1、2019 年江苏省泰州市海陵区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上）1（3 分）5 的相反数是（ ）A5 B5 C D2（3 分）下列各运算中，计算正确的是（ ）A（3a） 29a 2 B（a 3） 3a 6Ca 3a6a 18 D7a 2+2a29a 43（3 分）下列几何体中，主视图是圆的是（ ）A B C D4（3 分）“明天下雨的概率是 80%”，下列说法正确的是（ ）A明天一定下雨B明天一定不下雨C明天下雨的可能性比较大D明天 80%的地方下雨5
2、（3 分）如图，直线 y12x+2 交 x 轴、y 轴于点 A、C，直线 交 x 轴、y 轴于点 B、 C，点 P（m，1）是ABC 内部（包括边上）的一点，则 m 的最大值与最小值之差为（ ）A2 B2.5 C3 D3.56（3 分）如果四边形内存在一个点到四个顶点的距离相等，那么这个四边形一定有（ ）A一组邻角相等 B一组对角相等C两组对角分别相等 D两组对角的和相等二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.请将答案直接填在答题卡相应的位置上）7（3 分）计算： 8（3 分）据人民网报道，2018 年泰州地区生产总值再上新台阶，约达 510000000000 将510
3、000000000 科学记数法表示为 9（3 分）一组数据：6，9，9，1，12，这组数据的众数是 10（3 分）已知一次函数 ykx+3，若 y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是 11（3 分）分解因式：mx 22mx+ m 12（3 分）已知 m 是负整数，关于 x 的一元二次方程 x22mx 40 的两根是 x1，x 2，若 x1+x2x 1x2，则 m 的值等于 13（3 分）如图，ABC 中，BAC 120，点 D、E 在 BC 上，ADAC，AEAB，且ADE 是等边三角形，若 AD2，则ABC 的周长等于 14（3 分）设 Aa+3，Ba 2a+5，则 A 与 B 的大
4、小关系是 A B（填“，”之一）15（3 分）如图，在ABCD 中，点 E 在 BC 上，AE、BD 相交于点 F，若BE： EC1：2 ，则BEF 与四边形 FECD 的面积比等于 16（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，B 的半径为 2，P 为B 上的动点，则PD+ PC 的最小值等于 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 102 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（12 分）（1）计算： 2sin60（2）化简：18（8 分）某校为了解九年级男生 1000 米长跑的成绩，从中随机抽取了 50 名男生进行测试，根据测试评分标准，
5、将他们的得分进行统计后分为 A、B、C、D 四等，并绘制成下面的频数分布表和扇形统计图等级 成绩（得分） 频数（人数） 频率A 910 分 x mB 87 23 0.46C 65 y nD 5 分以下 3 0.06（1）试直接写出 x，y ，m，n 的值；（2）求表示得分为 C 等的扇形的圆心角的度数；（3）如果该校九年级共有男生 400 名，试估计这 400 名男生中成绩达到 A 等和 B 等的人数共有多少人？19（8 分）泰州的旅游景点很多，现有 A、B、C 三个景点（1）若小明任选一个景点游玩，问选中 A 景点的概率是多少？（2）若小明任选两个景点游玩，问选中 A 和 B 两个景点的概率
6、是多少？（用列表法或树状图求解）20（8 分）如图，在ABCD 中，AEBC 于点 E，CF AB 于点 F，且 AECF，求证：ABCD 是菱形21（8 分）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树 960 棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的 倍，结果提前 4 天完成任务，原计划每天种树多少棵？22（10 分）如图，AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，点 M 是弧 AB 的中点，CM 交 AB于点 N，点 P 是 AB 延长线上一点，连接 CP，且PCBA（1）试判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 MNMC8，求弧 BM 的长23（10
7、 分）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌 CD小明在山坡的坡脚 A 处测得宣传牌底部 D 的仰角为 63，沿山坡向上走到 B 处测得宣传牌顶部 C 的仰角为 45已知山坡 AB 的坡度 i1：3，AB 10 米，CD2 米（1）求点 B 距地面的高度；（2）求大楼 DE 的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米，参考数据tan632， 1.732）24（12 分）如图，A、B 两点在反比例函数 的图象上，ACy 轴于点 C，BDx 轴于点 D，点 A 的横坐标为 a，点 B 的横坐标为 b，且 ab（1）若AOC 的面积为 4，求 k 值；（2）若 a1，bk，当 AOAB 时，试说
8、明AOB 是等边三角形；（3）若 OAOB，证明：OCOD25（12 分）已知矩形纸片 ABCD 中，AB6，BC10，点 E 为 BC 边上的动点（点 E 不与点 B、 C 重合），如图 1 所示，沿折痕 AE 翻折得到AEB，设 BEm（1）当 E、B 、D 在同一直线上时，求 m 的值；（2）如图 2，点 F 在 CD 边上，沿 EF 再次折叠纸片，使点 C 的对应点 C在直线EB上；求 DF 的最小值；点 C能否落在边 AD 上？若能，求出 m 的值，若不能，试说明理由26（14 分）已知：如图，抛物线 的顶点为 A（0，2），与 x 轴交于B（2 ，0）、C（2，0）两点（1）求抛物
9、线 的函数表达式；（2）设点 P 是抛物线 y 上的一个动点，连接 PO 并延长至点 Q，使 OQ2OP 若点 Q正好落在该抛物线上，求点 P 的坐标；（3）设点 P 是抛物线 y 上的一个动点，连接 PO 并延长至点 Q，使 OQmOP （m 为常数）；证明点 Q 一定落在抛物线 上；设有一个边长为 m+1 的正方形（其中 m3），它的一组对边垂直于 x 轴，另一组对边垂直于 y 轴，并且该正方形四个顶点正好落在抛物线 和组成的封闭图形上，求线段 PQ 被该正方形的两条边截得线段长最大时点 Q 的坐标2019 年江苏省泰州市海陵区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 6 小
10、题，每小题 3 分，满分 18 分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上）1（3 分）5 的相反数是（ ）A5 B5 C D【分析】根据相反数的定义直接求得结果【解答】解：5 的相反数是 5故选：B【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数是 02（3 分）下列各运算中，计算正确的是（ ）A（3a） 29a 2 B（a 3） 3a 6Ca 3a6a 18 D7a 2+2a29a 4【分析】根据同底数幂相除法则、幂的乘方法则以及积的乘方、合并同类项法则计算判断即可【解答】解：A（3a） 29a 2，
11、故 A 正确；B（a 3） 3a 9，故 B 错误；Ca 3a6a 9，故 C 错误；D.7a2+2a29a 2，故 D 错误；故选：A【点评】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂相除法则、幂的乘方法则以及积的乘方、合并同类项是解题的关键3（3 分）下列几何体中，主视图是圆的是（ ）A B C D【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答【解答】解：A、正方体的主视图是正方形，不符合题意；B、圆柱的主视图是矩形，不符合题意；C、球的主视图是圆，符合题意；D、圆锥的主视图是三角形，不符合题意故选：C【点评】本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图
12、、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形4（3 分）“明天下雨的概率是 80%”，下列说法正确的是（ ）A明天一定下雨B明天一定不下雨C明天下雨的可能性比较大D明天 80%的地方下雨【分析】根据概率的意义找到正确选项即可【解答】解：明天下雨的概率是 80%，说明明天下雨的可能性比较大所以只有 C 合题意故选：C【点评】本题考查了概率的意义，解决本题的关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生5（3 分）如图，直线 y12x+2 交 x 轴、y 轴于点 A、C，直线 交 x 轴、y 轴于点 B、 C，点 P（m，1）是ABC 内部（包括边上）的一点，则 m 的
13、最大值与最小值之差为（ ）A2 B2.5 C3 D3.5【分析】由于 P 的纵坐标为 1，故点 P 在直线 y1 上，要求符合题意的 m 值，则 P 点为直线 y1 与题目中两直线的交点，此时 m 存在最大值与最小值，故可求得【解答】解：点 P（m，1）是 ABC 内部（包括边上）的一点，故点 P 在直线 y1 上，如图所示，当 P 为直线 y 1 与直线 y2 的交点时， m 取最大值，当 P 为直线 y 1 与直线 y1 的交点时， m 取最小值，由 解得 ，即 m 的最大值为 2；由 解得 ，即 m 的最小值为 则 m 的最大值与最小值之差为： 2（ ）2.5故选：B【点评】本题考查一次
14、函数的性质，要求符合题意的 m 值，关键要理解当 P 在何处时m 存在最大值与最小值，由于 P 的纵坐标为 1，故作出直线 y1 有助于判断 P 的位置6（3 分）如果四边形内存在一个点到四个顶点的距离相等，那么这个四边形一定有（ ）A一组邻角相等 B一组对角相等C两组对角分别相等 D两组对角的和相等【分析】根据四边形内存在一个点到四个顶点的距离相等即对角线相等判断即可【解答】解：四边形内存在一个点到四个顶点的距离相等即对角线相等，可得等边对等角，即得出两组对角的和相等，故选：D【点评】此题考查几何图形问题，关键是根对角线相等解答二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.
15、请将答案直接填在答题卡相应的位置上）7（3 分）计算： 4 【分析】根据算术平方根的概念去解即可算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果【解答】解：4 216， 4，故答案为 4【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误8（3 分）据人民网报道，2018 年泰州地区生产总值再上新台阶，约达 510000000000 将510000000000 科学记数法表示为 5.110 11 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值是易错点，由于 51000000000
16、0 有 12 位，所以可以确定 n12111【解答】5100000000005.110 11，故答案为 5.11011【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键9（3 分）一组数据：6，9，9，1，12，这组数据的众数是 9 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中 9 出现了 2 次，次数最多，故众数是 9；故答案为：9【点评】本题考查了众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；10（3 分）已知一次函数 ykx+3，若 y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围
17、是 k0 【分析】直接根据一次函数的性质求解即可【解答】解：一次函数 ykx+3，y 随 x 的增大而减小，k0故答案为：k0【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数 ykx +b（k 0）中，当 k0 时，y 随 x 的增大而减小是解答此题的关键11（3 分）分解因式：mx 22mx+ m m（x 1） 2 【分析】首先提取公因式 m，进而利用完全平方公式分解因式得出即可【解答】解：mx 22mx +mm（x 22x+1）m （x1） 2故答案为：m（x1） 2【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键12（3 分）已知 m 是负整数，关于 x
18、 的一元二次方程 x22mx 40 的两根是 x1，x 2，若 x1+x2x 1x2，则 m 的值等于 1 【分析】根据根与系数的关系即可得到结论【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x22mx40 的两根是 x1，x 2，x 1+x22m，x 1x24，42m0，m 是负整数，m1，故答案为：1【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0，a，b，c 为常数）根的判别式b 24ac当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了根与系数的关系13（3 分）如图，ABC 中，BAC 120，点 D、E 在 BC 上，ADAC，AEAB，且A
19、DE 是等边三角形，若 AD2，则ABC 的周长等于 6+4 【分析】在 RtABE 中，解直角三角形求出 AB，BE ，同法求出 ACCD 即可解决问题【解答】解：ADE 是等边三角形，ADDE AE2，AEAB，BAE 90，AEB 60，B30，BE2AE4，BA AE2 ，同法可得 AC2 ，CD 4，BDDE CE 2，BC6，AB AC2 ，ABC 的周长6+4 故答案为 6+ 【点评】本题考查解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型14（3 分）设 Aa+3，Ba 2a+5，则 A 与 B 的大小关系是 A B（填“，”之一）【分析】通
20、过作出法和配方法比较 A 与 B 的大小【解答】解：Aa+3，Ba 2a+5，BAa 2a+5a3a 22a+2（a1） 2+1（a1） 20（a1） 2+10BA，即 A B故答案是：【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式的加减，配方法的理论依据是公式 a22ab+b2（ab） 215（3 分）如图，在ABCD 中，点 E 在 BC 上，AE、BD 相交于点 F，若BE： EC1：2 ，则BEF 与四边形 FECD 的面积比等于 1：11 【分析】设BEF 的面积为 S求出四边形 EFDC 的面积即可解决问题【解答】解：设BEF 的面积为 S四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC
21、，ADBC， ，BEFDAF，BE：EC1： 2，BE：BCBE：AD1：3，EF：AF1：3，S ABF 3S，S ADF 9S，S ABD S BCD 12S，S 四边形 EFDC11S，BEF 与四边形 FECD 的面积比1：11，故答案为 1：11【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型16（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，B 的半径为 2，P 为B 上的动点，则PD+ PC 的最小值等于 5 【分析】在 BC 上截取 BE1，连接 BP，PE，由正方形的性质可得BC4CD，BP2，EC3，可
22、证PBECBP ，可得 PE PC，即当点 D，点P，点 E 三点共线时，PD +PE 有最小值，即 PD+ PC 有最小值，【解答】解：如图，在 BC 上截取 BE1，连接 BP，PE，正方形 ABCD 的边长为 4，B 的半径为 2，BC4CD，BP2，EC3 ，且PBE PBEPBE CBPPE PCPD+ PC PD+PE当点 D，点 P，点 E 三点共线时， PD+PE 有最小值，即 PD+ PC 有最小值，PD+ PC 最小值为 DE 5故答案为：5【点评】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键三、解答题（本大题共
23、10 小题，满分 102 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（12 分）（1）计算： 2sin60（2）化简：【分析】（1）根据负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值可以解答本题；（2）根据分式的加法和除法可以解答本题【解答】解：（1） 2sin602+ 1+1 22+ 1+1 2；（2） 【点评】本题考查分式的混合运算、负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法18（8 分）某校为了解九年级男生 1000 米长跑的成绩，从中随机抽取了 50 名男生进行测试，根据测试评分标准，将他们的得
24、分进行统计后分为 A、B、C、D 四等，并绘制成下面的频数分布表和扇形统计图等级 成绩（得分） 频数（人数） 频率A 910 分 x mB 87 23 0.46C 65 y nD 5 分以下 3 0.06（1）试直接写出 x，y ，m，n 的值；（2）求表示得分为 C 等的扇形的圆心角的度数；（3）如果该校九年级共有男生 400 名，试估计这 400 名男生中成绩达到 A 等和 B 等的人数共有多少人？【分析】（1）先求出样本容量和 m 的值，再进一步计算可得；（2）用 360乘以 C 对应的频率即可得；（3）用总人数乘以 A、B 的频率和即可得【解答】解：（1）样本容量为 230.4650，
25、m 38%0.38，x500.3819，y 50192335，则 n5500.1（2）表示得分为 C 等的扇形的圆心角的度数为 3600.136；（3）估计这 400 名男生中成绩达到 A 等和 B 等的人数共有 400（0.38+0.46）336（人）【点评】此题考查了频数（率）分布表，用样本估计总体，以及扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键19（8 分）泰州的旅游景点很多，现有 A、B、C 三个景点（1）若小明任选一个景点游玩，问选中 A 景点的概率是多少？（2）若小明任选两个景点游玩，问选中 A 和 B 两个景点的概率是多少？（用列表法或树状图求解）【分析】（1）直接利用概率公式求解
26、；（2）画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，找出选中 A 和 B 两个景点的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）小明任选一个景点游玩，问选中 A 景点的概率 ；（2）画树状图为：共有 6 种等可能的结果数，其中选中 A 和 B 两个景点的结果数为 2，所以选中 A 和 B 两个景点的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率20（8 分）如图，在ABCD 中，AEBC 于点 E，CF AB 于点 F，且 AECF，求证：ABCD 是菱形【分析】
27、根据 AAS 证明ABECBF，进而利用全等三角形的性质得出 BCBA，进而利用菱形的判定证明即可【解答】证明：AEBC 于点 E，CF AB 于点 F，CFBAEB90，在ABE 与CBF 中，ABE CBF（AAS ），BCBA四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD 是菱形【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据 AAS 证明ABECBF，进而利用全等三角形的性质得出 BCBA21（8 分）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树 960 棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的 倍，结果提前 4 天完成任务，原计划每天种树多少棵？【分析】设原计划每天种树 x 棵，
28、则实际每天种树为 x 棵，根据实际比原计划提前 4天完成任务，列方程求解【解答】解：设原计划每天种树 x 棵，则实际每天种树为 x 棵，由题意得， 4，解得：x60，经检验，x60 是原方程的解，且符合题意答：原计划每天种树 60 棵【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解22（10 分）如图，AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，点 M 是弧 AB 的中点，CM 交 AB于点 N，点 P 是 AB 延长线上一点，连接 CP，且PCBA（1）试判断直线 PC 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若 MNMC8，求弧 BM 的长【
29、分析】（1）连接 OC，如图，先证明ACOPCB ，再根据圆周角定理得到ACO+OCB90所以PCB +OCB90，然后根据切线的判定方法得到 PC是 O 的切线；（2）连接 OM，如图，由于点 M 是弧 AB 的中点，利用弧、圆心角的关系得到BOMAOM90，利用圆周角定理得到ABMBCM45则可证明BMCNMB，利用相似比得到 BM2MCMN8，则 BM ，所以 OB2，然后根据弧长公式计算弧 BM 的长【解答】解：（1）直线 PC 与 O 相切理由如下：连接 OC，如图，OAOC，AACOPCBA，ACOPCB，AB 是O 的直径，ACO+OCB90PCB+ OCB90，即 OCCPPC
30、 是O 的切线；（2）连接 OM，如图，点 M 是弧 AB 的中点，BOMAOM 90，ABMBCM45BMCBMN，BMCNMB， ，BM 2MCMN8，BM ，OB BM2，弧 BM 的长为 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了圆周角定理和切线的判定23（10 分）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌 CD小明在山坡的坡脚 A 处测得宣传牌底部 D 的仰角为 63，沿山坡向上走到 B 处测得宣传牌顶部 C 的仰角为 45已知山坡 A
31、B 的坡度 i1：3，AB 10 米，CD2 米（1）求点 B 距地面的高度；（2）求大楼 DE 的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米，参考数据tan632， 1.732）【分析】（1）过 B 分别作 AE、DE 的垂线，设垂足为 F、G 分别在 RtABF 和 RtADE 中，通过解直角三角形求出 BF、AF 、表示出 DE 的长，利用 BGCG 解答，（2）可求出 AE 的长，进而得出教学大楼的高度【解答】解：（1）作 BGAE 于点 G，由山坡 AB 的坡度 i1： ，AB10，得：BG5；（2）可求得 AG ，作 BFDE 与点 F，设 DEx 米，在 RtADE 中t
32、an DAE ，AE xEFBG 5，BFAG+AE + x，CBF45，CFBF，CD+DE EFBF，2+x5 + x，解得：x 23.3（米）答：大楼 DE 的高度约为 23.3 米【点评】此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键24（12 分）如图，A、B 两点在反比例函数 的图象上，ACy 轴于点 C，BDx 轴于点 D，点 A 的横坐标为 a，点 B 的横坐标为 b，且 ab（1）若AOC 的面积为 4，求 k 值；（2）若 a1，bk，当 AOAB 时，试说明AOB 是等边三角形；（3）若 OAOB，证明：OCO
33、D【分析】（1）由反比例函数系数 k 的几何意义解答；（2）根据全等三角形ACOBDO（SAS）的性质推知 AOBO结合已知条件AOAB 得到：AOBOAB，故AOB 是等边三角形；（3）证明：在 RtACO 和 RtBDO 中，根据勾股定理得：AO2AC 2+OC2，BO 2BD 2+OD2，结合已知条件 OAOB ，得到：AC2+OC2BD 2+OD2，由坐标与图形性质知： ，整理得到：， ，易得 ，故 OCOD【解答】解：（1）ACy 轴于点 C，点 A 在反比例函数 的图象上，且AOC 的面积为 4， |k|4k8；（2）由 a1，bk，可得 A（1，k ），B（k，1），AC1，OC
34、k ，ODk，BD1，ACBD，OCOD又ACy 轴于点 C，BDx 轴于点 D，ACOBDO90，ACOBDO（SAS ）AOBO 又 AOAB，AOBO AB，AOB 是等边三角形；（3）证明：在 RtACO 和 RtBDO 中，根据勾股定理得：AO2AC 2+OC2，BO 2BD 2+OD2，OAOB ，AC 2+OC2BD 2+OD2，即有： ， ， ，因为 0ab，所以 a2b 20， ， ，负值舍去，得： ， ，OCOD【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数 k 的几何意义以及全等三角形的判定与性质利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法25（12 分）已
35、知矩形纸片 ABCD 中，AB6，BC10，点 E 为 BC 边上的动点（点 E 不与点 B、 C 重合），如图 1 所示，沿折痕 AE 翻折得到AEB，设 BEm（1）当 E、B 、D 在同一直线上时，求 m 的值；（2）如图 2，点 F 在 CD 边上，沿 EF 再次折叠纸片，使点 C 的对应点 C在直线EB上；求 DF 的最小值；点 C能否落在边 AD 上？若能，求出 m 的值，若不能，试说明理由【分析】（1）由折叠可知，BEABEA，又因为矩形 ABCD 中 BCAD，所以BEA EAD，所以BEAEAD ，所以 EDAD10，因为 CDAB6，根据勾股定理求得 CE8，所以 BEBC
36、 CE 2；（2） 根据两次折叠可求证得AEF 90 度，从而证得 ABEECF ，于是 ，所以 ，CF ，所以 DF 所以当 m5 时，DF 的最小值为 若点 C落在边 AD 上，分别表示各边的长，根据勾股定理得：6 2+（102m）2（10m） 2方程无实数解，所以点 C不能落在边 AD 上【解答】解：（1）如图 1，由折叠可知，BEABEA，四边形 ABCD 是矩形，BCAD，BEA EAD，BEA EAD，EDAD 10，CDAB 6，根据勾股定理得：CE8，BEBCCE2，即 m2；（2） 如图 2，由折叠得：AEB AEB，CEFCEF，AEF BEC90，AEB +CEF CEF
37、 + CFE90，AEB CFE，BC90，ABE ECF， ，所以 ，CF ，DF 所以当 m5 时，DF 的最小值为 不能理由是：若点 C落在边 AD 上，由（1）知 A CE C，根据折叠可知：BEB Em ，E CEC 10m ，所以 A C10m，BCE CBE10mm10 2m ，AB6，在 Rt A BC中，根据勾股定理得：6 2+（102m ） 2（10m） 2化简得：36+10040m+4m 210020 m+m2，3m 220m+360，b 24ac400432320，所以原方程没有实数解，所以点 C不能落在边 AD 上【点评】此题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、图形的
38、折叠变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的判定等重要知识点，在确定线段的最小值时与二次函数相结合，利用配方法解决问题26（14 分）已知：如图，抛物线 的顶点为 A（0，2），与 x 轴交于B（2 ，0）、C（2，0）两点（1）求抛物线 的函数表达式；（2）设点 P 是抛物线 y 上的一个动点，连接 PO 并延长至点 Q，使 OQ2OP 若点 Q正好落在该抛物线上，求点 P 的坐标；（3）设点 P 是抛物线 y 上的一个动点，连接 PO 并延长至点 Q，使 OQmOP （m 为常数）；证明点 Q 一定落在抛物线 上；设有一个边长为 m+1 的正方形（其中 m3），它的一组对边垂
39、直于 x 轴，另一组对边垂直于 y 轴，并且该正方形四个顶点正好落在抛物线 和组成的封闭图形上，求线段 PQ 被该正方形的两条边截得线段长最大时点 Q 的坐标【分析】（1）用两点式求出抛物线解析式；（2）设点 P 坐标，作 PEx 轴，FQ x 轴，利用相似关系求出点 Q 坐标，因为点 Q 在抛物线上，所以将点 Q 坐标代入解析式，求得点 P 坐标（3） 同（2 ）的方法，求出点 Q 坐标代入 y2 解析式，可证明点 Q 在抛物线 y2 上因为 y1 与 y2 抛物线都是以 y 轴为对称轴的抛物线，所以正方形也是以 y 轴对称，从而获得正方形右侧点的横坐标，代入各自解析式获得纵坐标，以右侧两点
40、的纵坐标做差等于正方形边长，列出方程求出 m 的值，从而获得正方形四个顶点的坐标，由图可知，当 Q 点与正方形的左下和右下端点重合时 PQ 被正方形所截的线段最大，从而获得点Q 坐标【解答】解：（1）由条件可设抛物线 y1ax 2+2，将 C（2，0）代入可得抛物线 ；（2）如图，作 PEx 轴，FQx 轴设点 P（t， ），利用PEOOFQ 可求得点 Q（2t ，t 24）把 Q（2t，t 24）代入 中，得：t 24 ，3t 26，（3） 证明：设点 P（t， ），利用相似可求得点 Q（mt， ）将 xmt 代入 中，得： 点 Q 一定落在抛物线 上；如图所示正方形的边长为 m+1，由抛物
41、线的对称性可知正方形右边两个顶点横坐标为 ，将 x 代入抛物线解析式可得两点纵坐标分别为： 和 ， m+1，解得： m3，正方形右边两个顶点横坐标为 ，将 x 代入 得： ，正方形右下顶点的纵坐标为 （ ） 正方形右下顶点的坐标为（ ， ），同理，正方形左下顶点的坐标为（ ， ）设 PQ 与 y 轴所成的角为 ，当 PQ 与正方形上下两边相交时，PQ 被正方形上下两边所截线段的长 ，当 增大时，cos 减小， 增大，当 PQ 经过正方形右下顶点时， 最大，PQ 被正方形上下两边所截线段最大，此时点Q 与正方形右下或左下顶点重合；当 PQ 与正方形上右两边（或上左两边）相交时，由图形可知随着 的增大，PQ 被正方形上下两边所截线段的长减小，综上所述，当点 Q 与正方形右下或左下顶点重合时， PQ 被正方形上下两边所截线段最长，此时点 Q 的坐标为（ ， ）或（ ， ）【点评】本题考查了正方形的性质，相似和抛物线的性质，计算量较大，（3）问可以从三角函数判定最值位置，也可以由图象直接判断得出结论，本题将正方形与抛物线很好的结合起来，是一道很典型的数形结合压轴问题
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