1、第 1 页，共 10 页2019 年山东省日照市高考数学模拟试卷（理科） （5 月份）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A=x|lgx0，B=x|x 1，则（ ）A. B. C. D. = 2. 将函数 f（x ）=sin2x 的图象向右平移 个单位长度得到 g（x ）图象，则函数的解析式是（ ）6A. B. C. D. ()=(2+3) ()=(2+6) ()=(23) ()=(26)3. 若函数 =（ ）()=32,02+3,1x1，x 2，x 3，则 x1x2+x2x3+x1x3=（ ）A. 12 B. 11 C. 6 D. 3二、填空题（本大题共 4
2、小题，共 20.0 分）13. 设复数 z=（5+i）（1-i）（i 为虚数单位），则 z 的虚部是_14. 设向量 =（1，1）， =（-1 ，2），则向量 + 与向量 的夹角为_ 15. 抛物线 y=2x2 图象在第一象限内一点（a i，2a i2）处的切线与 x 轴交点的横坐标记为 ai+1，其中 iN*，若 a2=32，则 a2+a4+a6=_16. 若函数 f（x ）=mx 2-ex+1（ e 为自然对数的底数）在 x=x1 和 x=x2 两处取得极值，且 x22x1，则实数 m的取值范围是_三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 如图，在ABC 中，M 是 AC
3、的中点， =3， =2（1）若 ，求 AB 的长；=512（2）若 的面积=23， 求 18. 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，DE 平面ABCD，BF DE，DE=2BF= 22， =60（1）证明：平面 ACF平面 BDEF；（2）求二面角 E-AC-F 的余弦值19. 如图，已知椭圆 ，A（4，0）是长轴的一个端点，：22+22=1( 0)弦 BC 过椭圆的中心 O，且 ， =21313， |=2|（1）求椭圆 E 的方程（2）过椭圆 E 右焦点 F 的直线，交椭圆 E 于 A1，B 1 两点，交直线 x=8于点 M判定直线 CA1，CM，CB 1 的斜率是
4、否依次构成等差数列？请说明理由20. 为评估设备 M 生产某种零件的性能，从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 个零件作为样本，测量其直径后，整理得到如表：直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100经计算，样本的平均值 u=64，标准差 =2.2，以频率值作为概率的估计值（）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 X，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的频率）：P（u-Xu+）0.6826；P（u-2Xu+2）0.95
5、44；P（u-3Xu+3）0.9974评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备性能等级为甲；仅满足其中两个，则设备性能等级为乙；若仅满足其中一个，则设备性能等级为丙；若全部不满足，则设备性能等级为丁试判断设备M 的性能等级（）将直径小于等于 u-2 或直径大于 u+2 的零件认为是次品（i）从设备 M 的生产流水线上任意抽取 2 个零件，计算其中次品个数 Y 的数学期望 E（Y）；（ii）从样本中任意抽取 2 个零件，计算其中次品个数 Z 的数学期望 E（Z）第 3 页，共 10 页21. 已知函数 （e 为自然对数的底数）()=， 0， 2（1）求函数 f（x ）的值域；（2）若不等式
6、f（x ） k（x-1）（1-sinx）对任意 恒成立，求实数 k 的取值范围；0，2（3）证明： 1 12(32)2+122. 在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程是 （t 为参数），曲线 C 的参数方程是=3=1+3（ 为参数）以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系=23=23+23（1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程；（2）已知射线 与曲线 C 交于 O，M 两点，射线 与直线 l 交于 N： 1=(0 2) ： 2=+2点，若OMN 的面积为 1，求 的值和弦长| OM|23. 已知函数 f（x ）=x| x+a|，aR（1）若 f（1）+f（-1）1，求
7、a 的取值范围；（2）若 a0，对x ，y（- ，-a ，不等式 恒成立，求 a 的取值范围()|+34|+|+2|第 4 页，共 10 页答案和解析1.【答案】B【解析】解：由 B=x|x1，且 A=x|lg x0= （1，+），AB=R， 故选：B 化简集合 A，再根据两个集合的特征即可确定出两个集合的关系本题考查集合的运算，对数不等式的解法，集合间的关系，属于基本知识考查题2.【答案】C【解析】解：由题意，将函数 f（x）=sin2x 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象，故选：C 由题意利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图
8、象变换规律，属于基础题3.【答案】B【解析】解：根据题意，函数 ，则 f（-3）=23-3=1，则 f（f（-3）=f（1）=log31-2=-2，故选：B 根据题意，由函数的解析式计算可得 f（-3）=1，进而可得 f（f（-3）=f（1），即可得答案本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题4.【答案】B【解析】解：若 =m，n，nm，如 图，则 与 不一定垂直，故 为假命题；若 m，m，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则 ；故为真命题；若 m，n，mn，则 ，故为真命题；若 m，n，mn，如图， 则 与 可能相交，故为假命题故选：B 由面面垂直的判定定理，可判断的真假；由
9、面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断 的真假本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键5.【答案】B【解析】解：执行如图的程序框图，运行结果如下： n=1，S=0 S=lg1-lg2 满足判断框内的条件，n=2，S=lg1-lg2+lg2-lg3 满足判断框内的条件，n=3，S=lg1-lg2+lg2-lg3+lg4-lg5 观察规律可知： 满足判断框内的条件，n=99，S=lg1-lg2
10、+lg2-lg3+lg99-lg100=lg1-lg100=-2 由题意，此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为-2 第 5 页，共 10 页故判断框内应填入的条件是 n99？ 故选：B 根据程序框图，写出运行结果，根据程序 输出的结果是 S=-2，可得出判断框内应填入的条件本题考查程序框图，尤其考查循环结构， 对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，是基础题6.【答案】D【解析】解：在 A 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故 A 错误； 在 B 中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈 现出一定的波动性，没有减弱，故 B错误； 在 C 中，从网
11、民对该关键词 的搜索指数来看，去年 10 月份的方差大于 11 月份的方差，故 C 错误； 在 D 中，从网民对该关键词 的搜索指数来看，去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平均值，故 D 正确 故选：D观察指数变化的走势图，能求出去年 12 月份的平均值大于今年 1 月份的平均值本题考查命题真假的判断，考查简单的合理推理、推理论证能力等基础知识，考 查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7.【答案】A【解析】解：当圆心 O 与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时，符合条件圆心 O 与点 P 连线的斜率 k=1，所以直线 l 的方程为 x+y-2=0 故选：A当圆心 O 与 P
12、的连线和过点 P 的直线垂直时，符合条件本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题8.【答案】D【解析】解：因为个位数字与十位数字之和为奇数，所有位的数字和为偶数，所以这个三位数有 2个奇数和一个偶数，故有 C51A21A52=200 个 故选：D因为个位数字与十位数字之和为奇数，所有位的数字和为偶数，所以这个三位数有 2 个奇数和一个偶数，再根据分步计数原理即可得到答案本题考查了分步计数原理，判断出这个三位数有 2 个奇数和一个偶数，是关键，属于基 础题9.【答案】A【解析】解：如图 MF2 为ABF 2 的垂直平分 线，可得 AF2=BF2，且 MF1F2=30，可得 MF2=2csin30=
13、c，MF1=2ccos30= c，由双曲线的定义可得 BF1-BF22a，AF2-AF1=2a，即有 AB=BF1-AF1=BF2+2a-（AF2-2a）=4a，即有 MA=2a，AF2= = ，AF1=MF1-MA= c-2a，由 AF2-AF1=2a，可得 -（ c-2a）=2a，可得 4a2+c2=3c2，即 c= a，b= =a，则渐近线方程为 y=x故选：A由垂直平分线性质定理可得 AF2=BF2，运用解直角三角形和双曲线的定义，求得 AB=4a，结合勾股定理，可得 a，c 的关系， 进而得到 a，b 的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程第 6 页，共 10 页本题考查双曲线的方程
14、和性质，主要是渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考 查运算能力，属于中档题10.【答案】C【解析】解：由 ，可知 ，取 AC 的中点 M，则点 M 为 ABC 外接圆的圆心，所以 OM平面ABC，且 OM 为 ACD 的中位线，所以 DC平面 ABC，故三棱锥 D-ABC 的体积为 故选：C 确定ABC 外接圆的直径为 AC，球心 O为 AC 的中点，求出球心到平面 ABC 的距离，利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积本题考查几何的体积的求法，球的内接体，考查学生的空间想象能力以及计算能力11.【答案】D【解析】解：f（x ）=sin2x+co
15、sx+1，由 ，得 an=2na-a+b，an为等差数列，a1+a17=2a9=，y1+y17=f（a1）+f（a17）=sin2a1+cosa1+1+sin2a17+cosa17+1=sin2a1+cosa1+1+sin（2-2a1）+cos（-a1）+1=2，数列y n的前 17 项和为 28+1=17故选：D化简函数的解析式，利用数列的和求出通项公式，判断数列是等差数列，然后求解数列的和即可本题考查数列与函数相结合，三角函数的化简以及数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力12.【答案】B【解析】解：作出函数 f（x）的图象如图所示，由图可得关于 x 的方程 f（x）=t 的解有
16、两个或三个（ t=1 时有三个，t1 时有两个），所以关于 t 的方程 t2+bt+c=0 只能有一个根 t=1（若有两个根，则关于 x的方程 f2（x）+bf（x）+c=0 有四个或五个根），由 f（x）=1，可得 x1，x2，x3 的值分别为 1，2，3，x1x2+x2x3+x1x3=12+23+13=11故选：B 画出函数的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解即可本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力13.【答案】-4【解析】解：z=（5+i ）（1-i）=6-4i z 的虚部是-4 故答案为：-4 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查
17、复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题14.【答案】4【解析】解： ； ； ；又 ； 第 7 页，共 10 页故答案为： 可求出 ，从而可求出 ，根据向量夹角的范围即可求出夹角考查向量坐标的加法和数量积的运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式15.【答案】42【解析】解：y=2x 2（x0）， y=4x，y=2x2（x0）在第一象限内图象上，一点（a i， 处的切线方程是： ，整理，得 ，切线与 x 轴交点的横坐标为 ai+1， ，a2k是首项为 a2=32，公比 的等比数列，a2+a4+a6=32+8+2=42故答案为：42利用函数的导数，求解切线斜率，得
18、到切 线方程，然后利用，数列与函数的关系，转化求解数列的和即可本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，数列与函数的综合应用，考 查转化思想以及计算能力16.【答案】 12， +)【解析】解：方法 1：f（x）=2mx-ex， ， ，直线 y=2mx，曲 线 y=ex，x22x1，A（2x1，4mx1），B（2x1， ）， ，x1ln2，构造 ， ，在（0， 1）递减，方法 2：f（x）=2mx-ex由题知 有两个不等的实数根 x1，x2 且 x22x1，令 ，则 ，易知 h（x）在（-， 0），（0，1）上为减函数；在（1， +）上为增函数当 x2=2x1 时，由 ，得 x1=ln2，此时
19、；当 x22x 1 时，综上 故答案为： 方法 1：f（x）=2mx-ex，x=x1 和 x=x2 两处取得极值，且 x22x1，设 A（2x1，4mx1），B（2x1， ），构造 ， ，在（0， 1）递减，转化求解即可方法 2：f（x）=2mx-ex， 有两个不等的实数根 x1，x2 且 x22x1，令 ，则，利用函数的单调性转化求解即可本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，考 查转化思想以及计算能力17.【答案】解：（1） ，（2 分）=3512=4在ABC 中，由正弦定理得 ，= （6 分）=434=26（2）在BCM 中，由余弦定理得 = ，2=2+2232+221212=4+BC2
20、-2BC，解得 BC=4（负值舍去）， （10 分）第 8 页，共 10 页 ，（12 分）=123=43【解析】（1）根据正弦定理进行求解即可 （2）根据余弦定理结合三角形的面积公式进行计算即可本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键18.【答案】解：（1）连接 BD 交 AC 于点 O，因为 ABCD 是菱形，所以 ACBD，DE平面 ABCD，DEAC，（3 分）又 BD平面 BDEF，DE 平面 BDEF，BDDE=D ，AC平面 BDEF，平面 ACF平面 BDEF（5 分）（2）连接 BD 交 AC 于点 O，则 ACBD，取 EF 的
21、中点 G，连接 OG，则 OGDE， DE平面 ABCD，OG平面 ABCD，OG ，AC，BD 两两垂直以 AC，BD，OG 所在直线分别作为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），则 ，(3， 0， 0)B（0，1，0）， ，D （-1，0，0）， ，(3， 0， 0) (0， 1， 22) (0， 1， 2)， ， ，=(3， 1， 22) =(23， 0， 0) =(0， 2， 2)，=(3， 1， 2) =(3， 1， 2)则 ， ，=0 =0所以 EFAF，EFCF，且 AFCF=F，所以 EF平面 AFC，所以平面 AFC 的一个法向量为 （9 分）=(0， 2， 2
22、)设平面 AEC 的一个法向量为 =（x，y，z），则 ， ， =0=0 3+22=0=0 得 ，=22=0 令 ，=2得平面 AEC 的一个法向量 ，=(0， 4， 2)从而 （12 分）， =|=663=33【解析】（1）连接 BD 交 AC 于点 O，证明 ACBD，DEAC，推出 AC平面 BDEF，得到平面 ACF平面 BDEF （2）连接 BD 交 AC 于点 O，则 ACBD，取 EF 的中点 G，连接 OG，则 OGDE，说明OG，AC，BD 两两垂直以 AC，BD，OG 所在直线分别作为 x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系求出平面 AFC 的一个法向量，平面 AEC
23、的一个法向量利用空间向量的数量积求解即可本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用19.【答案】解：（1）由| - |=2| - |，得| |=2 |，即 | |=| |， AOC 是等腰三角形， （2 分）又 a=OA=4，点 C 的横坐标为 2；又 cos ， = ，21313设点 C 的纵坐标为 yC， = ，解得 yC=3，22+2221313应取 C（2，3）， （3 分）又点 C 在椭圆上， + =1，解得 b2=12，2242322所求椭圆的方程为 + =1；（5 分）216212（2）由题意知椭圆的右焦点为 F（2，0），C（2，3），
24、由题意可知直线 CA1，CM， CB1 的斜率存在，设直线 A1B1 的方程为 y=k（x-2 ），代入椭圆方程并整理，得（3+4k 2）x 2-16k2x+16k2-48=0； （7 分）设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），直线 CA1，CM，CB 1 的斜率分别为 k1，k 2，k 3，则有 x1+x2= ，x 1x2= ，1623+42 162483+42可知 M 的坐标为（8，6k）；（9 分）k1+k3= + = +13122322(12)312 (22)322=2k-3 =2k-3 =2k-1，1+2412+42(1+2) 1236又 2k2=2 =2k-1；6382k
25、1+k3=2k2，第 9 页，共 10 页即直线 CA1，CM，CB 1 的斜率成等差数列 （12 分）【解析】（1）由题意可得 a=4，求出点 C 的坐标，代入椭圆方程得到 b，从而求得椭圆的方程； （2）设出直线 A1B1 的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到 k1+k3，并求得 k2 的值，由 k1+k3=2k2 说明直线 CA1，CM，CB1 的斜率成等差数列本题主要考查了直线与椭圆的位置关系应用问题，由直线与曲线方程联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的常用方法，但 圆锥曲线的特点是计算量大，也考 查了运算推理能力，该题是中档题20.【答案】解：（）P（-X+
26、）=P（62.8X67.2）=0.80.6826，P（-2 X +2）= P（60.6 X69.4）=0.940.9544，P（-3 X +3）= P（58.4 X71.6）=0.980.9974，设备 M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙样本中次品共 6 件，可估计设备 M 生产零件的次品率为 0.06（）由题意可知 YB（2， ），于是 EY=2 = 6100 6100325（）由题意可知 Z 的分布列为Z 0 1 2P2942100161942100262100E（Z） = +1 +2 = 02942100161942100262100325【解析】（）利用条件，可得设备 M 的
27、数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（）易知样本中次品共 6 件，可估计设备 M 生产零件的次品率为 0.06（）由题意可知 YB（2， ），可得 EY=2 （）确定 Z 的取值，利用超几何分布可得相 应的概率，即可求出其中次品个数 Z 的数学期望EZ本题考查了二项分布列及其数学期望、正态分布曲线的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题21.【答案】解：（1）f（x ）= ex-ex（sinx+cosx ）= ex（1-sinx-cosx）= =12(+4)，2(+4)22 ， ，0，2 +44， 34 ，所以 f（x）0，(+4)22故函数 f（x）在 上单调递减，函数 f（x）的最大值为
28、 f（0）=e 0-e0sin0=1；f（x）的最小值为0，2，(2)=222=0所以函数 f（x）的值域为 0，1（2）原不等式可化为 ex（1-sinx）k（x -1）（1-sinx）（*），因为 1-sinx0 恒成立，故（ *）式可化为 exk（x -1）令 g（x）=e x-kx+k，则 g（x ）= ex-k当 k0 时，g（x ）= ex-k0，所以函数 g（x）在 上单调递增，故 g（x）g（0）=1+k0，所以-0，21k0；当 k0 时，令 g（x ）= ex-k=0，得 x=lnk，且当 x（0，lnk）时，g（x）=e x-k0；当 x（lnk，+）时，g（x） =ex
29、-k 0所以当 ，即 时，函数 g（x ） min=g（lnk）=2k-klnk=k（2-lnk）0，成立；2 0 2当 ，即 时，函数 g（x ）在 上单调递减， ，解得2 2 0， 2 ()=(2)=22+02221综上， 1221（3）令 ，则 ()=1+12(32)21 ()=1+32由 ，故存在 ，使得 h（x 0）=0 即 且当(12)=121 0， (34)=1434 0 0(12， 34) 01=320x（-，x 0）时，h（x ）0；当 x（x 0，+）时，h （x）0故当 x=x0 时，函数 h（x ）有极小值，且是唯一的极小值，故函数 =()=(0)=01+12(032)
30、21，因为 ，所以(032)+12(032)21=12(032)1232=12(052)232 0(12， 34)，12(052)232 12(3452)232=132 0第 10 页，共 10 页故 ， ()=1+12(32)21 0 1 12(32)2+1【解析】（1）利用导数求函数的值域即可；（2）恒成立问题转化为最值即可；（3）构造函数可解决此问题本题考查函数的值域的求法，恒成立问题和存在性问题与函数最值的转化22.【答案】解：（1）直线 l 的参数方程是 （t 为参数），=3=1+3消去参数 t 得直角坐标方程为： 3+1=0转换为极坐标方程为： ，即 3+1=0 (3)=12曲线
31、C 的参数方程是 （ 为参数），=23=23+23转换为直角坐标方程为： ，（3 分）2+(23)2=12化为一般式得 2+243=0化为极坐标方程为： （5 分）=43（2）由于 ，得 ， 0 2 |=43|= 1|(+2)3(+2)|= 1+3所以 ，=12|= 23+3=1所以 ，=33由于 ，所以 ，0 2 =6所以 （10 分）|=23【解析】（1）先把直线 l 和曲线 C 的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程； （2）联立极坐标方程，根据极径的几何意义可得|OM|， |ON|，再根据面积列式可解得极角，从而可得|OM|本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23.【答案】解：（
32、1）f（1） +f（-1 ）=|1+a|-|-1+a|1，若 a-1，则-1-a+ a-11，得 -21，即不等式无解，若-1a1，则 1+a+a-11，得 2a1，即 ，12 1若 a1，则 1+a-a+11，得 21，即不等式恒成立，综上所述，a 的取值范围是 (12， +)（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需 ，()(|+34|+|+2|)当 x（-，-a时，f（x ）=-x（x+a），所以 ()=(2)=24因为 ，|+34|+|+2|342|所以 ，解得-3a1 ，结合 a0，24342所以 a 的取值范围是-3，0）【解析】（1）运用绝对值不等式的解法即可；（2）恒成立问题转化为最值问题即可解决本题考查绝对值不等式的解法和函数恒成立问题转化为最值即可解决
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