1、第 1 页，共 10 页2019 年吉林省名校高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）1. 设复数 z=（5+i）（1-i）（i 为虚数单位），则 z 的虚部是（ ）A. 4i B. 4 C. D. 4 42. 已知集合 ，B=x|-1 x3， xZ，则集合 AB 中元素的个数为（ ）=|=22， A. 4 B. 3 C. 2 D. 13. 已知双曲线 （a0，b0）的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为（ ）2222=1 (2， 6)A. 2 B. C. 3 D. 2 34. 某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：不喜欢 喜欢男性青
2、年观众 30 10女性青年观众 30 50现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了 6 人，则 n=（ ）A. 12 B. 16 C. 24 D. 325. 若一个圆锥的轴截面是面积为 1 的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A. B. C. D. 2 22 2 46. 设 x，y 满足约束条件 ，则 z=-2x+y 的最大值是（ ）+240，10，2+10， A. 1 B. 4 C. 6 D. 77. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）()=， 4， 4A. 是周期函数 B. 奇函数() ()C. 的图象关于直线 对
3、称 D. 在 处取得最大值() =4 () =528. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 B 等于（ ）A. 4B. 13C. 40D. 419. 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b=1，a（2sinB- cosC）= ccosA，点 D 是边3 3BC 的中点，且 AD= ，则 ABC 的面积为（ ）132A. B. C. 或 D. 或332 3 23 334 310. 已知抛物线 C：y 2=6x，直线 l 过点 P（2，2），且与抛物线 C 交于 M，N 两点，若线段 MN 的中点恰好为点 P，则直线 l 的斜率为（ ）A. B. C. D. 13
4、54 32 1411. 函数 f（x） =xsin2x+cosx 的大致图象有可能是（ ）A. B. C. D. 12. 已知 x0，函数 f（x）= 的最小值为 6，则 a=（ ）()2+(+)2A. B. 或 7 C. 1 或 D. 22 1 7二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）13. 已知向量 ， 不共线， ， ，如果 ，则 k=_ =23 =3+ 14. 已知函数 f（x ）满足 ，则曲线 y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为_(2)=3315. 已知 sin10+mcos10=-2cos40，则 m=_第 2 页，共 10 页16. 某几何体的三视图如图所示，
5、则该几何体的外接球的表面积为_三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分）17. 已知数列a n为等差数列，a 7-a2=10，且 a1，a 6，a 21 依次成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bn= ，数列 bn的前 n 项和为 Sn，若 Sn= ，求 n 的值1+1 22518. 随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数 yi（单位：人）与时间 ti（单位：年）的
6、数据，列表如下：ti 1 2 3 4 5yi 24 27 41 64 79（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请计算相关系数 r 并加以说明（计算结果精确到 0.01）（若|r| 0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式 ，参考数据 = =1()()=1()2=1()2= =1=1()2=1()2 569575.47（2）建立 y 关于 t 的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）（参考公式： ， ）=1()()=1()2 =1=122 =19. 在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为平
7、行四边形，AA 1平面ABCDAB=2AD=4， =3（1）证明：平面 D1BC平面 D1BD；（2）若直线 D1B 与底面 ABCD 所成角为 ，M，N，Q 分别为6BD，CD，D 1D 的中点，求三棱锥 C-MNQ 的体积20. 顺次连接椭圆 C： （ab0）的四个顶点恰好构成了一个边长为 且面积为 的菱形22+22=1 3 22（1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 Q（0，-2）的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，k OAkOB=-1，其中 O 为坐标原点，求|AB|21. 已知函数 ()=+122(+1)+12（1）设 x=2 是函数 f（x）的极值点，求 m 的值，并求 f（
8、x）的单调区间；（2）若对任意的 x（1，+），f（x）0 恒成立，求 m 的取值范围第 3 页，共 10 页22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： （a0，t 为参数）在以坐标原点为极点，x 轴的正半=(1+),=轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：= （ R）6（1）说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；（2）若直线 C3 的方程为 y=- x，设 C2 与 C1 的交点为 O，M，C 3 与 C1 的交点为 O，N ，若OMN 的3面积为 2 ，求 a 的值323. 已知函数 f（x ）=|4 x-1|-|x+2|（1）解不等式 f（x ）8；（2）若关于 x
9、 的不等式 f（x）+5|x+2|a 2-8a 的解集不是空集，求 a 的取值范围第 4 页，共 10 页答案和解析1.【答案】D【解析】解：z=（5+i ）（1-i）=6-4i， z 的虚部是-4 故选：D直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2.【答案】B【解析】解： ，B=-1，0，1，2，3；AB=-1，0，1；AB 中元素的个数为：3故选：B 可解出集合 A，B，然后进行交集的运算即可求出 AB，从而得出 AB 中元素的个数考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算3.【答案】A【解析】解：双曲线 （a 0，b0）的渐近线方
10、程为 y= x，由题意可得 = ，即 b= a，即有双曲线的 e= = = =2故选：A求得双曲线的渐近线方程，结合 a，b，c 的关系，再由离心率公式，计算可得所求值本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题4.【答案】C【解析】解：由分层抽样的性质得：，解得 n=24故选：C 由分层抽样的性质列方程能求出 n 的值本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题5.【答案】A【解析】解：设圆锥的底面圆半径为 r，高为 h，母 线长为 l，由题意知，r=h= l，则轴截面的面积为 =1，解得 r=1，所以
11、 l= ；所以该圆锥的侧面积为 S 圆锥侧 =rl= 故选：A设圆锥的底面圆半径、高和母线长，根据直角三角形的边角关系和面积公式列方程求出 r 和 l的值，再计算圆锥的侧面积公式本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题6.【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=-2x+y，得 y=2x+z 表示，斜率为 2 纵截距为 Z 的一组平行直线平移直线 y=2x+z，当直线 y=2x+z 经过点 A 时，第 5 页，共 10 页直线 y=2x+z 的截距最大，此时 z 最大，由解得 A（-2，3）此时-2x+y=7，即此时 z=7，故选：D作出不等式对应的平面区域，利用 z
12、的几何意义，利用直线平移法进行求解即可本题主要考查线性规划的基本应用，利用 z 的几何意 义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决7.【答案】C【解析】解：作出函数 f（x）的图象如图：则由图象知函数 f（x）不是周期函数，故 A 错误，不是奇函数，故 B 错误，若 x0，f（ +x）=cos（ +x）=cos cosx-sin sinx= （cosx-sinx），f（ -x）=sin（ -x）=sin cosx-cos sinx= （cosx-sinx），此时 f（ +x）=f（ -x），若 x0，f（ +x）=sin（ +x）=sin cosx+cos sinx= （cosx+s
13、inx），f（ -x）=cos（ -x）=cos cosx+sin sinx= （cosx+sinx），此时 f（ +x）=f（ -x），综上恒有 f（ +x）=f（ -x），即图象关于直线 对称，故 C 正确，f（x）在 处 f（x）=f（ ）=cos =0 不是最大值，故 D 错误，故选：C 作出函数 f（x）的图象， 结合函数周期性，奇偶性 对 称性以及最值性的性质分别进行判断即可本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及函数周期性，奇偶性对称性以及最值性的性质，利用定义法结合数形结合是解决本题的关键8.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得 A=1，B=0 满足条件 A4，执
14、行循环 体， B=1，A=2 满足条件 A4，执行循环 体， B=4，A=3 满足条件 A4，执行循环 体， B=13，A=4 满足条件 A4，执行循环 体， B=40，A=5 此时，不满足条件 A4，退出循环，输出 B 的值为 40 故选：C 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 B 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9.【答案】D【解析】解：a（2sinB- cosC）= ccosA，2sinAsinB- sinAcosC= sinCcosA，
15、即 2sinAsinB= sinAcosC+ sinCcosA= sin（A+C）= sinB，sinB0，2sinA= ，即 sinA= ，即 A= 或点 D 是边 BC 的中点， = （ + ），平方得 2= （ 2+ 2+2 ），即 = （b2+c2+2bccosA），即 13=1+c2+2ccosA，若 A= 则 c2+c-12=0 得 c=3 或 c=-4（舍），此 时三角形的面 积 S= bcsinA= =第 6 页，共 10 页若 A= 则 c2-c-12=0 得 c=4 或 c=-3（舍），此时三角形的面积S= bcsinA= = ，综上三角形的面积为 或 ，故选：D根据正弦定
16、理先求出 A 的大小， 结合中线的向量公式以及向量数量积的公式进行转化求出 c的值进行求解即可本题主要考查三角形的面积的计算，结合正弦定理了以及向量的中点公式以及向量数量积的应用是解决本题的关键10.【答案】C【解析】解：设 M（x1，y1），N（x2，y2），由 y12=6x1，y22=6x2，相减可得（y 1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2），y1+y2=4，k= = = ，故选：C 根据点差法和中点坐标公式即可求出本题考查了点差法求出直线的斜率，属于基础题11.【答案】A【解析】解：f（-x）=-xsin（-2x ）+cos（-x）=xsin2x+cosx=f（x），则函数 f（x
17、）是偶函数，排除 D，由 f（x）=x2sinxcosx+cosx=0，得 cosx（2xsinx+1）=0，得 cosx=0，此时 x= 或 ，由 2xsinx+1=0 得 sinx=- ，作出函数 y=sinx 和 y=- ，在（0， 2）内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点，综上 f（x）在（0， 2）有四个零点，排除 B，C，故选：A判断函数的奇偶性，判断函数零点个数进行判断即可本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键12.【答案】B【解析】解：x 0，ex-e-x0f（x）= = =（ex-e-x）+ -2a2 -2a，函数
18、f（x）= 的最小值为 6，2 -2a=6，解得 a=-1 或 7，故选：B 根据基本不等式即可求出函数的最值本题考查了函数的最值和基本不等式的应用，考查了转化与化归能力，属于中档题13.【答案】 92【解析】解： 不共线； ； ；存在实 数 ，使 ； ；第 7 页，共 10 页根据平面向量基本定理得， ；解得 故答案为： 根据 不共线即可得出 ，从而根据 得出，存在实数 ，使得 ，从而得出，这样根据平面向量基本定理即可得出 ，解出 k 即可考查共线向量基本定理，平面向量基本定理14.【答案】18x- y-16=0【解析】解：函数 f（x）满足 ，可得 f（x）=8x3-6x，即有 f（x）=
19、24x2-6，可得 y=f（x）在点（1，f （1）处的切线斜率为 k=18，切点为（1，2），可得切线方程为 y-2=18（x-1），即为 18x-y-16=0故答案为：18x-y-6=0 由 x 替换 2x，可得 f（x）的解析式，求得 导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程本题考查函数的解析式的求法，以及导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考 查方程思想和运算能力，属于基础题15.【答案】 3【解析】解：sin10+mcos10=-2cos40，整理得：sin10+mcos10=-2cos（10+30）=-2 ，整理得：m=- ，故答案为：-直接利用和角公式的展开式
20、，利用对应关系求出 m 的值本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型16.【答案】20【解析】1 解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：如图所示：所以：O 为外接球的球心，所以：R ，故：S=4 =20故答案为：20首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步确定几何体的外接球球心，在算出几何体的外接球半径，最后求出球的表面积本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型17.【答案】解：（1）设数列a n为公差为 d 的等差数列，a7-a2=10，即 5
21、d=10，即 d=2，a1，a 6，a 21 依次成等比数列，可得a62=a1a21，即（a 1+10） 2=a1（ a1+40），解得 a1=5，则 an=5+2（n-1）=2 n+3；（2）b n= = = （ - ），1+1 1(2+3)(2+5)12 12+3 12+5即有前 n 项和为 Sn= （ - + - + - ）12 15171719 12+3 12+5= （ - ）= ，12 15 12+5 5(2+5)由 Sn= ，可得 5n=4n+10，225解得 n=10【解析】（1）设等差数列的公差为 d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项第 8 页，共 10
22、 页和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得 bn= = = （ - ），运用裂 项相消求和可得 Sn，解方程可得 n本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题18.【答案】解：（1）由题知 ， ， ， ，=3 =475=1=852=1()2=10，=1()2=2278则 = = =1()()=1()2=1()2= =1=1()2=1()2 14722780=14725695147150.940.97 0.75故 y 与 t 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合（2）由（1）得 ， =1=122=14.7=4714.73=2.
23、9所以 y 与 t 的回归方程为 y=14.7t+2.9将 t=6 带入回归方程，得 y=91.191，所以预测第 6 年该公司的网购人数约为 91 人【解析】（）根据表格数据，计算相关系数 r 进行判断即可 （）根据线性规划关系公式求出回归系数进行预报即可本题主要考查线性回归方程的应用，根据表格数据进行计算，考查学生的计算能力19.【答案】证明：（1）D 1D平面 ABCD，BC 平面 ABCD，D1DBC又 AB=4，AD=2， ，=3 ，=22+422243=23AD2+BD2=AB2， ADBD又 ADBC，BC BD又 D1DBD=D，BD平面 D1BD，D 1D平面 D1BD，BC
24、平面 D1BD，而 BC平面 D1BC，平面 D1BC平面 D1BD解：（2）D 1D平面 ABCD，D1BD 即为直线 D1B 与底面 ABCD 所成的角，即 ，1=6而 ，DD 1=2=23，=14三棱锥 C-MNQ 的体积 =1413122321=36【解析】（1）推导出 D1DBC，ADBD，BCBD从而 BC平面 D1BD，由此能证明平面 D1BC平面D1BD（2）由 D1D平面 ABCD，得 D1BD 即为直线 D1B 与底面 ABCD 所成的角，即 ，由 ，能求出三棱锥 C-MNQ 的体积本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、 线面、面面间的位置关系等基
25、础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题20.【答案】解：（1）由题可知， ，a 2+b2=3，2=22解得 ，b=1=2所以椭圆 C 的方程为 22+2=1（2）设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），当直线 l 斜率不存在时，明显不符合题意，故设 l 的方程为 y=kx-2，代入方程 ，整理得（1+2k 2）x 2-8kx+6=022+2=1由=64k 2-24（2k 2+1）0，解得 ，2 32所以 ， 1+2=81+2212= 61+22，=1212=2122(1+2)+412 =1解得 k2=5. |=1+2(1+2)2412=42111【解析】（1）由题可知，
26、，a2+b2=3，解得即可求出 椭圆 的方程，（2）A（x1，y1），B（x2，y2），当直线 l 斜率不存在时，明显不符合题意，故设 l 的方程为 y=kx-2，第 9 页，共 10 页代入方程 ，整理得（1+2k 2）x2-8kx+6=0然后根据根与系数的关系以及已知条件求解即可本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了弦长公式，根与系数的关系，是中档 题21.【答案】解：（1）由 （x0），得 ()=+122(+1)+12 ()=+11x=2 是函数 f（ x）的极值点， ，故 (2)=2+121=0 =32令 ，()=+152=225+22 0解得 或 x20 12f（x）在（0， ）和（
27、2，+）上单调递增，在（ ，2）上单调递减；12 12（2） （x0），()=+11当 m1 时，f（x ）0，则 f（x）在（1，+）上单调递增，又 f（1）=0， 恒成立；+122(+1)+12 0当 m1 时，求导可知 在（1，+）上单调递增，()=+11故存在 x0（1 ，+），使得 f（x 0）=0，f（x）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+）上单调递增，又 f（1）=0，则 f（x 0）0，这与 f（x）0 恒成立矛盾综上，m1【解析】（1）求出原函数的导函数，利用 x=2 是函数 f（x）的极值点，可得 f（2）=0，由此求得 m 值，代入导函数，再由导函数大于 0 求得
28、原函数的增区间， 导函数小于 0 求得原函数的减区间；（2）求出原函数的导函数 （x0），可得当 m1 时，f（x）0，则 f（x）在（1，+）上单调递增，结合 f（1）=0，可知 f（x）0 恒成立；当 m1 时，可知存在 x0（1，+），使得 f（x0）=0，得到 f（x）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+）上单调递增，结合 f（1）=0，得 f（x0）0，这与 f（x）0 恒成立矛盾，可得 m1本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题22.【答案】解：（1）曲线 C1： （a0，t 为参数）=(1+),=转换为直角坐标方程
29、为：（x-a） 2+y2=a2，该曲线为以（a，0）为圆心 a 为半径的圆圆的极坐标方程为 =2acos（2）直线 C3 的方程为 y=- x，3转换为极坐标方程为： =23将 代入 =2cos，=6， =23解得： ，|1|=3， |2|=则： = ，=12 3(6+3)23解得：a=2【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程进行转换 （2）利用极径建立方程组，进一步利用三角形的面积建立等量关系，求出参数的值本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直 线方程的求法及应用，主要考 查学生的运算能力
30、和转化能力属于基础题型23.【答案】解：（1）由题意可得 f（x ）= ，3+3， 251， 2 1433， 14 当 x-2 时，-3x +38，得 ，无解； 53当 时，-5x-18，得 ，即 ；2 14 95 95 14当 时，3x-38，得 ，即 14 113 14 113所以不等式的解集为 |95 113（2）f（x）+5|x+2|=|4x-1|+|4x+8|9，则由题可得 a2-8a9，解得 a-1 或 a9【解析】（1）求出 f（x）的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可； 第 10 页，共 10 页（2）求出 f（x）+5|x+2|的最小值，得到关于 a 的不等式，解出即可本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题
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