1、2019 年河南省普通高中中考数学模拟试卷（5 月份）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A B C D2（3 分）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是 210000000 人一年的口粮将 210000000 用科学记数法表示为（ ）A2.110 9 B0.2110 9 C2.110 8 D2110 73（3 分）下列计算正确的是（ ）A（3x） 29x 2 B（x） 1 C 4 D（x 2） 3x 54（3
2、分）在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）A中位数是 9 B众数为 16C平均分为 7.78 D方差为 25（3 分）不等式组 的解在数轴上表示为（ ）A BC D6（3 分）如图，在ABCD 中，已知 AD5cm ，AB 3cm，AE 平分BAD 交 BC 边于点E，则 EC 等于（ ）A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm7（3 分）如图，现有两个相同的转盘，其中一个分为红、黄两个相等的区域，另一个分为红、黄、蓝三个相等的区域，随即转动两个转盘，转盘停止后指针指向相同颜色的概率为（ ）A B C D8（3 分）如图，AB 为O 的直
3、径，弦 CDAB，连结 OD，AC，若CAO70，则BOD 的度数为（ ）A110 B140 C145 D1509（3 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 为边 BC 上的点，以 DE 为边向外作矩形 DEFG，使 FG 过点 A，若 DG ，那么 DE（ ）A5 B3 C D10（3 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 E 从 A 出发，沿 ABC 方向运动，当点 E到达点 C 时停止运动，过点 E 作 EFAE 交 CD 于点 F，设点 E 运动路程为x，CFy，如图 2 所表示的是 y 与 x 的函数关系的大致图象，给出下列结论：a3 ； 当 CF 时，点
4、E 的运动路程为 或 或 ，则下列判断正确的是（ ）A都对 B都错 C 对 错 D错对二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）计算：（3.14 ） 0+31 12（3 分）如图，在ABC 中，C90，若 BDAE，DBC20，则CAE 的度数是 13（3 分）如图，ABC 中，以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB，BC 于E、F 点，分别以点 E、F 为圆心，以大于 EF 的长为半径作弧，两弧交于点 G，做射线 BG，交 AC 于点 D，过点 D 作 DHBC 交 AB 于点 H已知 HD3，BC 7，则 AH的长为 14（3 分）如图，四边形
5、ABCD 是一个矩形，E、F、G、H 分别是边 AD、BC 上的三等分点，请你根据图中的数据求阴影部分的面积为 cm 215（3 分）菱形 ABCD 的边长是 4，ABC120，点 M、N 分别在边 AD、AB 上，且MNAC，垂足为 P，把AMN 沿 MN 折叠得到AMN，若ADC 恰为等腰三角形，则 AP 的长为 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（8 分）先化简，再求值： ，其中 a 是不等式组的一个非负整数解17（9 分）在创客教育理念的指引下，国内很多学校都纷纷建立创客实践室及创客空间，致力于从小培养孩子的创新精神和创造能力，郑州
6、市某校开设了“3D”打印、数学编程、智能机器人、陶艺制作”四门创客课程，为了解学生对这四门创客课程的喜爱情况，数学兴趣小组对全校学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如表所示），将调查结果整理后绘制成图 1、图 2 两幅均不完整的统计图表图 1创客课程 频数 频率A 36 0.45B 0.25C 16 bD 8合计 a 1请根据图表中提供的值息回答下列问题：（1）统计表中的 a b ；（2）“D”对应扇形的圆心角为 ；（3）根据调查结果，请你估计该校 2000 名学生中最喜欢“数学编程”创客课程的人数18（9 分）已知如图，在直角坐标系中，C 与 y 轴相切，且 C 点的坐标为（1，0），直线 l
7、 过点 A（1，0）且与 C 切于点 D，（1）DAC ；（2）求直线 l 的解析式；（3）若在直线 l 上存在一点 P，使APC 为等腰三角形，求 P 点的坐标19（9 分）郑东新区是中国河南省郑州市规划建设中的一个城市新区，在 2019 年春节期间，小明一家人前去观看郑东新区“大玉米”灯光秀小明想利用刚学过的知识测量大屏幕“新”字的高度：如图，小明先在如意湖湖边 A 处，测得“新”字底端 D 的仰角为 58，再沿着坡面 AB 向上走到 B 处，测得“新”字顶端 C 的仰角为 45，坡面 AB的坡度 ，AB50 m，AE75m（假设 A、B、C、D、E 在同一平面内）（1）求点 B 到水平面
8、的距离 BF；（2）求“新”字的高度 CD（结果精确到 0.1m，参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60， ， ）20（9 分）如图，直线 AB 经过 A（ ，0）和 B（0， 1），点 C 在反比例函数 y 的图象上，且 ACBCAB（1）求直线 AB 和反比例函数的解析式；（2）点 D 坐标为（2 ，0）过点 D 作 PDx 轴，当PAD 与OAB 相似时，P 点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出 P 点坐标；如果不在，请说明理由21（10 分）为奖励在演讲比赛中获奖的同学，大队辅导员王老师负责为获奖同学买奖品，要求每人一件王老师到文具店看了商品后，
9、决定在钢笔和笔记本中选择如果买 3 个笔记本和 2 支钢笔，则需 84 元；如果买 4 个笔记本和 3 支钢笔，则需 118 元（1）求笔记本和钢笔的单价分别为多少元？（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过 10 支，那么超出部分可以享受 7.5 折优惠，若买 x（x0）支钢笔需要花 y1 元，请你用含 x 的式子表示 y1；王老师决定买同一种奖品，并且数量超过 10 个，请你帮王老师判断买哪种奖品更省钱22（10 分）已知点 O 是 ABC 内任意一点，连接 OA 并延长到点 E，使得 AEOA ，以OB，OC 为邻边作平行四边形 OBFC，连接 OF，与 BC 交于点
10、H，连接 EF（1）问题发现如图 1，若ABC 为等边三角形，线段 EF 与 BC 的位置关系是 ，数量关系为 ；（2）拓展探究如图 2，若ABC 为等腰直角三角形（BC 为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；（3）解决问题如图 3，若ABC 是等腰三角形，ABAC 2，BC 3，请你直接写出线段 EF 的长23（11 分）顶点为 D 的抛物线 yx 2+bx+c 交 x 轴于 A、B（3，0），交 y 轴于点 C，直线 y x+m 经过点 C，交 x 轴于 E（4，0）（1）求出抛物线的解析式；（2）如图 1，点 M 为线段 BD 上
11、不与 B、D 重合的一个动点，过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，设点 M 的横坐标为 x，四边形 OCMN 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式，并求 S 的最大值；（3）点 P 为 x 轴的正半轴上一个动点，过 P 作 x 轴的垂线，交直线 y x+m 于 G，交抛物线于 H，连接 CH，将CGH 沿 CH 翻折，若点 G 的对应点 F 恰好落在 y 轴上时，请直接写出点 P 的坐标2019 年河南省普通高中中考数学模拟试卷（5 月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1（3
12、 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据旋转 180后与原图重合的图形是中心对称图形，进而分析即可【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合2（3 分）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是 210000000 人一年的口粮将 210000000 用科学记数法表示为（ ）A2.110 9 B0.21
13、10 9 C2.110 8 D2110 7【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 210000000 用科学记数法表示为：2.110 8故选：C【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）下列计算正确的是（ ）A（3x） 29x 2 B（x） 1 C 4
14、D（x 2） 3x 5【分析】直接利用积的乘方运算法则以及负指数幂的性质、二次根式的加减运算法则分别判断得出答案【解答】解：A、（3x ） 29x 2，正确；B、（x） 1 ，故此选项错误；C、 422，故此选项错误；D、（x 2） 3x 6，故此选项错误；故选：A【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键4（3 分）在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）A中位数是 9 B众数为 16C平均分为 7.78 D方差为 2【分析】根据中位数，众数，平均数，方差等知识即可判断；【解答】解：观察图象可知，共
15、有 50 个学生，从低到高排列后，中位数是 25 位与 26位的平均数，即为 9故选：A【点评】本题考查中位数，众数，平均数，方差的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型5（3 分）不等式组 的解在数轴上表示为（ ）A BC D【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可【解答】解： ，解得 ，不等式组的解集是1x1，故选：D【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不
16、等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示6（3 分）如图，在ABCD 中，已知 AD5cm ，AB 3cm，AE 平分BAD 交 BC 边于点E，则 EC 等于（ ）A1 cm B2 cm C3 cm D4 cm【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得 ABBE ，根据 AD、AB 的值，求出 EC 的长【解答】解：ADBC，DAEBEA，AE 平分BAD，BAE DAE，BAE BEA，BEAB3cm，BCAD5cm，ECBCBE532cm，故选：B【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角
17、形的判定；在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题7（3 分）如图，现有两个相同的转盘，其中一个分为红、黄两个相等的区域，另一个分为红、黄、蓝三个相等的区域，随即转动两个转盘，转盘停止后指针指向相同颜色的概率为（ ）A B C D【分析】先画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，找出停止后指针指向相同颜色的结果数，然后根据概率公式计算【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有 6 种等可能结果，其中转盘停止后指针指向相同颜色的有 2 种结果，所以转盘停止后指针指向相同颜色的概率为 ，故选：A【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示
18、所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B的概率8（3 分）如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB，连结 OD，AC，若CAO70，则BOD 的度数为（ ）A110 B140 C145 D150【分析】根据题意求出C 的度数，根据圆周角定理求出AOD 的度数，根据邻补角的概念求出答案【解答】解：CDAB，CAO70，C20，AOD 40 ，BOD 140 ，故选：B【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键9（3 分）如图，四边形 ABCD
19、是边长为 4 的正方形，点 E 为边 BC 上的点，以 DE 为边向外作矩形 DEFG，使 FG 过点 A，若 DG ，那么 DE（ ）A5 B3 C D【分析】先利用等角的余角证明ADGEDC，再根据相似三角形的判定方法证明 ADG CDE，然后利用相似比计算 DE 的长【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，ADCD4，ADC C90，四边形 DEFG 为矩形，EDG G90，ADG +ADE 90， ADE+EDC90，ADG EDC ，ADG CDE ， ，即 ，DE5故选：A【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形
20、的一切性质也考查了相似三角形的判定与性质10（3 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 E 从 A 出发，沿 ABC 方向运动，当点 E到达点 C 时停止运动，过点 E 作 EFAE 交 CD 于点 F，设点 E 运动路程为x，CFy ，如图 2 所表示的是 y 与 x 的函数关系的大致图象，给出下列结论：a3 ；当 CF 时，点 E 的运动路程为 或 或 ，则下列判断正确的是（ ）A都对 B都错 C 对 错 D错对【分析】根据图象，分析得到 ABa，AB+BC5，E 在 BC 上时在利用ABEECF，用 x 表示 y，根据最大值求得 a，进而得到二次函数解析式当 y 时，求x当 E 在
21、AB 上 y 时，求出 x可判断结论均正确【解答】解：由已知，ABa，AB+BC5当 E 在 BC 上时，如图，E 作 EFAEABE ECFy当 x解得 a13，a 2 （舍去）y当 y 时， 解得 x1 ，x 2当 E 在 AB 上时， y 时，x3 故正确故选：A【点评】本题是动点背景的代数几何综合题，考查了二次函数图象性质和三角形相似，解答关键是数形结合二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）计算：（3.14 ） 0+31 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质进而化简得出答案【解答】解：原式1+ 故答案为： 【点评】此题主要考查了零指数幂
22、的性质以及负指数幂的性质，正确化简各数是解题关键12（3 分）如图，在ABC 中，C90，若 BDAE，DBC20，则CAE 的度数是 70 【分析】求出ABD，根据两直线平行，内错角相等可得BAEABD，然后根据CAEBAC+BAE 代入数据计算即可得解【解答】解：DBC20，ABD60DBC602040，BDAE，BAE ABD40，CAEBAC+BAE30+4070故答案为：70【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记性质以及三角板的度数是解题的关键13（3 分）如图，ABC 中，以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB，BC 于E、F 点，分别以点 E、F 为圆心，以
23、大于 EF 的长为半径作弧，两弧交于点 G，做射线 BG，交 AC 于点 D，过点 D 作 DHBC 交 AB 于点 H已知 HD3，BC 7，则 AH的长为 【分析】根据题意可知射线 BG 是ABC 的平分线，从而可得HBD 是等腰三角形，且 HDHB ，再根据相似三角形对应边成比例可求 AH 的长【解答】解：由题意可知射线 BG 是ABC 的平分线，ABDCBD而 DHBCHDB CBDABDHDBHBHD 3又DHBCAHD ABC即：得 AH故答案为 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，利用相似三角形对应边成比例进行解题是关键14（3 分）如图，四边形 ABCD 是一个矩形，E
24、、F、G、H 分别是边 AD、BC 上的三等分点，请你根据图中的数据求阴影部分的面积为 200 cm 2【分析】先根据 S 阴影部分 S 矩形 ABCDS 曲边 ABHS 扇形 DECS 矩形 ABCD（S 矩形ABHFS 扇形 FAH）S 扇形 DECS 矩形 FHCD，由 S 矩形 FHCD 的面积即可得出结果【解答】解：根据题意得，AEEFFD10cm，DCHF20cm ，S 扇形 FAHS 扇形 DEC，S 阴影部分 S 矩形 ABCDS 曲边 ABHS 扇形 DECS 矩形 ABCD（S 矩形 ABHFS 扇形 FAH）S 扇形 DECS 矩形 FHCD，S 矩形 FHCDHFFD2
25、0cm10cm200cm 2，S 阴影部分 200cm 2；故答案为 200【点评】本题考查了矩形的性质以及扇形的面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质，理清各个图形之间的面积关系是解题关键15（3 分）菱形 ABCD 的边长是 4，ABC120，点 M、N 分别在边 AD、AB 上，且MNAC，垂足为 P，把AMN 沿 MN 折叠得到AMN，若ADC 恰为等腰三角形，则 AP 的长为 或 2 2 【分析】ADC 恰为等腰三角形，分两种情况进行讨论：当 ADAC 时，当CDCA 4 时，分别通过解直角三角形，求得 AA的长，即可得到 AP 的长【解答】解：如图，当 ADAC 时，ADC A CD3
26、0，AA D60，又CAD30，ADA90，RtADA中，AA ，由折叠可得，AP AA ；如图，当 CDCA4 时，连接 BD 交 AC 于 O，则RtCOD 中，CO CDcos304 2 ，AC4 ，AAACAC4 4，由折叠可得，AP AA2 2；故答案为： 或 2 2【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识的运用，分类讨论，得出 A点位置是解题关键三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（8 分）先化简，再求值： ，其中 a 是不等式组的一个非负整数解【分析】本题应该分成两个部分来完成，先对分式进行化简，再根据不等式组
27、求出其非负整数解，最后进行代入求值即可【解答】解： a（a2）又由不等式组 可得即该不等式组的解集为2x5a 是该不等式组的一个非负整数解，而由上式化简过程可知 a0，a10，a20a0，1，2故在解集2x5 中可取 a3，4，5若 a3，得 a（a2）313；若 a4，t 得 a（a2）4 28；若 a5，得 a（a2）5315故上式的值可以是 3，8 或 15【点评】本题考查的是分式的化简，需要先求不等式组的解集，找到非负整数解，再代入分式的化简结果中进行求值，分步运算是解题重点17（9 分）在创客教育理念的指引下，国内很多学校都纷纷建立创客实践室及创客空间，致力于从小培养孩子的创新精神和
28、创造能力，郑州市某校开设了“3D”打印、数学编程、智能机器人、陶艺制作”四门创客课程，为了解学生对这四门创客课程的喜爱情况，数学兴趣小组对全校学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如表所示），将调查结果整理后绘制成图 1、图 2 两幅均不完整的统计图表图 1创客课程 频数 频率A 36 0.45B 0.25C 16 bD 8合计 a 1请根据图表中提供的值息回答下列问题：（1）统计表中的 a 80 b 0.2 ；（2）“D”对应扇形的圆心角为 36 ；（3）根据调查结果，请你估计该校 2000 名学生中最喜欢“数学编程”创客课程的人数【分析】（1）根据 A 的频数和频率可以求得 a 的值，进而可以
29、求得 b 的值；（2）根据统计图中的数据可以求得“D ”对应扇形的圆心角的度数；（3）根据统计图中的数据可以求得该校 2000 名学生中最喜欢“数学编程”创客课程的人数【解答】解：（1）a360.4580，b16800.2，故答案为：80，0.2；（2）“D”对应扇形的圆心角为： 360 36，故答案为：36；（3）200025%500（人），答：该校 2000 名学生中最喜欢“数学编程”创客课程有 500 人【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答18（9 分）已知如图，在直角坐标系中，C 与 y 轴相切，且
30、C 点的坐标为（1，0），直线 l 过点 A（1，0）且与 C 切于点 D，（1）DAC 30 ；（2）求直线 l 的解析式；（3）若在直线 l 上存在一点 P，使APC 为等腰三角形，求 P 点的坐标【分析】（1）连接 CD，则 CDAD ，由 CDOC1，OA1 知 AC2CD，依据直角三角形的性质可得答案；（2）由DAC30，OA 1 知 OFOAtanDAC ，据此知 F（0， ），再结合点 A 的坐标，利用待定系数法求解可得；（3）设 P（m， m+ ），由题意知 AC2，再分 APAC、CPAC 和 PAPC三种情况分别求解可得【解答】解：（1）如图，连接 CD，则 CDAD ，C
31、（1，0），A（1，0），CDOC 1，OA1，则 AC2CD，DAC30，故答案为：30（2）DAC30，OA 1，OFOA tanDAC ，则 F（0， ），设直线 l 的解析式为 ykx+b，则 ，解得： ，直线 l 的解析式为 y x+ ；（3）设 P（m， m+ ），由题意知 AC2，若 APAC，则 2，解得 m1 ，点 P（1+ ，1）或（1 ，1）；若 CACP ，则 2，解得 m2，P（2， ）；若 PCPA ，此时点 P 与点 F 重合，P（0， ）；综上，点 P 的坐标为（1+ ，1）或（1 ，1）或（2， ）或（0， ）【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的切
32、线的性质、直角三角形的性质、待定系数法求函数解析式及等腰三角形的判定与性质等知识点19（9 分）郑东新区是中国河南省郑州市规划建设中的一个城市新区，在 2019 年春节期间，小明一家人前去观看郑东新区“大玉米”灯光秀小明想利用刚学过的知识测量大屏幕“新”字的高度：如图，小明先在如意湖湖边 A 处，测得“新”字底端 D 的仰角为 58，再沿着坡面 AB 向上走到 B 处，测得“新”字顶端 C 的仰角为 45，坡面 AB的坡度 ，AB50 m，AE75m（假设 A、B、C、D、E 在同一平面内）（1）求点 B 到水平面的距离 BF；（2）求“新”字的高度 CD（结果精确到 0.1m，参考数据：si
33、n580.85，cos580.53，tan581.60， ， ）【分析】（1）根据坡度的概念求出 BF；（2）根据勾股定理求出 AF，根据正切的定义求出 DE 和 CH，结合图形计算，得到答案【解答】解：作 BHCE 于 H，坡面 AB 的坡度 ，tanBAF ，BAF 30，BF AB25；（2）由勾股定理得，AF 25 ，在 Rt DAE 中，tan DAE ，则 DEAEtanDAE75，BHFE25 +75，CBH45，CHBH25 +75，CDCH +HEDE 25 +75+2512025 2023.2523.5（米）【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，
34、掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键20（9 分）如图，直线 AB 经过 A（ ，0）和 B（0， 1），点 C 在反比例函数 y 的图象上，且 ACBCAB（1）求直线 AB 和反比例函数的解析式；（2）点 D 坐标为（2 ，0）过点 D 作 PDx 轴，当PAD 与OAB 相似时，P 点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出 P 点坐标；如果不在，请说明理由【分析】（1）将点 A，B 坐标代入 yk x+b 中，求出 k，b，得出直线 AB 解析式，再判断出AOC90，求出 AC 的长，得出点 C 坐标，即可得出结论；（2）分两种情况求出点 P 坐标
35、，代入反比例函数解析式中，判断即可得出结论【解答】解：（1）设直线 AB 的解析式为 yk x+b，将点 A（ ，0）和 B（0，1）代入 ykx +b 中，得 ，解得， ，直线 AB 的解析式为 y x+1，A（ ，0）和 B（0，1），OA ，OB1，AB 2，ACAB2，在 Rt AOB 中，tan OAB ，OAB30，ACBCAB，ABC 是等边三角形，BAC60，OACOAB+BAC90，ACx 轴，C（ ，2），将点 C 坐标代入 y 中，得 k2 2 ，反比例函数解析式为 y ；（2）由（1）知，OA ， OB1，点 D 坐标为（2 ，0），OD2 ，ADOD OA ，PDx
36、轴，ADP90AOB ，当PAD 与OAB 相似时，当 ADPAOB 时， ， ，DP1，P（2 ，1），当 x2 时，y 1，点 P（2 ，1），在反比例函数解析式为 y 上；当 ADPBOA 时， ， ，DP3，P（2 ，3），当 x2 时，y 13，点 P（2 ，3），不在反比例函数解析式为 y 上【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键21（10 分）为奖励在演讲比赛中获奖的同学，大队辅导员王老师负责为获奖同学买奖品，要求每人一件王老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择如果买
37、 3 个笔记本和 2 支钢笔，则需 84 元；如果买 4 个笔记本和 3 支钢笔，则需 118 元（1）求笔记本和钢笔的单价分别为多少元？（2）售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过 10 支，那么超出部分可以享受 7.5 折优惠，若买 x（x0）支钢笔需要花 y1 元，请你用含 x 的式子表示 y1；王老师决定买同一种奖品，并且数量超过 10 个，请你帮王老师判断买哪种奖品更省钱【分析】（1）设笔记本的单价为 m 元/本，钢笔的单价为 n 元/支，根据“买 3 个笔记本和 2 支钢笔需 84 元；买 4 个笔记本和 3 支钢笔需 118 元”，即可得出关于 m、n 的二元一次方
38、程组，解之即可得出结论；（2） 分 0 x10 和 x10 两种情况，用含 x 的式子表示 y1 即可；设获奖的学生有 a 个，购买奖品的总价为 w，根据总价单价数量用含 a 的代数式表示出 w，分 w 钢笔 w 笔记本 、w 钢笔 w 笔记本 、w 钢笔 w 笔记本 三种情况找出关于 a 的一元一次不等式，解之即可得出结论【解答】解：（1）设笔记本的单价为 m 元/本，钢笔的单价为 n 元/支，根据题意得： ，解得： 答：笔记本的单价为 16 元/本，钢笔的单价为 18 元/ 个（2） 当 0 x10 时，y 118x；当 x10 时，y 11810+18 （x10）13.5x +45综上所
39、述：y 1 设获奖的学生有 a 个，购买奖品的总价为 w，根据题意得：w 钢笔 13.5a+45，w 笔记本 16a当 w 钢笔 w 笔记本 时，有 13.5a+4516a，解得：x18；当 w 钢笔 w 笔记本 时，有 13.5a+4516a，解得：x18；当 w 钢笔 w 笔记本 时，有 13.5a+4516a，解得：x18答：当获奖的学生多于 10 个少于 18 个时，购买笔记本省钱；当获奖的学生等于 10 个时，购买笔记本和购买钢笔所花钱数一样多；当获奖学生多于 18 个时，购买钢笔省钱【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）
40、找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）分0x10 和 x10 两种情况，找出函数关系式；分 w 钢笔 w 笔记本 、w 钢笔 w 笔记本 、w 钢笔 w 笔记本 三种情况列出关于 a 的一元一次不等式22（10 分）已知点 O 是 ABC 内任意一点，连接 OA 并延长到点 E，使得 AEOA ，以OB，OC 为邻边作平行四边形 OBFC，连接 OF，与 BC 交于点 H，连接 EF（1）问题发现如图 1，若ABC 为等边三角形，线段 EF 与 BC 的位置关系是 EFBC ，数量关系为 EF BC ；（2）拓展探究如图 2，若ABC 为等腰直角三角形（BC 为斜边），（1）中的两个结论
41、是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；（3）解决问题如图 3，若ABC 是等腰三角形，ABAC 2，BC 3，请你直接写出线段 EF 的长【分析】（1）问题发现：由平行四边形的性质可得 BHHC BC，OH HF，由等边三角形的性质可得 AH BH，由三角形中位线定理可得 AHEF，EF 2AH，可得结论；（2）拓展探究：由平行四边形的性质可得 BHHC BC，OH HF，由等腰直角三角形的性质可得 AHBH，由三角形中位线定理可得 AHEF，EF2AH，可得结论；（3）解决问题：由平行四边形的性质可得 BHHC BC，OH HF，由等腰三角形的性质可得 AHBC
42、，由勾股定理可求 AH 的长，由三角形中位线定理可得 EF2AH 【解答】解：问题发现（1）如图，连接 AH，四边形 OBFC 是平行四边形BHHC BC，OHHF又ABC 是等边三角形，AHBC，ABC60，AH BHAEOA ，OHHF，AHEF，EF2AHAHEF，AHBCEFBC，EF2AH ，AH BH，BC2BHEF BC故答案为：EFBC，EF BC（2）拓展探究如图，连接 AH，四边形 OBFC 是平行四边形BHHC BC，OHHF又ABC 是等腰直角三角形，AHBC，ABC45，AHBH HCAEOA ，OHHF，AHEF，EF2AHAHEF，AHBCEFBC，EF2AH ，
43、AHBH，BC2BHEFBC（3）解决问题如图，连接 AH，四边形 OBFC 是平行四边形BHHC BC ，OH HF又ABAC 2，AHBC，AH OHHF ，AEAOEF2AH 【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，证明 AHEF，EF2AH 是本题的关键23（11 分）顶点为 D 的抛物线 yx 2+bx+c 交 x 轴于 A、B（3，0），交 y 轴于点 C，直线 y x+m 经过点 C，交 x 轴于 E（4，0）（1）求出抛物线的解析式；（2）如图 1，点 M 为线段 BD 上不与 B、D 重合的一个动点，
44、过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，设点 M 的横坐标为 x，四边形 OCMN 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式，并求 S 的最大值；（3）点 P 为 x 轴的正半轴上一个动点，过 P 作 x 轴的垂线，交直线 y x+m 于 G，交抛物线于 H，连接 CH，将CGH 沿 CH 翻折，若点 G 的对应点 F 恰好落在 y 轴上时，请直接写出点 P 的坐标【分析】（1）将点 E 代入直线解析式中，可求出点 C 的坐标，将点 C、B 代入抛物线解析式中，可求出抛物线解析式（2）将抛物线解析式配成顶点式，可求出点 D 的坐标，设直线 BD 的解析式，代入点B、D，可求出直线 BD 的解析式，则 MN 可表示，则 S 可表示（3）设点 P 的坐标，则点 G 的坐标可表示，点 H 的坐标可表示， HG 长度可表示，利用翻折推出 CGHG，列等式求解即可【解答】解：（1）将点 E 代入直线解析式中，0 4+m，解得 m3，解析式为 y x+3，C（0，3），B（3，0），则有解得抛物线的解析式为：yx 2+2x+3
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