1、1大连第 11 中学 2019 高三第二次模拟考试（理科）数学命 题 人 ： 校 对 ： 第 I 卷一选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 复数 ，则 z 的共轭复数是 （ ）2izA B C D i12i12i2已知集合 ，则 =( )2|80,|()30MxNxMNA B C D444,43已知等差数列 满足 ， ，则其前 n 项和的最大值是 （ ）na168aA32 B30 C28 D24 4.将 7 名学生分入 3 个不同班级，每班至少 2 人的分法有多少种分法？ （ ）A1260 B630 C210 D1
2、05 5抛物线 C： 上一点 D 与准线上一点 E、焦点 F 组成2ypxDEF 恰好为等腰直角三角形，其面积为 4，则抛物线方程为 （ ）A B 22C D4yx4yx6 执行右图所示程序框图，若输入 n=3，则输出 c=（ ）A B 3276C D 139247一棱长为 2 的正方体被一圆锥面截去一部分后，剩余部分几何体三视图如图所示，则该几何体体积为（ ）A B 46383C D 828. 在面积为 S 的ABC 内任取一点 P，则PBC 的面积大于且小于 的概率为（ ）3S2A B C D167364939将函数否是开始结束输入 na=1，b=1 ，k=01ca= b， b= ck 0
3、）得到函数 ，若 在 处取2()cos()6fx ()gx()4x得最大值，则t的最小值为 （ ）A B C D51712310. 已知 ，若 的最大值为4，则实数a的取值是（ y0yxx， 满 足 约 束 条 件 z=xy）A2 B3 C-2 D-311. 双曲线 的离心率为 ,斜率为 直线 l 与双曲线的右支交于 A，B 两点，线2:1xyCab31k段 AB 的中点为 M，则直线 l、与直线 OM 的斜率之积为A1 B2 C D 2a12. 若函数 有两个零点，则 的取值范围mexfx（ ） mA B C D(,)e1(0,） 1(,e） 2(,)e第 II 卷二.填空题:（本大题共 4
4、 小 题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13 设 向 量 ， ， 且 ， 则 (1,2)ar(3)brabr|r14.曲线 在点（1,1）处的切线方程为 lnxye15 的展开式中， 的系数为 2(5） 52xy16已知三棱锥 PABC,外接球 O，且 ,2,1PABCPABC且则三棱锥外接球的表面积为_.o10BC三. 解答题：(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ()sinisinabAcCbB（1）求角 C；（2）若 外接圆半径为 2，求 周
5、长的最大值 ABC318(本小题满分 12 分)某高校统计大一学生每周的自习时间（单位：小时） ，随机抽取 400 名学生，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 ，样本数据17.5,30分组为 ， ， ，17.5,20(,(2， . 期末结束后学校为学期综合(,3成绩的前 30%发放奖学金，400 名学生样本中每周自习时间超过 25 小时的学生有 60 人获得奖学金（1）根据上述数据完成下列 列联表，自习时间超过25 小时自习时间未超过 25 小时合计获得奖学金未获得奖学金合计根据此数据你认为是否有 99%以上的把握认为综合成绩排名与自习时间长短有关？参考公式：， （2）以样本
6、中的频率作为概率，在每周自习时间超过 25 小时的学生中抽取 2 人，已知其中一人每周自习时间超过 27.5 小时，求另一人每周自习时间未超过 27.5 小时的概率（3）以样本中的频率作为概率，在每周自习时间超过 25 小时的学生中抽取 3 人，记 X 为 3 人中每周自习时间超过 27.5 小时的人数，求 X 的数学期望19(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 中，PABCDAB CD， ， PBAD.12（1）证明：平面 PBD平面 ABCD（2）若二面角 P-AD-B 为 60，直线 PB 与平面 ABCD 成角为60，求二面角 A-PC-B 的余弦值P(K2k0) 0.05 0.02
7、5 0.010 0.005 0.001k0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8280.160.10.42 3027.52.5017.5O 习/习习()nabcd2()(nadbcKPDCBA420 （本小题满分 12 分）设 分别是椭圆 的左，右焦点，离心率 ， 是 上一点，12,F2:1xyCab023ePC， 3P1253FPSV（1）求 C 的标准方程；（2）直线 l 过点 ，且与 C 有两个不同交点 A、B （A、B 不是左右顶点） ，在 x(,0)Mm轴上是否存在定点 N，使得直线 AN、BN 的斜率互为相反数？若存在，求出点 N 坐标（用 m 表示） ；若不存
8、在，说明理由 21.（本小题满分 12 分）已知函数 ， 2()(1)xfxae2()gxa（1）讨论 的单调性；（2） 使得 成立，求实数 a 的取值范围R、 sincos1gf请考生在 22，23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程是 ，将 上每一点的纵坐标保持不变，横坐标1Ccos()2inxy为 参 数 1C变为原来的 ，得到曲线 ，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立坐标系，直线 l 的2极坐标方程是 =()6R（1）求曲线 的极坐
9、标方程及直线 l 的直角坐标方程；2C（2）直线 l 与曲线 交于 A、B 两点，P 为曲线 上任意一点，求 的取值范围1C2PAB23 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 ，不等式 的解集为 ()22(0)fxmx()0fx|40x（1）求 m 的值；（2）若 ， ， ， ，证明： 0abc9abcm16abc5参考答案一、选择题（文理相同）C A B B D C D B A A B C二、填空题13. 14.（理） 、 （文）5221yx21yx15. 30 16.（理） （文）4033na三、解答题17.解：（1） 中，ABC ()sinisiabAcCbB由正弦定理
10、 可得sini2()c由余弦定理可得 221coab3（理） （2）由正弦定理 得siinsiRABC2()4si)23(n(1sicos)24n()3BCcRA:周 长时， 周长最大值为6ABC 42（文） （2） 又si2i,ab2()1abc3ab13snABCS:18.解：（1）由直方图可知，样本中自习时间在 中的频率为 ，自习时(27.5,02.504.间在 中的频率为 ，(25,7.2.5(0.416).自习时间超过25 小时自习时间未超过 25 小时合计获得奖学金 60 60 120未获得奖学金 60 220 280合计 120 280 4002 22()40(6206)3.56
11、.)(18nadbcK6有 99%以上的把握认为综合成绩排名与自习时间长短有关（理） （2）设抽出一名学生每周自习时间在 中为事件 A1，在 中为事件 A2，(25,7.(27.5,30则 ， ，抽出的两名学生中有一名学生每周自习时间在 中为事件1()3PA21()A，则 ，两个人一人每周自习时间在 中、一人2139PA (,.在 中概率(27.5,01224()()BCPA另一人每周自习时间在 中的概率(5,7. 4()9(|)5BPA（3）3 人中每周自习时间超过 27.5 小时的人数 X 服从二项分布： 1(3,)X:X 的数学期望 ()1EXnp（文） （2）根据直方图自习时间在 中与
12、在 中的人数比例为 2：1，(25,7.(2.5,30抽取的 6 人中自习时间在 中的有 4 人，用 A1、A 2、A 3、A 4 代表；在 中的(7.5,30有 2 人，用 B1、B 2 代表.抽取 2 人基本事件空间为 （A 1，A 2） ， （A 1，A 3） ， （A 1，A 4） ， （A 1，B 1）,（A 1，B 2）,（A 2，A 3） ， （A 2，A 4） ， （A 2，B 1）,（A 2，B 2）,（A 3，A 4） ， （A 3，B 1）,（A 3，B 2）,（A 4，B 1）,（A 4，B 2）, （B 1，B 2），这两人中一人每周自习时间在 中，另一人自习时间在
13、中为事件(7.5,30(25,7.A=（A 1，B 1）,（A 1，B 2）,（A 2，B 1）,（A 2，B 2）,（A 3，B 1）,（A 3，B 2）,（A 4，B 1）,（A 4，B 2）， 8()P中 基 本 事 件 数中 基 本 事 件 总 数19. （1）证明：四边形 ABCD 中，AB CD， 四边形 ABCD 是等腰梯形，取 AB 中点 E，连接 CE，则四12BCDAB边形 AECD 为菱形，EBC 为等边三角形，BAD=ABC=60，ABD 中，由余弦定理得 ，ADC=90，AD BD，又PBAD，AD平面 PBD，3QPEDCBA7ADBCADPB平 面 ， 平 面 平
14、 面（理） （2）在平面 PBD 中，过点 P 作POBD=O ，P平 面 平 面 POABCD平 面PBO 为直线 PB 与平面 ABCD 成角，即PBO =60，AD平面 PBD，ADPD、ADBD ，PDB =60，PBD 为等边三角形，O 为 BD 中点，O 在 CE 上，且为 CE 中点，CEBD，以 O 为原点，OE、OB、OP 为坐标轴建立空间直角坐标系，设 AB=4，则各点坐标分别为， ， ， ，平面 PAC 中， ，(2,30)A(,30)B(1,)C(0,3)P(3,0)CA，设平面 PAC 法向量 ， ， ，不妨设(1,)CP1(,)nxyz10nxyz，则 ，z3,xy
15、3平面 PBC 中， ， ，设平面 PBC 法向量 ，(1,0)B(,)CP2(,)nxyz， ，不妨设 ，则 ， ，设二20CnP3xyz1z3,xy2(3,1)面角 A-PC-B 为 ，则1248cosn（文） （2）取 BD 中点 O，连接 PO，PBD 为等 边三角形，POBD ， ，PBDAC平 面 平 面 POABCD平 面， 33242PO四边形 ABCD 是等腰梯形，由第（1）问过程可得， ACBC，CBD=30，zyxOQPEDCBAOQPEDCBA8AB=2，BC =1，Rt BCQ 中， ，3CQ1326BCQS: 33261PBCQBCQVOS:20.解:（1）如图，由
16、已知得 ，12PFa22 2121121cos4PFPFFPc:中 ，1212121253, sin3PFS:,12034(co)0acPF,又25b22,3eab3,acC 的标准方程为2195xy（2）存在定点 N，A、B 不是左右顶点， ，3ml 的斜率不存在时，点 M 在 C 的内部，此时 30m， 且，由于 A、B 关于 x 轴对称，故 x 轴上除 M 外的 任意一点结论均成立；现讨论 l 斜率存在时，设 l 的方程为 ，点 A、B、N 坐标分别为()ykxm12(,),(,0)xyn、 、故有 12,ANBNykkxl 与 C 联立得 ，消元得：295()ykxm222(95)18
17、9450kxkm， ，1222184,x 12,ANByxn即PyxF2F1NBA My xF2F19整理得2121212 22(945)189()yxxmxn kkm定点 ，9(,0)Nm(3,0)且（理）21.解：（1）22)(1(1)x xfxaeae当 时， ，解得 ， ，解得 ，a()0f,或 ()0f 1af(x)在 上是增函数，在 上是减函数；,1,1a当 时， ，解得 ， ，解得 ，1()fx,x或 ()fxxf(x)在 上是增函数，在 上是减函数；,a,当 时， 恒成立，且只在 时 ，f(x)在 R 上是增函数.a()0fx1x0f（2） 时， ，R、 sin,、 co若要
18、使得 成立，、 ()(s)gf只需 时， 成立，1,xmaxin1由（1）知当 时，f(x )在 上是增函数， ，,min3()(1)afxfe当 时，f(x ) 在 上是减函数，在 上是增函数，a1,a，min()afe当 时，f(x )在 上是减函数， ，1,min()(1)fxfe，对称轴 ，2)ga当 时，g(x)在 上是增函数， ，a,1max()()4g，解得 main341fae31ea当 时，g(x) 在 上是增函数，在1,上是减函数，,10，2max()()ga2maxin1()()agfe整理得 ， ，只需 ，110ae()0令 ， ，当 时， ， 在 上是增()xh()2
19、)xhe1hx()1,函数，又 ， 时， ，00a0a当 时，g(x)在 上是减函数， ，1a1,max()()g，解得main()1fe1综上所述， 或0（文）20.解：（1）f(x )，定义域为 ， ，(0,)32ln(xf，解得 ， ，解得 ，)f12xefx12xef(x)在 上是增函数，在 上是减函数；120,e(,)（2）显然，右边不等式等价于 ，由（1）得 f(x)在 时取最大值 ，2lnxB12e12()fe ，故 B 的最佳取值为 ；1ee左边不等式等价于 ，令 ， ，2lnAx2()lngx()2ln(2ln1)gxx，解得 ， ，解得 ，()0gx1e01eg(x)在 上
20、是减函数，在 上是增函数，12,)12(,)eg(x)在 时取最小值 ， ，故 A 的最佳取值为 ，e)g12e12e最佳的 A、B 的值分别为 ， .12AeB22.解：（1）经变换得曲线 的参数方程是 ，故其普通方程为2C2cos()inxy为 参 数11，极坐标方程为 ，直线 l 的直角坐标方程为 ；24xy23yx（2）联立 l 与 ： 得 ， ，2C43xy(,1)A(3,1)BP 为曲线 上任意一点，设 P 坐标为 ，1 (cos,2in)2 2 222(4cos3)i1(4cs3)(sin1)3cs8ins6AB ，20o1260PAB23.解：（1）由不等式 的解集为 可知 的解为-4，0，()fx|4x()fx有 ，解得 ；(4)24200fm 1m（2） ， ， ， ，abc9abc由柯西不等式可得 ，221()(4)1(43)6cab 16abc
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