1、2019 年中考数学模拟试卷一、选择题（每小题 3 分；共 30 分）1（3 分）化简| 2|的结果正确的是（ ）A2 B C 2 D22（3 分）2018 年 4 月 18 日，被誉为“中国天眼”的 FAST 望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证新发现的脉冲星自转周期为 0.00519 秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一将 0.00519 用科学记数法表示应为（ ）A5.1910 2 B5.1910 3 C51910 5 D51910 63（3 分）如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）A主视图 B左视图C俯视图 D主视
2、图和左视图4（3 分）下列运算正确的是（ ）A（a 2）a 3a 6 Ba 6a3a 2C（2a） 22a 2 D（a 2） 3a 65（3 分）如图，AOB60，以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧交 OA，OB 于C，D 两点；分别以 C，D 为圆心，以大于 CD 的长为半径作弧，两弧相交于点 P；以O 为端点作射线 OP，在射线 OP 上截取线段 OM6，则 M 点到 OB 的距离为（ ）A6 B2 C3 D6（3 分）把不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D7（3 分）我国古代数学著作增删算法统宗记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托折回索子却量竿，却比
3、竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5 尺设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，则符合题意的方程组是（ ）A BC D8（3 分）某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是（ ）A15.5，15.5 B15.5，15 C15，15.5 D15，159（3 分）小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）记甲立方体朝上一面上的数字为 x、乙立方体朝上一面朝上的数字为 y，这样就确定点 P 的一个坐标（x ，y），那么点 P 落在双曲线
4、 上的概率为（ ）A B C D10（3 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 y2x 和 yx 的图象分别为直线l1，l 2，过点（1，0）作 x 轴的垂线交 l1 于点 A1，过点 A1 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A2，过点 A2 作 x 轴的垂线交 l1 于点 A3，过点 A3 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A4，依次进行下去，则点 A2019 的坐标为（ ）A（2 1009，2 1010） B（2 1009，2 1010）C（2 1009，2 1010） D（2 1009，2 1010）二、填空题（每小题 3 分；共 15 分）11（3 分）计算：（ 1） 0（ ） 2 12（3
5、 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x +a10 有实数根，则 a 的取值范围是 13（3 分）如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若点 P（4，0）在该抛物线上，则 4a2b+c 的值为 14（3 分）如图，ACBC，ACBC2，以 BC 为直径作半圆，圆心为 O，以点 C 为圆心，BC 为半径作弧 AB，过点 O 作 AC 的平行线交两弧于点 D、E，则阴影部分的面积是 15（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，DAB45，AB4，点 P 为线段 AB 上一动点，过点 P 作 PE AB 交 AD 于点 E，沿 PE 将A 折叠，点
6、 A 的对称点为点 F，连接EF、DF 、CF，当 CDF 为等腰三角形时，AP 的长为 三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+1175 分）16（8 分）先化简，再求值： ，其中 x 满足 x2x1017（9 分）某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图（1）这次被调查的同学共有 人；（2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据；（3）扇形统计图中圆心角 度；（4）校学生会通过数据分析，估
7、计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 50 人食用一餐据此估算，该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐18（9 分）某游客计划测量这座塑像的高度，（如图 1），由于游客无法直接到达塑像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量塑像的高度；如图 2，在塑像旁山坡坡脚 A 处测得塑像头顶 C 的仰角为 75，当从 A 处沿坡面行走 10 米到达 P 处时，测得塑像头顶C 的仰角刚好为 45，已知山坡的坡度 i1：3，且 O， A，B 在同一直线上，求塑像的高度（侧倾器高度忽略不计，结果精确到 0.1 米，参考数据：cos750.3，tan753.7， ， ， ）19（9 分）如
8、图，已知ABC 内接于O，AB 是直径， ODBC 于点 D，延长 DO 交O 于 F，连接 OC，AF（1）求证：CODBOD；（2）填空：当1 时，四边形 OCAF 是菱形；当 1 时，AB 2 OD20（9 分）如图，直线 ymx 与反比例函数 （x0）的图象交于 Q 点，点B（3， 4）在反比例函数 的图象上，过点 B 作 PB x 轴交 OQ 于点 P，过点 P 作PA y 轴交反比例函数图象于点 A（1）若点 A 的纵坐标为 ，求反比例函数及直线 OP 的解析式；（2）连接 OB，在（1）的条件下，求 sinBOP 的值21（10 分）某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理
9、商出售该公司的 A 型智能手表，去年销售总额为 80000 元，今年 A 型智能手表的售价每只比去年降了 600 元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少 25%A 型智能手表 B 型智能手表进价 1300 元/只 1500 元/只售价 今年的售价 2300 元/只（1）请问今年 A 型智能手表每只售价多少元？（2）今年这家代理商准备新进一批 A 型智能手表和 B 型智能手表共 100 只，它们的进货价与销售价格如右表，若 B 型智能手表进货量不超过 A 型智能手表数量的 3 倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？22（10 分
10、）如图（1），两个等腰直角三角形 ABC 和 DEF 有一条边在同一条直线 l 上，DE2， AB1将直线 EB 绕点 E 逆时针旋转 45，交直线 AD 于点 M将图（1）中的ABC 沿直线 l 向右平移，设 C、E 两点间的距离为 k请解答下列问题：（1） 当点 C 与点 F 重合时，如图（2）所示，此时 的值为 在平移过程中， 的值为 （用含 k 的代数式表示）（2）将图（2）中的ABC 绕点 C 逆时针旋转，使点 A 落在线段 DF 上，如图（3）所示，将直线 EB 绕点 E 逆时针旋转 45，交直线 AD 于点 M，请补全图形，并计算的值（3）将图（1）中的ABC 绕点 C 逆时针旋
11、转 （045），将直线 EB 绕点 E逆时针旋转 45，交直线 AD 于点 M，计算 的值（用含 k 的代数式表示）23（11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx 2+bx+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y轴于点 C，直线 yx 3 经过 B，C 两点（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是第四象限内抛物线上的动点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，交直线 BC 于点M，连接 AC，过点 M 作 MNAC 于点 N，设点 P 的横坐标为 t求线段 MN 的长 d 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围）；点 Q 是平面内一点，是否存在一点 P，使以 B，C ，
12、P，Q 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分；共 30 分）1（3 分）化简| 2|的结果正确的是（ ）A2 B C 2 D2【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数得出即可【解答】解：| 2|2 ，故选：A【点评】本题考查了实数的性质和二次根式的性质，能看出 2 是负数是解此题的关键2（3 分）2018 年 4 月 18 日，被誉为“中国天眼”的 FAST 望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证新发现的脉冲星自转周期为 0.00519 秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一将 0.00519 用科学记数法
13、表示应为（ ）A5.1910 2 B5.1910 3 C51910 5 D51910 6【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：0.005195.1910 3 ，故选：B【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n ，其中1|a| 10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定3（3 分）如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）A主视图 B左视图
14、C俯视图 D主视图和左视图【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案【解答】解：从上边看是一个田字，“田”字是中心对称图形，故选：C【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，又利用了中心对称图形4（3 分）下列运算正确的是（ ）A（a 2）a 3a 6 Ba 6a3a 2C（2a） 22a 2 D（a 2） 3a 6【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：A、（a 2）a 3a 5，此选项错误；B、a 6a3a 3，此选项错误；C、（2a） 24a 2，此选项错误；D、（a 2） 3a 6
15、，此选项正确；故选：D【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键5（3 分）如图，AOB60，以点 O 为圆心，以任意长为半径作弧交 OA，OB 于C，D 两点；分别以 C，D 为圆心，以大于 CD 的长为半径作弧，两弧相交于点 P；以O 为端点作射线 OP，在射线 OP 上截取线段 OM6，则 M 点到 OB 的距离为（ ）A6 B2 C3 D【分析】直接利用角平分线的作法得出 OP 是AOB 的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案【解答】解：过点 M 作 MEOB 于点 E，由题意可得：OP 是AOB 的角平分线，则POB 6030，ME OM 3故
16、选：C【点评】此题主要考查了基本作图以及含 30 度角的直角三角形，正确得出 OP 是AOB 的角平分线是解题关键6（3 分）把不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D【分析】求出不等式组的解集，表示在数轴上即可【解答】解： ，由得： x3，则不等式组的解集为 1x3，表示在数轴上，如图所示：故选：C【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“”要用实心圆
17、点表示；“”，“”要用空心圆点表示7（3 分）我国古代数学著作增删算法统宗记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5 尺设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，则符合题意的方程组是（ ）A BC D【分析】设索长为 x 尺，竿子长为 y 尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组【解答】解：设索长为 x 尺，竿子长为 y 尺，根据题意得： 故选：A【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，
18、正确列出二元一次方程组是解题的关键8（3 分）某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是（ ）A15.5，15.5 B15.5，15 C15，15.5 D15，15【分析】根据年龄分布图和平均数、中位数的概念求解【解答】解：根据图中信息可知这些队员年龄的平均数为：15（岁），该足球队共有队员 2+6+8+3+2+122（人），则第 11 名和第 12 名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为 15 岁，故选：D【点评】本题考查了确定一组数据的平均数，中位数的能力注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，
19、则正中间的数字即为所求如果是偶数个则找中间两位数的平均数9（3 分）小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）记甲立方体朝上一面上的数字为 x、乙立方体朝上一面朝上的数字为 y，这样就确定点 P 的一个坐标（x ，y），那么点 P 落在双曲线 上的概率为（ ）A B C D【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点 P 落在双曲线上的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：列表得：甲乙1 2 3 4 5 61 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，
20、5）（2，6）3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6 （6，1 （6，2 （6，3 （6，4 （6，5 （6，6） ） ） ） ） ）一共有 36 种结果，每种结果出现的可能性是相同的，点 P 落在双曲线 上的有（1，6），（2，3），（3，2），（6，1），点 P 落在双曲线 上的概率为： 故选：C【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适
21、合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比10（3 分）如图，在平面直角坐标系中，函数 y2x 和 yx 的图象分别为直线l1，l 2，过点（1，0）作 x 轴的垂线交 l1 于点 A1，过点 A1 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A2，过点 A2 作 x 轴的垂线交 l1 于点 A3，过点 A3 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A4，依次进行下去，则点 A2019 的坐标为（ ）A（2 1009，2 1010） B（2 1009，2 1010）C（2 1009，2 1010） D（2 1009，2 1010）【分析】写出一部分点的坐标，探索得到规律 A2n+1（2） n，2
22、（2） n（n 是自然数），即可求解；【解答】解：A 1（1，2），A 2（2，2），A 3（2，4），A 4（4，4），A5（4，8），由此发现规律：A2n+1（2） n，2（2） n（n 是自然数），201921009+1，A 2019（2） 1009，2（ 2） 1009，A 2019（2 1009，2 1010），故选：D【点评】本题考查一次函数图象上点的特点；能够根据作图特点，发现坐标的规律是解题的关键二、填空题（每小题 3 分；共 15 分）11（3 分）计算：（ 1） 0（ ） 2 3 【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂 2 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后
23、根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式143，故答案为：3【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂等考点的运算12（3 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x +a10 有实数根，则 a 的取值范围是 a2 【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于 a 的不等式，则可求得 a 的取值范围【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x22x +a10 有实数根，0，即（2） 24（a1）0，解得 a2，故答案为：a2【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键
24、13（3 分）如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）的对称轴是过点（1，0）且平行于 y 轴的直线，若点 P（4，0）在该抛物线上，则 4a2b+c 的值为 0 【分析】依据抛物线的对称性求得与 x 轴的另一个交点，代入解析式即可【解答】解：设抛物线与 x 轴的另一个交点是 Q，抛物线的对称轴是过点（1，0），与 x 轴的一个交点是 P（4，0），与 x 轴的另一个交点 Q（2，0），把（2，0）代入解析式得：04a2b+c，4a2b+c0，故答案为：0【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与 x 轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x 轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键14（3
25、 分）如图，ACBC，ACBC2，以 BC 为直径作半圆，圆心为 O，以点 C 为圆心，BC 为半径作弧 AB，过点 O 作 AC 的平行线交两弧于点 D、E，则阴影部分的面积是 【分析】连接 CE，如图，利用平行线的性质得 COEEOB90，再利用勾股定理计算出 OE ，利用余弦的定义得到 OCE60，然后根据扇形面积公式，利用S 阴影部分 S 扇形 BCES OCE S 扇形 BOD 进行计算即可【解答】解：连接 CE，如图，ACBC，ACB90，ACOE，COEEOB90，OC1，CE2，OE ，cos OCE ，OCE60，S 阴影部分 S 扇形 BCES OCE S 扇形 BOD 1
26、 故答案为 【点评】本题考查了扇形面积的计算：求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积15（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，DAB45，AB4，点 P 为线段 AB 上一动点，过点 P 作 PEAB 交 AD 于点 E，沿 PE 将A 折叠，点 A 的对称点为点 F，连接EF、 DF、CF，当CDF 为等腰三角形时，AP 的长为 2 或 +1 或 2 【分析】如图 1，当 DFCD 时，有两个解，如图 2，当 CFCD4 时，有两个解，如图 3 中，当 FDFC 时有一个解，分别求出即可【解答】解：如图 1，当 DFCD 时，点 F 与 A 重合或在点 F处在菱形 ABC
27、D 中，AB 4，CDAD4，作 DNAB 于 N，在 RTADN 中，AD4，DAN45DNAN NF2 ，AP2 ，如图 2，当 CFCD4 时，点 F 与 B 重合或在 F处，点 F 与 B 重合，PE 是 AB 的垂直平分线，AP AB2，如图 3 中，当 FDFC 时，AF2 +2，AP AF +1综上所述：当CDF 为等腰三角形时，AP 的长为 2 或 +1 或 2 故答案为：2 或 +1 或 2 【点评】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键三、解答题（8+9+9+9+9+10+10+1175 分）16（8 分）先化简，再求值： ，
28、其中 x 满足 x2x10【分析】先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算最后根据化简的结果，可由 x2x 10，求出 x+1x 2，再把 x2x+1 的值代入计算即可【解答】解：原式 ， ，x 2x10，x 2x+1，将 x2x+1 代入化简后的式子得： 1【点评】本题考查了分式的化简求值解题的关键是注意对分式的分子、分母因式分解，除法转化成下乘法17（9 分）某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所
29、示的不完整的统计图（1）这次被调查的同学共有 1000 人；（2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据；（3）扇形统计图中圆心角 72 度；（4）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 50 人食用一餐据此估算，该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐【分析】（1）根据不剩的学生数和所占的百分比可以求得这次被调查的同学数；（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据可以求得剩少量的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中圆心角 的度数；（4）根据题目中的数据可以得到该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供
30、多少人食用一餐【解答】解：（1）60060%1000（人），即这次被调查的同学共有 1000 人，故答案为：1000；（2）剩少量的学生有：100060015050200（人），补全的条形统计图如右图所示；（3）扇形统计图中圆心角 360 72，故答案为：72；（4）18000100050900（人），答：该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供 900 人食用一餐【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答18（9 分）某游客计划测量这座塑像的高度，（如图 1），由于游客无法直接到达塑像底部，因此该游客计划借助坡面高度来测量塑像的
31、高度；如图 2，在塑像旁山坡坡脚 A 处测得塑像头顶 C 的仰角为 75，当从 A 处沿坡面行走 10 米到达 P 处时，测得塑像头顶C 的仰角刚好为 45，已知山坡的坡度 i1：3，且 O， A，B 在同一直线上，求塑像的高度（侧倾器高度忽略不计，结果精确到 0.1 米，参考数据：cos750.3，tan753.7， ， ， ）【分析】过点 P 作 PEOB 于点 E，PFOC 于点 F，设 PEx，则 AE3x，在 RtAEP 中根据勾股定理得 PE，在 RtAOC 中，由 tan75求得 m 的值，继而可得答案【解答】解：过点 P 作 PEOB 交 OB 于点 E，PFOC 交 OC 于
32、点 F，i1：3，AP10，设 PEx，则 AE3x，在 Rt AEP 中，x 2+（3x ） 210 2，解得： 或 （舍）， ，则 ，CPFPCF45，CFPF，设 CFPFm 米，则 米， 米，在 Rt AOC 中， ，即 ，解得：m14.3， 米，答：塑像的高度约为 17.5 米【点评】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键19（9 分）如图，已知ABC 内接于O，AB 是直径， ODBC 于点 D，延长 DO 交O 于 F，连接 OC，AF（1）求证：CODBOD；（2）填空：当1 30 时，四边形 OCAF
33、是菱形；当 1 45 时，AB 2 OD【分析】（1）由 SSS 即可证出结论；（2） 要四边形 OCAF 是菱形，需 OCCA AFOF，即AOC 为等腰三角形，260，那么130；由等腰直角三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：AB 是直径，ACB90，OCOB，ODBC 于点 D，CDBD，在CDO 和BDO 中， ，CDOBDO（SSS）；（2）解：当130时，四边形 OCAF 是菱形理由如下：130，AB 是直径，BCA90，260，而 OCOA，OAC 是等边三角形，OAOCCA，又D，O 分别是 BC，BA 的中点，DOCA，2360而 OCOAAFOAF 是等边三角形，A
34、FOA OF，OCCAAFOF，四边形 OCAF 是菱形；当 145 时，AB 2 OD，145，ODBC 于点 D，BOD 是等腰直角三角形，OB OD，AB2OB 2 OD【点评】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质、菱形的判定、圆周角定理、三角形中位线定理；熟练掌握全等三角形的判定和菱形的判定，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键20（9 分）如图，直线 ymx 与反比例函数 （x0）的图象交于 Q 点，点B（3， 4）在反比例函数 的图象上，过点 B 作 PB x 轴交 OQ 于点 P，过点 P 作PA y 轴交反比例函数图象于点 A（1）若点 A 的纵坐标为 ，求反比
35、例函数及直线 OP 的解析式；（2）连接 OB，在（1）的条件下，求 sinBOP 的值【分析】（1）将点 B 代入求反比例函数解析式，将点 A 代入求一次函数解析式；（2）过 B 点作 BMOP 于点 M，在 RtBOM 中， ，结合，即可求解；【解答】解：（1）B（3，4）在 上的图象上， ，k12， ，当 时， ， PAy 轴，PBx 轴， 将 P 点代入 y mx，得 ， ， ；（2）如图，过 B 点作 BMOP 于点 M，B（3，4）， ， ，在 Rt BOM 中， ，又 ， ；【点评】本题考查一次函数和反比例函数图象和性质；熟练掌握用待定系数法求函数的表达式，利用三角函数，勾股定理
36、结合解题是关键21（10 分）某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的 A 型智能手表，去年销售总额为 80000 元，今年 A 型智能手表的售价每只比去年降了 600 元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少 25%A 型智能手表 B 型智能手表进价 1300 元/只 1500 元/只售价 今年的售价 2300 元/只（1）请问今年 A 型智能手表每只售价多少元？（2）今年这家代理商准备新进一批 A 型智能手表和 B 型智能手表共 100 只，它们的进货价与销售价格如右表，若 B 型智能手表进货量不超过 A 型智能手表数量的 3 倍，所进智能手表可全部售完，请你设
37、计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？【分析】（1）设今年 A 型智能手表每只售价 x 元，则去年售价每只为（x+600）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；（2）设今年新进 A 型 a 只，则 B 型（100a）只，获利 y 元，由条件表示出 W 与 a 之间的关系式，由 a 的取值范围就可以求出 W 的最大值【解答】解：（1）今年 A 型智能手表每只售价 x 元，去年售价每只为（x+600）元，根据题意得 ，解得：x1800，经检验，x1800 是原方程的根，答：今年 A 型智能手表每只售价 1800 元；（2）设新进 A 型手表 a 只，全部售完利润是 W
38、元，则新进 B 型手表（100a）只，根据题意得，W（18001300 ）a+ （23001500）（100a）300a+80000，100a3a，a25，3000，W 随 a 的增大而减小，当 a25 时，W 增大 300 25+8000072500 元，此时，进货方案为新进 A 型手表 25 只，新进 B 型手表 75 只，答：进货方案为新进 A 型手表 25 只，新进 B 型手表 75 只，这批智能手表获利最多，并求出最大利润是 72500 元【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用、一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键2
39、2（10 分）如图（1），两个等腰直角三角形 ABC 和 DEF 有一条边在同一条直线 l 上，DE2， AB1将直线 EB 绕点 E 逆时针旋转 45，交直线 AD 于点 M将图（1）中的ABC 沿直线 l 向右平移，设 C、E 两点间的距离为 k请解答下列问题：（1） 当点 C 与点 F 重合时，如图（2）所示，此时 的值为 1 在平移过程中， 的值为 （用含 k 的代数式表示）（2）将图（2）中的ABC 绕点 C 逆时针旋转，使点 A 落在线段 DF 上，如图（3）所示，将直线 EB 绕点 E 逆时针旋转 45，交直线 AD 于点 M，请补全图形，并计算的值（3）将图（1）中的ABC 绕
40、点 C 逆时针旋转 （045），将直线 EB 绕点 E逆时针旋转 45，交直线 AD 于点 M，计算 的值（用含 k 的代数式表示）【分析】（1）当点 C 与点 F 重合时，如图（2）中，延长 BA 交 EM 的延长线于N证明DMEAMN（AAS），即可解决问题如图 1 中，延长 BA 交 EM 的延长线于 N同法可证： ECANk，由 DEAN ，推出DEMANM，可得结论（2）连接 AE，证明AEM FEB，利用相似三角形的性质即可解决问题（3）如图（32）中，过点 B 作 BGBE，交直线 EM 于点 G，连接 AG，证明AGMDEM，可得结论【解答】解：（1）当点 C 与点 F 重合时
41、，如图（2）中，延长 BA 交 EM 的延长线于N易证EBN 是等腰直角三角形，可得 BEBN ，BCBA，ANECDE，DEAN，DENN，DMEAMN，DMEAMN（AAS），DM AM， 1故答案为 1；如图 1 中，延长 BA 交 EM 的延长线于 N同法可证：ECANk，DEAN，DEMANM， ，故答案为 （2）补全如图（31）所示，连接 AEABC、DEF 均为等腰直角三角形，DE 2，AB 1 ，EF2，BC 1，DEF90，DFEACB45，DF2 ，AC ，EFB 90，DF2AC，AD ，点 A 为 CD 的中点，EADF ，EA 平分DEF，MAE 90 ，AEF 45
42、，AE BEM 45 ，MEA +AEBBEF+ AEB 45，MEA BEF，AEM FEB， ，AM ，DM ADAM ， 1（3）如图（32）中，过点 B 作 BGBE，交直线 EM 于点 G，连接 AG，EBG90BEM 45 ，EGB45，BEBG ABC 为等腰直角三角形，BABC， ABC90，ABGCBE，ABGCBE，AGECk， AGB CEB，AGB+AGE DEM+CEB 45，AGEDEM，AGDE ，AGMDEM ， 【点评】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形或全等三角
43、形解决问题，属于中考压轴题23（11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx 2+bx+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y轴于点 C，直线 yx 3 经过 B，C 两点（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是第四象限内抛物线上的动点，过点 P 作 PDx 轴于点 D，交直线 BC 于点M，连接 AC，过点 M 作 MNAC 于点 N，设点 P 的横坐标为 t求线段 MN 的长 d 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量 t 的取值范围）；点 Q 是平面内一点，是否存在一点 P，使以 B，C ，P，Q 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由【分析】（
44、1）首先求出点 B、C 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2） 根据 SABC S AMC +SAMB ，由三角形面积公式可求 y 与 m 之间的函数关系式；把抛物线的解析式化成顶点式，求得顶点坐标，过点 C 作 CEPD 于点 E，分两种情况讨论：如图 1，当 BC 为矩形的边时，根据矩形的性质得到 P（t，3t ），代入抛物线的解析式，求得 t1；如图 2，当 BC 为矩形的对角线时，证得 CPEPBD，得出 CEBDPEPD，由 CEt，BD3t，PDt 2+2t+3（t +1）（t3）PE PDDEt 2+2t3t 2+2tt （t 2），列出 t（3t）t（t2）（t+
45、1）（t3），解得即可【解答】解：（1）由直线 yx3 过 B，C 两点，得 B（3，0），C（0，3），将点 B（3，0），C（0，3 ）代入 yx 2+bx+c 中，得解得故抛物线的解析式为 yx 22x 3；（2） 对于 yx 22x 3，当 y0 时，x 22x 30，解得 x11，x 23，A（1，0）OA1，OBOC3，OBCBCO45，AC ，AB4连接 AMPDx 轴于点 D，DMBGBM 45又点 P 的横坐标为 t，DM DB3 tS ABC S AMC +SAMB ， ，即 ， ；存在， t1 或 ，yx 22x 3（x1） 24，抛物线的顶点坐标为（1，4），过点 C 作 CEPD 于点 E如图（1），当 BC 为矩形的边时，由BCP90，BCE45，可得EPCECP 45，PECEt，P（t，3t）将 P（t，3t）代入 yx 22x3，得3tt 22t3，解得 t10（不合题意，舍去）， t21
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