1、二次函数综合题类型一 抛物线与直线的图象性质问题1.如图,抛物线 y=x2+2x-3 的图象与 x 轴交于点 A、B(A 在 B 左侧) ,与 y轴交于点 C,点 D 为抛物线的顶点(1)求ABC 的面积;(2)P 是对称轴左侧抛物线上一动点,以 AP 为斜边作等腰直角三角形,直角顶点 M 正好落在对称轴上,画出图形并求出 P 点坐标;(3)若抛物线上只有三个点到直线 CD 的距离为 m,求 m 的值第 1 题图 备用图解:(1)针对于抛物线 y=x2+2x-3,令 x=0,则 y=-3,C(0,-3) ,令 y=0,则 x2+2x-3=0,x=-3 或 x=1,A(-3,0) ,B(1,0)
2、 ,SABC= AB|yC|=6;2(2)如解图,设对称轴与 x 轴相交于点 Q.第 1 题解图当点 P 在第三象限时,抛物线 y=x2+2x-3 的对称轴为直线 x=-1,AQ=2.过点 P 作 PGDM 于点 G,PGM=MQA=90,MPG+PMG=90,AMP=90, PMG+AMQ=90,MPG=AMQ,在PGM 和MQA 中, ,PGMQAPGMMQA(AAS) ,MG=AQ=2,PG= QM,设 M( -1, m) (m0) ,QM=-m,PG=-m,QG =QM+MG=2-m,P(m-1,m-2) ,点 P 在抛物线 y=x2+2x-3 上,(m-1 ) 2+2(m-1 )-3
3、=m-2,m=-1 或 m=2(舍) ,P(-2,-3) 当点 P 在第二象限时,同的方法得,P(-4,5) ; (3)抛物线 y=x2+2x-3=(x+1) 2-4,D(-1 ,-4) ,C(0,-3) ,直线 CD 的解析式为 y=x-3,如解图,作直线 EGCD 交 y 轴于点 E,交 x 轴于点 G,第 1 题解图设直线 EG 的解析式为 y=x+b,抛物线上只有三个点到直线 CD 的距离为 m,在直线 CD 下方的抛物线上只有一个点到直线 CD 的距离为 m,即直线 EG 与抛物线 y=x2+2x-3只有一个交点,联立得,x 2+2x-3=x+b,x2+x-3-b=0,=1+4(b
4、+3)=0,b=- ,134直线 EG 的解析式为 y=x- ,134E(0,- ),OE= ,134直线 CD 的解析式为 y=x-3,H( 3,0) ,OH=3,OC=3 ,CH= ,132-=4CE,过点 E 作 EFCD 于 F,CFE=COH,ECF=HCO,CFECOH, ,EFCOH ,1432 ,8EF即:m= .22.已知二次函数 .21(0)yaxa(1)求证:抛物线与 x 轴有两个交点;(2)求该抛物线的顶点坐标;(3)结合图象回答:当 x1 时,其对应的函数值 y 的最小值范围是 2y6,求a 的取值范围.第 2 题图(1)证明: =(2a) 2-4a(a-1)=4a,
5、 a0,4a0,0,抛物线与 x 轴有两个交点;(2)24(1), 1,aa抛物线的顶点坐标为(-1,-1) ;(3)二次函数 y=ax2+2ax+a-1 经过(1,2)时,2=3a+a-1 ,解得 ,34a二次函数 y=ax2+2ax+a-1 经过(1,6)时,6=3a+a-1 ,解得 a= ,7观察图象可知,函数值 y 的最小值范围是 2y6,a 的取值范围为.374a3.已知二次函数 )0(22axay(1)该二次函数图象的对称轴是直线 ;(2)若该二次函数的图象开口向上,当 1x5时,函数图象的最高点为M,最低点为 N,点 M 的纵坐标为 ,求点 M 和点 N 的坐标;21(3)对于该
6、二次函数图象上的两点 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,设 t x1 t+1,当 x23时,均有 y1 y2,请结合图象,直接写出 t 的取值范围解:(1)x=1 ;(2)该二次函数的图象开口向上,对称轴为直线 x=1, 1x5,当 x=5 时, y 的值最大,即 M(5, ). 21把 M( 5, )代入 y=ax22ax2,解得 a= . 21该二次函数的表达式为 y= . 1x当 x=1 时,y ,25N(1, ); (3)1t2. 类型二 抛物线与直线(线段)的公共点问题4.如图,抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y= x-3 交于 A,B 两点,其中点 B 在 y12
7、轴上,点 A 坐标为(-4,-5) ,点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点,过点P 作 PCx 轴于点 C,交 AB 于点 D(1)求抛物线的解析式;(2)以 O,B,P ,D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点 P 的坐标;若不存在,说明理由;(3)当点 P 运动到直线 AB 下方某一处时, PAB 的面积是否有最大值?如果有,请求出此时点 P 的坐标第 4 题图解:(1)直线 交 y 轴于点 B,132yxB(0,-3) ,抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A(-4,-5) ,点 B(0,-3) ,31645cb解得:b= ,c=-392抛物线解析式 y=x2+ x-3;9(2)
8、存在,设 P( m,m 2+ m-3) , (m0) ,D( m, m-3) ,1PD=|m2+4m|,PDBO,当 PD=OB=3 时,故存在以 O,B ,P,D 为顶点的四边形是平行四边形,|m2+4m|=3,当 m2+4m=3 时,m1=-2- ,m 2=-2+ (舍) ,77当 m=-2- 时,则 m2+ m-3=-1- ,972P(-2- ,-1- ) ;7当 m2+4m=-3 时,m1=-1,m 2=-3,当 m1=-1 时,则 m2+ m-3=- ,9132P(-1,- ) ,当 m2=-3,m 2+ m-3=- ,9152P(-3,- ) ,15综上所述,点 P 的坐标为(-2
9、- ,-1- ) , (-1,- ) , (-3,- ) 722152(3)设点 P(x,x 2+ x-3) ,则点 D(x, x-3) ,9PD= x-3-(x 2+ x-3)=-x 2-4x,1SAPB= PD4=-2x2-8x=-2(x+2) 2+8当 x=-2 时, PAB 的面积的最大值为 8点 P 坐标( -2,-8).5.在平面直角坐标系 xOy 中,将抛物线 : 向右平移1G23(m0)yx个单位长度后得到抛物线 ,点 A 是抛物线 的顶点.32 2(1)直接写出点 A 的坐标;(2)过点(0, )且平行于 x 轴的直线 l 与抛物线 交于 B,C 两点.3 2G当BAC=90
10、 时,求抛物线 的表达式;2G若 60BAC120,直接写出 m 的取值范围.解:(1)将抛物线 G1:y=mx 2+2 (m0)向右平移 个单位长度后得33到抛物线 G2,抛物线 G2:y= m(x- ) +2 (m0) ,32点 A 的坐标为( ,2 ) (2) 设抛物线对称轴与直线 l 交于点 D,如解图所示第 5 题解图点 A 是抛物线顶点,AB=ACBAC=90,ABC 为等腰直角三角形,CD=AD= ,3点 C 的坐标为(2 , ) 3点 C 在抛物线 G2 上, =m(2 - ) +2 ,33解得:m= .如解图 所示第 5 题解图同理:当BAC=60 时,点 C 的坐标为( +
11、1, ) ,3当BAC=120 时,点 C 的坐标为( +3, ) ,60BAC120,点( +1, )在抛物线 下方,点( +3, )在抛物线 上方,32G32G ,2(1-)3m解得: .39m6.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 经过点 和230yaxba1,0A点 45B,(1)求该抛物线的表达式;(2)求直线 关于 轴的对称直线的表达式;ABx(3)点 P 是 x 轴上的动点,过点 P 作垂直于 x 轴的直线 l,直线 l 与该抛物线交于点 M,与直线 AB 交于点 N当 PMPN 时,求点 P 的横坐标 xP的取值范围第 6 题图解:(1)将 A(-1,0) ,B(4,5)代入
12、函数解析式,得 ,301645ab解得 ,2ab抛物线的解析式为 y=x2-2x-3;(2)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,将 A(-1 ,0) ,B (4,5)代入函数解析式,得 ,045kb解得 ,1b直线 AB 的解析式为 y=x+1,直线 AB 关于 x 轴的对称直线的表达式 y=-(x+1) ,化简,得 y=-x-1;(3)设 M(n,n 2-2n-3) ,N (n,n+1) ,PMPN,即 |n2-2n-3| n+1|当 n-1 时,n 2-2n-3-(n+1) ,化简,得 n2-n-20,由 y=n2-n-2 与 x 轴的交点,得n2-n-20 的解是 -1n2(不符合题
13、意,舍) ,当-1n3 时,-(n 2-2n-3)n+1,化简,得 n2-n-20,由 y=n2-n-2 与 x 轴的交点,得n2-n-20 的解是 n-1 或 n2,2n3;当 n3时,n 2-2n-3n+1 ,化简,得 n2-3n-40,由 y=n2-3n-4 与 x 轴的交点,得n2-3n-40 的解是-1n4,3n4,综上所述:2n4,当 PMPN 时,求点 P 的横坐标 xP 的取值范围是 2x P47.如图,抛物线 交 x 轴于 A、B 两点,直线经过点 A,与这条21yxmn抛物线的对称轴交于点 M(1,2) ,且点 M 与抛物线的顶点 N 关于 x 轴对称.(1)求这条抛物线的
14、函数关系式;(2)根据图象,写出函数值 y 为负数时,自变量 x 的取值范围;(3)设题中的抛物线与直线的另一交点为 C,已知 P(x,y)为直线 AC上一点,过点 P 作 PQx 轴,交抛物线于点 Q当-1 x 时,求线段 PQ32的最大值第 7 题图解:(1)由题意知,抛物线顶点 N 的坐标为(1,-2) ,故其函数关系式为 y= ;2213()xx(2)由 ,解得 x=-1 或 3,即 A(-1 ,0) 、B(3,0) ;根据图230x象得:函数值 y 为负数时,自变量 x 的取值范围为 -1x3;(3)由(2)得:A(-1,0) 、B(3,0) ;设经过点 A,M 的直线为 y=kx+
15、b,将 A( -1, 0) 、M(1,2)的坐标分别代入 y=kx+b 中得: ,02kb解得: ,kb直线 AC 的函数关系式为 y=x+1,P 坐标为( x,x+1) ,Q 的坐标为(x, ) ,213xPQ=(x+1)-( )= - =- ,2132529()a=- 0,-1x ,12当 x= 时, PQ 有最大值为 ,358即点 P( , )时,PQ 长有最大值为 .53588.如图,抛物线 y=ax2+bx-3 经过 A(1,0) ,B(3,0)两点(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为 M,直线 y=-2x-9 与 y 轴交于点 C,与直线 OM 交于点 D,现将抛物线平移
16、,保持顶点在直线 OD 上,若平移后的抛物线与射线 CD(含端点 C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围第 8 题图解:(1)把 A(1,0) ,B(3,0)的坐标分别代入抛物线 y=ax2+bx-3 中得:,解得: ,390ab14ab抛物线的解析式:y=-x 2+4x-3;(2)y =-x2+4x-3=-(x -2) 2+1,M(2,1) ,直线 OD 的解析式为:y= x,平移后的抛物线顶点坐标为(h, h) ,则平移后的抛物线解析式为:2y=-(x-h) 2+ h,1由 y=-2x-9,得当 x=0,y=-9,C (0,-9 ) ,当抛物线经过点 C 时,-h 2+ h=-
17、9,1解得:h= ,145当 时,平移后的抛物线与射线 CD 只有一个公共点;44h当抛物线与直线 CD 只有一个公共点时,得 ,21()9yxh则 x2+(-2h-2 )x +h2- h-9=0,解得 h=-4,此时抛物线 y=-x2-8x-18 与直线 CD 有唯一的公共点为(-3 ,-3) ,点(-3,-3)在射线 CD 上,符合题意.平移后的抛物线与射线 CD 只有一个公共点时,它的顶点横坐标取值范围是当 或 h=-4,145145h类型三 抛物线与直线(线段)构成的封闭区域内的整点问题8. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=mx2-2mx+m-2(m0)与 x 轴的交点为 A
18、,B (1)求抛物线的对称轴及顶点坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点当 m=1 时,求线段 AB 上整点的个数;若抛物线在点 A,B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边界)恰有 7 个整点,结合函数的图象,求 m 的取值范围第 9 题图解:(1)y= mx2-2mx+m-2 =m(x 2-2x+1) -2=m(x -1) 2-2,抛物线的对称轴为 x=1,顶点坐标为(1,-2) ;(2) 当 m=1 时,抛物线解析式为 y=x2-2x-1,令 y=0 得:x 2-2x-1=0,解得: ,12,1即 A( 1- ,0) 、B( 1+ ,0) ,则线段 AB 上整点有(0,0)
19、、(1,0)、(2,0)这 3 个;如解图,抛物线在点 A,B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边界)恰有 7 个整点,第 9 题解图则 ,209614m解得: .210. 如图,抛物线 y=ax2+bx-3 过 A(1,0) 、B(-3,0)两点,直线 AD 交抛物线于点 D,点 D 的横坐标为-2,点 P( m,n)是线段 AD 上的动点(1)求直线 AD 及抛物线的解析式;(2)过点 P 的直线垂直于 x 轴,交抛物线于点 Q,求线段 PQ 的长度 l 与m 的关系式,m 为何值时,PQ 最长?(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得P、Q、D、R 为顶点的四
20、边形是平行四边形?若存在,直接写出点 R 的坐标;若不存在,说明理由第 10 题图解:(1)把 A(1,0) ,B(-3,0)的坐标分别代入函数解析式,得,解得 ,39ab2ab抛物线的解析式为 y=x2+2x-3;当 x=-2 时,y=(-2) 2+2(-2)-3=-3,即 D(-2,-3) 设直线 AD 的解析式为 y=kx+b,将 A(1,0) ,D(-2,-3)的坐标分别代入,得 ,023kb解得 ,直线 AD 的解析式为 y=x-1;1b(2)由题意得 P 点坐标为(m,m-1) ,Q(m,m 2+2m-3) ,l=(m-1 )-(m 2+2m-3)整理,得 l=-m2-m+2配方,
21、得 l= ,19()4点 P 在线段 AD 上, -2 m1. 当 m=- 时,l 最大 = ;1294即当 m=- 时,PQ 最长,其值为 ;94(3)存在.由(2)可知,0PQ 当 PQ 为边平行四边形的边时, DRPQ 且DR=PQR 是整点, D(-2,-3) ,PQ 的长是正整数,PQ=1 或 PQ=2当 PQ=1 时,DR =1,此时点 R 的横坐标为-2,纵坐标为-3+1=-2 或-3-1=-4,R(-2,-2)或 R(-2,-4 ) ;当 PQ=2 时,DR=2,此时点 R 的横坐标为-2,纵坐标为-3+2=-1 或-3-2=-5,即 R(-2,-1)或 R(-2,-5) 当 PQ 为平行四边形的对角线时,则 PQ 的中点即为 DQ 的中点,又P(m,m-1) 、D(-2,-3) ,点 R 的坐标为( 2m+2,m 2+3m-1) R 是整点且点 D、P、Q、R,-2m1,当 m=-1 时,点 R 的坐标为(0,-3) ;当 m=0 时,点 R 的坐标为(2,-1) 综上所述,存在满足 R 的点,它的坐标为(-2,-2 )或(-2,-4 )或(-2,-1)或(-2 , -5) 或(0,-3)或(2,-1)