旋转适当角度后得到正方形 BEFG，如图 2，边 EF与 CD 交于点 N、EB 与 BC 交于点 M，连结 MN，求ENM 的度数19.（ 2019 海南省一模）已知：正方形 ABCD，EAF45（1）如图 1，当点 E、F 分别在边 BC、CD 上，连接 EF，求证：EFBE+DF；童威同学是这样思考的，请你和他一起完成如下解答：证明：将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得ABG，所以ADFABG （2）如图 2，点 M、N 分别在边 AB、CD 上，且 BNDM当点 E、F 分别在 BM、DN上，连接 EF，探究三条线段 EF、BE 、DF 之间满足的数量关系，并
18、证明你的结论（3）如图 3，当点 E、F 分别在对角线 BD、边 CD 上若 FC2，则 BE 的长为 20.（ 2019 河北省石家庄市一模）如图 1，在ABCD 中，DHAB 于点 H，CD 的垂直平分线交 CD 于点 E，交 AB 于点 F，AB6，DH 4，BF：FA1：5（1）如图 2，作 FGAD 于点 G，交 DH 于点 M，将DGM 沿 DC 方向平移，得到CGM，连接 MB求四边形 BHMM的面积；直线 EF 上有一动点 N，求DNM 周长的最小值（2）如图 3，延长 CB 交 EF 于点 Q，过点 Q 作 QKAB ，过 CD 边上的动点 P 作PKEF，并与 QK 交于点
19、 K，将PKQ 沿直线 PQ 翻折，使点 K 的对应点 K恰好落在直线 AB 上，求线段 CP 的长21.（ 2019 河南省信阳市）在矩形 ABCD 中，AB6，AD8，点 E 是边 AD 上一点，EMEC 交 AB 于点 M，点 N 在射线 MB 上，且 AE 是 AM 和 AN 的比例中项（1）如图 1，求证：ANEDCE；（2）如图 2，当点 N 在线段 MB 之间，联结 AC，且 AC 与 NE 互相垂直，求 MN 的长；（3）连接 AC，如果AEC 与以点 E、M、N 为顶点所组成的三角形相似，求 DE 的长22.（ 2019 河北省天门市一模）如图，四边形 ABCD 为矩形，AC
20、 为对角线，AB 6，BC8 ，点 M 是 AD 的中点，P、Q 两点同时从点 M 出发，点 P 沿射线 MA 向右运动；点 Q 沿线段 MD 先向左运动至点 D 后，再向右运动到点 M 停止，点 P 随之停止运动P、Q 两点运动的速度均为每秒 1 个单位以 PQ 为一边向上作正方形PRLQ设点 P 的运动时间为 t（秒），正方形 PRLQ 与ABC 重叠部分的面积为 S（1）当点 R 在线段 AC 上时，求出 t 的值（2）求出 S 与 t 之间的函数关系式，并直接写出取值范围（求函数关系式时，只须写出重叠部分为三角形时的详细过程，其余情况直接写出函数关系式）（3）在点 P、点 Q 运动的同
21、时，有一点 E 以每秒 1 个单位的速度从 C 向 B 运动，当 t为何值时，LRE 是等腰三角形请直接写出 t 的值或取值范围23.（ 2019 湖北省江夏区一模）将矩形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转得到矩形 A1BC1D1，点A、C 、D 的对应点分别为 A1、C 1、D 1（1）当点 A1 落在 AC 上时如图 1，若 CAB60，求证：四边形 ABD1C 为平行四边形；如图 2，AD 1 交 CB 于点 O若CAB60，求证：DOAO ；（2）如图 3，当 A1D1 过点 C 时若 BC5，CD3，直接写出 A1A 的长24.（ 2019 河南省邵阳市一模）在正方形 ABCD 中，A
22、B8，点 P 在边 CD 上，tanPBC，点 Q 是在射线 BP 上的一个动点，过点 Q 作 AB 的平行线交射线 AD 于点 M，点 R在射线 AD 上，使 RQ 始终与直线 BP 垂直（1）如图 1，当点 R 与点 D 重合时，求 PQ 的长；（2）如图 2，试探索： 的比值是否随点 Q 的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图 3，若点 Q 在线段 BP 上，设 PQx ，RMy，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域2019 年中考备考：中考模拟卷四边形压轴题精选1.（2019 广东省肇庆市一模）如图，在矩形 ABCD 中，AB6c
23、m ，AD8cm，直线 EF 从点 A 出发沿 AD 方向匀速运动，速度是 2cm/s，运动过程中始终保持 EFAC F 交 AD于 E，交 DC 于点 F；同时，点 P 从点 C 出发沿 CB 方向匀速运动，速度是 1cm/s，连接PE、PF，设运动时间 t（s）（0t4）（1）当 t1 时，求 EF 长；（2）求 t 为何值时，四边形 EPCD 为矩形；（3）设PEF 的面积为 S（cm 2），求出面积 S 关于时间 t 的表达式；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻使 SPCF ：S 矩形 ABCD3：16？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）由勾股定理知 AC10，
24、由题意得 AE2，DE6，根据 EFAC 知DEFDAC，据此得 ，代入计算即可；（2）由 DECP 且D C 知 DECP 时，四边形 EPCD 为矩形，据此求解可得；（3）证DEFDAC 得 ，据此求得 DF6 t，CF t，根据 SS 梯形DEPCS DEF S PCF 可得函数解析式；（4）由 S 矩形 ABCDAB AD48，且 SPCF ：S 矩形 ABCD3：16 知 SPCF 9，再根据 SPCF t2 可得关于 t 的方程，解之可得【解答】解：（1）AB6cm，AD8cm ，AC10cm，当 t1 时，AE2，则 DE6，EFAC，DEFDAC， ，即 ，解得：EF ；（2）
25、由题意知 AE2t，CPt ，则 DE82t，四边形 EPCD 是矩形，DECP，即 82tt，解得 t ，故当 t 时，四边形 EPCD 为矩形；（3）EFAC ，DEFDAC， ，即 ，解得：DF6 t，则 CFCDDF6（6 t） t，则 SS 梯形 DEPCS DEF S PCF （82t +t）6 （82t ）（6 t） t t t2+9t，即 S t2+9t（0t4）；（4）存在，S 矩形 ABCDAB AD48，且 SPCF ：S 矩形 ABCD3：16，S PCF 9，又S PCF t t t2， t29，解得：t2 或 t2 （舍），当 t2 时， SPCF ：S 矩形 AB
26、CD3：16【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质及割补法求三角形的面积等知识点2.（2019 广东省封开县一模）25（9 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC2，点 E是边 BC 的中点动点 P 从点 A 出发，沿着 AB 运动到点 B 停止，速度为每秒钟 1 个单位长度，连接 PE，过点 E 作 PE 的垂线交射线 AD 与点 Q，连接 PQ，设点 P 的运动时间为 t 秒（1）当 t1 时，sinPEB ；（2）是否存在这样的 t 值，使 APQ 为等腰直角三角形？若存在，求出相应的 t 值，若不存在，请说明理由；（3）
27、当 t 为何值时，PEQ 的面积等于 10？【分析】（1）由题意得出 AP1，BP3，BE CE1，利用勾股定理求得 PE ，根据正弦函数的定义可得答案；（2）证BPECEF 得 ，据此求得 CF ，DF ，再证ECFQDF 得 ，据此求得 DQ154t，AQ174t，根据APQ 为等腰直角三角形列方程求解可得答案；（3）根据 SPEQ S 直角梯形 ABEQS APQ S BPE 2t 216t+34 及PEQ 的面积等于10 列方程求解可得【解答】解：（1）根据题意知，当 t1 时，AP 1，则 PB3，BC2，点 E 是边 BC 的中点，BECE1，则 PE ，在 RtPBE 中，sin
28、PEB ，故答案为： ；（2）存在，t 如图，记 QE 与 CD 的交点为 F，由题意知 APt，BP 4t，四边形 ABCD 是矩形，AB4，BC2，BCADC90 ，DC4，AD2，PEB +BPE90，PEQ90，PEB +CEF 90，BPE CEF，BPE CEF， ，即 ，CF ，DFCDCF4 ，CFDQ90，CFEDFQ ，ECFQDF， ，即 ，DQ154t，则 AQAD +DQ2+154t 174t ，APQ 为等腰直角三角形，APAQ ，即 t174t，解得 t ，故当 t 时， APQ 为等腰直角三角形（3）S PEQ S 直角梯形 ABEQS APQ S BPE （1
29、+174t）4 （t+174t ）t （4t）12t 216t+34，由题意知 2t216t+3410，解得 t2 或 t6，0t4，t2【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的应用及割补法求三角形的面积等知识点3.（2019 江苏省无锡市一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 y与 x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，P、Q 分别是线段 OB、AB 上的两个动点，点 P 从 O 出发一每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动，同时 Q 从 B 出发，以每秒 5 个单位的速度向终点 A 运动，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间
30、为 t 秒（1）求出点 Q 的坐标（用 t 的代数式表示）（2）若 C 为 OA 的中点，连接 PQ、CQ，以 PQ、CQ 为邻边作 PQCD是否存在时间 t，使得坐标轴刚好将PQCD 的面积分为 1：5 的两个部分，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由直接写出整个运动过程中 四边形 PQCD 对角线 DQ 的取值范围 【分析】（1）先利用勾股定理求出 AB，再判断出BEQBOA，得出比例式，代值求解即可得出结论；（2） 分两种情况，利用同高的两三角形的面积的比等于底的比，求解得出结论；利用两点间距离公式，得出 DQ2，再用函数的性质即可得出结论【解答】解：（1）如图 1，针对于直线
31、y ，令 x0，则 y6，B（0，6），OB6，令 y0，则 0，x8，A（8，0），OA8，根据勾股定理得，AB 10，由运动知，BQ5t，过点 Q 作 QEy 轴于 E，QEAO ，BEQBOA， ， ，BQ3t，EQ4t，OEOB BE63t，Q（4t，63t）；（2）连接 DQ，CP，由运动知， OP2t ，P（0，2t），点 C 是 OA 的中点，C（4，0），四边形 CQPD 是平行四边形，DQ 与 CP 互相平分，设 D（m，n），由（1）知，Q（4t，63t）；4t+m4，63t+ n2t，m44t，n5t6，D（44t，5t6），、当 x 轴将将PQCD 的面积分为 1：5
32、的两个部分时，如图 2，PC 是PQCD 的对角线，S PCQ S PCD ，S CDF ：S 四边形 CFPQ1：5，S CDF ：S CPF 1：2，DF：PF1：2，PF：DF 2：1，过点 D 作 DGy 轴于 G，OG65t，DGFO ， ， ，t1，【注：点 D 本身在 y 轴上，为了解决问题，没将点 D 放在 y 轴上】、当 x 轴将将PQCD 的面积分为 1：5 的两个部分时，如图 3，过点 D 作 DNx 轴于 N，同的方法得，t1.5，即：坐标轴刚好将PQCD 的面积分为 1：5 的两个部分时，t1 秒或 1.5 秒；由（ 1）知， Q（4t，63t），D（44t，5t6）
33、，DQ 2（44t4t） 2+（63t5t +6） 2128（t1） 2+32，由运动知，0t2，当 t1 时，DQ 2 最小 32，DQ 最小 4 ，当 t0 或 2 时，DQ 2 最大 160 ，DQ 最大 4 ，4 DQ4 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，平行四边形的性质，求出点 D 的坐标是解本题的关键4.（2019 辽宁省营口市一模）如图，在矩形 ABCD 中，BCacm，ABbcm ，ab，且a、b 是方程的两个根P 是 BC 上一动点，动点 Q 在 PC 或其延长线上，BPPQ，以PQ 为一边的正方形为 PQRS点 P 从
34、 B 点开始沿射线 BC 方向运动，设 BPxcm，正方形 PQRS 与矩形 ABCD 重叠部分的面积为 ycm2（1）求 a 和 b；（2）分别求出 0x2 和 2x4，y 与 x 之间的函数关系式；（3）在同一坐标系内画出（2）中函数的图象【分析】（1）解分式方程，求得相应的 a 和 b 的值（2）0x2 时，重合面积为边长是 x 的正方形；2x 4 时，重合部分为正方形，边长为 4x（3）是分段函数，注意自变量的取值；【解答】解：（1）去分母得 84x+x（2x +3）x （x+5）解得 x2 或 4，经检验 x2 或 4 是原方程的解ab，a4，b2（2）0x2 时 yx 2；2x4
35、时，y2（4x ）（3）如图【点评】动手操作，注意自变量的不同得到的函数关系式也不同；有实际意义的函数图象只在第一象限5.（辽宁省营口市二模）已知四边形 ABCD 是矩形，连接 AC，点 E 是边 CB 延长线上一点，CACE，连接 AE，F 是线段 AE 的中点，（1）如图 1，当 ADDC 时，连接 CF 交 AB 于 M，求证：BM BE；（2）如图 2，连接 BD 交 AC 于 O，连接 DF 分别交 AB、 AC 于 G、H，连接 GC，若FDB30，S 四边形 GBOH，求线段 GC 的长【分析】（1）如图 1，根据等腰三角形的三线合一得 CFAE，则AFC90，证明AEBCMB，
36、可得 BEBM；（2）如图 2，作辅助线构建三角形全等，先证明AMFEBF，得FMBF，AM BE ，再证明DMB 是等腰三角形，由三线合一得：DF 平分BDM，根据FDB30得BDM 是等边三角形；由此ACE 为等边三角形，OHD 为直角三角形，设未知数：OHx ，根据 S 四边形 GBOHS DGB S OHD ，列方程得出结论【解答】证明：（1）如图 1，AC EC ，F 是 AE 的中点，CFAE，AFC90，四边形 ABCD 是矩形，ADDC，矩形 ABCD 为正方形，ABBC， ABC90，AFCABC，AMF BMC，EAB MCB，ABE ABC90，AEB CMB，BEBM；
37、（2）如图 2，连接 BF 并延长交直线 AD 于 M，F 是 AE 的中点，AFEF，四边形 ABCD 是矩形，ADBC，ACBD，MFBE，AFM EFB，AMF EBF，FMBF，AM BE ，ADBC，AD+ AMBC+BE，即 DM CE，ACCE，ECDM AC BD，DMB 是等腰三角形，F 是 BM 的中点，DF 平分BDM ，BDF30，BDM60，BDM 是等边三角形，M60，在 Rt BCD 中， BDC90 6030，DBC60，OBOC，DBCOCB60，ACE 为等边三角形，在OHD 中，HODBOC60，OHD90，设 OHx，则 OD2x ，BD4x，BC 2x
38、，DH x，AHx，DCAB2 x，RtABC 中，ACE60，BAC30，cos30 ，AG ，BGABAG2 x ，S 四边形 GBOHS DGB S OHD ， BGAD OHDH， 2x x x ，解得：x 29，x3，BC2x6，BG 34 ，由勾股定理得：CG 2 【点评】本题考查了矩形的性质和全等三角形的性质和判定，又考查了等边三角形和30的直角三角形的性质，设未知数，表示边的长度，根据直角三角形中 30角所对的直角边是斜边的一半得出其它边长，与三角函数和勾股定理相结合，分别表示出DGB和OHD 各边的长，为列方程作铺垫，从而使问题得以解决6.（2019 山东省济南市一模）已知正
39、方形 ABCD，P 为射线 AB 上的一点，以 BP 为边作正方形 BPEF，使点 F 在线段 CB 的延长线上，连接 EA，EC（1）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证：EAEC；（2）如图 2，若点 P 在线段 AB 的中点，连接 AC，判断ACE 的形状，并说明理由；（3）如图 3，若点 P 在边 AB 上，连接 AC，当 EP 平分AEC 时，设 AB，BP1，求AEC 的度数【分析】（1）根据正方形的性质证明APECFE ，可得结论；（2）分别证明PAE45和BAC 45，则CAE90，即ACE 是直角三角形；（3）分别计算 PG 和 BG 的长，再计算 GH 和 B
40、G 的长，根据角平分线的逆定理得：HCGBCG，由平行线的性质得到AECACB45【解答】（1）证明：四边形 ABCD 和四边形 BPEF 是正方形，ABBC，BPBF，APCF，在APE 和CFE 中， ，APE CFE（SAS），EAEC；（2）解：ACE 是直角三角形，理由是：P 为 AB 的中点，PAPB，PBPE，PAPE，PAE 45，又BAC45，CAE90，即ACE 是直角三角形；（3）解：如图 3，设 CE 交 AB 于 G，EP 平分AEC，EPAG，APPG ABBP 1，BG （2 2）2 ，作 GHAC 于 H，CAB45，HG AG （2 2）2 ，又BG2 ，GH
41、GB ，GH AC，GB BC，HCGBCG，PECF，PEGBCG，AECACB45【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、角平分线的逆定理、等腰直角三角形的性质和判定，前两问难度不大，第三问有难度，作辅助线，求得 GH 和 BG 的长是关键7.（2019 山东省章丘市一模）如图，在 ABCD 中，AB 10cm，BC4cm ， BCD120，CE 平分BCD 交 AB 于点 E点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度运动，连接 CP，将PCE 绕点 C 逆时针旋转 60，使CE 与 CB 重合，得到QCB ，连接 PQ（1）求证：PCQ
42、 是等边三角形；（2）如图 ，当点 P 在线段 EB 上运动时，PBQ 的周长是否存在最小值？若存在，求出PBQ 周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图 ，当点 P 在射线 AM 上运动时，是否存在以点 P、B、Q 为顶点的直角三角形？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据旋转的性质得到PCEQCB，由该全等三角形的性质、平行四边形的性质和角平分线的性质推知PCQ60即可；（2）易推知BCE 为等边三角形，则 BECB 4，由旋转的性质得到：C PBQ PB+BQ+PQPB +EP+PQBE+PQ所以当 CPAB 时，PBQ 周长最小；（3）需要分类讨论：当
43、点 B 与点 P 重合时，P，B，Q 不能构成三角形当 0 t6 时，QBP 60 ，BPQ 60，所以PQB 可能为直角当 6 t10 时，由PBQ12090，所以不存在；当 t 10 时，由旋转得：PBQ60，BPQ 90，从而BCP30，所以BPBC4，故 AP14cm 【解答】（1）证明：将PCE 绕点 C 逆时针旋转 60，使 CE 与 CB 重合，得到QCB，PCEQCBCPCQ，PCEQCB，BCD120，CE 平分 BCD，PCQ60，PCE+ QCEQCB+ QCE60，即PCQ60PCQ 为等边三角形；（2）解：存在CE 平分BCD，BCE60，在平行四边形 ABCD 中，
44、ABCD，ABC18012060BCE 为等边三角形，BECB4旋转PCEQCBEPBQ ，C PBQ PB+BQ+PQPB+EP+PQBE+PQ4+CPCPAB 时， PBQ 周长最小当 CPAB 时， CPBCsin602PBQ 周长最小为 4+2 ；（3） 当点 B 与点 P 重合时，P，B，Q 不能构成三角形当 0 t6 时，由旋转可知，CPECQB，CPQCPB+BPQ 60则：BPQ+CQB60，又QPB+PQC+CQB+PBQ180CBQ180606060QBP60，BPQ 60，所以PQB 可能为直角由（1）知，PCQ 为等边三角形，PBQ60，CQB30CQBCPBCPB30CEB60，ACPAPC30PACA4，APAEEP642t212s当 6 t10 时，由PBQ12090，所以不存在；当 t 10 时，由旋转得：PBQ60，由（1）得 CPQ60BPQCPQ+BPC60+ BPC，而BPC0，BPQ60BPQ90，从而BCP30，BPBC4所以 AP14cm所以 t14s综上所述：t 为 2s 或者 14s 时，符合题意【点评】考查了几何变换综合题需要掌握旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键8.（2019 四川省绵阳市一模）已知：如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm ，B
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