1、专题 7 单动点形成的面积问题例题精讲例 1.如图，在ABC 中， C=90，AB=10cm ，BC=8cm ，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度运动，同时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动（点 Q 运动到点 B 停止），在运动过程中，四边形 PABQ的面积最小值为（ ） A. 19cm2 B. 16cm2 C. 15cm2 D. 12cm2【答案】C 【解析】【解答】解：在 RtABC 中，C=90，AB=10cm，BC=8cm， AC= =6cmAB2-BC2设运动时间为 t（0t4），则 PC=（6 t）cm，CQ=2tcm，S 四
2、边形 PABQ=SABCSCPQ= ACBC PCCQ= 68 （6 t） 2t=t26t+24=（t 3） 2+15，12 12 12 12当 t=3 时，四边形 PABQ 的面积取最小值，最小值为 15故选 C例 2.如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 E 从 A 出发，沿 ABBC方向运动，当点 E 到达点 C 时停止运动，过点 E 做 FEAE，交 CD 于 F 点，设点 E 运动路程为 x，FC=y ，如图 2 所表示的是 y 与 x 的函数关系的大致图象，当点 E 在 BC 上运动时，FC 的最大长度是 ，则矩形 ABCD 的面积是（ ）25A. B. 5 C. 6 D. 235
3、 254【答案】 B 【解析】【解答】解：若点 E 在 BC 上时，如图EFC+AEB=90， FEC+EFC=90，CFE=AEB，在CFE 和BEA 中， ，CFE BEA， CFE= AEB C= B=90由二次函数图象对称性可得 E 在 BC 中点时，CF 有最大值，此时 = ，BE=CE=x ，即 ，CFBECEAB 52 yx-52=x-5252y= ，当 y= 时，代入方程式解得：x 1= （舍去）， x2= ，25(x-52)2 25 32 72BE=CE=1，BC=2，AB= ，52矩形 ABCD 的面积为 2 =5；52故选 B例 3.如图，边长为 2 的正ABC 的边 B
4、C 在直线 l 上，两条距离为 l 的平行直线 a 和 b 垂直于直线 l，a 和 b同时向右移动（a 的起始位置在 B 点），速度均为每秒 1 个单位，运动时间为 t（秒），直到 b 到达 C 点停止，在 a 和 b 向右移动的过程中，记ABC 夹在 a 和 b 之间的部分的面积为 s，则 s 关于 t 的函数图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】【解答】如图，当 0t1 时，BE=t ，DE= t，3s=SBDE= t t= t2；12 3 32如图，当 1t2 时，CE=2-t，BG=t-1 ，DE= （2-t），FG= （t-1 ），3 3s=S 五边形 AFG
5、ED=SABC-SBGF-SCDE= 2 - （t-1） （t-1 ）- （2-t） （2-t ）=- t2+3 t- 12 3 12 3 12 3 3 3 323；如图，当 2t3时，CG=3-t，GF= （3-t），3s=SCFG= （3-t） （3-t）= t2-3 t+ ，12 3 32 3 932综上所述，当 0t1 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当 1t2 时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当 2t3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故答案为：B例 4.如图所示，已知ABC 中， BC=12，BC 边上的高 h=6，D 为 BC 上一点，EFBC，交 AB 于
6、点 E，交 AC于点 F，设点 E 到边 BC 的距离为 x则 DEF 的面积 y 关于 x 的函数图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】【解答】解：过点 A 向 BC 作 AHBC 于点 H， 所以根据相似比可知： ，即 EF=2（6-x）EF12=6-x6所以 y= 2（6-x）x=-x 2+6x（0x 6）12该函数图象是抛物线的一部分，故答案为：D例 5.如图，在 中， ， ， ，动点 从点 开始沿 向点以 ABC B=90 AB=3cm BC=6cm P A AB以 的速度移动，动点 从点 开始沿 向点 以 的速度移动. 若 ， 两点分别B 1cm/s Q B
7、 BC C 2cm/s P Q从 ， 两点同时出发， 点到达 点运动停止，则 的面积 随出发时间 的函数关系图A B P B PBQ S t象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】【解答】解：由题意可得：PB=3-t，BQ=2t， 则PBQ 的面积 S= PBBQ= （3-t）2t=-t 2+3t，12 12故PBQ 的面积 S 随出发时间 t 的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下故答案为：C习题精炼1.如图，在ABC 中， C=90，AC=BC=3cm. 动点 P 从点 A 出发，以 cm/s 的速度沿 AB 方向运动到点2B动点 Q 同时从点 A 出发，以 1cm
8、/s 的速度沿折线 AC CB 方向运动到点 B设APQ 的面积为y（cm 2） .运动时间为 x（s ），则下列图象能反映 y 与 x 之间关系的是（ ）A. B. C. D. 2.如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是以 C（ 1，0）为圆心，1 为半径的y= -34x+3圆上一点，连接 PA，PB，则 PAB 面积的最小值是（ ） A.5 B.10 C.15 D.203.如图，在等腰ABC 中，AB=AC=4cm，B=30，点 P 从点 B 出发，以 cm/s 的速度沿 BC 方向运动到点3C 停止，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BAAC
9、 方向运动到点 C 停止，若BPQ 的面积为y（cm 2），运动时间为 x（s ），则下列最能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ）A. B. C. D. 4.如图，在正方形 ABCD 中，点 P 从点 A 出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则 APC 的面积 y 与点 P 运动的路程 x 之间形成的函数关系图象大致是（ ）A. B. C. D. 5.如图，ABC 中，AB=6，BC=8 ，tan B= ，点 D 是边 BC 上的一个动点（点 D 与点 B 不重合），过点 D43作 DEAB，垂足为 E，点 F 是 AD 的中点，连接 EF，设AEF 的面积为 y，点 D 从点 B
10、 沿 BC 运动到点 C 的过程中，D 与 B 的距离为 x，则能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）A. B. C. D. 6.如图，已知直线 y= x-3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，P 是以 C（0，1）为圆心，1 为半径的圆上一34动点，连接 PA，PB则PAB 面积的最大值是（ ）A. 8 B. 12 C. D. 212 1727.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，点 E 在边 AD 上，ABE=45，BE=DE，连接 BD，点 P 在线段 DE 上，过点P 作 PQBD 交 BE 于点 Q，连接 QD设 PD=x， PQD 的面积为 y，则能表示 y 与
11、 x 函数关系的图象大致是（ ）A. B. C. D. 8.如图，动点 S 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，点 S 在运动过程中速度不变，则以点 B 为圆心，线段 BS 长为半径的圆的面积 m 与点 S 的运动时间 t 之间的函数关系图象大致为（ ）A. B. C. D. 9.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E 是 BC 边上靠近点 B 的三等分点，动点 P 从点 A 出发，沿路径 ADCE运动，则APE 的面积 y 与点 P 经过的路径长 x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A. B. C. D. 10.如图，RtABC 中，AC=BC
12、=2 ，正方形 CDEF 的顶点 D、 F 分别在 AC、BC 边上，设 CD 的长度为 x， ABC与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y，则下列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是（ ）A. B. C. D. 11.如图所示，ABC 为等腰直角三角形， ACB=90，AC=BC=2 ，正方形 DEFG 边长也为 2，且 AC 与 DE 在同一直线上，ABC 从 C 点与 D 点重合开始，沿直线 DE 向右平移，直到点 A 与点 E 重合为止，设 CD 的长为 x，ABC 与正方形 DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是（ ） A
13、. B. C. D. 12.如图，矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2 ，M 是 AD 的中点，点 P 在矩形的边上，从点 A 出发，沿ABCD运动，到达点 D 运动终止设 APM 的面积为 y，点 P 经过的路程为 x，那么能正确表示 y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A. B. C. D. 13.如图，矩形 ABCD 中，AB=8cm，BC=6cm ，点 P 从点 A 出发，以 lcm/s 的速度沿 ADC方向匀速运动，同时点 Q 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 ABC方向匀速运动，当一个点到达点 C 时，另一个点也随之停止设运动时间为 t（s），APQ 的面积为 S（cm
14、2），下列能大致反映 S 与 t 之间函数关系的图象是（ ）A. B. C. D. 14.如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P 从点 A 出发，在正方形的边上沿 ABC的方向运动到点 C停止，设点 P 的运动路程为 x（cm），在下列图象中，能表示 ADP 的面积 y（cm 2）关于 x（cm）的函数关系的图象是（ ）A. B. C. D. 15.如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边 BCCDDA 运动，到达 A点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿着边 BA 向 A 点运动，到达 A 点停
15、止运动设 P 点运动时间为 x（s）， BPQ 的面积为 y（cm 2），则 y 关于 x 的函数图象是（ ）A. B. C. D. 16.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点 O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动 1m，其行走路线如图所示，第 1 次移动到 ，第 2 次移动到 ，第A1 A2n 次移动到 ，则 的面积是（ ）An OA2A2018A. 504 B. C. D. m210092m2 10112m2 1009m217.如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 E 从点 B 出发，沿 BADC 方向运动至点 C 处停止，设点 E 运动的路程为
16、x，BCE 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则当 x=7 时，点 E 应运动到A. 点 C 处 B. 点 D 处 C. 点 B 处 D. 点 A 处18.如图 1,在矩形 ABCD 中, 动点 E 从 A 出发,沿 方向运动,当点 E 到达点 C 时停止运动,过点 E 做 A-B-C,交 CD 于 F 点, 设点 E 运动路程为 x, ,如图 2 所表示的是 y 与 x 的函数关系的大致图象,当点FE AE FC=yE 在 BC 上运动时,FC 的最大长度是 ,则矩形 ABCD 的面积是 ( )25A. B. C. 6 D. 5235 25419.矩形 ABCD 中
17、，AD=8cm， AB=6cm，动点 E 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动，动点 F 从点 C 同时出发沿边 CD 向点 D 以 1cm/s 的速度运动，E 点运动到 B 点停止，F 点继续运动，运动到点 D 停止如图可得到矩形 CFHE，设 F 点运动时间为 x（单位：s ），此时矩形 ABCD 去掉矩形 CFHE 后剩余部分的面积为 y（单位：cm 2），则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大致是如图中的（ ）A. B. C. D. 20.如图 1，点 P 从ABC 的顶点 B 出发，沿 BCA匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度
18、y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 为曲线部分的最低点，则ABC 的面积是_21.如图，直线 与 轴、 轴分别交于 A，B 两点，C 是 OB 的中点，D 是 AB 上一点，y= -33x+4 x y四边形 OEDC 是菱形，则OAE 的面积为_答案解析部分一、单选题1.【答案】D 【解析】【解答】在ABC 中，C=90，AC=BC=3cm，可得 AB= ， A=B=45，当 0x3 时，点 Q32在 AC 上运动，点 P 在 AB 上运动（如图 1），由题意可得 AP= x，AQ=x，过点 Q 作 QNAB 于点 N，在等腰直角三角形 AQN 中，求得 QN= x，所以222y= =
19、（0x3），即当 0x3 时，y 随 x 的变化关系是二次函数关系，且12APQN122x22x=12x2当 x=3 时，y=4.5；当 3x6时，点 P 与点 B 重合，点 Q 在 CB 上运动（如图 2），由题意可得 PQ=6-x，AP=3 ，过点 Q 作 QNBC 于点 N，在等腰直角三角形 PQN 中，求得 QN= (6-x)，222所以 y= = （3x6），即当 3x6时，y 随 x 的变化关系是12APQN 123222(6-x)= -32x+9一次函数，且当 x=6 时，y=0.由此可得，只有选项 D 符合要求，故答案为：D.2.【答案】 A 【解析】【解答】作 CHAB 于
20、H 交 O 于 E、F 连接 BC A（4，0），B（0 ，3），OA=4，OB=3 ，AB=5SABC= ABCH= ACOB，ABCH=ACOB， 5CH=(4+1)3，解得：CH=3，EH=31=212 12当点 P 与 E 重合时， PAB 的面积最小，最小值 52=5=12故答案为：A3.【答案】 D 【解析】【解答】解：作 AHBC 于 H，AB=AC=4cm，BH=CH，B=30，AH= AB=2，BH= AH=2 ，12 3 3BC=2BH=4 ，3点 P 运动的速度为 cm/s，Q 点运动的速度为 1cm/s，3点 P 从 B 点运动到 C 需 4s，Q 点运动到 C 需 8
21、s，当 0x4时，作 QDBC 于 D，如图 1，BQ=x，BP= x，3在 RtBDQ 中，DQ= BQ= x，12 12y= x x= x2 ， 12 12 3 34当 4x8 时，作 QDBC 于 D，如图 2，CQ=8x，BP=4 3在 RtBDQ 中，DQ= CQ= （8 x），12 12y= （8x） 4 = x+8 ，12 12 3 3 3综上所述，y= 34x2(0 x 4)- 3x+83(4x 8)故选 D4.【答案】 C 【解析】【解答】解：设正方形的边长为 a，当 P 在 AB 边上运动时，y= ax；12当 P 在 BC 边上运动时，y= a（2a x）= ax+a2；
22、12 12当 P 在 CD 边上运动时，y= a（x 2a）= axa2；12 12当 P 在 AD 边上运动时，y= a（4ax）= ax2a2 ， 12 12大致图象为： 故选 C5.【答案】 B 【解析】【解答】解：DE AB，垂足为 E，tanB= = ，设 DE=4m，BE=3m，则 BD=5m=x，DEBE43m= ， DE= ，BE= ，x5 4x5 3x5AE=6 3x5y=SAEF= （6 ） 14 3x5 4x5化简得：y= + x，325x2 65又 0x8该函数图象是在区间 0x8 的抛物线的一部分故：选 B6.【答案】C 【解析】【解答】直线 与 x 轴、y 轴分别交
23、于 A、B 两点， A 点的坐标为（4，0 ），B 点的y=34x-3坐标为（0，3），即 OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，点 C（0，1 ）到直线 的3x-4y-12=0距离是 = ，圆 C 上点到直线 的最大距离是 = ，PAB 面积的最|30-4-12|32+42 165 y=34x-3 1+165 215大值是 = ，故答案为： C125215 2127.【答案】 C 【解析】【解答】解：ABE=45， A=90，ABE 是等腰直角三角形，AE=AB=2，BE= AB=2 ，2 2BE=DE，PD=x，PE=DEPD=2 x，2PQBD，BE=DE，QE=PE=2 x，2又
24、ABE 是等腰直角三角形（已证），点 Q 到 AD 的距离= （2 x）=2 x，22 2 22PQD 的面积 y= x（2 x）= （x 22 x+2）= （x .） 2+ ，12 22 24 2 24 2 22即 y= （x ） 2+ ，24 2 22纵观各选项，只有 C 选项符合故选：C8.【答案】 C 【解析】【解答】解：设线段 AB 的长为 b，点 S 的速度为 a，则 S=（bat ） 2=a2t22abt+b2=a2（t ） 2 ， baa20，在点 P 从 A 到 B 的运动过程中，S 随 t 的增大而减小，此时对应的函数图象开口向上，顶点坐标为（ ba，0 ），当点 P 从点
25、 B 向点 A 运动时， S 随着 t 的增大而减小，此时对应的函数图象开口向上，顶点坐标为（ ba，0 ），故选 C9.【答案】 A 【解析】【解答】解：在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，CD=AB=2，BC=AD=3 ，点 E 是 BC 边上靠近点 B 的三等分点，CE= 3=2，23点 P 在 AD 上时，APE 的面积 y= x2=x（0x3），12点 P 在 CD 上时，S APE=S 梯形 AECDSADPSCEP ， = （2+3）2 3（x 3） 2（3+2x ），12 12 12=5 x+ 5+x，32 92= x+ ， 12 92y= x+ （3x5），12 92点
26、 P 在 CE 上时，S APE= （3+2+2x ）2=x+7，12y=x+7（5x7），故选：A10.【 答案】 A 【解析】【解答】解：当 0 x1时，y=x 2 ， 当 1x2 时， ED 交 AB 于 M，EF 交 AB 于 N，如图，CD=x，则 AD=2x，RtABC 中，AC=BC=2，ADM 为等腰直角三角形，DM=2x，EM=x（2 x）=2x 2，SENM= （2x 2） 2=2（x 1） 2 ， 12y=x22（x1） 2=x2+4x2=（x2） 2+2，y= ，x2， (0x 1)-(x-2)2+2， (1x 2)故选：A11.【 答案】 B 【解析】【解答】 设 C
27、D 的长为 x， ABC 与正方形 DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为 y，当 C 从 D 点运动到 E 点时，即 0 x 2，y= = 1222-12(2-x)(2-x) -x2+2x， 当 A 从 D 点运动到 E 点时，即 时，y= = 2x 4122-(x-2)2-(x-2)12x2-4x+8， 所以 y 与 x 之间的函数关系式就写成分段函数的形式，由函数关系式可看出 B 中的函数图像与所求的分段函数对应。故答案为：B。12.【 答案】 A 【解析】【解答】解：三角形的面积变化，x 由 0 到 1 时， y 增大，x 由 1 到 3 时，y 取得最大值是 0.5 且不变；x
28、由 3 到 4 时，面积变小故答案为：A13.【 答案】A 【解析】【解答】解：由题意得：AP=t，AQ=2t，当 0t4时，Q 在边 AB 上， P 在边 AD 上，如图 1，SAPQ= APAQ= =t2 ， 12 12t2t故答案为：项 C、D 不正确；当 4t6 时，Q 在边 BC 上， P 在边 AD 上，如图 2，SAPQ= APAB= =4t，12 12t8故答案为：项 B 不正确；故答案为：A14.【 答案】 B 【解析】【解答】解：当 P 点由 A 运动到 B 点时，即 0x2时，y= 2x=x，12当 P 点由 B 运动到 C 点时，即 2x4 时，y= 22=2，12符合
29、题意的函数关系的图象是 B；故选：B15.【 答案】 C 【解析】【解答】由题意可得 BQ=x0x1 时，P 点在 BC 边上，BP=3x，则BPQ 的面积= BPBQ，解12y= 3xx= x2；故 A 选项错误；12 321x2 时，P 点在 CD 边上，则BPQ 的面积= BQBC，解 y= x3= x；故 B 选项错误；2x3 时，P12 12 32点在 AD 边上，AP=9 3x，则BPQ 的面积 = APBQ，解 y= （9 3x）x= x x2；故 D 选项错误故选：C12 12 923216.【 答案】A 【解析】【解答】解：依题可得：A2（ 1,1），A 4（2，0），A 8
30、（4,0），A 12（6,0）A4n（2n，0），A2016=A4504（ 1008,0），A2018（1009,1），A2A2018=1009-1=1008,S = 11008=504（ ）.OA2A201812 m2故答案为：A.17.【 答案】 B 【解析】【分析】根据 y 随 x 的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决：当 E 在 DC 上运动时， BCE 的面积不断减小。当 x=7 时，点 E 应运动到高 AD 与 DC 的交界处，即点 D 处。故选 B。 18.【 答案】 B 【解析】【解答】由图象可知 AB= ，当点 E 在 BC 上时，如图：52FEC+AEB=90，
31、 FEC+EFC=90，AEB=EFC，C=B=90，CFEBEA， ，CFBE=CEAB设 BE=CE=x- ，即 ，52 yx-52=x-5252 ，y=25(x-52)2因 FC 的最大长度是 ，25当 时，代入解析式，解得： (舍去), ，y=25 x1=32 x2=72BE=CE=1，BC=2， AB= ，52矩形 ABCD 的面积为 2 =5.52故答案为：B.19.【 答案】 A 【解析】【解答】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：当 x4时，y=68 （x2x ）=2x 2+48，此时函数的图象为抛物线的一部分，它的最上点抛物线的顶点（0 ， 48），最下点为（4，16
32、）；当 4x6 时，点 E 停留在 B 点处，故 y=488x=8x+48，此时函数的图象为直线 y=8x+48 的一部分，它的最上点可以为（4，16 ），它的最下点为（6 ，0）结合四个选项的图象知选 A 项故选：A20.【 答案】12 【解析】【解答】解：根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大，由图象可知：点 P 从 B 向 A 运动时， BP 的最大值为 5，即 BC=5，由于 M 是曲线部分的最低点，此时 BP 最小，即 BPAC，BP=4，由勾股定理可知：PC=3 ，由于图象的曲线部分是轴对称图形，PA=3，AC=6，ABC 的面积为： 46=1212故答案为：
33、1221.【 答案】 23【解析】【解答】解 ：把 x=0 代入 y = x + 4 得出 y=4,B(0,4);OB=4; C 是 OB 的中点，OC=2,四边33形 OEDC 是菱形,DE=OC=2;DEOC,把 y=0 代入 y = x + 4 得出 x= ,A( ,0);OA= ,设 D(x,33 43 43 43) ,E(x,- x+2),延长 DE 交 OA 于点 F， EF=- x+2,OF=x,在 RtOEF 中利用勾股定理得：-33x+4 33 33,解得 ：x 1=0(舍），x 2= ；EF=1,SAOE= OAEF=2 .x2+(- 33x+2)2=22 3 12 3故答案为：2 3
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