1、2019 年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3 分）a（a0）的相反数是（ ）Aa Ba C D|a|2（3 分）将如图所示的图形绕中心按逆时针方向旋转 120后可得到的图形是（ ）A B C D3（3 分）北京气象部门测得冬季某周内七天的气温如下：3，5，5，4，6，5，7（单位：），则这组数据的平均数和众数分别是（ ）A6，5 B5.5，5 C5，5 D5，44（3 分）下列运算正确的是（ ）A3a 2a 23 Ba 8a4a 2C（a+3） 2a 2+9 D（3a 3）
2、 29a 65（3 分）如图，在ABC 中，AC ADDB ，C 70，则CAB 的度数为（ ）A75 B70 C40 D356（3 分）如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）A BC D7（3 分）下列命题是真命题的是（ ）A一元二次方程一定有两个实数根B对于反比例函数 y ，y 随 x 的增大而减小C有一个角是直角的四边形是矩形D对角线互相平分的四边形是平行四边形8（3 分）在同一直角坐标系中，若正比例函数 yk 1x 的图象与反比例函数 y 的图象有公共点，则（ ）Ak 1+k20 Bk 1+k20 Ck 1k20 Dk 1k209（3 分）某几何体的三视图如图所示
3、，则该几何体的体积为（ ）A3 B3 C3 D610（3 分）二次函数 yx 2+bx 的对称轴为直线 x2，若关于 x 的一元二次方程x2+bxt0（t 为实数）在1x 4 的范围内有解，则 t 的取值范围是（ ）A0t5 B4t5 C4t 0 Dt4二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11（3 分）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，且 ab若138，则2 12（3 分）分解因式：4a 2bb 13（3 分）已知点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，PA4cm ，则 PB cm14（3 分）一扇形面积是 3，半径为 3，则该扇形圆心角度数是 15（3 分）如图，
4、在 44 的正方形网格图中有ABC，则ABC 的余弦值为 16（3 分）如图，AB 为半圆 O 的直径，AD ，BC 分别切 O 于 A，B 两点，CD 切O于点 E，连接 OD，OC，下列结论： DOC90 ，AD +BCAB，S 梯形ABCDCDOA，BO 2SAOD BC 2SBOC ，其中正确的有 （填序号）三、解答题（本大题共 9 小题，共 102 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10 分）计算：（1） +|1 |+（ ） 2 （3） 0；（2）4sin45+2cos60 tan3018（8 分）如图，在菱形 ABCD 中，M，N 分别为 BC，CD 的中点求证：AM
5、AN19（10 分）已知 A（ ） （1）化简 A；（2）若 x22x30，求 A 的值20（10 分）为了解本校学生平均每天的课外学习时间情况，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为 A，B，C ，D 四个等级，设学习时间为 t（小时）：A：t1 ，B ：1 t1.5， C： 1.5t2，D ：t2，根据调查结果绘制了如图所示的两副不完整的统计图请你根据图中信息解答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了 名学生，请将条形统计图补充完整；（2）求表示 B 等级的扇形圆心角 的度数；（3）在此次问卷调查中，甲班有 2 人平均每天课外学习时间超过 2 小时，乙班有 3 人平均每天课外学习
6、时间超过 2 小时，若从这 5 人中任选 2 人去参加座谈，请用列表或画树状图的方法求选出的 2 人中至少有 1 人来自甲班的概率21（12 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 为正方形，点 A 的坐标为（0，3），点 B 的坐标为（0，4），反比例函数 y （k0）的图象经过点 C（1）求反比例函数的解析式；（2）点 P 是反比例函数在第二象限的图象上的一点，若PBC 的面积等于正方形ABCD 的面积，求点 P 的坐标22（12 分）某商店销售一种旅游纪念品，第一周的营业额为 200 元，第二周该商店对纪念品打 8 折销售，结果销售量增加 3 件，营业额增加了 40%（1）求该商
7、店第二周的营业额；（2）求第一周该种纪念品每件的销售价格23（12 分）已知，如图，ABC 中，C90，E 为 BC 边中点（1）尺规作图：以 AC 为直径，作 O，交 AB 于点 D（保留作图痕迹，不需写作法）（2）连结 DE，求证：DE 为 O 的切线；（3）若 AC5，DE ，求 BD 的长24（14 分）如图 1，图 2，ABC 中，BF，CE 分别为 AC，AB 边上的中线，BF CE 于点 P（1）如图 1，当 BC6 ，PCB45时，PE ，AB ；（2）如图 2，猜想 AB2、AC 2、BC 2 三者之间的数量关系，并给予证明；（3）如图 3，ABCD 中，点 M，N 分别在
8、AD，BC 上，AD3AM ，BC 3BN，连接AN，BM，CM ，AN 与 BM 交于点 G，若 BMCM 于点 M，AB 4，AD3 ，求 AN的长25（14 分）如图，已知抛物线 ya（x2） 2+c 与 x 轴从左到右依次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 的坐标为（ 3，0），点 C 的坐标为（ 0，3），连接AC，BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若点 P 是该抛物线的对称轴上的一个动点，连接 PA，PB，PC，设点 P 的纵坐标为 h，试探究：当 h 为何值时， |PAPC|的值最大？并求出这个最大值在 P 点的运动过程中， APB 能否与ACB 相等？若能，
9、请求出 P 点的坐标；若不能，请说明理由2019 年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3 分）a（a0）的相反数是（ ）Aa Ba C D|a|【分析】直接根据相反数的定义求解【解答】解：a 的相反数为a故选：B【点评】本题考查了相反数：a 的相反数为a，正确掌握相反数的定义是解题关键2（3 分）将如图所示的图形绕中心按逆时针方向旋转 120后可得到的图形是（ ）A B C D【分析】根据旋转的性质以及旋转的方向得出对应顶点位置即可得出答案【解答】解：图形绕其
10、中心按逆时针方向旋转 120，旋转后可得到图形是：阴影部分的长边转到下面水平方向，故选：B【点评】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转方向和旋转角度得出对应点位置是解题关键3（3 分）北京气象部门测得冬季某周内七天的气温如下：3，5，5，4，6，5，7（单位：），则这组数据的平均数和众数分别是（ ）A6，5 B5.5，5 C5，5 D5，4【分析】根据众数定义确定众数；应用加权平均数计算这组数据的平均数【解答】解：这组数据的平均数是（3+5+5+4+6+5+7）75（）；5 出现了 3 次，出现的次数最多，这组数据的众数是 5；故选：C【点评】此题考查了加权平均数和众数的定义，熟练掌握定义和公式
11、是解题的关键4（3 分）下列运算正确的是（ ）A3a 2a 23 Ba 8a4a 2C（a+3） 2a 2+9 D（3a 3） 29a 6【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案【解答】解：A、3a 2a 22a 2，故此选项错误；B、a 8a4a 4，故此选项错误；C、（a+3） 2a 2+6a+9，故此选项错误；D、（3a 3） 29a 6，正确故选：D【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键5（3 分）如图，在ABC 中，AC ADDB ，C 70，则CAB 的度数为（ ）A75
12、 B70 C40 D35【分析】利用等腰三角形的性质解决问题即可【解答】解：ACADDB，CADC70，B DAB ，CAD180707040，ADCB+DAB，DABB35，CABCAD+DAB 75，故选：A【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型6（3 分）如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）A BC D【分析】由数轴得出不等式组解集，据此可判断各选项是否符合此解集，从而得出答案【解答】解：由数轴知不等式组的解集为2x1，而 的解集为2x1，故选：B【点评】本题主要考查解一元一次不
13、等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分7（3 分）下列命题是真命题的是（ ）A一元二次方程一定有两个实数根B对于反比例函数 y ，y 随 x 的增大而减小C有一个角是直角的四边形是矩形D对角线互相平分的四边形是平行四边形【分析】利用一元二次方程根与系数的关系、反比例函数的性质、矩形的判定及平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项【解答】解：A、一元二次方程也可能没有实数根，故错误，是假命题；B、对于反比例函数 y ，在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小，故错误，是假命题；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；D、对角线互相
14、平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，故选：D【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解一元二次方程根与系数的关系、反比例函数的性质、矩形的判定及平行四边形的性质，难度不大8（3 分）在同一直角坐标系中，若正比例函数 yk 1x 的图象与反比例函数 y 的图象有公共点，则（ ）Ak 1+k20 Bk 1+k20 Ck 1k20 Dk 1k20【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可【解答】解：正比例函数 yk 1x 的图象与反比例函数 y 的图象有公共点，k 1、k 2 同号，k 1k20故选：D【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一
15、次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键9（3 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A3 B3 C3 D6【分析】依据三视图中的数据，即可得到该三棱柱的底面积以及高，进而得出该几何体的体积【解答】解：由图可得，该三棱柱的底面积为 2 ，高为 3，该几何体的体积为 33 ，故选：C【点评】本题主要考查了由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状10（3 分）二次函数 yx 2+bx 的对称轴为直线 x2，若关于 x 的一元二次方程x2+bxt0（t 为实数）在1x 4 的范围
16、内有解，则 t 的取值范围是（ ）A0t5 B4t5 C4t 0 Dt4【分析】先求出 b，确定二次函数解析式，关于 x 的一元二次方程 x2+bxt0 的解可以看成二次函数 yx 24x 与直线 yt 的交点，1x 4 时4y5，进而求解；【解答】解：对称轴为直线 x2，b4，yx 24x，关于 x 的一元二次方程 x2+bxt0 的解可以看成二次函数 yx 24x 与直线 yt 的交点，1x4，二次函数 y 的取值为4y5，4t5；故选：B【点评】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键二、填空题（本大题共
17、 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）11（3 分）如图，直线 a，b 被直线 c 所截，且 ab若138，则2 142 【分析】先根据邻补角的定义求出3，再利用两直线平行，同位角相等解答即可【解答】解：130，3180118038142，ab，23142故答案为：142【点评】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟记性质是解题的关键12（3 分）分解因式：4a 2bb b（2a+1）（2a1） 【分析】原式提取 b，再利用平方差公式分解即可【解答】解：原式b（4a 21）b（2a+1）（2a1），故答案为：b（2a+1）（2a1）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握
18、因式分解的方法是解本题的关键13（3 分）已知点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，PA4cm ，则 PB 4 cm【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求解【解答】解：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，PBPA，PA4cm，PB4cm故答案为 4cm【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键14（3 分）一扇形面积是 3，半径为 3，则该扇形圆心角度数是 120 【分析】设扇形圆心角的度数为 n，然后根据扇形的面积公式得到 3 ，解关于 n 的方程即可得到 n 的值【解答】解：设扇形圆心角的度数为 n，3 ，n120即扇形圆心
19、角度数为 120故答案为 120【点评】本题考查了扇形的面积公式：S （n 为圆心角的度数，R 为半径）15（3 分）如图，在 44 的正方形网格图中有ABC，则ABC 的余弦值为 【分析】设小正方形的边长为 1，求出 AC、BC 、AB 的长，利用勾股定理的逆定理证明CAB90，再根据余弦定理即可得出答案【解答】解：设小正方形的边长为 1，AC ，BC 5，AB 2 ，AB 2+AC2（2 ） 2+（ ） 225，BC 25 225，AB 2+AC2BC 2，CAB90，cosABC ；故答案为： 【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理以
20、及逆定理解决问题，属于中考常考题型16（3 分）如图，AB 为半圆 O 的直径，AD ，BC 分别切 O 于 A，B 两点，CD 切O于点 E，连接 OD，OC，下列结论： DOC90 ，AD +BCAB，S 梯形ABCDCDOA，BO 2SAOD BC 2SBOC ，其中正确的有 （填序号）【分析】连接 OE，由 ADED，OD 为公共边，利用 HL 可得出直角三角形 ADO 与直角三角形 EDO 全等，可得出 AOD EOD，同理得到EOCBOC，而这四个角之和为平角，可得出DOC 为直角，选项正确；由 AD，DC，BC 都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到
21、DEDA ，CE CB，由CDDE+EC，等量代换可得出 CDAD +BC，选项 错误；ABCD 为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形 ABCD 的面积为 AB（AD+BC ），将 AD+BC 化为 CD，可得出梯形面积为 ABCD，即梯形面积为 CDOA，选项 正确；由AODBCO，可得 ，则 错误【解答】解：连接 OE，如图所示：AD 与圆 O 相切，DC 与圆 O 相切，BC 与圆 O 相切，DAO DEOOBC 90，DADE ，CE CB，AD BC，在 Rt ADO 和 RtEDO 中， ，RtADORtEDO（HL），AOD EOD，同理 RtCEO Rt CBO，EOCBO
22、C，又AOD +DOE+EOC+ COB180，2（DOE +EOC）180，即DOC90，选项正确；DA、DE 为圆 O 的切线，ADED ，AOD EOD，CE、CB 为圆 O 的切线，CECB，EOCBOC，CDDE+ECAD+ BC，选项 错误；S 梯形 ABCD AB（AD+BC） ABCDOACD，选项正确；AOD +COBAOD+ADO90，AB 90，AOD BCO ， ， ，选项 错误；故答案为： 【点评】此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握切线长定理，证明三角形全等和三角形相似是解本题的关键三、解答
23、题（本大题共 9 小题，共 102 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10 分）计算：（1） +|1 |+（ ） 2 （3） 0；（2）4sin45+2cos60 tan30【分析】（1）首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可（2）首先计算乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可【解答】解：（1） +|1 |+（ ） 2 （3） 02 + 1+913 +7（2）4sin45+2cos60 tan304 +2 2 +112【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先
24、算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用18（8 分）如图，在菱形 ABCD 中，M，N 分别为 BC，CD 的中点求证：AMAN【分析】由菱形的性质可得 ABBCCDAD ，BD，可得 BMDN ，由“SAS”可证ABMADN，可得 AMAN【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形，ABBCCDAD，B DM，N 分别是 BC，CD 的中点，BM BC，DN CD，BMDN 在ABM 和 ADN 中，ABM ADN （SAS）AMAN【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用菱形的
25、性质是本题的关键19（10 分）已知 A（ ） （1）化简 A；（2）若 x22x30，求 A 的值【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式；（2）解方程求出 x 的值，再根据分式的有意义的条件得出 x 的值，代入计算可得【解答】解：（1）原式 （ ） ；（2）由 x22x30 得 x 3 或 x1，x+10，即 x1，x3，则原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则20（10 分）为了解本校学生平均每天的课外学习时间情况，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为 A，B，C ，D 四个等级，设学习时间为 t（小时）：A：
26、t1 ，B ：1 t1.5， C： 1.5t2，D ：t2，根据调查结果绘制了如图所示的两副不完整的统计图请你根据图中信息解答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了 200 名学生，请将条形统计图补充完整；（2）求表示 B 等级的扇形圆心角 的度数；（3）在此次问卷调查中，甲班有 2 人平均每天课外学习时间超过 2 小时，乙班有 3 人平均每天课外学习时间超过 2 小时，若从这 5 人中任选 2 人去参加座谈，请用列表或画树状图的方法求选出的 2 人中至少有 1 人来自甲班的概率【分析】（1）根据 A 类的人数和所占的百分比即可求出总数，用总数减去其它等级的人数求出 C 等级的人数，从而补全统计
27、图；（2）用 B 的人数除以总人数再乘以 360，即可得到圆心角 的度数；（4）先设甲班学生为 A1，A 2，乙班学生为 B1，B 2，B 3 根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可【解答】解：（1）本次抽样调查共抽取的学生数是：6030%200；C 等级的人数有：20060 307040（人），补图如下：故答案为：200；（2）B 等级所占的比为： 100%15% ，a15%36054；（3）设甲班的 2 名同学分别用 A1，A 2 表示，乙班 3 名同学分别用 B1，B 2，B 3 表示，随机选出两人参加座谈的树状图如下：共有 20 种等可能结果，而选出 2 人中至少有 1 人来自
28、甲班的有 14 种，所求概率为： 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小21（12 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 为正方形，点 A 的坐标为（0，3），点 B 的坐标为（0，4），反比例函数 y （k0）的图象经过点 C（1）求反比例函数的解析式；（2）点 P 是反比例函数在第二象限的图象上的一点，若PBC 的面积等于正方形ABCD 的面积，求点 P 的坐标【分析】（1）先由点 A 的坐标为（0，3），点 B 的坐标为（0，
29、4）得到 AB7，则点 C 的坐标为（7，4），根据反比例函数图象上点的坐标特征得 k28，则反比例函数的解析式为 y ；（2）设点 P 到 AD 的距离为 h，利用PAD 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积即可求得【解答】解：（1）点 A 的坐标为（0，3），点 B 的坐标为（0，4），AB7，四边形 ABCD 为正方形，点 C 的坐标为（7，4），代入 y ，得 k28，）反比例函数的解析式为 y ；（2）设点 P 到 BC 的距离为 hPBC 的面积等于正方形 ABCD 的面积， 7h7 2，解得 h14，点 P 在第二象限，y Ph410，此时，x P ，）点 P 的坐标为（ ，1
30、0）【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数 k 的几何意义，正方形的性质以及三角形和正方形的面积等，根据正方形的性质求得 C 的坐标是解题的关键22（12 分）某商店销售一种旅游纪念品，第一周的营业额为 200 元，第二周该商店对纪念品打 8 折销售，结果销售量增加 3 件，营业额增加了 40%（1）求该商店第二周的营业额；（2）求第一周该种纪念品每件的销售价格【分析】（1）根据第二周的营业额第一周的营业额（1+增长率），即可求出该商店第二周的营业额；（2）根据数量总价单价结合第二周比第一周多销售 3 件，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论【解答
31、】解：（1）200（1+40%）280（元）答：该商店第二周的营业额为 280 元（2）设第一周该种纪念品每件的销售价格为 x 元，则第二周该种纪念品每件的销售价格为 0.8x 元，依题意，得： 3，解得：x50，经检验，x50 是原方程的解，且符合题意答：该种纪念品第一周每件的销售价格是 50 元【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键23（12 分）已知，如图，ABC 中，C90，E 为 BC 边中点（1）尺规作图：以 AC 为直径，作 O，交 AB 于点 D（保留作图痕迹，不需写作法）（2）连结 DE，求证：DE 为 O 的切线；（3）若 AC5，DE
32、 ，求 BD 的长【分析】（1）根据要求作图即可得；（2）连结 OD，CD，证 DEEC BE 得12，再证 34 得ODE 2+41+3ACB90，据此可得 ODDE ，从而得证；（3）证 RtBDC Rt BCA 得 ，代入计算可得【解答】解：（1）如图 1，（2）证明：如图 2，连结 OD，CD，AC 为直径，ADC90，E 为 BC 边中点，DE 为 RtBDC 斜边 BC 上的中线，DEECBE ，12，OCOD，34，ODE 2+41+3ACB90，ODDE ，DE 为 O 的切线；（3）E 为 BC 边中点，BC2DE ，AC5，AB ，DBCCBA，RtBDC RtBCA ，
33、，即 ，BD 【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点24（14 分）如图 1，图 2，ABC 中，BF，CE 分别为 AC，AB 边上的中线，BF CE 于点 P（1）如图 1，当 BC6 ，PCB45时，PE 3 ，AB 6 ；（2）如图 2，猜想 AB2、AC 2、BC 2 三者之间的数量关系，并给予证明；（3）如图 3，ABCD 中，点 M，N 分别在 AD，BC 上，AD3AM ，BC 3BN，连接AN，BM，CM ，AN 与 BM 交于点 G，若 BMCM 于点 M，AB 4，AD3 ，求 AN的长【分析】（1）证明BP
34、C 是等腰直角三角形，计算 BPPC6，先根据三角形中线可知：EF 是ABC 的中位线，得 EFBC ，EF BC，证明EPFCPB，列比例式可得 PE 和 AB 的长；（2）设 PFm，PE n，则 PB2m，PC 2n，在 RtPBC，RtPBE 和 RtPCF 中，根据勾股定理列方程后，相加可得结论；（3）本题介绍两种解法：法一：证明AGMNGB（AAS），得 BG 是ABN 的中线，作辅助线，构建全等三角形和中线，得 NF，BG 都为ABN 的中线，由（2）知，AB 2+AN25BN 2，代入可得结论；法二：如图 4，作 BPDA 延长线于点 P，CQAD 于点 Q，易知四边形 PBC
35、Q 为矩形，设 PAQDx，PBCQy，表示 PMx+ ，MQ2 x，证明PBMQMC，列比例式得方程：y 2x 2+ x+12 ，根据勾股定理得：AH2AB 2BH 2，y 24 2x 216x 2，根据得：x 2+ x+1216x 2，解出可得结论【解答】解：（1）如图 1，BFCE，BPC90，PCB45，BPC 是等腰直角三角形，BC6 ，PCBP6，BF，CE 分别为 AC，AB 边上的中线，EF 是ABC 的中位线，EFBC，EF BC，EPF CPB， ， ，EP3，由勾股定理得：BE 3 ，AB2BE6 ，故答案为：3，6 ；（2）猜想：AB 2+AC25BC 2；证明：BF，
36、CE 是ABC 的中线，EF 是ABC 的中位线，EFBC，EF BC， ，设 PFm，PEn，则 PB2m，PC 2n，在 Rt PBC 中，（2m） 2+（2n） 2BC 2在 Rt PBE 中， 在 Rt PCF 中， 由， ，得：AB 2+AC25BC 2；（3）法一：在AGM 与NGB 中，AGMNGB（AAS），BGMG ，AGNG，BG 是ABN 的中线，如图 3，取 AB 的中点 F，连接 NF，并延长交 DA 的延长线于 E，同理，AEF BNF，AEBN，EM2BNNC ，EMNC，四边 ENCM 是平行四边形，ENCM，BMCM，ENBM，即 BGFN，NF，BG 都为A
37、BN 的中线，由（2）知，AB 2+AN25BN 2，AB4，BN AD ，4 2+AN25 ，AN 法二：如图 4，作 BPDA 延长线于点 P，CQAD 于点 Q，在ABCD 中，ADBC，易知四边形 PBCQ 为矩形，PQBC，PAQD，依题意：AMBN ，MD2 ，设 PAQDx，PBCQy，PMx+ ，MQ2 x，BMCM 于点 M，BMC90，BMP +CMQ 90，又BMP +PBM90，PBM CMQ，又BPM MQC90，PBM QMC， ，即 ，化简得：y 2x 2+ x+12 ，作 AHBC 于点 H，则 BHPAx ，AH y，在 Rt ABH 中，AH 2AB 2BH
38、 2，y 24 2x 216x 2，由得： x2+ x+1216x 2，x ，y 2 ，在 Rt AHN 中， AN 【点评】本题是四边形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、矩形和平行四边形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、三角形中线，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，并运用类比的方法解决问题，属于中考常考题型25（14 分）如图，已知抛物线 ya（x2） 2+c 与 x 轴从左到右依次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 B 的坐标为（ 3，0），点 C 的坐标为（ 0，3），连接AC，BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若点 P 是该抛物线的对称轴上的
39、一个动点，连接 PA，PB，PC，设点 P 的纵坐标为 h，试探究：当 h 为何值时， |PAPC|的值最大？并求出这个最大值在 P 点的运动过程中， APB 能否与ACB 相等？若能，请求出 P 点的坐标；若不能，请说明理由【分析】（1）把 B（3，0），C（0，3）代入 ya（x2） 2+c，得到关于 a、c 的二元一次方程组，解方程组求出 a、c 的值，即可得到该抛物线的解析式；（2） 设点 P（2，h）根据三角形三边关系定理可知，当 P，A，C 三点共线时，|PAPC|的值最大，为 AC 的长度所以延长 CA 交直线 x2 于点 P，利用勾股定理求得 AC 利用待定系数法求出直线 AC
40、 的解析式，将 x2 代入即可求出 h 的值；设直线 x2 与 x 轴的交点为点 D，作ABC 的外接圆E，E 与直线 x2 位于 x轴下方部分的交点为 P1，P 1 关于 x 轴的对称点为 P2，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知 P1、P 2 均为所求的点，且直线 DE 上的其它点 P 都不满足APBACB根据圆心 E 在 AB 边的垂直平分线上，可得点 E 的横坐标为 2，根据圆心 E 也在 BC 边的垂直平分线即直线 yx 上，可得 E（2，2）利用勾股定理求得 EA ，进而得到 P1（2，2 ），再由对称性得 P2（2，2+ ）【解答】解：（1）把 B（3，0），C（0，3）代入 y
41、a（x2） 2+c，得： ，解得： ，此抛物线的解析式为 y（x2） 2+1，即 yx 2+4x3；（2） 抛物线 yx 2+4x3 的对称轴为直线 x2，可设点 P（2，h）由三角形的三边关系可知，|PA PC |AC，当 P，A ，C 三点共线时，|PAPC |的值最大，为 AC 的长度，延长 CA 交直线 x2 于点 P，则点 P 为所求，如图 1点 B 的坐标为（3，0），对称轴为直线 x2，A（1，0），又 C（0，3），则有 OA1，OC3，AC 设直线 AC 的解析式为 ykx +b（k 0），则 ，解得 直线 AC 的解析式为 y3x3，h3233，当 h3 时，|PAPC|的
42、值最大，最大值为 ；如图 2，设直线 x2 与 x 轴的交点为点 D，作ABC 的外接圆E，E 与直线x2 位于 x 轴下方部分的交点为 P1，P 1 关于 x 轴的对称点为 P2，则 P1、P 2 均为所求的点AP 1B、 ACB 都是弧 AB 所对的圆周角，AP 1B ACB，且射线 DE 上的其它点 P 都不满足APBACB圆心 E 必在 AB 边的垂直平分线即直线 x2 上点 E 的横坐标为 2又OBOC3，BC 边的垂直平分线即直线 yx圆心 E 也在直线 yx 上，E（2，2）在 Rt ADE 中，DE2，AD AB （OB OA） （31）1，由勾股定理得 EA ，EP 1EA ，DP 1DE +EP12+ ，P 1（2，2 ）由对称性得 P2（2，2+ ）符合题意的点 P 的坐标为 P1（2，2 ），P 2（2， 2+ ）【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形三边关系定理，勾股定理，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，综合性较强，有一定难度准确作出辅助线是解题的关键
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