1、高考数学仿真押题试卷（十三）注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区
2、域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。第 卷一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目要 求 的 1已知集合 ， ，则 (AB)A B C D|2x|12x|12x|2x【解析】解： ， ；|x【答案】 C2若复数 满足 ，则 z(1)i|(z)A B C D1ii2【解析】解：由 ，得 ，(1)zi，则 zi|【答案】
3、 D3经统计，某市高三学生期末数学成绩 ，且 ，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于 90 分的概率是 ()A0.35 B0.65 C0.7 D0.85【解析】解： 学生成绩 服从正态分布 ，且 ，X2(85,)N，从该市任选一名高三学生，其成绩不低于 90 分的概率是 0.35【答案】 A4若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是 xy10xy2zxy()A B C0 D254【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由 得2zxy平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，(2,1)A直线 的截距最小，2yxz此时 最小将 的坐标代入目标函数 ，(,1)A2zxy得 即 的最小
4、值为 ；4z2zxy4【答案】 B5某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球 的球面上，则球 的体积是 OO()A B C D823431232【解析】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为 2，侧棱长为 2把该三棱锥补形为正方体，则正方体对角线长为 该三棱柱外接球的半径为 3体积 【答案】 B6将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象的一个对称中心为 6 ()A ， B ， C ， D ，(120)(40)(30)(20)【解析】解：将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为6，令 ，求得 ， ，故函
5、数的对称中心为 ， ， ，26xk21kxZ(21k0)kZ【答案】 A7函数 的图象在点 ， （1） 处的切线在 轴上的截距为 (f)y()A B1 C D0e 【解析】解：由 ，得 ，1()fxa则 （1） ，fa又 （1） ，f函数 的图象在点 ， （1） 处的切线方程为 ，(f)取 ，可得 0x1y函数 的图象在点 ， （1） 处的切线在 轴上的截距为 (f)y1【答案】 C8刘徽九章算术 商功中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马如图，是一A个阳马的三视图，则其外接球的体积为 ()A B C D33234【解析】解：由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一
6、个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球；由三视图可知四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，四棱锥的高为 1，长方体的一个顶点处的三条棱长分别为 1，1，1，长方体的对角线为 ，3外接球的半径为 ，32外接球的体积为 【答案】 B9已知函数 ，若将函数 的图象向右平移 个单位后关于 轴对称，()fx6y则下列结论中不正确的是 ()A 56B 是 图象的一个对称中心(,0)12(fxC fD 是 图象的一条对称轴6x()fx【解析】解：由题意可知 ，56故 ，【答案】 C10已知 5 辆不同的白颜色和 3 辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少 2 辆停在一起且红
7、颜色的汽车互不相邻的停放方法有 ()A1880 B1440 C720 D256【解析】解：由题意可知，白颜色汽车按 3，2 分为 2 组，先从 5 辆白色汽车选 3 辆全排列共有 种，35A再将剩余的 2 辆白色汽车全排列共有 种，再将这两个整体全排列，共有 种，排完后有 3 个空，2A2A3 辆不同的红颜色汽车抽空共有 种，3由分步计数原理得共有有 种，【答案】 B11已知数列： 依它的前 10 项的规律，这个数列的第 2019 项 满足 2019a()A B C D2019a2019a2019a2019a【解析】解：将此数列分组为 ， ， ， ， ， ， 第 组有 个数，()3(4)(3)
8、4 n设数列的第 2019 项 在第 组中，由等差数列前 项和公式可得： ，2019ann解得： ，64n则前 63 组共 ，即 在第 64 组的第 3 项，2019a即 ，【答案】 B12已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 是抛物线 上一点，圆 与线段 相F0(Mx2)CMF交于点 ，且被直线 截得的弦长为 ，若 ，则 A2px3|A|(AF)A B1 C2 D332【解析】解：如图，圆心 到直线 的距离 ， Mpx0|pdx圆 的半径 ，M|rA， ， 221|4dA， |2AF由可得 ，或 ，0xp04x， 或 42或 ， 02px041【答案】 B第 卷二 、 填 空 题 ： 本 大 题
9、共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13在平行四边形 中，点 是 的中点，点 是 的中点，记 ， ，用 ， 表示ABCDEAFCDBEaACba，则 AB213ab【解析】解：由图可知： ，联立解得： ，【答案】 213ab14太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽 ，太极图无不跃居其上这种广为人知 的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图” 在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组 来表示，设 是阴影中任意一点，则(,)xy的最大值为 2zxy15【解析】
10、解：由题意可知： 与 相切时，切点在上方时取得最大值，如图：2zxy可得： ，解得 ，2|1|z的最大值为： zxy15【答案】 1515已知 ， 与 相切，并且两圆1CA2的一条外公切线的斜率为 7，则 为 12r75【解析】解：设两圆的公切线为 ，即 ，yxt0yt已知圆心 ， ，1(2,)C2(1,)设 ， 到公切线的距离为 ， ，21d2可得 ， ，由于公切线在两圆的同侧，即 ，可得 或 ，|3|15t12t8当 时， ；2t当 时， 181275r综上可得 【答案】 72516在各项均为正数的等比数列 中， ，当 取最小值时，则数列 的前 项和为 na318a4 2na【解析】解：各
11、项均为正数的等比数列 中，首项为 ，公比设为 ，na1a(0)q由 ，即 ， 且 ，318a218aq(0q1)整理得 ，2所以 ，令 ，可得 ，当 时， ， 递增；03q()0fq()f当 时， ， 递减，可得 时， 取得极大值，且为最大值，3q()fq()f则 ，数列 的前 项和为 ，2na，两式相减可得，化简可得 【答案】 三 、 解 答 题 ： 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17已知数列 的前 项和为 ，且满足 nanS2na（1）求证 为等比数列；1n（2）数列 满足 ，求 的前 项和 nbnbnT【解析】 （1）证明：由 时， ，化为：
12、2nSa2，时， ，解得 1n12a1a为等比数列，首项为 2，公比为 2n（2）解：由（1）可得： 1nna，的前 项和 ，nb，相减可得： ，整理为： 18某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价 （元x)7 8 9 11 12 13销量 (ykg120 118 112 110 108 104（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求 关于 的线性回归方程；yx（2）若在表格中的 6 种单价中任选 3 种单价作进一步分析，求销量恰在区间 ， 内的单价种数 的108分布列和期望附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
13、 ， aybx【解析】解：（1） ， 关于 的线性回归方程为 ；yx（2）6 种单价中销售量在 ， 内的单价种数有 3 种108销量恰在区间 ， 内的单价种数 的取值为 0，1，2，3，的分布列为：0 1 2 3P 1292090120期望为 19如图四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ，ABCDPABCDPABCD4A2BCDADB（1）求证：平面 平面 ；PDA（2）若 与平面 所成的角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值25CPBD【解析】证明：（1） ， ， ， BCD4A2BCDAB， ，四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，PABCDPABCDPABCD平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
14、平面 平面 ， 平面 ，PABPAAB，BD， 平面 ，D平面 ， 平面 平面 PABPA解：（2）以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，BCxyBACDz设 ，则 ，4， ， ，0， ， ，4， ， ，1， ，APa(0)(B)(0P)a(0)，4， ， ，4， ， ，1， ，(B)PaD设平面 的法向量 ， ， ，D(nxy)z则 ，取 ，得 ， ， ，1x(n14)a与平面 所成的角的正弦值为 ，ABPD25，解得 ， ， ， ，823a(1n32)4，0， ， ，4， ，(1BC)0BP8设平面 的法向量 ， ， ，(mxy)z则 ，取 ，得 ，
15、 ， ，3z(0m23)设二面角 的平面角为 ，CPBD则 二面角 的余弦值为 CPBD17520已知椭圆 上的动点 到其左焦点的距离的最小值为 1，且离心率为 P 12（1）求椭圆的方程；（2）若直线 与椭圆 交于 ， 两点， 是椭圆 的左顶点，若 ，试证明直线lCABQC经过不同于点 的定点lQ【解析】 （1）解：由已知可得， ，解得 ， ，221acba3b椭圆的方程 ；2143xy（2）证明：由 ，得 ，QAB设直线 方程为 ， ， ， ， ，ABykxm1()y2(x)y联立 ，得 2143ykx ， 由题意， ，则 ， ，(2,0)Q由 ，得AB，即 ，即 或 72mk当 时，满足
16、 ，此时直线方程为： ，过定点 ；72mk0 2(,0)7当 时，满足 ，此时直线方程为： ，过定点 ，不合题意k (2,)综上，直线 经过不同于点 的定点 lQ2(,0)721已知函数 ， aR（1）当 时，求 在点 ， （1） 处的切线方程；0a()fx(f)（2）当 时， 是否存在两个极值点，若存在，求实数 的最小整数值；若不存在，请说明理由xf a【解析】解：（1）函数导数 ，当 时， ， （1） ，0af2， （1） ，即在点 处的切线斜率 ，fe(,)1ke则对应的切线方程为 即 （2）当 时，若 存在两个极值点，0x()fx则 有两个不同的解，()f即 ， 有两个根，即 有两个不
17、同的根，1xea设 ， ，设切点 ，()h()xhe(,1)me则 ，me即过原点的切线方程为 ，即当 ， 时， ，0xy设 ，则 ，即 在 上为减函数，()gm0,)（1） ， （2） ，g当 时， ，(,)()0即当 时， 和 有两个交点，mae1xyeyax， ，(1,2)2(,)当 时， 与 没有交点，3ayxh当 时， 与 有两个交点，4()即当 时， 是存在两个极值点，此时最小的 的整数值为 40x()fx a(二)选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点
18、，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线xOyOx的参数方程为 为参数） ，曲线 的极坐标方程为 1C2C（1）写出 的普通方程和 的直角坐标方程；12C（2）若点 、 分别为曲线 及曲线 上任意一点，求 的最小值及此时 的坐标PQ12|PQP【解析】解：（1）因为 ， ， 得 ，即 的普通方程为 ，2213xy1C213xy曲线 的极坐标方程为 ， ，2C由 ， ，可得 的直角坐标方程为： cosxsiny2 150xy（2）设直线 与 平行，且与曲线 相切，设 方程为 ，联立 与 的方程 消l2C1Cl0xyCl1C去 得： ，y因为 与曲线 相切，故 ，解得： ，或 l1 2c的方程
19、为：2C50xy当 时，设切点为 ，过 作 的垂线，垂足为 ，则此时 最小，且此时， 值等于 与2CP2CQ|P|PQl的距离，2将 代入得， ，2C32x即 点坐标为 ， P(1)2综上，点 、 分别为曲线 及曲线 上任意一点，则 的最小值为 ，此时 点坐标为 ，Q1C|PQ132P3(21)2选修 4-5：不等式选讲23已知函数 （1）当 时，求不等式 的解集；a()fx（2）若 恒成立，求 的取值范围2()1fxa【解析】解：（） 时， ，即 ，不等式 即为 或 或 ，()fx23x13x即有 或 或 ，31则为 或 ，xx所以不等式的解集为 或 ；|31x（）由（）知，函数 的值域为 ， ，()f3若 恒成立，则 ，2()1fxa即 ，解得 或 231a2a实数 的取值范围是 ， ， (2)
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