1、2019 年广东省韶关市高考数学模拟试卷（文科）（4 月份）一、选择题：本大题共 12 小题，每小題 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5 分）已知集合 Ax|0x3，Bx|（x2）（x4）0，则集合 AB（ ）A x|0x2 Bx|0x4 C x|2x4 D x|2x32（5 分）已知 是 z 的共轭复数，且满足（ 1+i） 4（其中 i 是虚数单位），则|z| （ ）A2 B2 C D13（5 分）已知变量 x 与 y 负相关，且由观测数据得到样本的平均数 3， 2.7，则由观测数据得到的回归方程可能是（ ） A 0.2x+3.3 B 0.4x +1.5C 2
2、x3.3 D 2x+8.64（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 zxy 的最大值为（ ）A B C5 D65（5 分）若等比数列a n的各项均为正数，a 23，4a 32a 1a7，则 a5（ ）A B C12 D246（5 分）已知函数 f（x ）sin（x+ ）（ 0）的相邻对称轴之间的距离为 ，将函数图象向左平移 个单位得到函数 g（x）的图象，则 g（x）（ ）Asin（x+ ） Bsin（2x+ ） Ccos2 x Dcos （2x+ ）7（5 分）已知圆 C：x 2+y24x+30，则圆 C 关于直线 yx4 的对称圆的方程是（ ）A（x+4） 2+（y +6） 21 B（x
3、+6） 2+（y+4） 21C（x +5） 2+（y +7） 21 D（x+7） 2+（y +5） 218（5 分）下列三个数：aln ，blog 3 ，c（ ） ，大小顺序正确的是（ ）Acab Bcba Cbac Dabc9（5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 16，20，则输出的 a（ ）A14 B4 C2 D010（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥最长的棱长为（ ）A3 B C D11（5 分）已知数列a n满足 a1+ + a3+ n2+n（nN*）
4、，设数列 bn满足：bn ，数列b n的前 n 项和为 Tn，若 Tn （nN*）恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A ，+） B（ ，+ ） C ，+） D（ ，+）12（5 分）已知函数 f（x ） ，（其中 aR），若 f（x）的四个零点从小到大依次为 x1，x 2，x 3，x 4，则 x1x2+ xi 的值是（ ）A16 B13 C12 D10二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13（5 分）已知向量 （1，x）， （2，4），且（ ） ，则实数 x 14（5 分）曲线 yacos x 在 x 处的切线 l 的斜率为 ，则切线 l 的方程为 15（5 分）过抛物线 y22p
5、x（p0）的焦点 F 且倾斜角为 120的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A、B 两点，则 16（5 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 是矩形，BC2，PAD是等边三角形，平面 PAD平面 ABCD，点 E，F 分别在线段 PA，CD 上，若 EF平面 PBC，且 DF2FC，则点 E 到平面 ABCD 的距离为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12 分）在ABC 中，a、b、c 分别是内角 A、B、C 的对边，且bcosAsinA（acosC+ccosA）（1）求角 A 的大小；（2）若 a2 ，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长1
6、8（12 分）如图 1，四边形 ABCD 是直角梯形，其中BCCD1，AD2，ADC90点 E 是 AD 的中点，将 ABE 沿 BE 折起如图2，使得 AE平面 BCDE点 M、N 分别是线段 AB、EC 的中点（1）求证：MNBE；（2）求三棱锥 EBNM 的体积19（12 分）某工厂每年定期对职工进行培训以提高工人的生产能力（生产能力是指一天加工的零件数）现有 A、B 两类培训，为了比较哪类培训更有利于提高工人的生产能力，工厂决定从同一车间随机抽取 100 名工人平均分成两个小组分别参加这两类培训培训后测试各组工人的生产能力得到如下频率分布直方图（1）记 M 表示事件“参加 A 类培训工
7、人的生产能力不低于 130 件”，估计事件 M 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为工人的生产能力与培训类有关：生产能力130 件 生产能力130 件 总计A 类培训 50B 类培训 50总计 100（3）根据频率分布直方图，判断哪类培训更有利于提高工人的生产能力，请说明理由参考数据P（K 2k 0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879参考公式： ，其中 na+b+c+d20（12 分）已知点 M 到抛物线 y24 x 的焦点 F 的距离和它到直线 x2
8、 的距离之比是 （1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（2）过圆 O：x 2+y2 上任意一点 P 作圆的切线 l 与轨迹 C 交于 A，B 两点，求证：OAOB21（12 分）已知函数 f（x）xe x（e 2.71828）（1）求函数 f（x ）的单调区间；（2）设 g（x）f（x）lnx，求证：g（x） （参考数据：ln 20.69）请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为（ x2）
9、2+y24，过点（2，0）且斜率为 k（k0）的直线 l 与曲线 C 相切于点 A（1）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程和点 A 的极坐标；（2）若点 B 在曲线 C 上，求 OAB 面积的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |x|（1）解不等式 f（2x 3）5；（2）若 x2+2x+f（x2）+ f（x+3）a+1 在 x1，3上恒成立，求实数 a 的取值范围2019 年广东省韶关市高考数学模拟试卷（文科）（4 月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小題 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
10、求的.1（5 分）已知集合 Ax|0x3，Bx|（x2）（x4）0，则集合 AB（ ）A x|0x2 Bx|0x4 C x|2x4 D x|2x3【分析】由二次不等式的解法及集合交集的运算得：B ，又A x|0x3，则 AB ，得解【解答】解：解二次不等式（x2）（x4）0 得：2x4，即B ，又 Ax|0x3，则 AB ，故选：D【点评】本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，属简单题2（5 分）已知 是 z 的共轭复数，且满足（ 1+i） 4（其中 i 是虚数单位），则|z| （ ）A2 B2 C D1【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用|z| | |求解【
11、解答】解：由（1+i） 4，得 ，|z| | | 故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题3（5 分）已知变量 x 与 y 负相关，且由观测数据得到样本的平均数 3， 2.7，则由观测数据得到的回归方程可能是（ ）A 0.2x+3.3 B 0.4x +1.5C 2x3.3 D 2x+8.6【分析】利用变量 x 与 y 负相关，排除选项，然后利用回归直线方程经过样本中心验证即可【解答】解：变量 x 与 y 负相关，排除选项 B，C；回归直线方程经过样本中心，把 3， 2.7，代入 A 成立，代入 D 不成立故选：A【点评】本题考查回归直线方程
12、的求法，回归直线方程的特征，基本知识的考查4（5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 zxy 的最大值为（ ）A B C5 D6【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可【解答】解：变量 x，y 满足约束条件条件的可行域如图：目标函数 zxy 经过可行域的 B 点时，目标函数取得最大值，由 可得 A（4，1），目标函数 zxy 的最大值为： 5故选：C【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用5（5 分）若等比数列a n的各项均为正数，a 23，4a 32a 1a7，则 a5（ ）A B C12 D24【分析】由 4a32a 1a7，利用等比中项的性
13、质，求出 q，代入等比数列的通项公式即可求出 a5【解答】解：数列a n是等比数列，各项均为正数，4a 32a 1a7 ，所以，所以 q2所以 a5 32 324故选：D【点评】本题考查了等比数列的通项公式，等比中项的性质，属于基础题6（5 分）已知函数 f（x ）sin（x+ ）（ 0）的相邻对称轴之间的距离为 ，将函数图象向左平移 个单位得到函数 g（x）的图象，则 g（x）（ ）Asin（x+ ） Bsin（2x+ ） Ccos2 x Dcos （2x+ ）【分析】（1）首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果【解答】解：函数 f（x ）sin（x+ ）
14、（ 0）的相邻对称轴之间的距离为 ，则： ，解得：T，所以： 2，将函数 f（x） sin（2x + ）图象向左平移 个单位，得到：g（x） 的图象，故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型7（5 分）已知圆 C：x 2+y24x+30，则圆 C 关于直线 yx4 的对称圆的方程是（ ）A（x+4） 2+（y +6） 21 B（x+6） 2+（y+4） 21C（x +5） 2+（y +7） 21 D（x+7） 2+（y +5） 21【分析】根据题意，设要求圆的圆心为 C，其坐标为（a，b）
15、，由 C 与 C关于直线yx4 对称，则有 ，解可得 a、b 的值，即可得圆的圆心，由圆的标准方程分析可得答案【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心为 C，其坐标为（a，b），圆 C：x 2+y2 4x+30，即（x2） 2+y21，其圆心为（2，0），半径 r1，C 与 C关于直线 yx 4 对称，则有 ，解可得 ，则要求圆的圆心为（4，6），半径 r1，其方程为（x+4） 2+（y+6） 21；故选：A【点评】本题考查圆的方程的计算，注意分析要求圆的圆心以及半径，属于基础题8（5 分）下列三个数：aln ，blog 3 ，c（ ） ，大小顺序正确的是（ ）Acab Bcba Cbac Dab
16、c【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：0ln1a ln blog 3 log 3 ，c（ ） 0，cab故选：A【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9（5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 16，20，则输出的 a（ ）A14 B4 C2 D0【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：a16，b20，ab 是，ab 否，b20164，ab 是，ab 是，a16412，ab 是，ab 是，a1248，ab 是，ab 是，a
17、844，ab 否输出 a4，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键10（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥最长的棱长为（ ）A3 B C D【分析】画出几何体直观图，判断最长棱长求解即可【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是三棱锥 ABCD 是正方体的一部分，正方体的棱长为 3，AB ，BD3 ，AD 则该三棱锥最长的棱长为 故选：B【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，判断几何体的形状是解题的关键11（5 分）已知数列a n满足 a1+ + a3+ n2+n（nN*），设数列 bn满足：bn
18、 ，数列b n的前 n 项和为 Tn，若 Tn （nN*）恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A ，+） B（ ，+ ） C ，+） D（ ，+）【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，最后利用函数的单调性求出结果【解答】解：数列a n满足 a1+ + a3+ n 2+n，当 n2 时，a 1+ + a3+ （n1） 2+（ n1），得： ，故： ，数列b n满足：b n ，则： ， ，由于 Tn （nN*）恒成立，故： ，整理得： ，当 n1 时， 故选：D【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生
19、的运算能力和转换能力，属于基础题型12（5 分）已知函数 f（x ） ，（其中 aR），若 f（x）的四个零点从小到大依次为 x1，x 2，x 3，x 4，则 x1x2+ xi 的值是（ ）A16 B13 C12 D10【分析】将 f（x ）有四个零点转化为函数 图象与函数 ya 有四个交点，数形结合来求解【解答】解：由题意可知函数 图象与函数 ya 有四个交点，如图所示，由图形可知，lgx 1a，lgx 2a，lg（6x 3）a，lg（6x 4）a， 10 a ，所以 x1x21， 12 ，故 ，故选：B【点评】本题主要考查对数函数的图象综合应用，属于中档题目二、填空题：本大题共 4 小题，
20、每小题 5 分.13（5 分）已知向量 （1，x）， （2，4），且（ ） ，则实数 x 【分析】可求出 ，根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 x【解答】解： ； ； ； 故答案为： 【点评】考查向量坐标的减法和数量积的运算，向量垂直的充要条件14（5 分）曲线 yacos x 在 x 处的切线 l 的斜率为 ，则切线 l 的方程为 x2y0 【分析】求出函数的导数，利用切线的向量求出 a，求出切点坐标，然后求解切线方程【解答】解：曲线 yacos x，可得 yasin x，曲线 yacos x 在 x 处的切线 l 的斜率为 ，可得asin ，所以 a1所以切点坐标为：（ ， ）
21、，则切线 l 的方程为：y + （x ）即：x2y 0故答案为：x2y 0【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基本知识的考查15（5 分）过抛物线 y22px（p0）的焦点 F 且倾斜角为 120的直线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A、B 两点，则 【分析】设出 A、B 坐标，利用焦半径公式求出| AB|，可得 x1+x2 ，结合x1x2 ，求出 A、B 的坐标，然后求其比值【解答】解：设 A（x 1，y 1）， B（x 2，y 2），由抛物线的焦点弦公式，|AB|x 1+x2+p ，x 1+x2 ，又 x1x2 ，可得 x2 p，x 1 ，则 ，故答案为： 【点
22、评】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题16（5 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四边形 ABCD 是矩形，BC2，PAD是等边三角形，平面 PAD平面 ABCD，点 E，F 分别在线段 PA，CD 上，若 EF平面 PBC，且 DF2FC，则点 E 到平面 ABCD 的距离为 【分析】：以 O 为原点，OA 为 x 轴，过点 O 作 AB 的平行线为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点 E 到平面 ABCD 的距离【解答】解：以 O 为原点， OA 为 x 轴，过点 O 作 AB 的平行线为 y 轴，OP 为
23、 z 轴，建立空间直角坐标系，设 ABa，A（ 1，0，0），P （0，0， ），B（1，a， 0），C （1，a，0），F（1， ，0），设 E（m，0，n）， ， 0，1，则（m，0，n ）（，0， ），E（ ），（1， ， ），设平面 PBC 的法向量 （x，y，z），则 ，取 z1，得 （0， ，1），EF平面 PBC， + 0，解得 ，点 E 到平面 ABCD 的距离 d 故答案为： 【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12
24、 分）在ABC 中，a、b、c 分别是内角 A、B、C 的对边，且bcosAsinA（acosC+ccosA）（1）求角 A 的大小；（2）若 a2 ，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinBcosAsinAsinB，由 sinB0，可求 tanA ，结合范围 A（0，），可求 A（2）利用三角形的面积公式可求 bc5，进而根据余弦定理可得 b+c3 ，即可计算得解ABC 的周长的值【解答】解：（1） bcosAsinA（acosC+ccosA），由正弦定理可得： sinBcosAsin A（sinAcosC+sinC cosA
25、）sin Asin（A+C）sinAsinB，sinB0，tanA ，A（0，），A （2）A ，a2 ，ABC 的面积为 bcsinA bc，bc5，由余弦定理可得：12b 2+c2bc（b+c） 23bc （b+c） 215，解得：b+c3 ，ABC 的周长 a+b+c2 +3 5 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18（12 分）如图 1，四边形 ABCD 是直角梯形，其中BCCD1，AD2，ADC90点 E 是 AD 的中点，将 ABE 沿 BE 折起如图2，使得 AE平面 BCD
26、E点 M、N 分别是线段 AB、EC 的中点（1）求证：MNBE；（2）求三棱锥 EBNM 的体积【分析】（1）由四边形 BCDE 为正方形，且 N 是 EC 的中点，得 N 是 BD 的中点，又M 是 AB 的中点，得 MNAD ，由已知连线线面垂直的判定证得 BE平面AED，可得 BEAD，则 BEMN；（2）由 AE平面 BCDE，且 M 是线段 AB 的中点，得 M 到底面 BEN 的距离为，求出三角形 BNE 的面积，再由等积法求三棱锥 EBNM 的体积【解答】（1）证明：四边形 BCDE 为正方形，且 N 是 EC 的中点，N 是 BD 的中点，又 M 是 AB 的中点，MNAD，
27、BEAE ，BEED，且 AEEDE，BE平面 A ED，BEAD，则 BEMN；（2）解：AE平面 BCDE，且 M 是线段 AB 的中点，M 到底面 BEN 的距离为 ，又 BCDE 是边长为 1 的正方形， 三棱锥 EBNM 的体积 V 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19（12 分）某工厂每年定期对职工进行培训以提高工人的生产能力（生产能力是指一天加工的零件数）现有 A、B 两类培训，为了比较哪类培训更有利于提高工人的生产能力，工厂决定从同一车间随机抽取 100 名工人平均分成两个小
28、组分别参加这两类培训培训后测试各组工人的生产能力得到如下频率分布直方图（1）记 M 表示事件“参加 A 类培训工人的生产能力不低于 130 件”，估计事件 M 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为工人的生产能力与培训类有关：生产能力130 件 生产能力130 件 总计A 类培训 50B 类培训 50总计 100（3）根据频率分布直方图，判断哪类培训更有利于提高工人的生产能力，请说明理由参考数据P（K 2k 0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879参考公式
29、： ，其中 na+b+c+d【分析】（1）由频率分布直方图用频率估计概率，求得对应的频率值，用频率估计概率即可；（2）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）根据频率分布直方图，判断 A、B 类生产能力在 130 以上的频率值，比较得出结论【解答】解：（1）由频率分布直方图，用频率估计概率得，所求的频率为（0.020+0.008）100.28，估计事件 M 的概率为 P0.28 ；（2）根据题意填写列联表如下，生产能力130 件 生产能力130 件 总计A 类培训 36 14 50B 类培训 12 38 50总计 48 52 100由列联表计算 K2 23.0766.635，
30、所以有 99%的把握认为工人的生产能力与培训类有关；（3）根据频率分布直方图知，A 类生产能力在 130 以上的频率为 0.28，B 类培训生产能力在 130 以上的频率为 0.76，判断 B 类培训更有利于提高工人的生产能力【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题20（12 分）已知点 M 到抛物线 y24 x 的焦点 F 的距离和它到直线 x2 的距离之比是 （1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（2）过圆 O：x 2+y2 上任意一点 P 作圆的切线 l 与轨迹 C 交于 A，B 两点，求证：OAOB【分析】（1）求得抛物线的焦点，设 M（x，y），运用两点的距离公
31、式和点到直线的距离公式，化简整理，可得所求轨迹方程；（2）对直线的斜率讨论，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和向量的利用数量积公式，结合直线与圆相切，即可得到证明【解答】解：（1）抛物线 y24 x 的焦点 F（ ，0），设 M（x，y），由题意可得 ，两边平方可得 x2+y22 x+2 （x 2+84 x），化为 + 1，点 M 的轨迹 C 的方程为椭圆 + 1；（2）证明：当切线 l 的斜率不存在时切线方程为 x与椭圆的两个交点为（ ， ）或（ ， ），此时 0，即 OAOB；当切线 l 斜率存在时，可设 l 的方程为 ykx+m，与椭圆方程联立，可得（1+2k 2）x 2+4kmx+
32、2m240，则32k 28m 2+160，设 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则 x1+x2 ，x 1x2 ，y 1y2（kx 1+m）（kx 2+m）k 2x1x2+km（x 1+x2）+ m2k 2 +km（ ）+m 2 ，l 与圆 x2+y2 相切，d ，3m 24k 2+4， x 1x2+y1y2 + 0，即 OAOB综上可得，OAOB【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查数量积公式，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题21（12 分）已知函数 f（x）xe x（e 2.71828）（1）求函数 f（x ）的单调区间；（2）设 g（x）f（x）lnx，求证：
33、g（x） （参考数据：ln 20.69）【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断函数单调性（2）先对函数 g（x）求导，结合导数判断函数 g（x）的单调性，结合函数的零点判定定理可证【解答】（1）解：f（x ）（x+1）e x，x（， 1）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减； x（1，+）时，f（x）0，函数 f（x ）单调递增（2）证明：g（x）f（x）lnxxe xlnxg（x）（x +1）e x 在（0，+）单调递增 ，存在 x0（ ， ），使得（ x0+1） 当 x（ ）时，g（ x）0，当 x（x 0， ）时，g（x）0g（x）在（ ）单调递减，在（x 0，
34、 ）单调递增，xx 0 时，函数 g（x ）取得极小值即最小值g（x）g（x 0）x 0 lnx 0 在（ ）上单调递减，ln20.69 【点评】本题考查利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为（ x2） 2+y24，过点（2，0）且斜率为 k（k0）的直线 l 与曲线 C 相切于点
35、 A（1）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程和点 A 的极坐标；（2）若点 B 在曲线 C 上，求 OAB 面积的最大值【分析】（1）由（x2） 2+y24 得 x2+y24x0 得曲线 C 的极坐标方程为2 4cos0，即 4cos，结合图象可求得 A 的极径和角，可得 A 的极坐标；（2）不妨取 A（2， ），设 B（，）（ ），根据面积公式 SAOB |OA|OB|sin AOB 以及三角函数的性质可得最大值【解答】解（1）由（x2） 2+y24 得 x2+y24x0 得曲线 C 的极坐标方程为2 4cos0，即 4cos，如图：PA 与圆相切
36、时，CAPA，OA PC2，AOC 为等边三角形，OA2，AOC ，点 A 的极坐标为（2， ）或（2， ）（2）不妨取 A（2， ），设 B（，）（ ），则 4cos，S AOB |OA|OB|sinAOB4cos sin（+ ） + cos2sin2 +2cos（2+ ）， ，2 ， 2+ ，cos（2+ ）1，1 2+ 0，即 时，面积取得最大值 +2【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x） |x|（1）解不等式 f（2x 3）5；（2）若 x2+2x+f（x2）+ f（x+3）a+1 在 x1，3上恒成立，求实数 a 的取值范围【分析】
37、（1）由已知代入可得，2x3| 5，解绝对值不等式即可求解（2）由 x2+2x+f（x2）+ f（x+3）a+1，结合绝对值不等式的性质可知x2+2x+|x2|+|x+3|x 2+2x+|x2+x+3|x 2+2x+1，从而有 x2+2x+1a+1 在 x1，3 上恒成立，则（x 2+2x+1） mina+1，结合二次函数的性质即可求解【解答】解：（1）f（x ）|x| ，f（2x3）|2x 3| 5，52x35，解可得，不等式的解集为x| 1x4，（2）x 2+2x+f（x2）+ f（x+3）a+1 在 x1，3上恒成立，x 2+2x+|x2|+|x +3|a+1 在 x1，3 上恒成立，x 2+2x+|x2|+|x +3|x 2+2x+|x2+x+3|x 2+2x+1，x 2+2x+1a+1 在 x1，3上恒成立，结合二次函数的性质可知，当 x1，3时，x 2+2x+12，162a+1a3故 a 的范围a|a3【点评】本题主要考查了含有绝对值的不等式的解法的应用，不等式的恒成立与最值求解的相互转化思想的应用是求解（2）的关键
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