1、六校联考数学(理科) 试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合 ， ，则 201xAlg(1)2Bxyx()RAB( )A. B. C.(-1，1) D.(1，2)， ，2复数 满足 （ 为虚数单位） ， 则复数 在复平面内对应的点位于（ z2()|ii z）A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3已知 ，则 tan33cos(2)( )A B C D 454535354正项等比数列 中，存在两项 ，使得 ，且 ，则na,mna1mna76a1mn的最小值是 ( )A B C D 332256735刘徽是我国魏
2、晋时期的数学家，在其撰写的九章算术注中首创“割圆 术” ，所谓“ 割圆术 ”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心 ，圆 的半径为 2，现随机向圆OO内投放 粒豆子，其中有 粒豆子落在正十二边形内 ab，则圆周率的近似值为 （ ）),(*Nb( )A. B. C. D. a3b6函数 的大致图像为 82log14xy( )A. B. C. D.7以 为方向向量的直线被椭圆 截得的弦 的中点是(3,2)n 21(2)xyaAB第 5 题图第 10 题图xOyACB第 9 题图，则椭圆的焦距为 42(,)7M( )A2 B4 C D
3、 2428.已知 ，则二项式 的展开式中的常数项为 42516axd 264xa( )A B C D51151549已知函数 ()sin()0,fxAxA其 中的部分图象如图所示，点 是该图2(2)象与 轴的交点，点 是该图象与y13(,),4BC轴的交点，若正项递增数列 满足 ，xna()1nf则 的值为 12316a( )A132 B 66 C D74838310已知一个几何体的三视图如图所示，若该几何体外接球表面积为 ，则该几何体的表面积是 9( )A. B.323C. D.6211在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 线的上支与焦点为 F的抛21(0,)yxab物线 交于 两点，且满足
4、，则该双曲线的2(0)yp,MN8FNO离心率为 ( )A . B. C . D .325310215312函数 ,则不等式 的解集为 224()xxfxe()(3fxf( )A . B. C . D . (,1),)1,第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作第 18 题图答.第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.13若变量 满足 ，则 的最大值是_,xy210yx2()zxy14已知向量 , 满足 ，且 ，则向量 与 夹角的大小mn2n6mnmn为_
5、15已知正项数列 前 项的和 满足 ，则数列 前 项的和nanS21naS1na.nT16已知函数 的定义域为 ，值域为 ，且对任意的() 1,2345,6A7,89B，xy恒有 ， 则满足条件的不同函数共有_个.()fy三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 12 分）已知向量 与向量 方向相同，其中 分别m ,cos()ABn (3,cos)abABcba,为 的内角 的对边.BC()求 的值；ba()若角 是钝角，且 4 ，求 的取值范围c5b18(本小题满分 12 分) 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，PAAB
6、 ，AD3，点 F 是 PB 的3中点，设点 E 在边 BC 上移动()当 E 为 BC 中点时，求证 :直线 EF平面 PAC,并求点 F 到平面 PAC 的距离；()线段 BC 上是否存在点 E，使直线 PA 与平面 PDE 所成角的大小为 60？若存在，求出 E 在线段 BC 上的位置；若不存在，请说明理由.19(本小题满分 12 分)农村精准扶贫政策的实施，大大拓宽了农民的就业渠道，极大地提高了贫困农民的创业意识，增强了农民脱贫致富的自我发展能力，农民收入显著提高。某地民政部门对该地区2060 岁农民某月的收入进行了调查，共有 500 人参加调查，现将调查数据统计整理后，得到如下频率分
7、布直方图：() 同一组数据用该区间的中点值作代表，试问参与调查的这 500 位农民的该月平均收入为多少元？R() 现从年龄在 2060 岁的农民中，采用分层抽样的方法，随机抽取该月收入位于区间5,7（千元）中的 10 人，再从这 10 人中随机抽取 5 人跟踪调查其收入变化情况。记抽出的 5 人中收入位于区间5,6（千元）的人数为 ，求 的分布列及数学期望；()经计算知这 500 位农民该月收入的样本方差 ，由频率分布直方图可认为，该2.3s地区 2060 岁农民的该月收入服从正态分布 ,N，其中 近似为样本平均数，近似为样本方差，根据以上样本数据，估计该地区 2060 岁农民中，该月收入不低
8、2于 5.26 千元的农民在总体中所占的比例。附：若随机变量 服从正态分布 2,N，则 6827.0)(P，954.0)2(P， 933，0频 率组 距3 4 5 6 7 8 9 100.040.060.100.160.180.24月平均收入（单位：千元）年龄在 2060 岁的农民某月收入频率分布直方图52.13.20(本小题满分 12 分)已知椭圆 的一个焦点为 ，且点 在椭圆 上，21:(0)xyCab1(3,0)F1(3,)2M1C动点 满足 ，动点 的轨迹记为 .N1(OFMNON2C()求曲线 与 的方程；12() 过椭圆 上的动点 作 与曲线 相切点 ，使得椭圆右焦点 与切点 分别
9、位CPT2CT2FT于 的两侧，求四边形 面积的最大值O2F21(本小题满分 12 分) 设函数 ,记 的导函数为 .21()()lnfxax()fx()fx()讨论函数 的单调性；(fx()若 有两个不相等的实数根 ，求证: .)fb12,x12()0xf请考生在第 22、23 题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号对应的方框涂黑。22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知点 ，以原点为极点， 轴的正半轴为极xoy(2,)Ax轴建立坐标系，曲线 的极坐标方程为 过
10、点 作与E),0(cos2csaA直线 的平行线 ，分别交曲线 于 两点.4()RlECB,()写出曲线 和直线 的直角坐标方程；()若 成等比数列，求 的值.ACB, a23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲已知函数 | |+| |， （ ）(fxt23x2t()当 时，求不等式 的解集；2t()fx1()若对任意的 ，都存在符合条件 的实数 ，使得R345mn,n2fxmn成立，求实数 t 的取值范围答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 14.15.16.52321
11、n10三、解答题：17.(本小题满分 12 分)解 () 因为 与 方向相同，即共线，m ,cos()ABn (,cos)abAB故 2 分(33)(3cosabC由正弦定理得 sin C cos B3sin C cos A3sin A cos Csin B cos C 3 分sin C cos Bsin B cos C3(sin C cos Asin A cos C)sin(BC)3sin(AC)sin A3sin B， 6 分sinab()由余弦定理得 cos C c，即 ， ， a54由得 b 的范围是( ， ) 12 分218.(本小题满分 12 分)()法一： 在PBC 中，E、F
12、分别为 BC、PB 的中点，EFPC.又 EF平面 PAC， 而 PC 平面 PAC，EF平面 PAC，4 分则 F 与 E 到平面 PAC 的距离相等，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C D A C D B C A D C BFDABCPE第 18 题图第 18 题图依题意得 AC ，且 ，23132PACS144ACEABBDS矩 形 设 F 到平面 PAC 距离为 ，因为 PA平面 ABCD，d则由 ，得 ，从而得EPACEV13PACACESP34d即点 F 到平面 PAC 的距离为 7 分4法二：（坐标向量法）依题知 AD、AB、AP 两两垂直，故
13、可分别以 AD、AB、AP为 轴建系，则 ， ， ， ，xyz、 、 (0,)A(,30)B(,30)C(,)D，(0,3)P3,2F设平面 PAC 的法向量为 ，(,)vxyz则由 03vAzCx取 得 3 分1x(,)E 是 BC 的中点，则 (,0)2EEF 3(,)2 ，则 ，331()()0vF v EF直线 EF平面 PAC，5 分而 AF (0,)2点 F 到平面 PAC 的距离 7 分22341()vAFd()依题知 AD、AB、AP 两两垂直，故可分别以 AD、AB、AP 为 轴建系，xyz、 、则 ， ， ， ，0,)A(,30)B(,30)C(,)D， ，(,P,2E,2
14、F点 E 在线段 BC 上，设 ，其中 ，BE BC 1则 ，则 ，(3,0)(3,)P而 (3,0)PD设平面 PDE 的法向量为 (p，q，r)m则由 ，033E取 得 10 分1pm ,又 ，由 PA 与平面 PDE 所成角为 60，得 sin 60 ，AP (0,3) 32mAP即 ，解得 231()1故在线段 BC 上存在点 E，使直线 PA 与平面 PDE 所成角的大小为 60，且点 E 的位置与点 B 重合 12 分19.(本小题满分 12 分)() 月收入位于区间7,8（千元）的频率为1（0.040.100.160.240.180.06）0.22 1 分同一组数据用该区间的中点
15、值作代表，则参与调查的这 500 位农民的该月平均收入为3.50.044.50.10 5.50.166.50.247.50.228.50.18 9.50.06R6.78（千元） 3 分() 由题意可知 的可能值分别为 0、1、2、3、4，4)05106CP 215)1(046CP2)2(51036 )3(510647 分4)4(5106CP则 的分布列如下：0 1 2 3 4p4250152期望 8 分423115)( ()由(1)知样本平均数 ，样本方差 .s，可得 52.1,7.6，6.78R即该地区 2060 岁农民该月收入 服从正态分布 2(6.78,1.5)N,0.52.1786()
16、30.826.5( PP即 .841)3021. 估计该地区 20 岁至 60 岁农民中，月平均收入不低于 5.26 千元的农民在总体中所占的比例约为 84.14%.12 分20.(本小题满分 12 分)解：() 法一： 依题知椭圆的右焦点为 且椭圆半焦距 ，由椭圆定义得：2(3,0)F3c122aMF2211()()(4 2， 又 223bac曲线 的方程为 2 分1C214xy动点 满足 ， P2()()1OFNMON曲线 的方程为 4 分221xy法二：依题知椭圆的右焦点为 且椭圆半焦距 2(3,0)233cba点 在椭圆 上，故 MF2 轴，由椭圆性质知 1(3,)M1Cx1联立、解得
17、 （以下同法一）,ab() 设 ，220000(,),),14xPxyy则所以 ，2222003|TOT故 0 031|,|4TPxSx又 ，故 2(,),)OF20203|OFPy 2FT P因此 9 分2203()2OFPTOTPxSSy由不等式性质可知 ，00()()4xy所以 2200336()()4OFPT xSy当且仅当 ，即 时等号成立014xy00,2四边形 面积的最大值为 12 分2OFPT621.(本小题满分 12 分)解()：(1)(,(0)axafxx当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增0a)0ff,当 时，解 得 ，解 得 (xa()0xxa所以 在 上单调递减，在
18、 上单调递增()f, ,综上，当 时， 在 上单调递增0ax(0,)当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增5 分)fa(,)a()由（1）可知有两个不相等的实数根 ，不妨设 fxb12,x120x2111222()ln()lnaxa得到：211212()()(l)xx1212ln()(xa而 ， 故()()fx121212()()xxaf x11212 21212ln() (ln)xxxafax 令 9 分()ln2),(0)tgtt2211()()()ttt所以 在 单调递增 g0, ()10gt 12()xf22.(本小题满分 10 分) 解：解（1）由 ,得2coscsa22cosco
19、sa得曲线 的直角坐标方程为E2(0)yx又直线 的斜率为 ，且过点 ，故直线 的直角坐标方程为 5 分 1 2yx（2）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 . 2()xty为 参 数代入 得2yax2(8)1640tta ，1212,4t依题意知： ， 得： ，即BCA 211()tt211()5tt ，由于 ，从而解得 10 分24()5(6)a0aa23.(本小题满分 10 分) 解：() 当 时，不等式 即| |+| |t()1fx2x31x 当 时，不等式即为32x()解得： ，132 当 时，不等式即为x()23)1xx解得： ，xR32x 当 时，不等式即为2()3)1x解得： ， 综上所述，得不等式的解集为 5 分1,() ， 32t()fx33,2,txttx结合图像知函数 ，3()()2minfxft故 的值域为 ，()fx,At又 ，由柯西不等式得345222)(34)mnn则 的值域为 ，依题意得： ， ，1,BAB312t故实数 t 的取值范围是 10 分52xoyt323+t2t 3t 32
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